1、2.2 年金在本节中，首先给出年金的定义，然后主要介绍各种年金的表示方式和计算方法。2.2.1 等额确定年金的现值和终值 年金年金是收付款的一种方式，是指相隔一个相等的时间间隔进行的一系列固定数额收付款方式。分类：1 根据固定数额是否变化2 根据付款时间3 根据付款时期的长度等额年金变额年金期首年金期末年金定期年金永久年金例子：养老保险金（与生命有关）分期付款购买房子（与生命无关）表示符号：na：在复利率i下每年末1单位元，收付期为n年，在初 始时刻的现值。na：在复利率i下每年首1单位元，收付期为n年，在初始时刻的现值。0 1 2 3 。n-1 n 1 1 1 。1 1金额年份2nvvv21
2、1 11.11111nnnnnvvvav vvvviii ,.nRRa如果年金每次的收付额为则现值为0 1 2 3 。n-1 n 1 1 1 。1 1 金额年份211nvvv21111.1nnnnvvav vvvd ,.nRRa 如果年金每次的收付额为则现值为两种年金的关系11(1)nnnnnnaaavaoraai 两种解释：理论推导 实际意义的分析确定年金终值是一系列等额收付款在最后期的本息之和。表示符号：nS：在复利率i下每年末1单位元，收付期为n年的年金终值。nS：在复利率i下每年首1单位元，收付期为n年的年金终值。终值的计算方法：直接法推导法I 直接法11(1)(1)11(1).(1)
3、1(1)(1)1(1)1(1).(1)nnnnnnnniiSiiiiiiSiiivd,.nRRS如果期末年金每次的收付额为则终值为,.nRRS如果期首年金每次的收付额为则现值为II 推导法(1)(1)1(1)(1)(1)(1)1(1)(1)nnnnnnnnnnnnviSiaiiiviSiaidd由（3-1）与（3-2）知：III 两者的关系(1)nnnnSS vorSi S利用前述两种理解与证明的方法例子Ex2.8某人从银行贷款20万元用于购房，规定的还款期是30年假设贷款利率为5%，如果从贷款第2年开始每年等额还款，求每年需要换款数额是多少？Ex2.9某人在30岁时计划每年初存入银行300元
4、建立个人帐户，假设他在60岁退休，存款年利率假设恒定为3%。（1）求退休时个人帐户的累积额；（2）如果个人帐户累积额在退休后以固定年金的方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的数额。例子Ex2.10在上例中，如果退休后个人帐户累积额以固定年金的方式在20年内每月领取一次，求每月领取的数额。Ex2.11某人贷款50000元购买汽车，从贷款第9个月开始用5年的时间每月还款，利率为6%，求每月的还款额。同时，还可以按照公式的办法得到上面的结果。111111,nnnnmmmmmmmmnnnniivvaassdidi利用上述公式，我们计算ex2.10,2.112.2.2 永续年金（永久年金）所谓永久
5、年金是指每年收付款1单位元，而收付款的时间为永久的无确定期限。表示符号：a()maa()ma223111.11.1avvvdvavvvvi 两者的关系(1)aai12()11()1111.111111(1)mmmmmmmmavvmmmmdvmd考虑：每年收付款次数为 次，期首支付，每次收付款额为的永久年金，12()111()11.1111(1)1mmmmmmmavvmmvmivmi ()()()()1(1)11(1)1nnmmmmnnnnmmmmnnviaSiiviaSdd例子Ex2.12若存入银行10万元建立一项永续奖励基金，从存款后1年开始支取年金,设利率为4%，求每年可以提取的最大数额。
6、2.2.3 变额年金分类与符号表示：nnnnIaDaIaIaDaIa等比变化与等差变化，我们主要研究等差变化年金。I n年定期递增年金 1 2 3 。n-1 n 金额0 1 2 3 。n-1 n 年份212(1)nnvvnvnv22121()()2.,(1)()().()1.,nnnnnnnnnnnnnnanvIaIavvnvv Iaiv Iavvvnvi Iavvvvanvin (),(),()nnnnnnnanvSnSnIaISISdid同理，可以得到II n年定期递减年金21()(1).,()(1)()(1)(1)()(1)(),()nnnnnnnnnnnnnnnaDanvnvvDain
7、iaDainiSniSDSiDaDSii同理，211(),()IaIaiddIII 永久递增年金同学们自己分析，得出结论：例子：Ex2.13 某年金在第一年首收付100元，以后每隔一年均比前一年增收100元，若年利率为8%，（1）计算收付8年后年金现值与终值；（2）计算永久年金的现值。Ex2.14 某年金第一年收付200元，以后每隔一年均比前一年增收100元，增加到一次收付1000元时不再增加，并保持每年1000元的水平连续收付，年利率为8%，给出这一年金现值的计算表达式。第3章 生命表生命表是研究人口死亡规律的有力工具，它用表格的形式简单清楚地表述了同时出生的一组人以怎样的死亡率陆续死亡的全
8、部过程。本章主要内容 生命表基本函数 生存分析 非整数年龄存活函数的估计 几个死亡时间的解析分布 生命表的编制3.1 生命表基本函数 生命表是反映在封闭人口的条件下，一批人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。地位：生命表是人寿保险用以测定死亡或生存概率的基础。根据以往死亡人数的统计资料，推测出未来死亡或生存概率，是计算保险费率的必要依据。生命表的通常函数 001211001210101.:012.:0,1,1100000,1000000,1203.:(1)(2):xxxxxxxxxx ttnxxxlxxllllldxxlldldddddlddxxn 年龄，在生命表中的范围，岁。取整数值。存
9、活到确切整数年龄 岁的人数。岁的存活人在 岁这一整年内的死亡人数。表示在 岁到岁之间死亡xxxnndll的人数，用公式表示即为：11111114.:(1),0,1,121:1.5.:1,1xxxxnxxx nnxxnxxxxxxxxxxqxdqxldllqllqxxxnlldqllnqqpxxlplpq死亡率，表示 岁的人在一年内死亡的概率。表示 岁的存活人在 岁到岁之间死亡的概率，用公式表示即为：当时，生存率，表示 岁的人在一年内存活的概率，即到岁时仍然存活的概率。1:,nxnxx nxnnxxpqpxnlpl表示 岁的存活人再活 年的概率，用公式表示即为：1006.:10.:7.:xnx
10、nx nx nx nx nxnxx nnxxxx nxxmxnmx nx nx m mxnxm nxnxmx nn mxxxqxnnlldldqp qllllnqqqxxnxnmdllqpppqllex 表示 岁的存活人，活过 年，并在第年死亡的概率。当时，表示 岁的人在岁之间死亡的概率，完全平均余寿或生命期望值，即表示 岁的存活人在00e以后可望生存的平均年数。表示确定基数的一个群体的平均寿命。计算平均余寿的定理1012101001210001111221111:22xxxxx ttxxttellltdllellltdll 定理1.1 假设死亡人数在每个年龄区间上均匀分布,则平均余寿为:平均寿命为111010011121000:12211111.221xxxxxxxxxx ttxxxx ttxxxx tx txxtxxxxx ttxxLxllLldTxTLTeLllldlllllTeLll 证明 记 表示 岁的人在一年内存活的总人年数.记 表示 岁的在未来存活的总人年数.另,11110011122xxxx tx tx tttxxlltdll 例子Eg3.1已知lx=1000(1-x/120),计算20p30和20I5q25.解：Ex：p69ex3.1,3.2
