1、（五）多维问题（五）多维问题22220(),0,1,0(0)(,0)(,),(5.1)(0,)(1,)(,0,)(,1,)0uuuax ytatxyu x yux yuy tuy tu xtu xt (,)|0,1,0(,)|=,=0,1,1=,=0,1,=,0hnnnjlnDx y tx ytDxytxjh jJJhylh lJtnn ，1.一维格式的直接推广一维格式的直接推广21,1,2,1,122nnnnxjljljljlnnnnyjlj ljlj luuuuuuuu 1222(),nnnnjljlxjlyjluuauuh 其中22()Ohh 截断误差截断误差12=ik jhik lhn
2、njluv ee+112=1+2(cos1)+2(cos1)nnvak hak hvFourier方法分析稳定性：方法分析稳定性：引入记号引入记号1222()nnjljlnnxjlyjluuauuh 向前差分格式向前差分格式221212(,)14sinsin22(,)k hk hGkakk k P维显格式稳定性条件为维显格式稳定性条件为12ap 1|(,)|14Gka二维或高维情况显格式不合适二维或高维情况显格式不合适2212121(,)14sinsin22(,)Gkk hk hakk k 1222()nnjljlnnxjlyjluuauuh 转向考虑隐格式转向考虑隐格式22()Ohh 无条件
3、稳定（绝对稳定）无条件稳定（绝对稳定）截断误差：截断误差：|(,)|1Gk 121212()()2nnjljlnnnnxjljlyjljluuauuuuh 221222121212sinsin22(,)12sinsin22(,)k hk haGkk hk hakk k 无条件稳定（绝对稳定）无条件稳定（绝对稳定）为提高精度，采用为提高精度，采用Grank-Nicolson格式格式|(,)|1Gk 222()Ohh 12221()nnjljlnnxjlyjluuauuh 一维隐格式：绝对稳定，系数矩阵为三对角矩阵一维隐格式：绝对稳定，系数矩阵为三对角矩阵 并可用追赶法求解并可用追赶法求解 12a
4、p 高维隐格式：绝对稳定，但系数矩阵非高维隐格式：绝对稳定，但系数矩阵非 三对角矩三对角矩 阵，不能用追赶法求解，计算量大。阵，不能用追赶法求解，计算量大。显格式：稳定性限制严格显格式：稳定性限制严格212121)2()njlnnxjlyjnjlnnljljluuuauuhu Alternating direct implicit method隐格式将隐格式将问题问题:一维模型的隐格式一维模型的隐格式可用追赶法计算可用追赶法计算 多维模型的隐格式多维模型的隐格式,系数矩阵是块三角矩阵系数矩阵是块三角矩阵,追赶法失效追赶法失效,需要采用迭代算法需要采用迭代算法?多维模型可否能建立追赶法计算的隐格
5、式多维模型可否能建立追赶法计算的隐格式!2.交替方向隐式格式交替方向隐式格式2222,uuxy同时在同时在n+1层取值，并无条件稳定层取值，并无条件稳定2222,uuxy 同时在同时在n层取值，条件稳定层取值，条件稳定显格式将显格式将P-R：Peacemen-Rachford格式格式D:Douglas格式格式LOD：Locally One Dimensional Method，局部一维法局部一维法PC：Predict-Corrector Method，预校法，预校法 ADI（Alternating Direct Implict Method 交替方向隐式法）以及相关格式交替方向隐式法）以及相关
6、格式（1 1）PRPR格式（二阶精度、绝对稳定）格式（二阶精度、绝对稳定）第一个第一个ADI格式格式P-R(Peaceman-Rachford)格式格式是是1955年提出的年提出的,将第将第n层至第层至第n+1层的计算分成两步层的计算分成两步特点特点:引入过渡层引入过渡层优点优点:追赶法追赶法+无条件稳定的隐格式无条件稳定的隐格式缺点缺点:无条件稳定仅对二维模型成立无条件稳定仅对二维模型成立2211222211222121()()/2()()/2nnjlxjlnjlnyjnjlnyjlnnjlxljluauahuuuuauhub 基本思想：将每个时间步分为两个小时间步，基本思想：将每个时间步分
7、为两个小时间步，即分数时间步，每个空间维对应一个小时间即分数时间步，每个空间维对应一个小时间步，在第步，在第i个小时间步，采用第个小时间步，采用第i个空间变量个空间变量用隐式，另一个空间变量为隐式的格式。用隐式，另一个空间变量为隐式的格式。2211222211222121()()/2()()/2nnjlxjlnjlnyjnjlnyjlnnjlxljluauahuuuuauhub X方向隐方向隐Y方向隐方向隐1122222111222122()()/2()()/2nnnjljlnxjlyjlnnnjljlnxjlyjluuauuahuuauubh 112212221121222)/242)nnn
