1、【 精品教育资源文库 】 第 4 讲 万有引力定律及应用 一、开普勒三定律的内容、公式 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律 ) 所有行星绕太阳运动的轨道都是 椭圆 ，太阳处在 椭圆 的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律 ) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 面积 相等 开普勒第三定律(周期定律 ) 所有行星的轨道的半长轴的 三次方 跟它的公转周期的 二次方 的比值都相等 a3T2 k， k 是一个与行星无关的常量 自测 1 (2016 全国卷 14) 关于行星运动的规律，下列说法符合 史实的是 ( ) A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
2、B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案 B 解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星运动按照这些规律运动的原因，而牛顿发现了万有引力定律 . 二、万有引力定律 1.内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和 m2的乘积 成 正比 ，与它们之间距离 r 的二次方成 反比 . 2.表达式 F Gm1m2r2 ， G 为引力常量， G 6.6710 11Nm 2/kg2. 3
3、.适用条件 (1)公式适用于 质点 间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可【 精品教育资源文库 】 视为质点 . (2)质量分布均匀的球体可视为质点， r 是 两球心间 的距离 . 4.天体运动问题分析 (1)将天体或卫星的运动看成 匀速圆周 运动，其所需向心力由 万有引力 提供 . (2)基本公式： GMmr2 ma? mv2r vGMrmr 2 GMr3mr? ?2T 2 T 2 r3GMmv自测 2 我国发射的 “ 天宫一号 ” 和 “ 神舟八号 ” 在对接前， “ 天宫一号 ” 的运行轨道高度为 350km， “ 神舟八号 ” 的运行轨道高度为 343km.它
4、们的运行轨道均视为圆周，则 ( ) A.“ 天宫一号 ” 比 “ 神舟八号 ” 速度大 B.“ 天宫一号 ” 比 “ 神舟八号 ” 周期长 C.“ 天宫一号 ” 比 “ 神舟八号 ” 角速度大 D.“ 天宫一号 ” 比 “ 神舟八号 ” 加速度大 答案 B 解析 航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力，根据万有引力定律和匀速圆周运动知识得 GMmr2 mv2r mr2 mr?2T2 ma，解得 v GMr ， T4 2r3GM ， GMr3， aGMr2， 而 “ 天宫一号 ” 的轨道半径比 “ 神舟八号 ” 的轨道半径大，可知选项 B正确 . 三、宇宙速度 1.第一宇宙速
5、度 (1)第一宇宙速度又叫 环绕 速度，其数值为 7.9km/s. (2)第一宇宙速度是人造卫星在 地面 附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度 . (3)第一宇宙速度是人造卫星的最小 发射 速度，也是人造卫星的最大 环绕 速度 . (4)第一宇宙速度的计算方法 . 由 GMmR2 mv2R得 vGMR ； 由 mg mv2R得 v gR. 【 精品教育资源文库 】 2.第二宇宙速度 使物体挣脱 地球 引力束缚的最小发射速度，其数值为 11.2km/s. 3.第三宇宙速度 使物体挣脱 太阳 引力束缚的最小发射速度，其数值为 16.7km/s. 自测 3 教材 P48 第 3 题 金星的半径是
6、地球的 0.95 倍，质量为地球的 0.82 倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的 “ 第一宇宙速度 ” 是多大？ 答案 8.9 m/s2 7.3 km/s 解析 根据星体表面忽略自转影响，重力等于万有引力知 mg GMmR2 故 g金g地 M金M地 (R地R金)2 金星表面的自由落体加速度 g 金 g 地 0.82( 10.95)2m/s2 8.9 m/s2 由万有引力充当向心力知 GMmR2 mv2R 得 vGMR 所以 v金v地 M金M地 R地R金 0.82 10.950.93 v 金 0.937.9km/s7.3 km/s. 命题点一 开普勒三定律的理解和应用 1.行星绕太阳的运
7、动通常按圆轨道处理 . 2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动 . 3.开普勒第三定律 a3T2 k 中， k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k 值不同 .但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间 . 例 1 (多选 )(2017 全国卷 19) 如图 1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动， P 为近日点，Q 为远日点， M、 N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P 经过 M、 Q 到 N 的运动过程中 ( ) 图 1 【 精品教育资源文库 】 A.从 P 到 M 所用的时间等于 T04 B.从 Q
8、 到 N 阶段，机械能逐渐变大 C.从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小 D.从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 答案 CD 解析 由行星运动的对称性可知，从 P 经 M 到 Q 点的时间为 12T0，根据开普勒第二定律可知，从 P 到 M 运动的速率大于从 M 到 Q 运动的速率，可知从 P 到 M 所用的时间小于 14T0，选项 A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项 B 错误；根据开普勒第二定律可知，从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小 ，选项 C 正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项 D 正确
