1、专题16 压轴：一次函数综合专题测试1（2018春陆川县期末）如图，直线L1：yx+1与直线L2：yx+5相交于点C直线L1与x轴相交于点A，直线L2与x轴相交于点B（1）求三角形ABC的面积；（2）若经过点C的一条直线交x轴于D，直线CD把三角形ABC分成两个三角形，且这两个三角形面积的比为1：2，请直接写出点D的坐标；（3）假设G是直线yx+1上的点，在坐标平面上是否存在一点Q，使以A，B，Q，G为顶点的四边形是正方形，若存在求出点Q的坐标，若不存在请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）在yx+1中，当y0时，则x1A（1，0）在yx+5中当y0时，则x5B（5，0）ABOA+OB6，
2、由解得，C（2，3）作CEx轴于EE（2，0）CE3SABC=12ABCE=12639，（2）由题意A（1，0），B（5，0），AD2BD或BD2AD，可得D（1，0）或D（3，0）（3）设yx+1交y轴于F，则F（0，1）OFOAOAF45同理ABC45ACB90CACB，在L1上取点G（G异于A），且CGCA，在L2上取点Q（Q异于B），且CQCBCGCACQCB，又AGBQ，四边形ABGQ为正方形，又A（1，0）ABAQ6Q（1，6）当G与C重合时，以AB为对称轴作G的对称点Q，于是四边形AQBG为正方形又G（2，3），Q（2，3）综合上述：Q（1，6）或Q（2，3）2（2018春成都期
3、末）在平面直角坐标系中，过点C（1，3）、D（3，1）分别作x轴的垂线，垂足分别为A、B（1）求直线CD和直线OD的解析式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交直线CD于点N，是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中，设平移距离为t，AOC与OBD重叠部分的面积记为s，试求s与t的函数关系式【答案】见解析【解析】解：（1）设直线CD的解析式为ykx+b，则有，解得k=-1b=4，直线CD的解析式为yx+4设直线OD的解析式
4、为ymx，则有3m1，m，直线OD的解析式为yx（2）存在理由：如图1中，设M（m，m），则N（m，m+4）当ACMN时，A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，|m+4m|3，解得m或214，满足条件的点M的横坐标34或214（3）如图3中，设平移中的三角形为AOC，点C在线段CD上设OC与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设AC与x轴交于点F，与直线OD交于点Q因为平移距离为t，所以水平方向的平移距离为t（0t2），则图中AFt，F（1+t，0），Q（1+t，13+13t），C（1+t，3t）设直线OC的解析式为y3x+b，将C（1+t，3t）代入得：b4t，直线OC的解析式为y3x4t
5、E（43t，0）联立y3x4t与y=13x，解得x=32t，P（32t，12t）过点P作PGx轴于点G，则PGtSSOFQSOEPOFFQOEPG（1+t）（13+13t）tt（t1）23（2018春邓州市期末）直线yx+6与x轴交于A，与y轴交于B，直线CD与y轴交于C（0，2）与直线AB交于D，过D作DEx轴于E（2，0）（1）求直线CD的函数解析式；（2）P是x轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与直线AB，CD交于M，N，设MN的长为d，P点的横坐标为t，求出d与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形（直接写出结果）【答案】见
6、解析【解析】解：（1）直线CD与y轴相交于C，可设直线CD解析式为ykx+2，把x2代入中可得y4，D（2，4），把D点坐标代入中可得 2K+24，k1直线CD的函数解析式为yx+2；（2）根据题意可以知道，OAt，把xt代入yx+6中可得yt+6M（t，t+6），把xt代入yx+2中可得yt+2，N（t，t+2），当t2时，dt+6（t+2）2t+4；，当t2时，dt+2（t+6）2t4；（3）由题意可知MNDE，以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形，MNDE4，|2t4|4，解得t0或t4，即当t的值为0或4时，以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形4（2018春江岸区期末）一次
