1、第二章 实数 一、想一想一、想一想1.1.有理数如何分类？有理数如何分类？有理数有理数整数整数(如如 分数（如分数（如 2.我们还学习过那些不同的数我们还学习过那些不同的数?如如圆周率圆周率 如如a2=2，b2=5中中的的a，b 不是整数，能不能化成分数呢？不是整数，能不能化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？那么它们究竟是什么数呢？,)1325,91 1,0.51,0,2,3.),0.020020002.二、活动与探究二、活动与探究活动活动1：面积为：面积为2的正方形的边长的正方形的边长a究竟是多少呢究竟是多少呢?a a的平方2.251.962.10252.04492.07362.01641.
2、98812.0022251.9993962.000527362.000244491.999961642.000810251.41.51.451.441.431.421.411.4151.4141.41451.41441.41431.4142边长边长a 面积面积s 1a21s41.4a1.51.96s2.251.41a1.421.9881s2.0164 1.414a1.415 1.999396s2.0022251.4142a1.41431.99996164s2.00024449 探索探索a是多少？是多少？a=1.41421356请大家用上面的方法估计面积为请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的
3、边长的正方形的边长b的值的值.22a22a又又b=2.23606797探索探索b是多少？是多少？结论：结论：a，b不是整数，能不能表不是整数，能不能表示成分数呢？示成分数呢？52b活动活动2：分数化成小数，最终此小数的形式分数化成小数，最终此小数的形式有几种情况？有几种情况？请同学们以学习小组进行活动请同学们以学习小组进行活动:一同学一同学举出任意一分数，另一同学将此分数举出任意一分数，另一同学将此分数化成小数化成小数.并总结此小数的形式并总结此小数的形式?结论：分数只能化成有限小数或结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数无限循环小数.即任何有限小数或无限循环小即任何有限小数或无限循环小数都
4、是有理数数都是有理数.所以所以a、b不是有理数。不是有理数。像像0.585885888588885，1.41421356，2.2360679等这些等这些数的小数位数都是无限的数的小数位数都是无限的,但又不是但又不是循环的循环的,而是无限不循环小数而是无限不循环小数.无限不循环小数叫无理数无限不循环小数叫无理数.(.(圆周率圆周率也是一个无限不循环小数也是一个无限不循环小数,故故是无理数是无理数)三、分一分三、分一分到目前为止到目前为止所学过的数可以分为几类？所学过的数可以分为几类？按按小数的形式来分小数的形式来分有理数：有限小数或无限循环小数有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数
5、无理数：无限不循环小数数数整数整数分数分数四、辨一辨四、辨一辨0.351,2,3例例1 把下列各把下列各数填入相应的集合数填入相应的集合.4.96,3.14159,-5.232332，12334567891011(由相继的正整数组成由相继的正整数组成).).36有理数集合有理数集合无理数集合无理数集合0.3 5 1,.4.9 6,2,3-5.232332-5.232332123345678910112334567891011 1,36，3.14159,(1)有限小数是有理数有限小数是有理数;（）(2)无限小数都是无理数无限小数都是无理数;（）(3)无理数都是无限小数无理数都是无限小数;（）(4