9、 . 变式 1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 ( ) A.太阳位于木星运行轨道的中心 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案 C 解析 由开普勒第一定律 (轨道定律 )可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上， A 错误 .火星和木星绕太阳运行的轨 道不同，运行速度的大小不可能始终相等， B 错误 .根据开普勒第三定律 (周期定律 )知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数， C 正确 .对于某
10、一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等， D 错误 . 变式 2 (多选 )如图 2 所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆 .设卫星、月球绕地球运行周期分别为 T 卫 、 T 月 ，地球自转周期为 T 地 ，则 ( ) 图 2 A.T 卫 T 月 C.T 卫 r 同 r 卫 ，由开普勒第三定律 r3T2 k，可知， T 月 T 同 T 卫 ，又同步卫星的周期 T 同 T 地 ，故有 T 月 T 地 T 卫 ，选项 A、 C 正确 . 变式 3 如图 3 所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动， A、 B 是卫星运动的远地点和近地点
11、.下列说法中正确的是 ( ) 图 3 A.卫星在 A 点的角速度大于 B 点的角速度 B.卫星在 A 点的加速度小于 B 点的加速度 C.卫星由 A 运动到 B 过程中动能减小，势能增加 D.卫星由 A 运动到 B 过程中引力做正功 ，机械能增大 答案 B 解析 由开普勒第二定律知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故卫星在远地点转过的角度较小，由 t 知，卫星在 A 点的角速度小于 B 点的角速度，选项 A 错误；设卫星的质量为 m，地球的质量为 M，卫星的轨道半径为 r，由万有引力定律得 GmMr2 ma，解得 a GMr2，由此可知， r 越大，加速度越小，故卫星在 A 点的
12、加速度小于 B 点的加速度，选项 B 正确；卫星由 A 运动到 B 的过程中，引力做正功，动能增加，势能减小，选项 C 错误；卫星由 A 运动到 B 的过程中，只有引力做功，机械能守恒，选项 D 错误 . 命题点二 万有引力定律的理解 1.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力 F 表现为两个效果：一是重力 mg，二是提供物体随地球自转的向心力 F 向 . (1)在赤道上： GMmR2 mg1 m 2R. (2)在两极上： GMmR2 mg0. (3)在一般位置：万有引力 GMmR2等于重力 mg 与向心力 F 向 的矢量和 . 越靠近南、北两极， g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心
13、力较小，常认为万有引力近【 精品教育资源文库 】 似等于 重力，即 GMmR2 mg. 2.星球上空的重力加速度 g 星球上空距离星体中心 r R h处的重力加速度为 g ， mg GmMR h 2，得 g GMR h 2.所以 gg R h2R2 . 3.万有引力的 “ 两点理解 ” 和 “ 两个推论 ” (1)两点理解 两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力 . 地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力 . (2)两个推论 推论 1：在匀质球壳的空腔内任意位置处 ，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即 F引 0. 推论 2：在匀质球体内部距离球心 r 处的质点 (m)受到的万
14、有引力等于球体内半径为 r 的同心球体 (M) 对其的万有引力，即 F GM mr2 . 例 2 如图 4 所示，有人设想通过 “ 打穿地球 ” 从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷 .如只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度 ( ) 图 4 A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 答案 D 解析 设地球的平均密度为 ，物体在隧道内部离地心的距离为 r，则 物体 m 所受的万有引力 F G 43 r3 mr2 43 Gmr ，此处的重力加速度 aFm43 Gr ，故选项 D 正确 . 【 精品教育资源文库 】 例 3 由中国科学院、中国工程院两
15、院院士评出的 2012年中国十大科技进展新闻，于 2013年 1 月 19 日揭晓， “ 神九 ” 载人飞船与 “ 天宫一号 ” 成功对接和 “ 蛟龙 ” 号下潜突破 7000米分别排在第一、第二 .若地球半径为 R，把地球看做质量分布均匀的球体 .“ 蛟龙 ” 下潜深度为 d， “ 天宫一号 ” 轨道距离地面高度为 h， “ 蛟龙 ” 号所在处与 “ 天宫一号 ” 所在处的加速度之比为 ( ) A.R dR hB. R d2R h 2C.R d R h 2R3 D.R d R hR2 答案 C 解析 令地球的密度为 ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有： g GMR2.由于地球的质量为： M
