1、第第4 4章章 控制系统数学模型及其转换控制系统数学模型及其转换在线性系统中，常用的数学模型有微分方程模型、传递函数模型、状态空在线性系统中，常用的数学模型有微分方程模型、传递函数模型、状态空间模型以及零极点模型等。不同的模型应用于不同的场合。掌握模型间的间模型以及零极点模型等。不同的模型应用于不同的场合。掌握模型间的转换才能灵活应用各种数学模型。本章将主要介绍转换才能灵活应用各种数学模型。本章将主要介绍系统数学模型及转换、系统数学模型及转换、系统环节模型的连接及标准型实现系统环节模型的连接及标准型实现等内容。等内容。4.1 4.1 控制系统类型控制系统类型1 1 连续系统和离散系统连续系统和
2、离散系统 2 2 线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统 3 3 时变系统和定常（时不变）系统时变系统和定常（时不变）系统4 4 确定性系统和随机系统确定性系统和随机系统 第1页，共59页。4.2 4.2 控制系统常用数学模型控制系统常用数学模型4.2.1 4.2.1 连续系统数学模型连续系统数学模型1 1系统微分方程形式模型系统微分方程形式模型对于线性定常单入单出对于线性定常单入单出(简称简称SISO)SISO)系统系统 ，可用以下方程描述：，可用以下方程描述：()(1)()0110nnmnnma ya yaya yb ub u2 2系统传递函数形式模型系统传递函数形式模型零初始条件下，系
3、统输出的拉氏变换零初始条件下，系统输出的拉氏变换 与输入的拉氏变换与输入的拉氏变换 之比之比.()Y s()U s0101()()()mmmnnnb sbsbY sG sU sa sasa第2页，共59页。011011,mmnnnumb bbbdena aaa在在MATLABMATLAB中，中，微分方程微分方程和和传递函数传递函数都可以用分子、分母多项式系都可以用分子、分母多项式系数向量表示数向量表示 这里分子、分母多项式系数向量中的系数均按这里分子、分母多项式系数向量中的系数均按 s s 的降幂排列。用的降幂排列。用printsys(),tf()来建立传递函数的系统模型，其基本格式为来建立传
4、递函数的系统模型，其基本格式为printsys(,)=tf(,)num den ssysnum den（注：（注：printsysprintsys只能在命令窗只能在命令窗口中显示模型，不能将模型口中显示模型，不能将模型输入到输入到workspaceworkspace中）中）第3页，共59页。例：例：已知系统的传递函数如下，利用已知系统的传递函数如下，利用MATLABMATLAB建立其相应的传递函数建立其相应的传递函数系统模型。系统模型。22235(23)()(31)(2)(538)sG ssssss运行命令运行命令:example4_01.m第4页，共59页。结果为结果为:第5页，共59页。3
5、 3系统的零极点（系统的零极点（ZPKZPK）形式模型）形式模型112121()()()()()()()()()miimnnjjszszszszG sKKspspspsp在在MATLABMATLAB中零极点可以分别表示为中零极点可以分别表示为1212,mnzz zzpp pp使用使用zpk()函数建立零极点形式的系统模型，其基本格式为函数建立零极点形式的系统模型，其基本格式为=zpk(,)sysz p k=roots()=roots()znumpden或如果已知传递函数，可用求根函数求零点向量如果已知传递函数，可用求根函数求零点向量z z和极点向量和极点向量p p第6页，共59页。例：已知系统
