1、11 薄壁箱梁的扭转理论n薄壁箱梁的自由扭转简介n薄壁箱梁的约束扭转n扭转中心位置n等截面连续梁扭转的三翘曲双力矩方程n有限差分方程建立及分析n小 结n本章参考文献 承受偏心荷载的薄壁箱梁，将产生扭矩，此扭矩可分解为刚性扭转和畸变力薄壁箱梁的自由扭转简介(1)单箱单室箱梁众所周知，在剪应力沿箱壁均匀分布的假定下，单室箱梁自由扭转时下列两式成立kMqdkGIM称为Bredt第一公式，即箱梁薄壁中线所包围的面积的两倍 ds扭率 扭转刚度，称为Bredt第二公式，自由扭转惯矩 ds/2dI扭率与剪切变形的关系为ss d)(2)单箱多室箱梁 对于单箱多室截面中的某箱室有iiGsqd而相邻室之间的关系可
2、写为GAsqsqsqoiiii2ddd1ii,11ii,1第 室周边中线所包围的面积 i2/ioiA 第 室左、右腹板范围内积分1ii,1ii,i总扭矩与各室剪力流的关系为 nikiiMq1 或 nidiiGIq1整个截面的总抗扭惯矩niiidGqI1/箱室总数(3)分离式多室箱若多室箱型梁的截面有连续上部翼板，但无公共肋板和公共下翼板，则称为分离式的多室箱，如上图所示。现忽略上部联系板的扭转剪应力，剪应力的分布同单箱多室截面，但没有共同肋板的剪力流：分离式多室箱 在 室 或 iGAsqii02dGAqiids20niniiiiGsAq1120d4niiniidssAI12120dd4由于一个
3、室的抗扭惯矩从上式可知截面总抗扭惯矩等于各个分离室的抗扭惯矩之和，即 sAIidid/420nididII1（4）纵向位移箱梁自由扭转的纵向位移为 )()()0,(),(),(00zszuszuszu称广义扇性坐标，其意义见后ssssss00d/dd)(处的纵向位移0s且均沿梁纵向是常数，梁纵向纤维无伸缩应变，不产生正应力)(),0,(0zzu),(szu薄壁箱梁的约束扭转（1）基本假定 众所周知，乌曼斯基闭口薄壁直杆约束扭转理论应用以下三个基本假定：横截面的周边不变形；横截面上法向应力和剪应力沿壁厚是均匀分布的；横截面上纵向位移沿本截面的分布规律与自由扭转时是相同的令纵向位移为 ，表示沿跨径
4、，表示沿横截面周边。当闭口截面只发生自由扭转时，有),(szuzs)()()0,(),(0zszuszu根据基本假定，闭口截面约束扭转轴向位移为 )()()0,(),(0zszuszu表示截面的翘曲程度，它与扭转角 有一定的关系)(z（2）约束扭转翘曲应力现将上式对 微分一次，则有z )()(),()(szozuz 约束扭转翘曲应力为)()(),(0szozuE 薄壁杆件的坐标系 由于翘曲应力是自相平衡的，根据力的平衡，可列出的三个方程，即0d ,00yd ,00d ,0sxMsMsNyxz得到 0d)()(d),(0d)()(d),(0d)()(d),(000sxszsxozusyszsyo
5、zusszsozu对截面的扭转中心而言，广义扇性惯性矩应该为零，即0d)(sxsIx0d)(sysIy当选择适当的积分起始点（扇性零点）时，使广义扇性静矩也等于零，则0dssS)(当截面对称，扇性零点为对称轴上周边的交点，则常数0)0,(zu)0,(zu )()(zsE 不难看出，截面上约束扭转正应力的分布是和广义扇性坐标：成正比的。扇性零点的物理意义是：该点上广义扇性坐标为零，或者说正应力为零，因而在该点上的积分起始值也是零，故)(s广义扇性惯矩：ssIsd)(2)(约束扭转双力矩：ssBd)()(d)()()(zEIsszEBs故而约束扭转翘曲应力 的表达式为IsB)(平面弯曲应力IMy相
