1、第第2章章 光波在介质界面上的反射和折射光波在介质界面上的反射和折射(The reflection and refraction of light wave in the interface of medium)由光的电磁理论可知，光在介质界面上的反射和折由光的电磁理论可知，光在介质界面上的反射和折射，实质上是光与介质相互作用的结果，因而进行射，实质上是光与介质相互作用的结果，因而进行一般的理论分析一般的理论分析非常复杂非常复杂。在这里，采用简化的处。在这里，采用简化的处理方法，不考虑光与介质的微观作用，只根据麦克理方法，不考虑光与介质的微观作用，只根据麦克斯韦方程组和电磁场的边界条件进行讨论
2、。斯韦方程组和电磁场的边界条件进行讨论。2.1 反射定律和折射定律反射定律和折射定律(Reflection law and refraction law)(0 i,r,t (119)lltillEE elk r现假设二介质为均匀、透明、各向同性，分界面为现假设二介质为均匀、透明、各向同性，分界面为无穷大的平面，入射、反射和折射光均为平面光波无穷大的平面，入射、反射和折射光均为平面光波,其电场表示式为其电场表示式为12kiktkrOnz界面界面irtxxyrijr 是界面上任意点的矢径，在上图所示的坐标情况是界面上任意点的矢径，在上图所示的坐标情况下，有下，有2.1 反射定律和折射定律反射定律和
3、折射定律12kiktkrOnz界面界面irtx根据电磁场的边界条件，可得根据电磁场的边界条件，可得irtirit (120)()0 (121)()0 (122)kkrkkr入射光、反射光和折射光具有相同的频率；入射光、反射光和折射光具有相同的频率；入射光、反射光和折射光均在入射面内，入射光、反射光和折射光均在入射面内，ki、kr 和和 kt 波矢关系如图所示。波矢关系如图所示。2.1 反射定律和折射定律反射定律和折射定律iiiirrrrttttexp iexp iexp iEAtEAtEAt krkrkr 反射定律和折射定律（三种光传播方向的关系）反射定律和折射定律（三种光传播方向的关系）代入
4、边值关系代入边值关系 ，该式总是成立，故，该式总是成立，故irtnEEn E)(0 i,r,t (119)lltillEE elk rirtirit (120)()0 (121)()0 (122)kkrkkr进一步，根据图所示的几何关系，可得可由进一步，根据图所示的几何关系，可得可由（121）式和式和（122）式得到式得到iiriittsinsin (123)sinsin (124)rkkkkBACn1n2Okrkikt分界面分界面tir2.1 反射定律和折射定律反射定律和折射定律irit()0 (121)()0 (122)kkrkkriiriittsinsin (125)sinsin (12
5、6)rnnnn又因为又因为 ，可将上二式改写为可将上二式改写为/knc这就是介质界面上的这就是介质界面上的反射定律和折射定律反射定律和折射定律，折射定，折射定律又称为斯涅耳（律又称为斯涅耳（Snell）定律。）定律。2.1 反射定律和折射定律反射定律和折射定律2.2 菲涅耳公式菲涅耳公式(Fresnel formula)光的电磁理论除了给出描述光在界面上传播方向的光的电磁理论除了给出描述光在界面上传播方向的反射定律和折射定律外，还给出入射光、反射光和反射定律和折射定律外，还给出入射光、反射光和折射光之间的折射光之间的振幅、相位振幅、相位关系。关系。BACn1n2Okrkikt分界面分界面tir
6、1.s 分量和分量和 p 分量分量通常把通常把垂直于入射面垂直于入射面振动的分量叫做振动的分量叫做 s 分量，把分量，把平平行于入射面行于入射面振动的分量叫做振动的分量叫做 p 分量。为讨论方便起分量。为讨论方便起见，规定见，规定 s 分量和分量和 p 分量的正方向如图所示。分量的正方向如图所示。ktkrkiO212ErsErpErsErpErpErsn1n21.s 分量和分量和 p 分量分量xyzo1pE1sH1pE1sH2pE2sH2.反射系数和透射系数反射系数和透射系数假设介质中的电场矢量为假设介质中的电场矢量为)i(0 i,r,t 127lltllEE elk r()其其 s 分量和分