6、)有理数是有限小数有理数是有限小数.（）例例2 判断题判断题 1.无理数是无限不循环小数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数任何一个有理数都可以化成分数 形式（形式（p0,p，q 为整数且互质），为整数且互质），而无理数则不能而无理数则不能.qp强调以下各正方形的边长是无理数的是以下各正方形的边长是无理数的是（）A.面积为面积为25的正方形；的正方形；B.面积为面积为 的正方形；的正方形；C.面积为面积为8的正方形；的正方形；D.面积为面积为1.44的正方形的正方形.425例例3c例例4 一个直角三角形两条直角
7、边的长一个直角三角形两条直角边的长分别是分别是3和和5,则斜边则斜边a是有理数吗是有理数吗?35a解解:由勾股定理得由勾股定理得:即即a2 2=34.因为因为34不是完全不是完全平方数，所以平方数，所以a不是有理数不是有理数.22235a 五、练一练五、练一练 1.课本课本P23随堂练习随堂练习.2.已知：将下列各数已知：将下列各数 22n32,5,1.42,3.1416,430,4,(1),1.424224222.（1）写出所有有理数写出所有有理数；（2）写出所有无理数；写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号并用符号“”连接连接.本
8、节课你有什么收获？本节课你有什么收获？1.无理数的定义无理数的定义.2.你是怎样判断一个数是无理数你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？还是有理数的？3.请请把已学过的数怎样分类？把已学过的数怎样分类？设半径为设半径为a的圆，面积为的圆，面积为20.(1)a是有理数吗是有理数吗?说说你的理由说说你的理由.(2)估计估计a的值的值(精确到十分位精确到十分位,并利用你的计算器验证你的估计）并利用你的计算器验证你的估计）.(3)如果精确到百分位呢如果精确到百分位呢?（选用）探究活动探究活动解：解：a2=20=20，a2=20.(1)a不是有理数不是有理数,因为因为a既不是整数既不是整数,也不是分数
9、也不是分数,而是无限不循环小数而是无限不循环小数.(2)估计估计a4.4.(3)估计估计a4.47.24=25吗吗?小明自豪地对同学说小明自豪地对同学说:“我可以我可以证明证明24=25.”同学们都觉得同学们都觉得是天方夜谭是天方夜谭.课后探究：读一读，你有何收获课后探究：读一读，你有何收获?小明取一张方格纸如下图小明取一张方格纸如下图(1),),如图将它剪开如图将它剪开,然后拼成图然后拼成图(2)的的 正方形正方形.同学们数了一下同学们数了一下,图图(1)有有24个方格个方格,图图(2)变成了变成了25个个 方格方格.这把同学们都搞闷了这把同学们都搞闷了,你能揭穿他的骗术吗你能揭穿他的骗术吗
10、?事实上，事实上，3，4两块并不两块并不密切合缝，拼成的正方密切合缝，拼成的正方形缺少了图中的阴影部形缺少了图中的阴影部分分.你想出来了吗？你想出来了吗？是谁最早使用符号是谁最早使用符号表示圆周率表示圆周率?无理数无理数表示圆周率表示圆周率.是从什么时候开始用是从什么时候开始用表示圆周率的呢？为什么用字母呢表示圆周率的呢？为什么用字母呢？（答？（答案在拓展资源）案在拓展资源）开卷有益！开卷有益！数够用了吗?再见!人生本身就是一场与痛苦并存的旅行，并不像很多人想象得那么轻松，从生下来的那一天，我们就开始了人生的修行。无论你生长在怎样的环境中，你都会面临人生的各种难题。面对这些难题、困境，没有人可
11、以不流泪不流汗就轻轻松松地跨过去。经历得越多，越容易发现这个世界的真理越怕吃苦，越有苦吃。那些心灵真正富足的人，其实都不怕吃苦人生总要吃苦，有了苦才能知道甜，有了苦才知道珍惜。努力，苦是暂时的人生晚吃苦，不如早吃苦；你现在不累，以后就会更累。你要知道，现在吃的苦，其实是以后享得福。曾国藩曾说：“百种弊病，皆从懒生。懒则弛缓，弛缓则治人不严，而趣功不敏。”孔子也曾说：“人无远虑，必有近忧”，做人眼光要放长远，不能只贪一时的安逸，让内心的懒惰控制你的生活。努力的苦，是暂时的。现在不少孩子都吃不了苦，碰到一点挫折，一点困难就要放弃。你问他为什么不能坚持一下，吃点苦，他便振振有词地回答你，努力太苦了，
