1、【 精品教育资源文库 】 第四讲 万有引力与航天 一 开普勒行星运动定律 1.开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是 椭圆 ，太阳处在椭圆的一个 焦点上 2开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的 面积 3开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟 周期 的二次方的比值都相等，表达式： a3T2 k. 二 万有引力定律 1.公式： F Gm1m2R2 ，其中 G 6.6710 11 Nm 2/kg2，叫引力常量 2适用条件：只适用于 质点 间 的相互作用 3理解 (1)两 质量 分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中 r 为两球心
2、间的距离 (2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点间的万有引力的计算也适用，其中 r 为质点到球心间的距离 4地球表面随地球自转的物体，其重力等于万有引力吗？ 如图所示，设地球的质量为 M，半径为 R， A 处物体的质量为 m，则物体受到地球的吸引力为 F，方向指向地心 O，由万有引力公式得 F GMmR2.引力 F 可分解为 F1、 F2两个分力，其中 F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力 Fn， F2就是物 体的重力 mg 赤道上，重力和向心力在一条直线上，写出万有引力与向心力和重力的关系式 GMmr2m 2r mg 【 精品教育资源文库 】 地球的两极处：向心力为零，万有引力与重力
3、的关系 GMmr2 mg 其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小 mg GMmR2，重力的方向偏离地心 . 三 天体质量和密度的计算 (1)卡文迪许是怎样 “ 称出地球质量 ” 的，并写出地球的密度表达式？ (2)若测出太阳的一个行星的周期 T 和轨道半径 r，怎样计算太阳的质量？求解天体质量的基 本思路是什么？要想估算太阳的密度还需知道什么物理量？ (3)月球围绕地球做匀速圆周运动，能否求出月球的质量？怎样才能求出月球的质量？ 提示： (1)忽略地球自转的影响 mg GMmR2， M gR2G 又 MV， V 43 R3，得 3g4 RG (2)根据万有引力充当向心力 GMmr2 m
4、? ?2T 2 r得 M 42r3GT2 .要想估算太阳的密度还需知道太阳的球半径 (3)不能需知道月球的卫星的周期和轨道半径 . 四 宇宙速度 1.三个宇宙速度 第一宇宙速度 (环绕速度 ) v1 7.9 km/s，是人造卫星在地面附近绕地球做 匀速圆周 运动的速度 第二宇宙速度 (脱离速度 ) v2 11.2 km/s，使物体挣脱 地球 引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 (逃逸速度 ) v3 16.7 km/s，使物体挣脱 太阳 引力束缚的最小发射速度 2.已知地球的质量 M 5.9810 24 kg，地球的半径 R 6.410 6 m，地球表面的重力加速度 g 9. 8 m/s2.试
5、用两种方法推导地球的第一宇宙速度？ 提示： 方法一：由 GMmR2 mv21R得 v1 GMR 6.6710 115.9810 246.410 6 m/s 7.9103 m/s 方法二：由 mg mv21R得 v1 gR 9.86.4106 m/s 7.91 03 m/s 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短， Tmin 2 Rg 5 075 s85 min 【 精品教育资源文库 】 3人造卫星 (1)同步卫星是指相对地球表面静止的卫星，其绕地球运转的角速度与地球自转的角速度相同试列式说明地球同步卫星离地面的高度一定，速率一定？ 提示： G
6、MmR h 2 m 2(R h)得 h3 Gm 2 R， 又 v (R h) GMR h (2)近地卫星、同步卫星和地球赤道上随地球自转的物体的三种圆周运动的比较 如图所示， a 为近地卫星，半径为 r1； b 为同步卫星，半径为 r2； c 为赤道上随地球自转的物体，半径为 r3 试说明三种圆周运动的向心力来源？ 如何比较 a 和 b、 b 和 c 的角速度、线速度和向心加速度的大小关系？根据是什么？ 提示： a、 b 的向心力来源于地球的万有引力， c 的向心力是万有引力的一个分力 对 a、 b：万有引力充当向心力，则有 GMmr2 m 2r mv2r ma，可得 1 2， v1 v2，a
7、1 a2 对 b、 c：因 2 3根据 v r ， a r 可得 v2 v3， a2 a3 综上所示： 1 2 3， v1 v2 v3， a1 a2 a3 1判断正误 (1)地面上的物体所受地球引力的大小均由 F Gm1m2r2 决定，其方向总是指向地心 ( ) (2)只有天体之间才存在万有引力 ( ) (3)只要已知两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由 F GMmR2计算物体间的万有引力 ( ) (4)发射速度大于 7.9 km/s，小于 11.2 km/s 时，人造卫星围绕地球做椭圆轨道运动 ( ) 答案： (1) (2) (3) (4) 2 (2016 全国卷 )关于行星运动的规