7、量和 p 分量表示式为分量表示式为)i(0 s,p 128lltlmlmEEemk r（）2.反射系数和透射系数反射系数和透射系数)i(0 s,p 128lltlmlmEEemk r（）则定义则定义 s 分量分量、p 分量的反射系数、透射系数分别为分量的反射系数、透射系数分别为0000 (129)(130)rmmimtmmimErEEtE3.菲涅耳公式菲涅耳公式假设界面上的入射光、反射光和折射光假设界面上的入射光、反射光和折射光同相位同相位,根据根据电磁场的边界条件及电磁场的边界条件及 s 分量、分量、P 分量的正方向规定，分量的正方向规定，可得可得isrsts (131)EEEip1rp1t
8、p2coscoscos (132)HHH和和利用利用 ，上式变为上式变为HEisrs11ts22()coscos (133)EEnE n3.菲涅耳公式菲涅耳公式再利用折射定律，并由（再利用折射定律，并由（131）式和（）式和（133）式消去）式消去Ets，经整理可得经整理可得rs21is21sin()sin()EEisrsts (131)EEEisrs11ts22()coscos (133)EEnE n12s12sin()(134)sin()r=-将将（128）式代入上式，利用（）式代入上式，利用（121）式关系，并根据）式关系，并根据反射系数定义，得到反射系数定义，得到3.菲涅耳公式菲涅耳公
9、式)i(0 s,p 128lltlmlmEEemk r（）rs21is21sin()sin()EEir()0 (121)kkr00 (129)rmmimErE由由（134）式和（）式和（133）式消去）式消去 Ers，经运算整理得经运算整理得11s11222cos (135)coscosntnn=-3.菲涅耳公式菲涅耳公式12s12sin()(134)sin()r=-isrs11ts22()coscos (133)EEnE n利用类似方法，可以推出利用类似方法，可以推出 p 分量的反射系数和透射系分量的反射系数和透射系数表示式，数表示式，这就是著名的这就是著名的菲涅耳公式：菲涅耳公式：1211
10、221211221211121122sin()coscos=(136)sin()coscos2cossin2cos=(137)sin()coscosssnnrnnntnn 122112122112211112122112()coscos=(138)()coscos2sincos2cos=(139)sin()cos()coscospptgnnrtgnnntnn3.菲涅耳公式菲涅耳公式isrsts+=(2)HHHip1rp1tp2coscoscos (1)EEE00 (3)rrHEHE 且透明介质有且透明介质有1r因此上面（因此上面（2）式可变为）式可变为 由边界条件由边界条件,各切向分量之间关系
11、可表示为各切向分量之间关系可表示为根据根据010102iprptp000 rrrEEE 即即1ip1rp2tp rrrEEE1ip1rp2tp (3)n En En E联立联立(1)和和(3),并代入并代入1122sinsinnn得得 p 分量分量振幅反射比振幅反射比:rp12pip12()()EtgrEtg振幅透射比振幅透射比:ip1rp1tp2coscoscos (1)EEE21p12122sincossin()cos()tpipEtE如果已知界面两侧的折射率如果已知界面两侧的折射率 n1、n2 和入射角和入射角1，就就可由折射定律确定折射角可由折射定律确定折射角2，进而可由上面的菲涅进而
12、可由上面的菲涅耳公式求出耳公式求出反射系数和透射系数反射系数和透射系数。3.菲涅耳公式菲涅耳公式1211221211221211121122sin()coscos=(136)sin()coscos2cossin2cos=(137)sin()coscosssnnrnnntnn 122112122112211112122112()coscos=(138)()coscos2sincos2cos=(139)sin()cos()coscospptgnnrtgnnntnn下图绘出了在下图绘出了在、n1 n2 两种情况下，反射系两种情况下，反射系数、透射系数随入射角数、透射系数随入射角 1的变化曲线。的变化