7、函数ykx+3交x轴于点B，y轴于点A（如图1）（1）若k1，求线段AB的长度；（2）如图2，点M、N是直线ykx+3（k0）上的两点，设点M、N的横坐标分别为a，b，且a0，b0，a+b0，过M作直线l1：yax和过N作直线l2：ybx求ab的值；在y轴的负半轴上是否存在一点P，使得MPAAPN，若存在求出P点坐标；若不存在，说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）当k1时，直线AB的解析式为yx+3，令x0，则y3，A（0，3），令y0，则x+30，x3，B（3，0），AB3；（2）直线yax过点M，M（a，a2），直线ybx过点N，N（b，b2），点M、N是直线ykx+3（k0）上的两点
8、，a2ak+3，b2bk+3，得，（ab）k（a+b）（ab），a0，b0，a+b0，ka+b，直线AB的解析式为y（a+b）x+3，M（a，a2）在直线AB上，a2a（a+b）+3，ab3；如图2，作点M（a，a2）关于y轴的对称点M，M（a，a2），APMAPN，点P，M，N在同一条直线上，M（a，a2），N（b，b2），直线MN的解析式为y（ba）x+ab，由知，ab3，直线MN的解析式为y（ba）x3，令x0，y3，P（0，3）5（2018春青山湖区期末）如图，在平面直角坐标系可中，直线yx+1与yx+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点（1）求点A，B，C的
9、坐标；（2）在直线AB上是否存在点E使得四边形EODA为平行四边形？存在的话直接写出的值，不存在请说明理由；（3）当CBD为等腰三角形时直接写出D坐标【答案】见解析【解析】解：（1）将yx+1与y=-34x+3联立得：y=x+1y=-34x+3，解得：x，y，A（，157）把y0代入yx+1得：x+10，解得x1，B（1，0）把y0代入y=-34x+3得：x+30，解得：x4，C（4，0）（2）如图，存在点E使EODA为平行四边形EOAC，（3）当点BDDC时，点D在BC的垂直平分线上，则点D的横坐标为，将x=32代入直线AC的解析式得：y=158，此时点D的坐标为（，）如图所示：FC5BCC
10、F当点D与点F重合时，BCD为等腰三角形，此时点D的坐标为（0，3）当点D与点F关于点C对称时，CDCB，此时点D的坐标为（8，3）当BDDC时，设点D的坐标为（x，x+3）依据两点间的距离公式可知：（x+1）2+（x+3）225解得x4（舍去）或x=-125将x代入yx+3得y=245，此时点D的坐标为（-125，245）综上所述点D的坐标为（-125，245）或（8，3）或（0，3）或（32，158）6（2018春青浦区期末）如图，平面直角坐标系xOy中，直线yx+2与x轴、y轴分别交于点AB（1）求AOB的面积；（2）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以ABP、Q为顶点的四边
11、形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）对于直线yx+23，令x0得到y23，令y0，得到x2，A（2，0）B（0，23），OA2，OB2，SAOB=12OBOA2（2）存在当AB是菱形的边时，如图所示，在菱形AP1Q1B中，Q1OAO1，所以Q1点的坐标为（2，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2AB4，所以Q2点的坐标为（2，4），在菱形ABP3Q3中，AQ3AB2，所以Q3点的坐标为（2，4），当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，设菱形的边长为x，则在RtAP4O中，AP42AO2+P4O2，即x222+（2x）2，解得x
12、=433，所以Q4（2，）综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（2，0），Q2（2，4），Q3（2，4），Q4（2，433）7（2018春岳池县期末）如图，直线l1的解析表达式为：y3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C根据图中信息：（1）求点D的坐标（2）求直线l2的解析表达式（3）求ADC的面积（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）直线l1的解析表达式为：y3x+3，且l1与x轴交于点D，令