6、似如上图所示，取箱壁上 点的微分单元体进行分析（下图），根据力的平衡条件，则有A 箱梁承受外扭矩 kM（3）约束扭转剪应力 ds.dzees dz.dssee 0zN0ddddsssszz0szssz00d积分常数，它表示截面上的初始剪应力微分单元 现将 代入得到 sszsE00d)()(ssszE00d)()(SzE)(0 sssS0d)(为了决定初始剪力流 ，从内外力矩平衡条件得到0 dd d d00 sSzEssISzEsMK)()(dsSdszEdsMK )(0由于 （为封闭截面中线围绕的面积）02Ads sSzEMKd)(0得到 d dSzEMsSSzEMSzEsSzEMKKK)()
7、()()(sSSSd故约束扭转剪应力为SzEMK)(可见，约束扭转在截面上的剪应力为两项剪应力之和。第一项是自由扭转剪应力第二项是由于约束正应力的变化而引起的剪应力约束扭转剪应力也可以用扭转双力矩表示KkMSzE)(ISB平面弯曲剪应力类似IbQS类似（4）函数的确定约束扭转翘曲应力及剪应力均是函数 的函数，要求扭转应力，则应先确定函数)(z)(z之值。因此，列出约束扭转微分方程式)(zGzvsu当截面周边不变形时，切线位移为)(zv微分一次，则有 ，则)(zzvzvGsu)()(zSGzEGMsuK 积分得 sssKszsSGzEsGMuu0000d)(d)(d为满足周期条件（沿周边积分一圈
8、后 ）故有0uu 0d)(d)(dszsSGzEsGMK对 再微分一次，并将各项除以 ，而且将 代入后得到z/dssd0d)(dd)(dd2 szGsSszEzMK)(dd )(d dd 22称为扇性惯矩称为自由扭转惯矩令IsSsIIsIzMmddKt则tdmzGIzEI )()(此式不可能同时解出和两个未知量，需要另外寻求 和 之间的关系式。)(z)(z将广义扇性坐标 sdssssIsssss0000ddddd)(代入约束扭转轴向位移中并略去 坐标 标记，则有sssdssIzzuzu000dd)()()(沿 微分一次，并注意到 是常量，得到s)(0zu1)()(dIzszu由于 则)(zzv
9、)(1)(zIzGzvsuGd又知约束扭转剪应力不引起外扭矩sMKd d1)()()()(IzIIzGszIzGMddKIIzzGIMdK1)()()()(zzGIMK扭转中心距剪力流的垂直距离 截面的极惯性矩 dsI2 截面约束系数（或称翘曲系数）的大小反映了截面受约束的程度对于圆形截面 故 ，即杆件上只有自由扭转发生IId1IId0对于箱形截面，当箱的高宽比较大时，与 差别也愈大，值就大，截面上约束扭转应力也相应要大一些 dII（5）闭口箱梁约束扭转微分方程对求导一次)()(zzGIMKGImzzt )()(代入tdmzGIzEI )()(得到tmEIzkz )()(2EIGIkd2对固端
10、梁：当 当0,0,0z0,0,lz扭转中心位置设以扭转中心 为极点的扇性坐标 为 ，形心 为极点的扇形坐标为 则有AABB0d0d0dAyAxABBB可由 求 ，具体公式如下BAByxxyBA约束扭转微分方程AxBxBxxAyByByyIAxsIIIAysIId)(d)(由于箱梁形心总在对称轴上，则0B分 别 为 沿 形 心 对 轴的惯性矩yx,分 别 为 沿 形心对 轴的 扭 转 惯 性矩yx,等截面连续梁扭转的三翘曲双力矩方程 前面求解了等截面简支梁或悬臂梁的扭转问题。若将简支梁的解看作是基本结构的解答，应用力法的概念，可建立连续梁扭转的三翘曲双力矩方程 如下图所示，现将各支承处的翘曲双力