8、jljlnnxjlyjljlnnnnnjljljlyjljluuaauuuhhauuuuuh （，（）（相加相减，依次得相加相减，依次得(),()ab11222222421142nnnnjljljljlxyxyuuuuaahh （）（）12njlu 所获两式消去过渡层所获两式消去过渡层得得利用利用Taylor展式得展式得221222224122(,)(,)114(,)(,().,2jlnjlnxyjlnjlnxyu xy tu xy tahu xy tu xy tahOh （）（）112212221121222)/242)nnnjljlnnxjlyjljlnnnnnjljljlyjljluua
9、auuuhhauuuuuh （，（）（考察格式稳定性，将考察格式稳定性，将得增长因子得增长因子221221(11(1,2222nnxyjkxyjkaaaauu （）（）11222222421142nnnnjljljljlxyxyuuuuaahh （）（）变形为变形为12(),i k jh k lhnnjluv e 令22122212(12sin)(12sin)22(,)1(12sin)(12sin)22k hk haaGkk hk haa 故故PR法绝对稳定，并且为二阶格式法绝对稳定，并且为二阶格式三维情形，三维情形，PR 格式不再无条件稳定格式不再无条件稳定221221(11(1,2222n
10、nxyjkxyjkaaaauu （）（）221221(11(1,2222nnxyjkxyjkaaaauu（）)（)1122222111222122()()/2()()/2nnnjljlnxjlyjlnnnjljlnxjlyjluuauuahuuauubh PR格式格式12222121211(1,222(12nnxjlxyjknnyjkjlaaauuauu （）（）Dyakonov格式格式二阶精度绝对稳定二阶精度绝对稳定(2)Douglas格式（格式（1964年提出）年提出）221221(1)1(1),2222nnxyjlxyjlaaaauu（）()1222221122(1()()2(1()2n
11、njljlnxxyjlnnnnjljljljlyuuaauahuuuuab 分分裂裂）变形为变形为1222221(1,22nnjljlnxyxyjluuaaauh （）（）由由PR格式的等价形式格式的等价形式1222221122(1()()2(1()2nnjljlnxxyjlnnnnjljljljlyuuaauahuuuuab ）112212()()()2nnjljlnnyjljluuabuubh ()()abDouglas格格式式122222112212(1()2().2nnjljlnxxyjlnnjljlnnyjljluuaauhuuauuh ）Douglas格式也是交替方向隐格式，格式也
12、是交替方向隐格式，精度及稳定性完全同精度及稳定性完全同P-R格式，格式，同时出现同时出现 ，存储量大，存储量大，但是可以推广到三维。但是可以推广到三维。112,nnnjljljluuu 隐格式：新的时间层隐格式：新的时间层具有多于一个节点具有多于一个节点1322222212332322132121(1)()21()21()2nnjlmjlmnxxyzjlmnnnjlmjlmnyjlmjlmnnjlmjlmnnzjlmjlmuuauhuuuuhuuuuh 3维维Douglas格式格式优点优点:追赶法追赶法+无条件稳定的隐格式无条件稳定的隐格式 是三层格式，比是三层格式，比PR格式多一层存贮，格式
13、多一层存贮，但是易于推广到高维但是易于推广到高维Douglas格式格式特点特点:引入过渡层引入过渡层+替换替换二维：利用二维：利用PR格式存储量少格式存储量少三维三维:D格式格式3.局部一维格式局部一维格式112222111122221()222(2)1()222nnnnjljljljlxnnnnjljljljlyuuuuahuuuuah 12221112222122(1)122nnjljlnxjlnnnjljlyjluuauhuuauh 利用最简显式的利用最简显式的LOD格式格式CN型型LOD格式格式基本思想：将一个时间区间基本思想：将一个时间区间分成分成n个子区间，用一种差分个子区间，用一