6、传递函数如下例：已知系统传递函数如下应用应用MatlabMatlab语言语言建立建立系统的系统的零极点形式零极点形式模型模型。运行命令：运行命令：结果为：结果为：5(4)()(1)(2)(3)sG Ssss例：将如下传递函数表示成零极点形式例：将如下传递函数表示成零极点形式32520()6116sG Ssssexample4_02.m第7页，共59页。4 4系统的部分分式形式系统的部分分式形式可以将传递函数表示成部分分式或留数形式：可以将传递函数表示成部分分式或留数形式：1()()niiirG sk sspR,P,K=residue(num,den)R,P,K=residue(num,den)
7、使用求留数的命令使用求留数的命令第8页，共59页。例：将如下传递函数表示成部分分式形式例：将如下传递函数表示成部分分式形式32520()6116sG Ssssexample4_03.m显示结果显示结果：R=2.5000 -10.0000 7.5000P=-3.0000 -2.0000 -1.0000K=运行程序：运行程序：num=5 20;den=1 6 11 6;R,P,K=residue(num,den)7.5-102.5()+123G Ssss这表示这表示:第9页，共59页。5 5系统的状态空间（系统的状态空间（state spacestate space）模型）模型()=()+()()
8、=()+()ttttttXAXBuYCXDu111212122212121212,;,;,;,;nnnnnnnnnaaaaaaaaab bbc ccd ddABCD在在MATLABMATLAB中建立系统状态空间模型的函数格式中建立系统状态空间模型的函数格式 =ss()sysA,B,C,D第10页，共59页。例：某线性定常系统的状态空间例：某线性定常系统的状态空间表达式如下，请在表达式如下，请在MATLAB MATLAB 的的workspace中建立模型。中建立模型。0011=358+0()4312y=100u tXXX运行命令：运行命令：运行后显示：运行后显示：第11页，共59页。4.2.2
9、4.2.2 离散系统数学模型离散系统数学模型离散系统常用的数学模型通常可以用差分方程、脉冲传递函数（或离散系统常用的数学模型通常可以用差分方程、脉冲传递函数（或Z Z传传递函数）、状态空间表达式三种形式对系统加以描述。递函数）、状态空间表达式三种形式对系统加以描述。1 1系统差分方程形式模型系统差分方程形式模型01101()(1)(1)()()(1)()nnmg y kn Tg y knTgy kTg y kTf u km Tf u kmTf u kT2 2系统的传递函数模型系统的传递函数模型10111011()()()mmmmnnnnf zf zfzfY zG zu zg zg zgzg01
10、1011,mmnnnumffffdengggg这里分子、分母多项这里分子、分母多项式系数向量中的系数式系数向量中的系数仍按的降幂排列仍按的降幂排列 在在MATLABMATLAB中用系数中用系数向量表示：向量表示：第12页，共59页。=tf(,)sysnum den Ts函数函数tf()，printsys()也可建立脉冲传递函数的系统模型，其格式为也可建立脉冲传递函数的系统模型，其格式为其中，其中，Ts为系统采样周期为系统采样周期。对于离散系统，也可以用对于离散系统，也可以用zpk()函数建立零极点模型，基本格式为函数建立零极点模型，基本格式为=zpk(,)sysz p k Tsprintsys
11、(,)num den z（注：（注：printsysprintsys只能在只能在命令窗口中显示模型，命令窗口中显示模型，不能将模型输入到不能将模型输入到workspaceworkspace中）中）3 3系统的零极点模型系统的零极点模型 第13页，共59页。4 4系统的状态空间模型系统的状态空间模型 (+1)=()+()()=()+()kkkkkkXFXGuYCXDu在在MATLABMATLAB中建立状态空间模型的函数格式中建立状态空间模型的函数格式 =ss(,)sysTsF,G,C,D第14页，共59页。例：假设某离散系统的脉冲传递函数为例：假设某离散系统的脉冲传递函数为47.022.298.