13、y0，3x+30，x1，D（1，0）；（2）设直线l2的解析式为ykx+b，由图知，A（4，0），B（3，），4k+b=03k+b=-32，k=32b=-6直线l2的解析式为；（3）联立得：y=-3x+3y=32x-6，解得：，即C（2，3），A（4，0），C（2，3），D（1，0），AD3，C纵坐标的绝对值为3，则；（4）存在，如图所示：当四边形ACH2D为平行四边形时，可得CH12AD3，此时H2（1，3），当四边形ACDH1为平行四边形时，过H1作H1Ex轴，过C作CFx轴，易证，CFDH1EA，H1ECF3，AEDF1，此时H1（3，3），）当四边形ADCH3为平行四边形时，CH3AD
14、3，此时H3（5，3）；综上，H的坐标为（5，3）或（1，3）或（3，3）8（2018春河北区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：yx与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：yx交于点C（）求点C的坐标；（）求证：OAC为等边三角形；（）如图2，作AOC的平分线ON交AC于F，P、Q分别为线段OA、OF上的动点，连结AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由【答案】见解析【解析】解：（）由题意知，解得，C（，）；（）针对于直线AB：yx，令y0，得x1，A（1，0），令x0，得y，B（0，），OA1，OB，根据勾股定理得，AB2，在RtA
15、OB中，tanOBA，OBA30，OAB60，如图1，过点C作CDOA于D，C（，32），OD=12，CD=32，由勾股定理得，OC1，OCOA，OAB60，OAC是等边三角形；（）如备用图，AOC是等边三角形，OF平分AOC，OFAB，AFCF，点A与点C关于OE对称，过点C作CPOA交OF于点Q，此时，AQ+PQ最小，C（，），AQ+PQ的最小值为CQ+PQCP=329（2018春新罗区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角AOB的斜边OB在x轴上，顶点A的坐标为（2，2）（1）求直线OA的解析式；（2）如图2，动点P从原点O沿x轴正方向运动，到B点时停止运动过点P作PCx轴于点
16、P，交直线OA于点C，设点P的坐标为（m，0），（）直线PC在OAB内部扫过的面积为S，求S与m之间的函数关系式；（）在线段AB上是否存在一点Q，使得QPC为等腰直角三角形？若存在，求出此时m的值或m的取值范围；若不存在，说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）设直线OA的解析式为ykx，把A（2，2）代入得到k1，直线OA的解析式为yx（2）（）如图1中，当0m2时，直线PC在OAB内部扫过的图形是OPCS=12m2如图2中，当2m4时，直线PC在OAB内部扫过的图形是四边形OAMPS=1242-12（4m）2=-12m2+4m4（）如图31中，当CQPC，PCQ90时由题意OPC，PCQ，
17、PQB都是等腰三角形，OPPCCQm，PQBQ=2m，PM2m，m+2m4，m如图32中，当点C与A重合时，存在点Q使得APQ是等腰直角三角形，此时m2；如图33中，当点P与点B重合时，存在CPQ是等腰直角三角形，此时m4综上所述，满足条件的m的值为或2或410如图1，直线yx+6与y轴于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，AOB沿直线AB折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处（1）求点B的坐标；（2）如图2，直线AB上的两点F、G，DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点G的坐标；（3）如图3，点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且P、Q均在第四象限，点E是x轴上一点，若四边
18、形PQDE为菱形，求点E的坐标【答案】见解析【解析】解：（1）对于直线y=-34x+6，令x0，得到y6，可得A（0，6），令y0，得到x8，可得D（8，0），ACAO6，OD8，AD=OA2+OD2=10，CDADAC4，设BCOBx，则BD8x，在RtBCD中，BC2+CD2BD2，x2+42（8x）2，x3，B（3，0）（2）设直线AB的解析式为ykx+6，B（3，0），3k+60，k2，直线AB的解析式为y2x+6，作GMx轴于M，FNx轴于N，DFG是等腰直角三角形，DGFD，12，DMGFND90，DMGFND（AAS），GMDN，DMFN，设GMDMm，DMFNn，G、F在直线A
