1、第四章 不定积分1、不定积分的概念与性质.)()(,)()(),()2(;)()(,)()()1(.:).()(,),(,)(.)()()(.)()(),()(,),()(,.1.常数相差一个与则的原函数都是若原函数的一个也是则的一个原函数是若关于原函数的两点说明连续函数一定有原函数简单地说都有使得对任一上存在可导函数间那么在区上连续在区间如果函数原函数存在定理函数上的一个原在区间或就称为那么函数或都有任一即对的导函数为可导函数上如果在区间定义念原函数与不定积分的概一xQxFxfxQxFxfCxFxfxFxfxFIxxFIIxfIdxxfxfxFdxxfxdFxfxFIxxfxFI.)()()
2、()(,)()(,)()(,.,)(,)(,.)(,)()(.)(,2:,的任意一个原函数可以表示因而不定积分即的不定积分就是那么一个原函数上的在区间是如果可知由此定义及前面的说明称为积分变量积表达式称为被称为被积函数称为积分号其中记号记作上的不定积分在区间或称为函数的带有任意常数项的原函数上在区间定义我们引进下列定义由以上两点说明xfdxxfCxFdxxfxfCxFIxfxFxdxxfxfdxxfIdxxfxfxfI.,),()(,)()()()(,)()(;)()()()(,)()(:,者抵销后差一个常数或或者抵销在一起时与当记号是互逆的表示以记号算简称积分运与求不定积分的计算表示以微分运
3、算由此可见或所以的原函数是又由于或所以的原函数是由于即可知下述关系从不定积分的定义ddCxFxdFCxFdxxFxFxFdxxfdxxfdxfdxdxxfdxfdxxfcxxdxcxdxxcxdxxcxxdxucuxdxxKcKxKdxuusincos)6(arcsin11)5(arctan11)4(ln)3()1(1)2()()1(:,.221为常数式公式得到相应的积分方数那么很自然地可以从导算的逆运算既然积分运算是微分运基本积分表二cshxchxdxcchxshxdxcaadxacedxecxxdxxcxxdxxcxxdxdxxcxxdxxdxcxxdxxxxx)15()14(ln)13(
4、)12(csccotcsc)11(sectansec)10(cotcscsin1)9(tanseccos)8(cossin)7(2222)0,()()(,.2.1)()()()(,.1.kkdxxfkdxxkfdxxgdxxfdxxgxf是常数即到积分号外面来子可以提被积函数中不为零的因求不定积分时性质立的对于有限个函数都是成性质即的和于各个函数的不定积分函数的和的不定积分等性质不定积分的性质三ceceedxedxedxxedxxxdxxxdxxxdxxxcxcxdxxdxxxxxxxxx22323221333ln12)2ln()2()2(2)7()cos3()6()1()5()5()4(1)
5、3()2(211311)1(.举例四cxxdxxdxdxxxdxdxxxcxxdxxdxxdxxxdxxxxxtan sec )1(sectan)10(1)9(lnarctan 111 )111()1(1)8(222242222cxxdxdxxdxxxcxxxdxdxdxxdxxdxxcot4 csc4)2sin(1 2cos2sin1)12()sin(21 cos21 )cos1(21)cos1(212sin)11(22222求证毕验证得由复合函数的求导法则证且存在则上有定义并有原函数在上可导在设第一换元积分法定理法我们引出如下换元积分由复合函数的求导公式换元积分法一法换元积分法与分部积分
6、)()()()()()()()()()(,)()(),(,)(,)(,)()(1.,.2 )()(xxgxugxuGxGdxdcxGdxxxgdxxxguGugxbaxuxuxucxxxxdxxdxxxxxxdxxxxxxxdxcxxcxxxdxxdxxdxxxxddxxxxdxxdxdxaxxdxxdxxxdxxaxdxxtansecln )tan(sectansec1tansectansecsectansec)tan(secsecsec:sin1sin1ln21sin1ln21sin1ln21)sin1(sin1121)1(sinsin1121)(sin)sin11sin11(21 sin