12、努力也是这样过，不努力也是这样过，为什么不让自己当下过得舒服一点呢？人生有些苦注定要吃，今天不苦学，老来是要后悔，是要受苦的。年少时贪图安逸，不想努力，少了精神的滋养，少了技能的支撑，明天就要忍受空虚与“贫穷”。努力了，可能当时会感到痛苦，但当你迈过这个坎，你会拥有一个内心更加丰满、更有价值的自己。付出的努力，受过的苦永远不会白费，上天总会补给你，即使你当时没有获得自己想要的，当有一天你陷入困境，你此时的努力便会显现出来。吃苦努力得到的是技能上的进步，思维上的开阔，心智上的成熟，这些对人生意义重大，一生都对你有益。贪图安逸，苦一辈子选择安逸还是有意义地生活？传说老子遇到一位年逾百岁的老翁，老翁
13、得意地说：“我从年少到现在，一直是游手好闲地轻松度日。我的同龄人辛苦一生却早已作古。现在我是否可以嘲笑他们忙碌一生，只是给自己换来一个早逝的结果呢？”老子拿了一块砖头和一块石头放在老翁面前说：“如果只能选择其一，您是要砖头还是要石头呢？”老翁选择了砖头并指着石头说：“这石头没棱没角，要它何用？”人总要有目标有梦想，梦想是努力奋斗才可能实现。人生的价值不在于长短，而在于你赋予你做的事情以意义。其实，人的本性都是懒惰的，都是追求安逸逃避痛苦的。我们总羡慕别人的成绩、地位，进而抱怨世界不公，但一个贪图安逸，没有认真努力过的人，有什么资格抱怨呢？许多父母一辈子都在为子女营造舒适安逸的小窝，但要知道生命
14、的意义不可能从安逸的氛围中结出，没有一种能力是在纯粹的欢乐中产生的。能力都是在痛苦和挫折中培养出来的。当孩子习惯了安逸的生活之后，便会惧怕改变。当孩子不愿受苦不愿努力，懒惰的种子便在心里滋生，人生也终将不会有太大的起色。努力必然是辛苦的，是难受的，只有这样你才能提高，才能进步，才能充实自己。如果因为不能接受努力的苦，而不去努力，那么必将被社会淘汰，人生后面的日子将过得很苦。时光不等人所谓少壮不努力，老大徒伤悲。不努力的人生，当你凝眸回望，你会发现，最遗憾的不是没有机会，而是没有去努力，没有吃当时的苦。年轻时苦，不叫苦；年老时苦，才叫苦。年轻不要怕吃苦，不要贪图安逸享乐，不然等你老了，想努力了，
15、却发现时不我待，已经没有力气了。年轻时主动吃努力奋斗之苦，吃完这苦，才能尝到生活的甜。不愿吃努力奋斗之苦，最后只能吃命运带来的苦。对大多数人而言，我们一事无成，不是因为资质平庸，而是因为不够努力。别在你垂垂老矣，两手空空时，再痛心疾首地说“如果当时能吃一点苦，能再努力一点”。在最能拼最能斗的年纪，吃苦是必须的也是必然的，然而如今这样的少年似乎越来越少。虽然苦过之后不一定有甜，努力过之后不一定成功，但不努力的人生希望更加渺茫，就像一潭死水。不努力的人生，一眼看得到头，苍白到连新的风景都没有，那才是真正的苦。努力的苦不是真正的苦，你觉得苦是因为你并未预见自己选择得过且过后的人生后果。如果你把眼前努
16、力的苦看做日后生活的甜，你会发现其实也没有那么难以下咽。不经一番寒彻骨，怎得梅花扑鼻香。青春最厚重的底色是奋斗，最可贵的精神是拼搏，别在最好的时光里选择安逸，人生越懒，越安逸，你就越可能错过美好的风景。不想苦一辈子，就要苦一阵子。扛得住艰难，才能配得上梦想。及年岁之未晏兮，时亦犹其未央。恐鹈鴃之先鸣兮，使夫百草为之不芳。趁年轻，努力别怕苦，怕吃苦的人，往往会吃苦一辈子一个相熟的小姑娘深夜发来好几条微信，急切地找我帮忙，说自己被群里的一位大V投诉抄袭，对方放了狠话，说要诉诸法律途径。她听说我们关系不错，便来找我“曲线救国”，说：“你能不能帮我问问她，看她愿不愿意私下和解？当时的确是有几段模仿了她
17、，但我真的没想到会这样。”“所以你的确是先看了她的文章，然后才仿照人家的逻辑语言写出了这一篇？”我反问。她惴惴地应了句是，“想着她写过那么多文章，肯定记不住，但是没想到，这么快就被发现了。”我气得想笑，问：“所以你知道自己这算是抄袭，不过是心存侥幸，赌的是别人要么瞎要么傻要么不好意思发声，你倒是图什么？”她沉默了一会儿，回了我很长一段话，大意是她从大一开始，就一直想做文字类的工作，想做一个好的公众号来给自己的简历添彩，可是一直没有起色，眼看都大四了，学校里刚入学的学妹粉丝都比她多。每天过的特别焦虑又特别烦躁，然后发现了洗稿抄袭这条看似快捷又轻便的小路。出稿快不说，抄袭的内容又多是网上传播热度较