14、种差分格式来近似代替一维方程格式来近似代替一维方程221,0,1,suusnntx122212122(1)(1)22(1)(1)22nnxjlxjlnnyjlyjlaauuaauu CN型型LOD格式改写为格式改写为221221(11(1,2222nnxyjlxyjlaaaauu （）（）与与P-R格式等价格式等价但但LOD格式可推广至三维格式可推广至三维112222111122221()222(2)1()222nnnnjljljljlxnnnnjljljljlyuuuuahuuuuah 4 4 预测预测-校正法（校正法（PCPC）11424211124222112222()/2()/2)()
15、nnnjljlxjlnnnjljlyjlnnnjljlxyjluuauahuuaubhuuauhc （基本思想：分为两步：分为两步：2nt 时的近似解时的近似解;b)再在再在 用用 二阶精度格式计算二阶精度格式计算1,nntt nt 的近似解的近似解a)先用一阶精度格式给出先用一阶精度格式给出预测，预测，LOD隐式隐式校正，显式校正，显式+1nntt到222)1222(22xynnxyjljlahaaIIuu 同乘（）1142412411124222()/2,()/2nnnjljlxjlnjlnnnjljlyjluuauahuuuaubh 先由消去得与与D格式格式等价等价1222221(1()
16、22nnjljlnxyxyjluuaaauh （）2122222222)1(1)22nxyxnjlyyjlxaaauauhh （）（112222)()nnnjljlxyjluuauch （5.跳点格式（无条件稳定，二阶）跳点格式（无条件稳定，二阶）一维跳点格式可以直接推广到二维一维跳点格式可以直接推广到二维222()nnhjlxyjlaL uuh1+1nnnjljlhjluuL u 显格式显格式隐格式隐格式为奇数为奇数为偶数为偶数1nnnjljlhjluuL u 1,+=0+njln j ln j l ，11+1(1)nnjlnnnnjljlhjlhjljluuL uL u 引入差分算子：引入
17、差分算子：令令两式相减两式相减11+1+2+111+1()=2nnnnnnjljljlhjljlhjlnnnjljljlnnnnnnjljljlhjljlhjluuL uL uuuuuuL uL u 偶:显以后可按奇:（隐，实际显）+2+1=2()nnnjljljluuu njl 偶偶相邻相邻时间时间层层11+1212+21+1nnnnnnjljljlhjljlhjlnnnnnnjljljlhjljlhjluuL uL uuuL uL u 20(),nnjljlnjl 偶偶njlu 已知1njl 11+1(1)nnjlnnnnjljlhjlhjljluuL uL u (,)j l(1,)jl(
18、,1)j l (1,)jl(,1)j l 已知已知未知未知1njl 奇奇1n 层层平平面面6.三维问题三维问题222222uuuuatxyz 1222nnnjlmjlmxyzjlmuuau 12221nnnjlmjlmxyzjlmuuau 显显隐隐C-N，无条件稳定，无条件稳定，二阶精度，二阶精度，但必须使用但必须使用ADI方法计算方法计算 122212221212nnjlmxyzjlmnnjlmxyzjlmuauuau 16a 无条件稳定无条件稳定2222()Ohhh 222()Ohhh 条件稳定条件稳定1222321222332212231133311,33311333nnxjlmyzjl
19、mnnyjlmxzjlmnnzjlmxyjlmaaauuaaauuaaauu （）（）（）（）（）（）222()Ohhh 运用较少运用较少PR 格式格式(222132222221)(1)(1(-)222()()4nnxyzjlmjlmnnxyzjlmxyzjlmaaauuaauu （）122212221212nnjlmxyzjlmnnjlmxyzjlmuauuau 22212221)(1)(1)2221)(1)(1)222nxyzjlmnxyzjlmaaauaaau（222132222221)(1)(1(-)222()()4nnxyzjlmjlmnnxyzjlmxyzjlmaaauuaauu
20、（）本章介绍了经典的有限差分方法求解抛物型问题的本章介绍了经典的有限差分方法求解抛物型问题的显格式、隐格式（包括显格式、隐格式（包括ADI格式）格式）显格式的优点是格式构造简单，每个分量显格式的优点是格式构造简单，每个分量可以独立求解；可以独立求解；隐式构造比较复杂，各分量隐式构造比较复杂，各分量 需要联立求解，优点需要联立求解，优点是稳定性好，一维问题追赶法有效，而对于高维是稳定性好，一维问题追赶法有效，而对于高维问题的问题的ADI格式，可以通过求解一系列具有主对角格式，可以通过求解一系列具有主对角占优三对角系数矩阵的线性方程组来高效求解。占优三对角系数矩阵的线性方程组来高效求解。课堂练习课