7、1)(sincoscossec:sec 6 1 5 2cos3cos 4sin 3 1 2 cossin 1222222223另外解例例例例例例cxGdtttfdxxfbadxxftGttfbaxftbtatxdtttftxdxxfugduugdxxfxudxxxgdxxfxt)()()()(,)(),()()(,)(,0)(,)(,)()(2.)()(,)(,)(.)()()(),(.)()()(,:1)(1且上存在在则有原函数且上有定义在又设且上可导在设函数第二换元积分法定理求出的得到容易代入后经适当选择另有一些不定积分的原函数容易求出使得化成把即适当选取的形式凑成积表达式关键是设法把被使
8、用第一换元积分法从上面几例可以看出注caaxaxctttdtdttattaatatdttaaxdxtdttadxttaxaxdx22222222lntanseclnsectantansec)sec(tansec tansec,20,sec:8则令解求例 0,)(11 10.tanseclnsectansec,sec2,tan:)0(922263222222222aaxdxtxxxdxctttdttaatdtaxadxtdtadxttaxaxadx求例令求例则令解求例)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(.)()(,)()(,)()()(
9、3.,.xduxvxvxudxxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxudxxvxuxvxudxxvxudxxvxudxxvxuxvxu由于证并有也存在则存在且不定积分可导与若函数分部积分法定理分法我们引出另一个基本积由乘积的求导方法分部积分法二)cossin:(cos 1622)(2222 15.21coscoscossinsinsinsincoscos 12222222222222cebabxabxbbxdxecexeexdxexeexxdeexdxexexdxxeexdxeexdexdxexxxdxdxxcxxxdxxxxdxxdxxxdxxaxaxxxxxxxxxxxxx
10、xxxx结果求例求例）（求例cxxxxdxxxdxxxxxxxdxxxdx)1ln(21arctan)1(1121arctan1arctanarctanarctanarctan 132222例cxxxdxxxxxdxxxxxdxdxx44344443161ln4141ln41ln41ln4141lnln 14 求例)cossin:(cos 1622)(2222 1522222222222cebabxabxbbxdxecexeexdxexeexxdeexdxexexdxxeexdxeexdexdxexaxaxxxxxxxxxxxxxxxxx结果求例求例.,.:.,;,.0,0,),2,1,0,2
11、,1,0(,)()()(:.3 00110110定积分不从而只须讨论真分式的容易的而多项式的不定积分是之和分式与一个多项式假分式总可化为一个真由多项式除法可知称为真分式若称为假分式若且为实常数其中其一般形式是式的商所表示的函数有理函数是指两个多项有理函数的积分一函数的积分有理函数和可化为有理nmnmbamjnibabxbxbaxaxaxQxPxRjimmmnnn04,04,)(2.,0)()()()()(,)()(1220220110srqpmulkulkbsrxxqpxxbxaxbbxbxbxQxQulkmmm为正整数其中即次质因式的乘积系数的一次因式和二总可以唯一地分解成实任何实系数多项式
12、实系数多项式分解定理定理.04,04 ,)(2,.0.,1)()()()()()()()()()()(:)()(,)1()()(2220111112102211222222111221110110srqpmulkulkbSRSRQPQPBBAAAbsrxxSxRsrxxSxRqpxxQxpqpxxxQxpqpxxQxpbxBbxBaxAaxAaxAnmbxbxbaxaxaxQxPxQxPxQuulkuuullkkmmmnnn为正整数为实常数其中式一地分解为下列部分分可以唯则真分式式已化成若部分分式定理定理dttBdtttAdttBAtdxqpxxNMxcdxmdxdxmcdxdxdxmqpdx
13、qpxxNMxdxdxnnnnmmnm)(1 )()()(,),2()()(1)1(1)(1,1 ;ln1,1),1()04()()2()()1(:)(22222222122有进行适当换元对于第一换元法时当时当对于述两种类型的积分的积分都可分解为求下真分式看到任何有理函数由定理nnnnnnnnnnnnnnnnnnInnttnIInnItttdtntdtnttdtttnttdtttntttdtIctntdtdtttn2222112221222222212222222122222221222222222)12()(2122)()(2)(2)()(2)()(2)()(,)(1)1(21 )()(12