13、曲线。3.菲涅耳公式菲涅耳公式10306090-1.0-0.500.51.0tptsrprsB56.3n1=1.0,n2=1.510306090-1.0-0.500.51.0rprsB33.7n1=1.5,n2=1.0C41.8010203040500.00.40.81.21.62.02.42.83.2 rs rp ts tp3.菲涅耳公式菲涅耳公式n1=1.5,n2=1.02.3 反射率和透射率反射率和透射率(Reflectivity and transmissivity)菲涅耳公式给出了入射光、反射光和折射光之间的菲涅耳公式给出了入射光、反射光和折射光之间的场场振幅和相位振幅和相位关系。现
14、在，进一步讨论反映它们之关系。现在，进一步讨论反映它们之间能量关系的间能量关系的反射率和透射率反射率和透射率。在讨论过程中，不计在讨论过程中，不计吸收、散射等能量损耗吸收、散射等能量损耗，因此，因此，入射光能量在反射光和折射光中重新分配，而总能入射光能量在反射光和折射光中重新分配，而总能量保持不变。量保持不变。2.3 反射率和透射率反射率和透射率(Reflectivity and transmissivity)若有一个平面光波以入射角若有一个平面光波以入射角1 斜入射介质分界面，斜入射介质分界面，平面光波的强度为平面光波的强度为 Ii，则每秒入射到界面上单位面积则每秒入射到界面上单位面积的能量
15、为的能量为ii1cosWI考虑到光强表示式考虑到光强表示式，上式可写成，上式可写成 21i0 i101co s (1 4 0)2WE220012IEE0 2.3 反射率和透射率反射率和透射率(Reflectivity and transmissivity)类似地，反射光和折射光的能量表示式为类似地，反射光和折射光的能量表示式为21r0r101cos 141)2WE（22t0 t201cos 142)2WE（2.3 反射率和透射率反射率和透射率(Reflectivity and transmissivity)由此可以得到反射率、透射率分别为由此可以得到反射率、透射率分别为2riWRrW2t22i
16、11coscosWnTtWn将菲涅耳公式代入，即可得到入射光中将菲涅耳公式代入，即可得到入射光中 s 分量和分量和 p分量的反射率和透射率的表示式分别为分量的反射率和透射率的表示式分别为2.3 反射率和透射率反射率和透射率(Reflectivity and transmissivity)2212ss212sin()(145)sin()Rr2212pp212tan()(146)tan()Rr22212ss21112cossin2sin2 (147)cossin()nTtn22212pp22111212cossin2sin2 (148)cossin()cos(nTtn）2.3 反射率和透射率反射率
17、和透射率(Reflectivity and transmissivity)由上述关系式，显然有由上述关系式，显然有1ssRT1ppRT2.3 反射率和透射率反射率和透射率(Reflectivity and transmissivity)综上所述，光在界面上的反射、透射特性由三个因综上所述，光在界面上的反射、透射特性由三个因素决定素决定:入射光的偏振态入射光的偏振态，入射角入射角，界面两侧介质的界面两侧介质的折射率。折射率。2212ss212sin()(145)sin()Rr22212ss21112cossin2sin2 (147)cossin()nTtn10900%50%100%RpRsRnn
18、1 n2RBC2.3 反射率和透射率反射率和透射率(Reflectivity and transmissivity)下图给出了按光学玻璃下图给出了按光学玻璃(n=1.52)和空气界面计算得和空气界面计算得到的反射率到的反射率 R 随入射角随入射角1变化的关系曲线。变化的关系曲线。一般情况下，一般情况下，即反射率与偏振状态有，即反射率与偏振状态有关。在小角度（关。在小角度（正入射正入射）和大角度（）和大角度（掠入射掠入射）情况）情况下，下，。spRRspRR2.3 反射率和透射率反射率和透射率(Reflectivity and transmissivity)10900%50%100%RpRsRn