8、律，下列说法符合史实的是 ( ) A开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 【 精品教育资源文库 】 B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案： B 3 (根据人教必修 2 相关内容改编 )牛顿提出太阳和行星间的引力 F Gm1m2r2 后， 为证明地球表面的重力和地球对月球的引力是同一种力，也遵循这个规律，他进行了 “ 月 地检验 ” 已知月球的轨道半径约为地球半径的 60 倍， “ 月 地检验 ” 是计算月球公转的 ( ) A周期是地球自转周期
9、的 1602倍 B向心加速度是自由落体加速度的 1602倍 C线速度是地球自转地表线速度的 602倍 D角速度是地球自转地表角速度的 602倍 解析： 选 B 已知月球绕地球运行轨道半径是地球半径的 60 倍，月球轨道上一个物体受到的引力与它在地面附近时受到的引力之比为 1602，牛顿时代已经较精确的测量了地球表面的重力加速度 g、地月之间的距离和月球绕地球运行的公转周期，根据圆周运动的公式得月球绕地球运行的加速度 a 42T2 r，如果ag1602，说明拉住月球使它围绕地球运动的力与地球上物体受到的引力是同一种力，故选项 B 正确 4静止在地面上的物体随地球自转做匀速圆周运动下列说法正确的是
10、 ( ) A物体受到的万有引力和支持力的合力总是指向地心 B物体做匀速圆周运动的周期与地球自转周期相等 C 物体做匀速圆周运动的加速度等于重力加速度 D物体对地面压力的方向与万有引力的方向总是相同 答案： B 5 (人教版必修 2P48第 3 题 )金星的半径是地球的 0.95 倍，质量为地球的 0.82 倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的第一宇宙速度是多大？ 答案： 8.9 m/s2 7.3 km/s 考点一 开普勒行星运动定律 1.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动 2开普勒第三定律 a3T2 k 中， k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k
11、值不同 【 精品教育资源文库 】 1 (2018 浙江温州十校联考 )2016 年 8 月 16 日凌晨，被命名为 “ 墨子号 ” 的中国首颗量子科学实验卫星开启星际之旅，其运行轨道为如图所示的绕地球 E 运动的椭圆轨道，地球 E 位于椭圆的一个焦点上轨道上标记了卫星经过相等时间间隔 ( t T14， T 为运转周期 )的位置如果作用在卫星上的力只有地球 E 对卫星的万有引力，则下列说法正确的是 ( ) A面积 S1 S2 B卫星在轨道 A 点的速度小于 B 点的速度 C T2 Ca3，其中 C 为常数， a 为椭圆半长轴 D T2 C b3，其中 C 为常数， b 为椭圆半短 轴 解析：
12、选 C 根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故面积 S1 S2，选项 A 错误；根据开普勒第二定律可知，卫星在轨道 A 点的速度大于在 B 点的速度，选项 B 错误；根据开普勒第三定律可知 a3T2 k，其中 k 为常数， a 为椭圆半长轴，选项 C 正确，选项 D 错误 2 (2017 课标 )(多选 )如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动， P 为近日点， Q 为远日点， M、 N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P 经 M、 Q 到 N 的运动过程中 ( ) A从 P 到 M 所用的时间等于 T0/
13、4 B从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大 C从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小 D从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 解析： 选 CD 海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，由开普勒第二定律可知，从 P Q 速度逐渐减小，故从 P 到 M 所用时间小于 T0/4，选项 A 错误， C 正确；从 Q 到 N 阶段，只受太阳的引力，故机械能守恒，选项 B 错误；从 M 到 N 阶段经过 Q 点时速度最小，故万有引力对它先【 精品教育资源文库 】 做负功后做正功，选项 D 正确 . 考点二 万有引力定律的理解和应用 1.地球表面的重力与万有引力 地面上的物 体所受地球的吸引力产生两个效果，
14、其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力 (1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力； (2)除两极外，物体的重力都比万有引力小； (3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力 F 向 和 mg 刚好在一条直线上，则有 F F向 mg，所以 mg F F 向 GMmR2 mR2自 2地球表面附近 (脱离地面 )的重力与万有引力 物体在地球表面附近 (脱离地面 )时，物体所受的重力等于地球表面处的万有引力，即mg GMmR2 ， R 为地球半径， g 为地球表面附近的重力加速度，此处也有 GM gR2 3距地面一定高度处的重力与万有引力 物体在距地面一定高度 h 处时， mg GMmR h 2， R 为地球半径， g 为该高度处的重力加速度 (2018 河北重点中学联考 )假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，不考虑地球自转的影响，则距离地球球心为 r处的重力加速度大小 g 与