21、堂练习1.P维扩散方程显格式稳定性条件是什么？维扩散方程显格式稳定性条件是什么？交替方向隐式格式的引入是为了解决什么交替方向隐式格式的引入是为了解决什么问题？问题？海潮引起初始水位倾斜的滨海海潮引起初始水位倾斜的滨海承压含水层地下水位变化的数值模拟承压含水层地下水位变化的数值模拟 2200(,0)2(0,)sin,LLHS HxTtHH xxLtHtHtH L tH 用隐格式离散为：用隐格式离散为：111111200002,0,1,2sin,0,1,nnnnniiiiiLinLhhhhhSTtxHhxiimLnhHnht 线性代数方程组采用传统的求解三对角方程组的追赶法，最终将线性代数方程组采
22、用传统的求解三对角方程组的追赶法，最终将解随时间的变化曲线画出来，可以分析出滨海水位与海潮的一样具解随时间的变化曲线画出来，可以分析出滨海水位与海潮的一样具有相同周期，但时间上滞后，其水位变化幅度与海岸线的距离具有有相同周期，但时间上滞后，其水位变化幅度与海岸线的距离具有衰减性，越远水位变化幅度越小。衰减性，越远水位变化幅度越小。2221110,01,0,(,0)sin,01,(0,)(1,)0.0,(,)sin.max|(,)|.tkikii mk nuuxttxu xxxututtu x texEu x tu 精精确确解解为为用向前差分格式，向后差分格式用向前差分格式，向后差分格式Cran
23、k-Nicolson格式来求解，取格式来求解，取2/,1.0hh为为0.1与与0.5进行计算进行计算。.sin),(2xetxut精确解0.5./,1.02hh显格式数值解，.|),(|kikiutxu显格式数值解在显格式数值解在t=0.1时的误差时的误差1/,1.02hh当采用显格式当采用显格式时，网格比不满足稳定条件，时，网格比不满足稳定条件，数值解不收敛数值解不收敛0.5./,1.02hht=0.1时显示格式，隐式格式，时显示格式，隐式格式，CN格式误差大小的比较。格式误差大小的比较。2()Oh 显格式当时间步长减少到原来的显格式当时间步长减少到原来的1/4，空间步长减少到原来的空间步长
24、减少到原来的1/2，误差减少到原来的误差减少到原来的1/4，收敛速度为收敛速度为。)(22hOCN格式当时间步长和空间步长同时减少到原来的格式当时间步长和空间步长同时减少到原来的1/2，误差减少到原来的误差减少到原来的1/4，收敛速度为，收敛速度为322()2221()211(1)2211(1)223(),0,12(,0),(0,),(1,),01,01(,0,),(,1,),01,01xytxyty tytx txtuuuex ytxyu x yeuy teuy teytu xteu xtext ，对高维问题的计算，不能不考虑交替方向隐式（对高维问题的计算，不能不考虑交替方向隐式（ADI）算
25、法，算法，ADI格式具有无条件稳定，求解快速的优点。本例对二维问题，格式具有无条件稳定，求解快速的优点。本例对二维问题，1x y2(,).tu x te（）精精确确解解为为利用利用Dyakonov交替方向隐式方法求数值解，并画出误差图。交替方向隐式方法求数值解，并画出误差图。12222212100(1)(1)(1),11222()().22nnxijxyijijnnjyjmjymjuufimuIuuIu ，21110011(),112(,),(,)nyijijnniinimimnIuujmuxy tuxyt Dyakonov交替方向隐式方法交替方向隐式方法2222()(,),(,)0,(,0)
26、(,),(,),(,)(,),(,),0.uuuf x y tx ytTtxyu x yx yx yu x y tx y tx ytT ，,0,0(,)max|(,)|ij ki j ki j mk nEhu xy tu (1/10,1/10)6.2389e-05 3.9822(1/20,1/20)1.5667e-05(1/20,1/20)1.5667e-05 3.9999(1/40,1/40)3.9168e-06(1/40,1/40)3.9168e-06 3.9978(1/80,1/80)9.7975e-07EEEEEE ，22()Oh 记，则当时间和空间步长当时间和空间步长同时缩小到原来的同时缩小到原来的1/2，误差缩小到原来的误差缩小到原来的1/4，收敛速度为收敛速度为.