14、1)(1,n ,1可得部积分法而右端第二个积分由分对于若若1,1,1,2,11 )2(228425109422)1()2)(2(8425842510942 1arctan11)1(232)(1(22223452342223452345234221121222EDCBAxxEDxxCxBxAxxxxxxxxxxxxxxxxxxdxxxxxxxxxxctdttIInntntInnn由定理求例于是归结为计算即1,1,21,21,21 )1(11)1)(1(2)1)(1(2 22222222EDCBAxEDxxCBxxAxxxdxxxx求例)21()23()21(15112211ln215)12(21
15、12)1)(1(123;1,2,1;2;1,)1)(1()()()()1)(1()(1()1()1)(1(12,.11)1)(1(12:)1)(1(1222222222222222222xdxdxxxxxdxxxxdxxdxxxxxxCBACABACBAxxxCAxBACxBAxxxCBxxxxAxxxxxxxCBxxAxxxxxdxxxxxx则令解dttttttRdxxxRdttdxttxxxttxxxxtdxxxR2222222222212)11,12()cos,(sin12112tan12tan1cos 122tan12tan2sin,2tan)cos,(sin.所以由万能公式令型的积分
16、三角函数有理式二)2cos2sin1:(2tanln212tan2tan41 )ln22t(21 12)111(12121)cos1(sinsin112,2tan:)cos1(sinsin1 32222tan2222222xxcxxxcttdttttttttdxxxxdttdxxtdxxxxxt巧用方法二则令方法一求例由于cxbaabbxaxddxbxaxxbxadxxuxbxadxcxxdtttttdxxxdttdxxtdxxx)tanarctan(1 tan)(tantancos1cossintancossin 5)2tan21arctan(232cos3ln )1)(2(323cos3s
17、in312,2tan:cos3sin3 42222222222222222222更简便有时令求例则令方法一求例cxxxxxxdttdttdttttdxxxxdtttdxttxxxtdxxxxtdcxbaxtbcadndxdcxbaxxRnn22arctan2)2()2(1)2()2(1ln )1111(2)1)(1(4221)1(8,1)1(2,22:221 6.,0,1,),(.222222222所以令解求例的有理函数积分它化为就可将只须令且其中对于这类积分型积分三cxxxxxIdyyIyxxxxxdxIxxxxxxxxxxdxIxtxxtxxxxxxxdx33333333232332232
18、32222 321 2arctan312ln231321)21()2()21()2()2()2()1()2()1(:)2()1(8,11:)(12 )2)(1(2:2)1(令由于解求例也可令法二其目的是去掉根号故可令由于法一解求例cxxxxxxxItdtdyttydyyyyIxyxxxxxxxdxxIaxaxaxdxIdxcbxaxxR)52(31arctan3152152ln21sec2 )2(tan24)3(3,1,4)1(5252)42()4(102,sin)0(9),(.22222222222222再令于是故令因求例令求例型积分四cxxxxxxIxtcttdtttttttttIdttt
19、tdxttxtxxxxxxdxI1111ln,11ln )21(121111212)21(12 211 .1:1 1122222222222得代到将所以于是令解求例baiiiniiiniiniiiiiiiiinnndxxfxxfxxfSSxxxxfSinbxxxxxabxaxnSxbxaxxfy)()(limS:4)()(:)3 )(:)2.,.,1:)1.,),(.1.1101111112100求极限曲边梯形的面积求和之间与介于个小曲边梯形的面积第近似个小曲边梯形形成即并令个分点插入分割轴所围成面积设为及求曲边梯形的面积问题的提出一定积分第五章.,31,61)-1)n(2n-(n )1(1
