1、3.1.13.1.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点322xxy0322-xx 3 -112Oxy对于函数对于函数y yf(x)f(x)，我们把，我们把使使函数函数y yf f(x x)的值为的值为0 0的的实数实数x x 称为函数称为函数y yf f(x x)的的零点零点.31321030201321,)(3x-2,x1,x )(,)(),(),(),()()()()()(DCBAxxxxf的的零零点点为为函函数数练练习习：函数的零点函数的零点不不是点是点是实数。是实数。B方程方程x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0方程的根函数函数y=x2-2x-3y=x2-2
2、x+1y=x2-2x+3 函数函数y=ax2+bx+c (a0)图象图象函数的图象与函数的图象与x轴的交点轴的交点函数的零点函数的零点x1=-1，x2=3x1=x2=1 无实数根无实数根2-2-43-11 2Oxy423-11 2Oxy423-11 2Oxy两个交点两个交点(-1,0)，(3,0)一个交点一个交点(1,0)没有交点没有交点-1 3 1无零点无零点方程方程方程的根方程的根无实根无实根函数函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象函数的图函数的图象与象与x轴的轴的交点交点无交点无交点函数的函数的零点零点无零点无零点00OxyOxyOxyx1x2x1021xxxx,1xx 01,x
3、02,x01,x1x2x1x函数函数y=f(x)的零点的零点函数函数y=f(x)的图的图象与象与x轴交点的轴交点的横坐标横坐标方程方程f(x)=0的实数根的实数根形数 观察二次函数的图象：观察二次函数的图象：在区间（在区间（-2，0）上有零点，）上有零点，f(-2)f(0)_0 在区间在区间(2，4)上有零点，上有零点，f(2)f(4)_0 32)(2xxxf2-2-41O1-223 4-3-1-1yxxyOabcd观察函数的图象并填空观察函数的图象并填空:在区间在区间(a,b)上上f(a)f(b)_0,在区间在区间(a,b)上上_零点；零点；在区间在区间(b,c)上上f(b)f(c)_0,在
4、区间在区间(b,c)上上_零点；零点；在区间在区间(c,d)上上f(c)f(d)_ 0,在区间在区间(c,d)上上_零点；零点；有有有有有有 若函数若函数y=f(x)在区间在区间a,b 上满上满足足f(a)f(b)0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内内一定存在零点一定存在零点 （）abOxy如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a a，b b上的图象是一条上的图象是一条不间断的不间断的曲线，曲线，且满足且满足f(a)f(b)0f(a)f(b)0,则函数则函数y=f(x)y=f(x)在区间（在区间（a,ba,b）上有零点。）上有零点。结论：结论：深入探究深入探究 1 若函数若
5、函数y=f(x)在区间在区间a,b上连续，且上连续，且f(a)f(b)0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，并且内有零点，并且零点唯一零点唯一 （）abOxy 深入探究深入探究2：若函数若函数y=f(x)在区间在区间a,b上连续，且函数在区间上有零上连续，且函数在区间上有零点则一定有点则一定有f(a)f(b)0 ()abOxy深入思考深入思考3 3：满足什么条件的函数在：满足什么条件的函数在区间区间(a，b)上如果上如果存在零点就一定唯存在零点就一定唯一呢？一呢？结论：若函数在区间（结论：若函数在区间（a a，b b）上存）上存在零点，且函数图像是在零点，且函数图像是单调的单调的，
6、则，则函数在区间函数在区间(a(a，b)b)只有一个只有一个零点。零点。小结小结：一一 知识方面知识方面1 1、函数零点、函数零点 方程的根方程的根 函数图像与函数图像与x x轴交点横轴交点横坐标坐标 三者的关系三者的关系 2 2、函数零点问题的方法函数零点问题的方法 （方程法、图像法、零点存在性定理）（方程法、图像法、零点存在性定理）二二 数学思想方面数学思想方面1 1、函数与方程的相互转化，即转化思想、函数与方程的相互转化，即转化思想2 2、借助图象探寻规律，即数形结合思想、借助图象探寻规律，即数形结合思想例题讲解例题讲解例例1 1（1 1）已知函数）已知函数 ，若，若 acac0 0，则
7、函数，则函数f(x)f(x)的零点个数有的零点个数有()()A.0 B.1 C.2 D.A.0 B.1 C.2 D.不确定不确定cbxaxf(x)2（2 2）已知函数）已知函数 有一个零点为有一个零点为2 2，则函数则函数g(x)=bxg(x)=bx2 2-ax-ax的零点是的零点是()()A.0A.0和和2 B.22 B.2和和 C.0C.0和和 D.0D.0和和baxf(x)122121CD例题讲解例题讲解例例2 2 已知已知（1 1）如果函数）如果函数f(x)f(x)有两个零点，求有两个零点，求m 的取值范围；的取值范围；（2 2）如果函数）如果函数f(x)f(x)在在(0,+(0,+)
8、上至少有上至少有 一个零点，求一个零点，求m的取值范围的取值范围.1)3()(2xmmxxf例例3若方程若方程7x2(k+13)x+k2k2=0的两的两实根分别在区间实根分别在区间(0，1)，(1，2)内，则（内，则（）（A）（B）k4（C）1k1或或3k4 （D）2k1或或3k432k 解：函数解：函数f(x)=7x2(k+13)x+k2k2的图象的图象是开口向上的抛物线，两个零点分别在是开口向上的抛物线，两个零点分别在(0，1)，(1，2)内，所以由图象可知，函数内，所以由图象可知，函数y=f(x)满足满足，即，即 ，(0)0(1)0(2)0fff2222028030kkkkkk21243
9、0kkkkk 或或解得，解得，所以所以2k1或或3k4，选，选D。例例4已知已知mR，函数，函数f(x)=m(x21)+xa恒有恒有零点，求实数零点，求实数a的取值范围。的取值范围。解：（解：（1）当）当m=0时，时，f(x)=xa=0解得解得x=a恒恒有解，此时有解，此时aR；（2）当）当m0时，时，f(x)=0，即，即mx2+xma=0恒有解，恒有解，1=1+4m2+4am0恒成立，恒成立，令令g(m)=4m2+4am+1，g(m)0恒成立，恒成立，2=16a2160，解得，解得1a1。综上所述知，当综上所述知，当m=0时，时，aR；m0时，时，1a1。例例5方程方程x2+(m2)x+5m
10、=0的两根都大于的两根都大于2，求实数，求实数a的取值范围。的取值范围。解：令解：令f(x)=x2+(m2)x+5m，要使，要使f(x)=0的两根都大于的两根都大于2，则应满足，则应满足2(2)4(5)0(2)0222mmfm 解得解得 216042(2)502mmmm 4452mmmm 或所以所以即即50)的图象的图象函数的图象与函数的图象与x轴的交点轴的交点函数的零点函数的零点x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根无实数根2-2-43-11 2Oxy423-11 2Oxy423-11 2Oxy两个交点两个交点(-1,0)，(3,0)一个交点一个交点(1,0)没有交点没有交点-1 3 1无零点无零点判别式 0=00)的根的根两个不相等的两个不相等的实数根实数根x1、x2有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1=x2没有实数根没有实数根x1x2(x1,0)，(x2,0)x1 (x1,0)x1x2 x1 abOxy