12、323.389.038.057.031.0)(23423zzzzzzzzGyu采样周期为采样周期为 T=0.1 T=0.1秒，将其输入到秒，将其输入到MATLABMATLAB的的workspaceworkspace中，并且绘制中，并且绘制零、极点分布图。并且将该离散系统脉冲传递函数模型转换成状态零、极点分布图。并且将该离散系统脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式。空间表达式。输入下列语句输入下列语句 运行结果为运行结果为程序程序example4_04.m第15页，共59页。计算机绘制出零极点分布图：计算机绘制出零极点分布图：再输入：再输入：显示：显示：再输入：再输入：第16页，共59页。4.2
13、.3 4.2.3 系统模型参数的获取系统模型参数的获取对于连续系统，调用函数对于连续系统，调用函数:,=tfdata(,),=zpkdata(,)=ssdata()num densys vz p ksys vsysA,B,C,D对于离散系统，调用函数对于离散系统，调用函数,=tfdata(,),=zpkdata(,),=ssdata()num den Tssys vz p k Tssys vTssysA B C Dv表示返回表示返回数据数据行向量行向量，只，只适用于单变量系适用于单变量系统统example4_05.m第17页，共59页。模型表示函数小结模型表示函数小结第18页，共59页。4.3
14、 4.3 系统数学模型的转换系统数学模型的转换4.3.1 4.3.1 系统模型向状态方程形式转换系统模型向状态方程形式转换利用利用MATLABMATLAB函数可将系统模型转换为状态方程形式，函数格式为函数可将系统模型转换为状态方程形式，函数格式为 =tf2ss()numdenABCD，=zp2ss(Z,)ABCD，P,Ksys=tf()=ss()numdenGnsys，（注意：在英语中，（注意：在英语中，2 2和和toto谐音）谐音）将任意线性定常系统将任意线性定常系统syssys转转换成状态方程还可以用换成状态方程还可以用:sys=zpk(Z,)=ss()P KGnsys第19页，共59页。
15、MATLAB命令：命令：【例【例4-24-2】已知系统传递函数如下，应用已知系统传递函数如下，应用MATLABMATLAB的函数将其转换为状的函数将其转换为状态方程形式的模型。态方程形式的模型。32432122420()24622ssG sssssexample4_2.m第20页，共59页。4.3.2 4.3.2 系统模型向传递函数形式转换系统模型向传递函数形式转换1 1状态空间模型向传递函数形式转换状态空间模型向传递函数形式转换MATLABMATLAB提供了函数提供了函数ss2tf()ss2tf()实现将状态空间方程转换为传递函数形实现将状态空间方程转换为传递函数形式，基本格式为式，基本格式
16、为,=ss2tf(,)num deniuA,B,C,D其中，其中，iu用于指定变换所使用的输入量，对于多输入系统是必须的。用于指定变换所使用的输入量，对于多输入系统是必须的。还可以采用下面的方式，即还可以采用下面的方式，即sys=ss()=tf()GnsysA,B,C,D（将任意线性定常系统转（将任意线性定常系统转换成传递函数）换成传递函数）第21页，共59页。【例【例4-34-3】某线性定常系统的状态空间表达式如下，求该系统的传递函】某线性定常系统的状态空间表达式如下，求该系统的传递函数。数。01100010101781u XX561y X编写编写m文件如下：文件如下：运行结果为运行结果为e
17、xample4_3.m第22页，共59页。例：某线性定常系统的状态空间表达式如下，求该系统的传递函数矩阵。例：某线性定常系统的状态空间表达式如下，求该系统的传递函数矩阵。01001X001X00 U611610010YX001输入并且运行程序：输入并且运行程序：example4_06.m第23页，共59页。上述输出的结果表明，传递函数矩阵为上述输出的结果表明，传递函数矩阵为323223232661166116Gyu()661166116ssssssssssssssss 运行结果：运行结果：第24页，共59页。2 2零极点增益模型向传递函数形式转换零极点增益模型向传递函数形式转换函数格式函数格式
18、 =zp2tf()numdenZPK，=zpk()=tf()sysGnsysZ,P,K（将任意线性定常系统转（将任意线性定常系统转换成传递函数）换成传递函数）第25页，共59页。4.3.3 4.3.3 系统模型向零极点形式转换系统模型向零极点形式转换MATLABMATLAB提供了实现系统模型向零极点形式转换的函数，其基本格式为提供了实现系统模型向零极点形式转换的函数，其基本格式为,=ss2zp(,)z p kiuA,B,C,D,=tf2zp(,)z p knum den=zpk()Gnsys（将任意线性定常系统转（将任意线性定常系统转换成零极点形式）换成零极点形式）sys=ss(,)iuA,B