20、1)1(.1,0 31231212的以验证所得结果是相同可点的函数值区间的右端点的值或中如果小矩形的高取各小得的面积为曲边的曲边梯形上以抛物线求在区间例SnninnniSSSxynininii)()(lim:)4()()(:)3(.)(,:)2(.:)1(.21101111111210iiniiniiniiniiiiiiiiiiiinnxxfWxxFwWxxxFWxxWbxxxxxanbaxFm求极限总功求和之间为介于则所作之功表示变力从用近似个小区间如图得到分割所做的功至移动轴由点的作用沿受力求单位质量的质点求变力所作的功baniiibaiiinniiiiiiiiiiinnnnnnnxfdx
21、xfdxxfbaxfIIsxxbaxxxxfsnixfxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnbabxxxxxababaxf,)(limI)(,)(),(,)(.,0,max)(),2,1()()(),(,:,)(.101211111122011121101210即记作积分简称上的定积分在区间为函数这时我们称这个极限有确定的极限和时只要当怎样取法上点区间也不论在小怎样分法如果不论对记并作出和的乘积与小区间长度作函数值之间和介于上任取一点在每个小区间各个小区间长度依次为个小区间分成把区间中任意插入若干个分点在上有界在设函数定积分定义二定积分的几何意义记作上的定积分在区间是则称成立总存在只要中
22、怎样取法在不论的任何分法使得对于区间一个正数总存在如果对任意给意的正数设有常数述如下确地表上述定积分定义可以精说法利用为积分区间称称为积分下限叫做积分下限为积分变量称叫做被积表达式叫做被积函数其中.)(,)(I,I)(,:,.),.,)(,)(11baniiiiiidxxfbaxfxfxxbaIbabaxdxxfxf.,)()3(;,)()2(,)()1(,)(;)(,)()(.)()()(.上的单调函数是闭区间或且只有有限个间断点上有界在或上连续在上可积的充分条件是在函数在该区间上有界上可积的必要条件是在函数叙而不证分条件定积分存在的必要及充三即母无关而与字于被积函数与积分区间当然定积分的值
23、只决定代数和面积的轴上分部分与下分部分定积分的值是曲线在baxfbaxfbaxfbaxfxfbaxfdvvfdttfdxxfxbababa10222222222222222222222222222222222224)41342241(lim,141141434324241342241)1(41242141.)41342241(lim1.dxxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn则，令成定积分形式表示将例有关定积分定义的例子baabaaniiinnnnninnknbaabxdxbdxxfbxfbnbbniabbnnaxbnaxnbaxaxnbxnbaabaaxxxfbn
24、nanbaanbbaxxfknn)cos(cos1sin1)(1)(lim1)sin(lim1:1,2,),sin)()1sin()sin(sin1lim0,3)2arctan21,411)(4lim2101012102122原式，应用定积分定义其分点分别为则等分分成将区间考虑求为常数设例原式考虑求例babccabababababaabbabadxxfdxxfdxxfkdxxfkdxxkfdxxgdxxfdxxgxfdxxfdxxfbadxxfba;)()()(:3);()()(:2;)()()()(:1.;)()(,)2;0)(,)1:.性质为常数性质性质的定积分均存在以下假定各性质所列出时
25、时补充规定定积分性质四bababababababababababadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfxfxfxfbadxxfdxxfdxxgdxxfxgxfbabadxxfxfabdxxfxf)()()()()()()()(:)()()(:2)()()(),()(,:1)(0)(,0)(:5)(,1)(:4即证推论单调性则上如果在区间推论则若性质则若性质bxxgfdxxgxfbabaxgbaxgxfabfdxxfbabaxfbaabMdxxfabmbaxfmMbabababa)()()()(,)(,)()()(8:.)()(.,),)()(7)()()()(,)(,:6使得点上至少存在一