19、n1 n2RBC在正入射时，在正入射时，221sp21 (149)nnRRnn相应有相应有21sp2214 (150)()n nTTnn在掠入射在掠入射()时时，。spRR10s902.3 反射率和透射率反射率和透射率(Reflectivity and transmissivity)221s21 (149)nnRnn11221122coscos (136)coscossnnrnn2ss (145)Rr在正入射时，在正入射时，1=2=021s2214 (150)()n nTnn2t22i11coscosWnTtWn1111222cos=(137)coscossntnn在正入射时，在正入射时，1=
20、2=0当光以某一持定角度当光以某一持定角度1=B入射时射时，Rs 和和 Rp 相差最相差最大大，且，且 Rp=0，在反射光中不存在在反射光中不存在 p 分量分量。10900%50%100%RpRsRnn1 n2RBC2.3 反射率和透射率反射率和透射率(Reflectivity and transmissivity)此时，根据菲涅耳公式有此时，根据菲涅耳公式有B+2=900，即该入射角即该入射角与相应的折射角与相应的折射角互为余角互为余角。利用衍射定律，可得该。利用衍射定律，可得该特定角度满足特定角度满足2B1tan (151)nn2.3 反射率和透射率反射率和透射率(Reflectivity
21、 and transmissivity)该角该角 B 称为称为布儒斯特角布儒斯特角。例如，当光由空气射向玻。例如，当光由空气射向玻璃时，璃时，n1=1，n2=1.52，布儒斯特角为布儒斯特角为B=56040。22122112pp2122112tan()coscos=(146)tan()coscosnnRrnn2pp0Rr2B1tan (151)nn2112coscos0nn2112coscosnnB+2=9002112coscosnn2211sinsinnn2211cossincossinB+2=900反射率反射率 R 随入射角随入射角 l 变化的趋势是：变化的趋势是：1 B时，时，R 随着随
22、着 l 的增大急剧上升，到达的增大急剧上升，到达 Rs=RP=1。10900%50%100%RpRsRnn1 n2RBC2.3 反射率和透射率反射率和透射率(Reflectivity and transmissivity)反射率反射率 R 随入射角随入射角 l 变化的趋势是：变化的趋势是：当当n1 n2时时，存在一个临界角存在一个临界角 c，当当l c时光波发时光波发生生全反射全反射。由折射定律，相应于临界角时的折射角。由折射定律，相应于临界角时的折射角2=900，因此有因此有2c1sin (152)nn10900%50%100%RpRsn1 n2RBC例如，当光由玻璃射向空气时，临界角为例如
23、，当光由玻璃射向空气时，临界角为4l08。对于对于nl n2 的情况，不存在全反射现象。的情况，不存在全反射现象。10900%50%100%RpRsRnn1 n2RB2.3 反射率和透射率反射率和透射率(Reflectivity and transmissivity)下下图给出了在图给出了在 n1=1 的情况下，光正入射介质时，介的情况下，光正入射介质时，介质反射率质反射率 R 随其折射随其折射率率 n 的变化曲线的变化曲线。可以看出，在可以看出，在一定范围内，一定范围内，R 与与 n 几乎是几乎是线性关系线性关系，当，当 n 大到一定到一定程度时，程度时，R 的上升就变得很缓慢了。的上升就变得很缓慢了。反射反射率与界面两侧介质的折射率有关率与界面两侧介质的折射率有关nR00.20.4135例如：例如：正入射时，普通玻璃正入射时，普通玻璃(n=1.5)的反射率为的反射率为 4；红宝石红宝石(n=1.769)的反射率为的反射率为7.7；而对红外透明的锗片，而对红外透明的锗片，n=4，其反射率高达其反射率高达 36%，一次反射就几乎要损失近一次反射就几乎要损失近40%的光的光。反射反射率与界面两侧介质的折射率有关率与界面两侧介质的折射率有关