19、,C,D=tf(,)sysnum den第26页，共59页。【例【例4-44-4】对于例】对于例4-34-3题中的线性定常系统，将其转换为题中的线性定常系统，将其转换为zpkzpk形式形式 01100010101781u XX561y X编写编写m m文件如下文件如下运行结果为运行结果为第27页，共59页。例：某线性定常系统的状态空间表达式如下，将其转换成例：某线性定常系统的状态空间表达式如下，将其转换成ZPKZPK形式形式01001X001X00 U611610输入并且运行程序：输入并且运行程序：计算机输出：计算机输出：Y001 X第28页，共59页。上述输出的计算结果表明，两输入单输出的传
20、递函数矩阵的上述输出的计算结果表明，两输入单输出的传递函数矩阵的ZPKZPK形式为：形式为：26Gyu()(1)(2)(3)(1)(2)(3)sssssssss第29页，共59页。4.3.4 4.3.4 传递函数形式与部分分式形式的转换传递函数形式与部分分式形式的转换MATLABMATLAB函数函数residue()实现极点留数的求取，其基本格式为实现极点留数的求取，其基本格式为=residue()RPHnumden，=residue()numdenRPH，【例【例4-54-5】某系统的传递函数如下，求它的部分分式形式。某系统的传递函数如下，求它的部分分式形式。322010()1574120s
21、G ssss编写编写m m文件：文件：第30页，共59页。上述结果表示：上述结果表示：1()()niiirG sh ssp运行结果为：运行结果为：559035654sss 第31页，共59页。如果此时在命令窗口中输入如果此时在命令窗口中输入 则返回则返回 可见，可见，residue()residue()函数，既可以将传递函数形式转换成部分分式形函数，既可以将传递函数形式转换成部分分式形式，也可以将部分分式形式转换成传递函数形式。式，也可以将部分分式形式转换成传递函数形式。2010s321574120sss第32页，共59页。4.3.5 4.3.5 连续和离散系统之间的转换连续和离散系统之间的转
22、换如果对离散化处理结果提出具体的转换方式要求，则可以采用如果对离散化处理结果提出具体的转换方式要求，则可以采用c2d()c2d()或或 c2dm()c2dm()函数进行，基本格式为函数进行，基本格式为=c2d(,)GdGc Ts method其中，其中，Gc表示连续系统模型表示连续系统模型 Ts表示系统采样周期表示系统采样周期 method指定转换方式指定转换方式:“zoh”表示采用零阶保持器表示采用零阶保持器 “foh”表示采用一阶保持器表示采用一阶保持器第33页，共59页。编写编写m m文件：文件：【例【例4-64-6】某连续系统的状态空间表达式如下，采用零阶保持器某连续系统的状态空间表达
23、式如下，采用零阶保持器将其离散化，设采样周期为将其离散化，设采样周期为0.10.1秒，求离散化的系统方程。秒，求离散化的系统方程。0101000121611602XXu110211YX第34页，共59页。运行结果：运行结果：结果表示离散化后的系统方程为结果表示离散化后的系统方程为:0.99910.09840.00410.10990.0047(1)0.02460.95410.0738()0.19590.0902()0.44290.83660.51120.11640.1936kkk XXu110()()211kkYX第35页，共59页。模型转换的函数小结模型转换的函数小结第36页，共59页。状态空
24、间状态空间SS传递函数传递函数tf零极点零极点ZP极点留数极点留数ss2tftf2sszp2ssss2zpzp2tftf2zpresiduess2ss第37页，共59页。4.4 4.4 控制系统模型的连接控制系统模型的连接系统模型连接的方式主要有串联、并联、反馈等形式。系统模型连接的方式主要有串联、并联、反馈等形式。MATLABMATLAB提提供了相应的模型连接函数。供了相应的模型连接函数。4.4.1 4.4.1 模型串联模型串联SISOSISO系统串联系统串联=series(1,2)syssys sysMIMOMIMO系统串联系统串联=series(1,2,1,2)syssys sysout
25、puts inputs连接连接等价为：等价为：=12sys syssys第38页，共59页。sys1=ss(eye(3),InputName,C,B,A,OutputName,Z,Y,X);sys2=ss(eye(3),InputName,A,C,B,OutputName,X,Y,Z);parallel(sys1,sys2,name)=parallel(1,2)syssys sys4.4.2 4.4.2 模型并联模型并联SISO系统并联系统并联MIMO系统系统并联并联=parallel(1,2,1,2,1,2)syssys sysin inout out等价为：等价为：=12sys syssy
