1、 设曲线构件所占的位置在xOy平面内的一段曲线弧L上，线密度为(,),x y 求这个构件L的质量M。OxyAB引例:曲线形构件的质量若构件的密度分布均匀，即 为常数，.Ms 则在L上任一点(x,y)处，它的它的端点为A、B，oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取iM 作和作和1(,).niiiiMs 取极限取极限01lim(,).niiiiMs 近似值近似值精确值精确值若构件的线密度为变量，若构件的线密度为变量，则不能使用上述方法。则不能使用上述方法。(,).iiis 则称此极限为OxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii
2、 C设C为xOy面内的一条光滑曲线弧，C上有界。121,nM MM 把C 分成n个小段。在第i个小段上任取一点 ,ii 作乘积 ,(1,iiifs i 长度的最大值0 时，上述和的或第一型曲线积分，记作2,),n并作和1(,),niiiifs 若当各小弧段的极限存在，且与“分割”无关，与(,)d,Cf x ys 函数f(x,y)在在C上任意插入一列点,is 设第i个小段的长度为 ,ii 的取法无关，f(x,y)在曲线弧C上对弧长的曲线积分01 (,)dlim(,).niiiiCf x ysfs 被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量(,)d.CMx ys 即当 f(x,y)在光滑曲线弧C上连
3、续时，对弧长的曲线积分(,)dCf x ys 存在。01(,)dlim(,).niiiiif x y zsfs 函数 f(x,y,z)在空间曲线弧 上对弧长的曲线积分为12(),()CCCC 若若或或是是分分段段光光滑滑的的12(,)dCCf x ys 函数 f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为1(,)dCf x ys 2(,)d.Cf x ys (,)d.Cf x ys(,)dCf x ys 性质性质9.3则则1C和和2,C若积分弧可分成两段光滑曲线弧若积分弧可分成两段光滑曲线弧1(,)dCf x ys 2(,)d.Cf x ys 性质性质9.5则则(,)d(,)d.LLf x ys
4、g x ys特别，有特别，有(,)d(,)d.CCf x ysf x ys(,)(,),f x yg x y设在设在L上上 cossinat bt 例9.1dcos,:().sin,LxatIxy s Lybt 求求椭椭圆圆第第 象象限限解I d22222 0sin cossincosabtt atbt t d 222 ababuuab )cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 20 xyOab22d(sin)(cos)atbtt例9.2d,LIy s 求求解d2 1()2yIyy.0 例9.3d,Ixyz s 求求解2221.2kaak d222cos sinakakI xy42(1,2)(1,2)22 241 212:,(,)(,).L yx其其中中从从到到一一段段sin,(02)yazk的的一一段段.:cos,xa 其其中中20