26、则在上不变号在且上连续在闭区间与若推广的积分中值定理性质几何解释定理这个公式称为积分中值使得下式成立上至少存在一点续则在积分区间上连在闭区间如果函数定积分中值定理性质则上的最大及最小值在区间分别为设性质:.)()()(,)()(,)(2:.,)(,)()()(,)(,)(:1.证莱布尼兹公式此公式称为牛顿则上一个原函数在为上连续在若定理证明原函数上的一个在是定义的函数上的定积分所在则由上连续在若微积分学基本定理定理定积分的计算五baxaaFbFdxxfbaxfxFbaxfbaxfbaxdttfxbxxaxfbaxf )(:2 sin:1.,:)()()()()()()()()()(,)()(2
27、200为正整数计算例计算例原函数问题变成了求被积函数它使得计算定积分问题重要应用学基本定理的一个莱布尼兹公式是微积分牛顿注即令则令ndxxxdxaFbFdxxfaFbFdttfbxaFxFdttfaFcaxcdxtfxFnxaxaxaxa:)(,)()(3.,)(2.313)3()1()(.3,1:310312302满足下列条件函数上连续在若函数定积分换元积分法定理算定积分的方法中来方法移植到计从而可把求不定积分的问题定积分或不结为求原函数看到求定积分问题已归从定理法换元积分法与分部积分二曲边样形的面积且坐标轴所围成的直线计算由曲线例txbaxfdxxdxxdxxfSSyxxy)()()()(
28、)()()()()(.)()()(,)()(.,:)()()(,)()3(;)(,)()2();()(,)()1(aFbFFFdtttfaFbFdxxfttftFbaxfxFdtttfdxxftbatbtatbaba于是原函数是可知由复合函数微分法上的原函数在为设而且原函数也存在积从而不仅可积函数连续由于等式两端积分中被注则上连续在且上连续在),(1)1ln(6cossin514.,)(,.,:10220102积分的值但仍可求出定利用莱布尼兹公式也就无法因此牛顿表达的分是不能用初等函数来与此例中相应的不定积计算例计算例计算例也可以右端得到左端右端公式可以从左端推到另外由证明中还可看到它相对应与
29、都有唯一确定的从而使每一个单调上严格在在换元时应要求但要注意下限就可以了只要相应改变积分的上回到求出其原函数后不必变的函数变成当被积函数的变化应用换元法时说明dxxxJtdttdxxtbaxtxxtx4040404022102cos)4cos(4cos2ln cos)2cos(coslncossincosln )tan1ln(40:10:1)1(,tan:1)1ln(6dtttdttttdttttdttJtxdtxdxdtxdxtxdxxxJ也即则令解计算例)32(ln82ln42ln)ln(cos)()ln(cos)4lncos(,04:40:,4)4lncos(2cosln)4lncos(
30、2ln24040044040404040项相互抵消项与第中第则令个乘积分对第JdtJduuduudttdudtututdtttdtdttdt.)()()()()()(,)()()()()()(,),()()()()()()()()()()()(,)(),()(4从而证得定理莱布尼兹公式得应用牛顿的一个原函数在为可见证由于则导函数上有连续在若定积分分部积分法定理bababababadxxuxvdxxvxuxvxubaxuxvxvxuxvxubxaxuxvxvxuxvxudxxuxvabxvxudxxvxubaxvxu2212232212 3212221221sin,2)2(1 )1()1(sin
31、)1(sin)1(cossin)1(|cossinsinsin,2:cossin 8 721220120022202022022201201202010mmmmJmmmmJxdxJdxJnJnnJJnJnxdxnxdxnxdxxnxxxdxxJnxdxxdxJdxxemmnnnnnnnnnnnnnx由于时解计算例计算例.,)(),)(,;)(,)(lim)(,)(,)(,)(lim,),)(1.sin)2(coscos,2200220称为发散习惯上就没有意义上的广义积分在无穷区间函数如果上述极限不存在收敛也称广义积分这时即记作上的广义积分在无穷区间则称此极限为函数存在如果极限取上连续在区间设函