26、s=parallel(1,2,)syssys sysname第39页，共59页。【例】【例】已知两个系统的模型，利用已知两个系统的模型，利用MATLABMATLAB分别求出它们串联分别求出它们串联和并联后的传递函数阵。和并联后的传递函数阵。其中，其中，sys1:sys1:sys2:sys2:12()2G sssys1sys2sys1sys223()5G sssys1=tf(2,1,2);%系统1sys2=tf(3,1,5);%系统2%串联连接ss11=series(sys1,sys2)ss12=sys1*sys2%并联连接ss21=parallel(sys1,sys2,1,1,1,1)ss22
27、=sys1+sys2example4_07.m第40页，共59页。【例】【例】已知两个系统的模型，利用已知两个系统的模型，利用MATLABMATLAB分别求出它们串联和分别求出它们串联和并联后的传递函数阵。并联后的传递函数阵。其中，其中，sys1:sys1:917011310XXu321013 1810YXusys2:sys2:12()2G ss串联连接：串联连接：并联连接：并联连接：sys1sys221u11u22u21y22y11ysys1sys221y22y11y1y22u21u11u第41页，共59页。%系统的串联和并联连接系统的串联和并联连接clcclearsys1=tf(2,1,2
28、);%系统系统1的传递函数的传递函数G2=ss(-9 17;-1 3,0-1;-1 0,-3 2;-13 18,-1 0;-1 0);sys2=tf(G2)%系统系统2的传递函数阵的传递函数阵disp(以下是串联系统的传递函数矩阵以下是串联系统的传递函数矩阵)ss1=series(sys1,sys2,1,1)%串联连接串联连接disp(以下是并联系统的传递函数矩阵以下是并联系统的传递函数矩阵)ss2=parallel(sys1,sys2,1,1,1,1)%并联连接并联连接example4_08.m第42页，共59页。以下是系统以下是系统2的传递函数矩阵的传递函数矩阵 Transfer func
29、tion from input 1 to output.-s2-8 s+43#1:-s2+6 s-10 -s2-24 s+69#2:-s2+6 s-10 Transfer function from input 2 to output.3 s-7#1:-s2+6 s-10 13 s-21#2:-s2+6 s-10(2)(2)21211112(2)(2)22222122()()()()()()()()YsUsGsGsYsUsGsGs(2)(2)(2)1112(2)(2)2122()GGGsGG系统系统2 2的传递函数矩阵的传递函数矩阵(2)11()Gs(2)21()Gs(2)12()Gs(2)2
30、2()Gs运行结果运行结果系统系统1 1的传递函数的传递函数(1)()Gs(1)1111()()()YsGs Us第43页，共59页。以下是串联系统的传递函数矩阵以下是串联系统的传递函数矩阵 Transfer function from input to output.-2 s2-16 s+86#1:-s3+8 s2+2 s-20 -2 s2-48 s+138#2:-s3+8 s2+2 s-20(2)21111112(2)22222122()()()()()()()()YsUsGsGsYsUsGsGs2111112221()()()()()YsG sUsYsGs11()G s21()Gssys
31、1sys221u11u22u21y22y11y第44页，共59页。以下是并联系统的传递函数矩阵以下是并联系统的传递函数矩阵 Transfer function from input 1 to output.-s3-8 s2+39 s+66#1:-s3+8 s2+2 s-20 -s2-24 s+69#2:-s2+6 s-10 Transfer function from input 2 to output.3 s-7#1:-s2+6 s-10 13 s-21#2:-s2+6 s-1011()G s21()Gs12()Gs22()Gs111111222222122YUGGYUGG11121YYY其
32、中：sys1sys221y22y11y1y22u21u11u思考思考:如何进行结构图化简？如何进行结构图化简？第45页，共59页。4.4.3 4.4.3 反馈连接反馈连接=feedback(1,2,)syssys syssign对于对于SISOSISO系统系统其中，其中，signsign缺省时即为负反馈缺省时即为负反馈，sign=1sign=1时为正反馈。时为正反馈。=feedback(1,2,)syssys sysfeedin feedout sign对于对于MIMOMIMO系统系统其中，其中，feedin为为sys1 1的输入向量，用来指定的输入向量，用来指定sys1 1的哪些输入与反馈环