19、B上，m=-2(8-n)+6-n=-2(8-m)+6，解得m=2n=6，G（2，2）（3）如图，设Q（a，-34a+6），PQx轴，且点P在直线y2x+6上，P（38a，-34a+6），PQ=58a，作QHx轴于HDHa8，QH=34a6，QHDH=34，由勾股定理可知：QH：DH：DQ3：4：5，QH=35DQ=38a，38a=34a6，a16，Q（16，6），P（6，6），EDPQ，EDPQ，D（8，0），E（2，0）11（2018春香洲区期末）如图，一次函数ykx+b的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB为边在第一象限内作等腰直角ABC，使BAC90（1）求一次函数的解析式
20、；（2）求出点C的坐标；（3）点P是y轴上一动点，当PB+PC最小时，求点P的坐标【答案】见解析【解析】解：（1）设AB直线的解析式为：ykx+b，把（0，4）（3，0）代入可得：b=43k+b=0，解得：k=-43b=4，所以一次函数的解析式为：y=-43x+4；（2）如图，作CDy轴于点DBAC90，OAB+CAD90，又CAD+ACD90，ACDBAO在ABO与CAD中，ABOCAD（AAS），OBAD3，OACD4，ODOA+AD7则C的坐标是（4，7）（3）如图2中，作点B关于y轴的对称点B，连接CB交x轴于P，此时PB+PC的值最小B（3，0），C（4，7）B（3，0），把（3，0
21、）（4，7）代入ymx+n中，可得：4m+n=7-3m+n=0，解得：m=1n=3，直线CB的解析式为yx+3，令x0，得到y3，P（0，3）12（2018春吉州区期末）已知MON90，OC为MON的角平分线，P为射线OC上一点，A为直线OM上一点，B为直线ON上一点，且PBPA（1）若点A在射线OM上，点B在射线ON上，如图1，求证：PAPB；（2）若点A在射线OM上，点B在射线ON的反向延长线上，请将图2补充完整，并说明（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由（3）在（1）的前提下，以图2中的点O为坐标原点，ON所在的直线为x轴，OM所在的直线为y轴，建立平面直
22、角坐标系设直线PA与x轴交于点D，直线PB与y轴交于E，连接DE，如图3所示，若点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（2，0），求直线DE的函数解析式【答案】见解析【解析】解：（1）证明：如图1中，作PQOM于Q，PRON于R，OC平分MON，PQPR，APBQPR90，APQBPR，PQAPRB90，PQAPRBPAPB（2）如图2中，结论仍然成立理由：作PQOM于Q，PRON于R，OC平分MON，PQPR，APBQPR90，APQBPR，PQAPRB90，PQAPRBPAPB（3）如图3中，作PQOM于Q，PRON于R，同理可得：PQAPRBQARB，PQPR，设QARBx，PROQOAQ
23、A6xPQOROB+BR2+x，6x2+x，x2，P（4，4），设直线PA的解析式为ykx+b，则有b=64k+b=4，解得k=-12b=6，直线PA的解析式为y=-12x+6由y0，解得x12，D（12，0），同理可得E（0，4），设直线DE的解析式为ykx+b，则有b=-412k+b=0，解得k=13b=-4，直线DE的解析式为y=13x413（2018春金牛区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，点A的坐标为（2，0），ABO30，且ABBC（1）求直线BC和AB的解析式；（2）将点B沿某条直线折叠到点0，折痕分别交BC、BA
24、于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）在RtAOB中，OA2，ABO30，OB23，在RtOBC中，BCO30，OB23，OC6，B（0，23），C（6，0），设直线AB的解析式为ykx+b，则有，解得k=-3b=23，直线AB的解析式为y=-3x+23，设直线BC的解析式为ykx+b则有b=23-6k+b=0，解得k=33b=
25、23，直线BC的解析式为yx+2（2）如图1中，根据对称性可知，当点F与O重合时，EFDEBD90，此时F（0，0），设DE交OB于K，作FHDE于H当EFDDFE时，EFDDFE90，易证DKEH1，DEAC4，KHOF422，F（2，0），综上所述，满足条件的点F坐标为（2，0）或（0，0）（3）如图2中，B（0，2），C（6，0），BC4，当BC为正方形BCMN的边时，M（62，6），N（23，26）或M（26，6），N（2，26）当BC为正方形的对角线时，M（3，3），N（3-3，3-3）14（2018春锦江区期末）已知菱形ABCD的边长为5，其顶点都在坐标轴上，且点A坐标为（0，3）
