1、1.1.1分类计数原理分类计数原理与分步计数原理分步计数原理 2019年夏季在德国举行的第十年夏季在德国举行的第十八届世界杯足球赛共有八届世界杯足球赛共有32支队伍参支队伍参加。他们先分成加。他们先分成八个小组八个小组进行进行循环循环赛，赛，决出决出16强强，这，这16强按确定的程序进强按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了三、四名。还决出了三、四名。问：问：一共安排了多少场比赛？一共安排了多少场比赛？思考思考？用一个大写的的英文字母用一个大写的的英文字母或或一个阿拉伯一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多数字给教室里的座位编号，总共能
2、够编出多少种不同的号码？少种不同的号码？26+10=36问题问题 1.从甲地到乙地，可以乘火车，也从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有车有4 班班,汽车有汽车有2班，轮船有班，轮船有3班。那么一班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法多少种不同的走法?分析分析:从甲地到乙地有从甲地到乙地有3类方法类方法,第一类方法第一类方法,乘火车，有乘火车，有4种方法种方法;第二类方法第二类方法,乘汽车，有乘汽车，有2种方法种方法;第三类方法第三类方法,乘轮船乘轮船,有有3种方法种方
3、法;所以所以 从甲地到乙地共有从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种方法。种方法。完成一件事，有完成一件事，有n类办法类办法.在第在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方法中有类方法中有m2种不同的种不同的方法，方法，在第，在第n类方法中有类方法中有mn种不同的方法，种不同的方法，则完成这件事共有则完成这件事共有 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数类标准下进行分类，然后对每类方法计数.1）各类办法之间相互独立）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要都能独立的完成这件
4、事，要计算方法种数计算方法种数,只需将各类方法数相加只需将各类方法数相加,因此分类计数原因此分类计数原理又称理又称加法原理加法原理N=m1+m2+mn 种不同的方法种不同的方法例例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学大学B大学大学生物学生物学化学化学医学医学物理学物理学工程学工程学数学数学会计学会计学信息技术学信息技术学法学法学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？解：
5、这名同学在解：这名同学在A大学中有大学中有5种专业选择，在种专业选择，在B大学中有大学中有4种专业选择。种专业选择。根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+49种。种。用前用前6 6个大写英文字母和个大写英文字母和1 19 9九个阿九个阿拉伯数字，以拉伯数字，以A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，的方式给教室里的座位编号，的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？总共能编出多少个不同的号码？思考思考？分析分析:由于前由于前6 6个英文字母中的任意一个都能个英文字母中的任意一个都能与与9 9个数字中的任何一个组成
6、一个号码，而且个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各个不同，因此共有它们各个不同，因此共有6 69 95454个不同的个不同的号码。号码。字母字母数字数字得到的号码得到的号码A A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9树形图树形图问题问题 2.如图如图,由由A村去村去B村的道路有村的道路有3条，条，由由B村去村去C村的道路有村的道路有2条。从条。从A村经村经B村去村去C村，共有多少种不同的走法村，共有多少种不同的走法?A村村B村村C村村北北南南中中北北南南 分析分析:从从A村经村经 B村去村去C村有村有2步步,第一步第一步,由由A村去村去B村有村有3种方法种方法,第二步第二
7、步,由由B村去村去C村有村有3种方法种方法,所以所以 从从A村经村经 B村去村去C村共有村共有 3 2=6 种种不同的方法。不同的方法。完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤。做第个步骤。做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第做第n步有步有mn种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法，则完成这件事共有 2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数然后对每步方法计数.1）各个步骤相互依存）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,这件事这
8、件事才算完成才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数方法总数,又称又称乘法原理乘法原理N=m1m2 mn种不同的方法种不同的方法例例2、设某班有男生设某班有男生30名，女生名，女生24名。现要从中选出名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？同的选法？例例3、浦江县的部分电话号码是浦江县的部分电话号码是05798415,后后面每个数字来自面每个数字来自09这这10个数个数,问可以产生多少个不同问可以产生多少个不同的电话号码的电话号码?变式变式:若要求最后若要求最后4个数
9、字不重复个数字不重复,则又有多少种不同则又有多少种不同的电话号码的电话号码?0579841510 10 10 10=104分析分析:分析分析:=504010 987例例4、书架上第书架上第1层放有层放有4本不同的计算机书本不同的计算机书,第第 2层放有层放有3本不同的文艺书本不同的文艺书,第第3层放有层放有2本不同的本不同的体育杂志体育杂志.(2)从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书,有多少种有多少种 不同取法不同取法?N43+29 N4 3224(1)从书架上任取从书架上任取1本书本书,有多少种不同的取法有多少种不同的取法?例例5、要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3幅不同的画中选
10、出幅不同的画中选出2幅，幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？少种不同的挂法？1、在所有的两位数中，个位数字比十位数、在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？字大的两位数有多少个？2、8本不同的书，任选本不同的书，任选3本分给本分给3个同学，每个同学，每人人1本，有多少种不同的分法？本，有多少种不同的分法？3、将、将4封信投入封信投入3个不同的邮筒，有多少种不个不同的邮筒，有多少种不同的投法？同的投法？4、已知、已知则方程则方程 可表示不同的圆的可表示不同的圆的个数有多少？个数有多少？3,4,6,1,2,7,8,8,
11、9abr222()()xaybr5、已知二次函数、已知二次函数 若若 则可以得到多少个则可以得到多少个不同的二次函数？其中图象过原点的二次函不同的二次函数？其中图象过原点的二次函数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限的二次函数又有多少个？的二次函数又有多少个？2.yaxbxc,3,2,0,1,2,3.a b c 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理联系联系区别一区别一完成一件事情共有完成一件事情共有n类类办法，关键词是办法，关键词是“分类分类”完成一件事情完成一件事情,共分共分n个个步骤，关键词是步骤，关键词是“分步分步”区别二区别二每类办法都能每类办法都能
12、独立完成独立完成这件事情。这件事情。每一步得到的只是中间结果，每一步得到的只是中间结果，任何一步都任何一步都不能能独立完成不能能独立完成这件事情这件事情，缺少任何一步也，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这个步骤完成了，才能完成这件事情。件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三区别三各类办法是互斥的、各类办法是互斥的、并列的、独立的并列的、独立的各步之间是相关联的各步之间是相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：分类计数与分步计数原理的区别和联系：甲地甲地丙地丙地丁地丁地乙地乙地N1=23=6N2=42=8N=N1+N2=14 2.如图如图,该电该电路路,从从A到到B共共有多少条不有多少条不同的线路可同的线路可通电？通电？AB解解:从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类,第一类第一类,m1=3 条条 第二类第二类,m2=1 条条 第三类第三类,m3=22=4,条条 所以所以,根据分类原理根据分类原理,从从A到到B共有共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。在解题有时既要分类又要分步。在解题有时既要分类又要分步。