32、数定义无穷限广义积分一广义积分同的因而这两个积分值是相时当令aaababababnnndxxfaxfdxxfdxxfdxxfdxxfaxfdxxfabaxftdtdttxdxtx000000)(lim)(lim)()()(,)(,),()(,)()(,),()(.)(,;)()(lim)(,bbaabbbabadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfxfdxxfdxxfxfdxxfdxxfdxxfdxxf即记作上的广义积分穷区间在无为函数则称上述广义积分之和都收敛与如果广义积分上连续在区间设函数发散就称广义积分如果上述极限不存在收敛此时也称广义积分可以定义类似地dxx211 1计算广义
33、积分例)1,1(,1;1)0(.3)0,(.2 0arctanlim0arctanlim 11lim11lim 111111:)(0020202022两种情形讨论及分时发散当时收敛当证明广义积分例且是常数计算广义积分例解本题的几何解释ppppaxdxppdttebxaxdxxdxxdxxdxxdxxapptbabbaababababadxxfdxxfdxxfbaxfdxxfabaxf)(lim)(,)(,()(.,)(lim,0,()(200即仍然记作上的广义积分在则称此极限为函数存在如果极限取的右邻域内无界而在点上连续在设函数定义无界函数广义积分二.发散称广义积分否则则定义都收敛与如果两个广
34、义积分无界的领域内而在点外连续上除点在设函数发散就称广义积分否则则定义存在如果极限取无界的左邻城内而在点上连续在说函数类似地发散就称广义积分如果上述极限不存在收敛这时也称广义积分babccacabcbabccababababababadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfcbcacbaxfdxxfdxxfdxxfdxxfba,bfdxxfdxxf)(,)(lim)(lim)()()(,)()(,)(,)(.)(,)(lim)(,)(lim,0,)(x),.)(,;)(0000102001211010201221120221lim1lim111.1 5)0(4dxxdx
35、xdxxdxxdxxdxxaxadxa的收敛性讨论广义积分例几何解释计算广义积分例 1 ,1 ,1)(|1)()(,1|)ln(|)ln(limlim)(,1:1100qqqababqaxaxdxqabaxabaxaxdxaxdxaxdxqqqbaqbababaq时当时当证明.1;1)(1:6时发散当时收敛在证明广义积分例qqdxaxbaq.,)(.非正常积分由无界函数为瑕点内任何闭区间上都可积在设正常积分积分都可化为无穷限非任何无界函数的非正常两种非正常积分的联系二axbaxf就有只要令积分同样对于无穷限非正常非正常积分这时上式右端是无穷限于是其中则有若令,)(lim)(.)()(lim)(
36、1,1)1()()(1)1()(,11021112xaudxxfdxxfduuduudxxfabkuuafuduuduuuafdxxfx-auAaAakkbakbaab )(lim)(:0babadxxfdxxf定义知.,0),()()()(lim)()()()(21011212分为无界函数的非正常积即上式右端是它的瑕点其中于是uuafuauduuduudxxfduuafuaduuauafdxxfAaaAAaAaAa第六章 定积分应用第一节 定积分元素法.)()3(;,)2(;,)1(:)(A,)(A),()(,AA.,A来处理考虑用定积分的元素法那么就可以部分量可近似地表示为具有可加性是对于
37、区间有关的量的变化区间是一个与变量下列条件记作称为面积元素故则为取左端点这样的面积上的小曲边梯形表示任一小区间用回忆定积分的几何意义曲边梯形的面积iiixfubaUbaxUdxxfddxxfxffxdxxx.42 231332)(A,)(A,.,:1 .210103232222的面积所围成的图形与直线计算抛物线例则素为面积元为积分变量取横坐标面积所围成的图形的计算由两条抛物线例直角坐标情形一平面图形的面积第二节xyxyxxdxxxdxxxdxxyxy.,)(,.sin4)sin(sin4A,sincos4A4A1 30220202222现计算它的面积围成一图形及射线曲线设由面积比较方便用极坐标