18、高的文章，关注数居然比她自己认认真真写的时候还高出不少。尝到过甜头，又怎肯轻易罢手，她发来一个很哭丧的表情，说：“我知道错了，如果可以私了，她要我怎么样都可以，可是我真的不能公开道歉啊，不然这个污点可能就洗不掉了，别人会怎么看我，我毕业之后还打算入职新媒体公司呢我才22岁，在这行里还有很远的路要走，求你帮帮我。”我没有继续指责她，却觉得有点悲哀。正是因为年轻，所以急功近利，但抄捷径的时候却总是忘了，承担身败名裂之后阴影的也只能是那个年轻的自己。哪有谁是靠一两篇文章、一个做的还算不错的公号就能顺利入职名企的呢？任何一个招聘企业，更看重的是人品，以及你是否有继续走下去的能力和意愿。冬季 分割线 森
19、林我刚毕业入职第一家公司的时候，办公室的主流风气是逢迎拍马奉承上级。跟我一同毕业的姑娘，从主管的外套到经理的发型再到总监的某项决定，可以不重样地夸上好几个小时，可嘴笨如我，却只会在她舌灿莲花的时候目瞪口呆地点头，一句话也插不进去。理所当然的，她比我得到的照顾和实惠都更多，比如：我提前三周就请好的假，会因为她跟老板撒撒娇就不得不泡了汤回来值班，我做更多的事，创造更好的业绩，年终升职的时候，却依旧只有眼巴巴看着她意气风发的份儿。我郁闷了一整年，年终聚会的时候跟朋友们吐槽公司的一切，还说了句狠话：“不就是吹捧逢迎嘛，谁现在不会还能一辈子不会？明年我也不傻着闷头干活了，大家一起拍，看谁赢过谁。”大家都
20、笑，只有一个当时还不大熟悉的姐姐，在散场等出租车的时候专程过来找我聊天：“我知道你肯定觉得心理不平衡，但你有没有想过，你其实并不会在这家公司里待一辈子，到了该走的时候，除了会吹捧逢迎之外，你还有没有什么其他拿得出手的资本？你有没有完胜马屁精竞争的实力？”“不是每个老板都更偏爱会说好话的员工，退一万步讲，就算你会在这家公司里待到退休，万一管理层换了人，可能对业绩的需求更胜过拍马屁，到时候你恐怕已经不年轻了，难道还要从头学起吗？”我被她问的哑口无言，因为我根本没想过任何“以后”，满脑子心心念念的只是眼下利益和不公平。“计利应计天下利,求名应求万世名。职场里为自己着想没错的，但你总得知道，什么是真的
21、好，什么只是看上去很好的陷阱。”她说。1911 年9 月，两只南极考察队同时到达了南极圈附近，准备向南极点进发，一个是挪威的阿蒙森团队，另一个是英国的斯科特团队。阿蒙森团队一共只有5个人，而斯科特的团队有17人之多，可最先到达极点并顺利返回的，却是阿蒙森。斯科特一行人不仅比阿蒙森晚了近一个月才到达极点，在返程的过程中又遭遇了暴风雪，无人生还。后世的研究者们研究了斯科特遗留的手稿和阿蒙森的访谈之后，发现了这样一个很不起眼的差异：阿蒙森团队的五个人，平均每人携带三吨物资（有雪橇和雪橇狗），无论当天天气如何，每天都要进行三十公里，然后就扎起帐篷开始休息。可斯科特的团队却正好相反，为了轻装上阵，他们每
22、人携带的物资只有一吨，天气好的，每天前进40-60公里，天气不好的时候，就睡在帐篷里，诅咒恶劣的天气和糟糕的运气。然而就是这样一个不起眼的小细节，决定了两个队伍的命运南极圈天气变化莫测，每天无论如何前进30公里，缩短的不仅仅是路程，还有人心中对于极端天气的倦怠与畏惧。而在零下四十多度的冰天雪地里，回程比去路更加凶险，留下足够的补给和热源，便是给自己留下生的希望。没有谁是能靠着一腔热血和一时侥幸走向终点的，更多可见的成功，与其说是靠激情和运气，更不如说靠的是合理的计划和持久的坚持，在靠近辉煌的同时，也给自己留下退路。我很喜欢曾在书中看到的一段话：原本以为，才华是一个门槛，后来懂事一点，觉得勤奋是一个门槛，再往后，当知道了自己既没才华又不勤奋的时候，才发觉时间也是一个门槛。一件事，当你坚持了足够久的之间之后，总会有所得，这种所得不在于名利，不在于你到底做出了多大的事，而在于你知道自己所成就的，也知道了自己的本分和局限。