26、（1）求点B的坐标及菱形ABCD的面积；（2）点P是菱形边上一动点，沿ABCD运动（到达D点时停止）如图1，当点P关于x轴对称的点Q恰好落在直线yx3上时，求点P的坐标探究：如图2，当P运动到BC，CD边时，作ABP关于直线AP的对称图形为ABP，是否存在这样的P点，使点B正好在直线yx3上？若存在，求出满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）如图1中，四边形ABCD 菱形，ABBCCDAD5，OAOC，OBOD，A（0，3），OA3，在RtAOD中，OD4，BD8，AC6，S菱形ABCD=12BDAC24（2）如图2中，由题意B（4，0），C（0，3），直线B
27、C的解析式为y=-34x+3，由y=43x-3y=-34x+3解得，Q（，），当点P坐标为（，）时，点P关于x轴对称的点Q恰好落在直线yx3上，当点P与C重合时，点P关于x轴对称的点Q恰好落在直线yx3上，此时P（0，3），综上所述，满足条件的点P坐标为（，）或（0，3）；如图3中，当AP平分BAQ时，满足条件，由题意A（0，3），B（4，0），Q（，2125），AQ，BQ=75，ABAQ=PBPQ（角平分线性质定理，可以用面积法证明），PBPQ=2524，PB=254975=57，可得P（，）当APAP时，B在直线AQ上，此时直线AP的解析式为yx3，直线CD的解析式为yx+3，由y=-x-
28、3y=34x+3，解得x=-247y=37，P（，），综上所述，满足条件的点P坐标为（，）或（，）15（2018春武侯区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB经过点A（2，0），与y轴的正半轴交于点B，且OA2OB（1）求直线AB的函数表达式；（2）点C在直线AB上，且BCAB，点E是y轴上的动点，直线EC交x轴于点D，设点E的坐标为（0，m）（m2），求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若CE：CD1：2，点F是直线AB上的动点，在直线AC上方的平面内是否存在一点G，使以C，G，F，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由【答
29、案】见解析【解析】解：（1）A（2，0），OA2OB，OA2，OB1，B（0，1），设直线AB的解析式为ykx+b，则有-2k+b=0b=1，解得k=12b=1，直线AB的解析式为yx+1（2）BCAB，A（2，0），B（0，1），C（2，2），设直线DE的解析式为ykx+b，则有，解得，直线DE的解析式为yx+m，令y0，得到x，D（，0）（3）如图1中，作CFOD于FCE：CD1：2，CFOE，CF2，OE3m3E（0，3），D（6，0），当EC为菱形ECFG的边时，F（4，3），G（2，4）或F（1，0），G（2，2）当EC为菱形EFCG的对角线时，FG垂直平分线段EC，易知直线DE的解
30、析式为yx+3，直线GF的解析式为y2x，由y=2x+12y=12x+1，解得，F（，76），设G（a，b），则有a+132=0+22，a，b，G（，）16（2018春金山区期末）如图，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，QAO45，直线AQ在y轴上的截距为2，直线BE：y2x+8与直线AQ交于点P（1）求直线AQ的解析式；（2）在y轴正半轴上取一点F，当四边形BPFO是梯形时，求点F的坐标（3）若点C在y轴负半轴上，点M在直线PA上，点N在直线PB上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）设
31、直线AQ的解析式为ykx+b，直线AQ在y轴上的截距为2，b2，直线AQ的解析式为ykx+2，OQ2，在RtAOQ中，OAQ45，OAOQ2，A（2，0），2k+20，k1，直线AQ的解析式为yx+2；（2）由（1）知，直线AQ的解析式为yx+2，直线BE：y2x+8，联立解得，P（2，4），四边形BPFO是梯形，PFx轴，F（0，4）；（3）设C（0，c，）以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，当CQ是对角线时，CQ与MN互相垂直平分，设C（0，c，），CQ的中点坐标为（0，），点M，N的纵坐标都是，M（，c+22），N（14-c4，），0，c10，C（0，10），当CQ为边时，CQMN，CQMNQM，设M（m，m+2），N（m，2m+8），|3m6|2c|m|m或m=18-627，c或c=26-1827（舍），（0，）或C（0，10）.