38、来计算它们的某些平面图形极坐标情形二得代入上式利用椭圆参数方程所围成的图形的面积求椭圆例rabtdtabdttatbtbytaxydxbyaxa232022222342A )(21A.20)0(4)(21A,)(21Aadadadaarddd面积与极轴所围成的图形的的一段弧变到从上相应于计算阿基米德螺线例求曲边梯形面积为使得所上作定积分在闭区间为面积微元21220222022122123A2A4302sin41sin2232 )coscos21(2)cos1(21A)cos1(21A,A.)cos1(5aaadadadadar因而所求面积为则设上半部面积为所围成图形的面积计算心形线例.,),(
39、1)(,2形成的圆锥体体积轴一周所计算由此直角三角形绕围成一个直角三角形轴及直线的直线及点连接坐标原点例这直线称为旋转轴体直线旋转一周而成的立条平面图形绕这平面内一旋转体的体积是由一个旋转体的体积一体积第二节xxhxrhPodxxfvba.122222而成的旋转体的体积轴旋转所围成的图形绕计算由椭圆例xbyax03222202022221226sin)sin(sin)sin()()(Vatdtattatdtattadyyxdyyxaay323202320222025)coscos3cos31()cos1()cos1()(V.,0,)cos1(),sin(3adttttadttatadxxyyx
40、ytayttaxax体的体积轴旋转而成的旋转轴所围成的图形绕直线的一拱计算由摆线例tan3231tan21tan)(21V)195.(,4.,.33222RxxRdxxRpageRRRRR得立体的体积计算这平面截圆柱体所角并与底面交成的圆柱体的底圆中心一平面经过半径为例计算用定积分来这个立体的体积也可以那么的各个截面的面积于一定轴但却知道该立体上垂直体如果一个立体不是旋转立体的体积平行截面面积为已知的二.2/cos2V)(V,)(A.,5220222222体体积的一半积等于同底同高的圆柱由此可知正劈锥体的体即积为于是所求正劈锥体的体的正劈锥体的体积高为线段为顶平行且等于底面直径的的圆为底求以半
41、径为例hRdhdxxRhdxxARxRxRhyhxhRRRRR.,2)1()1(32:(.3211.:.2323232之间的一段弧与于计算悬链线上介为常数其中计算悬链线例答案的一段弧的长度到从上相应于计算曲线例首先复习弧微分公式直角坐标情形二光滑曲线弧是可求长的定理平面曲线弧长的概念一平面曲线的弧长第四节bxbxAaxAchyabbaxxydxyds)2 2 (.222,1,.20,:002xxxxxxxxbbeeeechxshxthxeechxeeshxabcshaxshadxaxchsdxaxchdxaxshdsaxshybx双曲正切双曲余弦双曲正弦所求弧长为因此从而弧长元素倍一段曲线弧长
42、的的到从要计算的弧长为相应于运用对称性解dtttsdtttdttdttdydxdsdtttttttytx)()()()()()()()()(,t .,)(),(,)()()(.2222222222于是所求弧长为长元素为即弧弧微分值的小弧段的长度的近似应于相它的变化区间为为积分变量取参数长公式现在推导弧上具有连续导数在其中给出设曲线弧由参数方程参数方程情形三drrsdrrdyxdsryrxrrrdadaadsayax)()()()()()()()(;sin)(cos)(,.,)(,)(),(.,2sin2sin)cos1(:.)20()cos1()sin(32222222222从而所求弧长为于是
43、为参数的参数方程这是以首先推导计算弧长的公式上具有连续导数在其中给出设曲线弧由极坐标极坐标情形四弧长元素为解的长度的一拱计算摆线例.20)0(4一段的弧长到从相应于求阿基米德螺线例aarabkdxxkWdxxkdwbabaln)(.,S 1.从而功元素气体压力所作的功计算有移动过程中处处推向从把容器中的一个话塞由于气体的膨胀在等温条件下定量的气体的圆柱体容器中盛有一在底面积为例变力沿直线所作的功一水压力和引力功第五节.,3.,.?,m,3m,5 2压力受的计算桶的一个端面上所水的比重为底半径为设桶的桶内盛有半桶水桶一个横放着的圆柱形水例为平板一侧所受的水压力那末处的平板放置在水深为如果有一面积为是水的比重这里深处的压强在水深为从物理学知道水压力二吸出需作多少功试问要把桶内的水全部了水桶内盛满底园半径为一圆柱形的贮水桶高为例rRApPhArrhph0,(*)412 )()(.,5.32)(32)()(2222222322232230232200222122222yllxxRRRFlaacGmdyyaGamFdyyaamGdFMMmalRrxRrrRdxRrdxxRrxPdxxRrxdP由对称性知的引力棒对质点试计算该的质点单位处有一质量为垂线上距棒在其中的均匀细直棒线密度为设有一长度为例引力三于是
