1、三、向量的混合积三、向量的混合积 第3节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积向量的乘法运算 第8章 1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1.定义定义设向量的夹角为,称 记作数量积(内积、点积).引例引例.设一物体在常力 F 作用下,F位移为 s,则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s,0时当a上的投影为在ab记作故,0,时当同理babj rPb2.性质性质为两个非零向量,则有baj rPcosbbabaaj rPbaaa)1(2aba,)2(0baba ba0ba则2),(ba0,0ba3.运算律
2、运算律(1)交换律(2)结合律),(为实数abbaba)()(ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3)分配律cbcacba事实上,当0c时,显然成立;时当0cc)(bababcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbacABCabc例例1.证明三角形余弦定理cos2222abbac证证:则cos2222abbac如图.设,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,4.数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则,10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos
3、zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,两向量的夹角公式,得)(MB,)(MA BM例例2.已知三点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(BAM AMB.A解解:,1,1 0,1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故为 ).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域,与该平面域的单位垂直向量,A解解:单位时间内流过的体
4、积APAA的夹角为且vvncosvcosvnv vnn为单位向量二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量 M:的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 1.定义定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考:右图三角形面积abba21S2.性质性质为非零向量,则，0sin或即0aa)1(0ba,)2(0baba,0,0时当
5、baba0basinab03.运算律运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)abcba)(cbcaba)()(ba)(baba)1(证明证明:)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaa
6、yxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx例例4.已知三点,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1(CBA角形 ABC 的面积 解解:如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三一点 M 的线速度例例5.设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转,导出刚体上 的表示式.Ml解解:在轴 l 上引进一个角速度向量使a其在 l 上任取一点 O,O作它与则点 M离开转轴的距离a且符合右手法则的夹角为,sinar,rOM vsinr,vr rvv
7、v方向与旋转方向符合右手法则,r向径三、向量的混合积向量的混合积1.定义定义 已知三向量称数量混合积混合积.记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cba,Abaccba,以则其cosbaccba)(cbabacbazyxzyxbbbaaaxcyczckji2.混合积的坐标表示混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba,),(zyxaaaa cbazyzybbaa,),(zyxbbbb),(zyxcccc,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc3.性质性质
8、(1)三个非零向量共面的充要条件是0(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)cbacba,ab cab cabcabc例例6.已知一四面体的顶点),(kkkkzyxA,3,2,1(k4),求该四面体体积.1A2A3A4A解解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz,21AA,31AA41AA413121AAAAAA例例7.证明四点,)3,3,2(),6,5,4(,)1,1,1(CBA共面.解解:因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A,B,C,D 四点共面
9、.ADACAB内容小结内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(,),(,),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba混合积:2.向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba思考与练习思考与练习1.设计算并求夹角 的正弦与余弦.)3,1,1(,321cos1211sin答案答案:2.用向量方法证明正弦定理:CcBb
10、Aasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC证证:由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACB22343cos322)2(17备用题备用题1.已知向量的夹角且解：解：,43ba,.|ba 求,2|a,3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba22200)2(211ABCD在顶点为三角形中,)2,1,1(A)0,1,1(B的和)1,3,1(C求 AC 边上的高 BD.解：解：)3,4,0(AC,5)3(422|AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面积为|21ABACS21S|AC|BD5211|BD52|BD2.而故有