33、节相的哪些输入与反馈环节相连接；连接；feedout为为sys1 1的输出向量，用来指定的输出向量，用来指定sys1 1的哪些输出端用于反馈。的哪些输出端用于反馈。第46页，共59页。【例【例4-74-7】已知系统如图所示，已知系统如图所示，利用利用MATLABMATLAB求出系统的状态求出系统的状态空间表达式。空间表达式。其中，其中，sys1:sys1:917011310XXu321013 1810YXusys2:sys2:22()2G ss编写编写m m文件如下：文件如下：第47页，共59页。运行结果为：运行结果为：表示该反馈系统的状态空间表达式为表示该反馈系统的状态空间表达式为 1112
34、2c33917101130102636220 xxuxxuxx 1112c233201013 18010 xuyxuyx第48页，共59页。4.5 4.5 系统模型的实现系统模型的实现根据状态空间表达形式不同，系统状态空间实现可分为：能控标准型实现，根据状态空间表达形式不同，系统状态空间实现可分为：能控标准型实现，能观测标准型实现，对角线标准型实现，约旦标准型实现。能观测标准型实现，对角线标准型实现，约旦标准型实现。设系统的微分方程为设系统的微分方程为()(1)1100nnnyaya ya yb u取状态变量为：取状态变量为：12(1)nnxyxyxyX写成状态空间表达式形式为能控标准型：写成
35、状态空间表达式形式为能控标准型：1011000001=b00nnuaaay IX=X+X4.5.1 4.5.1 能控标准型能控标准型第49页，共59页。如果系统微分方程为如果系统微分方程为()(1)(1)110110nnnnnyaya ya ybubub uuxxxaaaaaxxxnnn10001000000100000102113210211011nnxybbbx写成状态空间表达式形式为能控标准型：写成状态空间表达式形式为能控标准型：第50页，共59页。【例【例4-84-8】已知系统的状态空间表达式如已知系统的状态空间表达式如下，下，求线性变换，将其变换成能控标准形。求线性变换，将其变换成能
36、控标准形。121002111321u XX101y X运行程序：运行程序：运行结果为：运行结果为：判断系统的能控性，求特征方程判断系统的能控性，求特征方程第51页，共59页。计算变换矩阵计算变换矩阵12C2C1125110510100100aaa QQQ1P=Q输入程序：输入程序：计算结果为：计算结果为：第52页，共59页。求能控标准形求能控标准形计算结果为：计算结果为：Ab=P*A*Q,Bb=P*B,Cb=C*Q输入程序：输入程序：表明经过变换以后的状态方程为表明经过变换以后的状态方程为01000010111251u XX1051y X第53页，共59页。4.5.2 4.5.2 能观测标准型
37、能观测标准型能控标准型的对偶系统就是能观标准型能控标准型的对偶系统就是能观标准型001111100001nnnababuabyXXIX第54页，共59页。4.5.3 4.5.3 对角线标准型对角线标准型1212()()()nnCCCY sG sU ssss令状态变量令状态变量1()()(1,2,)iiX sU sins则则1122()()()()nnY sC X sC XsC Xs12301101u X=X+12nyCCCX对角线标准型对角线标准型第55页，共59页。4.5.4 4.5.4 标准型的实现标准型的实现MATLABMATLAB中提供函数中提供函数canon()canon()生成标准
38、型状态模型，基本格式为生成标准型状态模型，基本格式为=canon(,)csyssys type其中，其中，syssys表示原系统状态方程模型，字串表示原系统状态方程模型，字串typetype为标准类型选项为标准类型选项:model 为对角标准型实现为对角标准型实现 companion为伴随标准型实现为伴随标准型实现第56页，共59页。【例【例4-94-9】已知系统传递函数如下，用不同状态空间实现函数已知系统传递函数如下，用不同状态空间实现函数进行转换。进行转换。232451()6116ssG ssssm文件如下：文件如下：第57页，共59页。运行该运行该m m文件后，对于同一传递函数的系统得出
39、以下文件后，对于同一传递函数的系统得出以下4 4种状态空间表达式种状态空间表达式G1:6116110000100u XXG2:G3:G4:45 1y X65.53220000100u XX21.250.25y X30011020120013u XX10.58330y X0061101100160u XX41971y X第58页，共59页。【例】【例】已知系统的状态空间表达式如下，已知系统的状态空间表达式如下，将其变换成对角线形。将其变换成对角线形。121002111321u XX101y X A=1 2-1;0 2 1;1-3 2;B=0;1;1;C=1 0 1;D=0;sys=ss(A,B,C,D);sys1=canon(sys,modal)a=x1 x2 x3 x1 1.737 0 0 x2 0 1.631 1.916 x3 0 -1.916 1.631b=u1 x1 1.54 x2 2.024 x3 0.2001c=x1 x2 x3 y1 0.7641 -0.1307 0.4398d=u1 y1 0example4_09.m第59页，共59页。