11、矩作为赘余未知力，把图a）中各支承处的翘曲变形放松，分别用赘余双力矩代之，如图b）所示，取简支梁为基本体系，（若遇自由端可取一端铰支一端自由的悬臂体系）连续梁扭转基本体系a)原结构；b)基本体系对于箱梁翘曲变形，以 作为未知量，因为纵向刚性移动 对翘曲变形没有影响，而扇性坐标 系表示翘曲位移在截面中分布规律，则表示翘曲沿梁纵向变化的大小程度，因此在连续箱梁分析中只把它作为未知量，而且有了它，通过基本体系及其边界条件，所有内力与变形均可获解。现将单位双力矩引起的翘曲变形 用系数表示。则某支座左右两侧梁跨在支座处的翘曲变形为0u第 跨对支座 的翘曲变形 ii11,iiiiiiipiBB右右右第 跨
12、对支座 的翘曲的变形 1ii11,iiiiiiipiBB左左左根据相邻两跨在支座处的相对翘曲为零的变形协调条件，有 0)()(11,11,右左右左ipipiiiiiiiiiiiBBB或 011,11,ipiiiiiiiiiBBB式中：端单位双力矩对 端产生的翘曲)1,1(,iiijjiji 点左右单位双力矩引起的翘曲之和iii右左iiiiii 为左右跨外扭矩引起的翘曲之和 ip右左ipipip式中最多含三个未知双力矩，因此把它叫做三翘曲双力矩方程。对于连续梁每一个支座都可以列出这样一个方程，因而可以解出全部赘余双力矩。可按力法原理用叠加方法求得最后解答有限差分方程建立及分析 对于变截面T型刚构
13、桥，可以看作是两端固结的梁来进行扭转分析。这时，采用差分法较为方便（1）差分方程将约束扭转微分方程改写为 tmEIkzEI 2)(由于双力矩故有 EIBtmBkB2是以双力矩 表示的约束扭转微分方程式。若将固端梁分成6段，如下图所示，根据边界条件写出的差分方程如下B差分格式)7()1(2)7()1()7(22)1()6(2)6()2()7()6(22)2()5(2)5()3()6()5(22)3()4(2)4()4()5()4(22)4()3(2)3()3()4()3(22)3()2(2)2()2()3()2(22)2()1()1()1(2)1()1()2()1(22)1(221)2()2()
14、2()2()2(221MmBkBmBBKBmBBKBmBBKBmBBKBmBBKBMmBBKttttttt式中：点上的约束扭转双力矩)(iBi7,6,5,4,3,2,1i)mKN(2 计算参数，此处认为 梁为对称的)(iKiidiiEIGIKidiiII1 点上的分布外扭矩，)(imti7,2,1,i)m/mKN(两端点上的外扭矩)(iMm)KN(差分间隔)m(（2）荷载布置及扭矩计算 如图a为某等级汽车荷载的横向布置（两列车队为例）。图b为其纵向布置则 A 汽车荷载横向布置 b 汽车荷载纵向布置rjjrjjitilepilepm11)()7,1(12/2)6,5,4,3,2,1(6/2汽)2
15、/()(rritbbbqm人人人汽)()()(itititmmm)7,6,5,4,3,2,1(i在第 段内的汽车轴数i第 个汽车轴重（KN）i221)()1(lmllePMnkitKK人221)()7(lmlllePMnkitKK人车队数 小 结 （1）简介闭口截面自由扭转的计算公式 根据乌曼斯基薄壁杆件弯曲扭转理论，将梁视为理想匀质体，推导出约束扭转微分方程，（2）有限差分方程解出约束扭转的近似值 （3）给出了连续梁约束扭转的三翘曲双力矩方程 （4）在扭转理论中还有瑞斯纳（Reissner）引进翘曲系数利用泛函推导的理论，该理论比乌氏理论精确。（5）乌氏理论计算结果偏大。但工程计算中多采用传统的乌氏理论本章参考文献n1捷克.V.克里斯特克著，何福照，吴德心译.箱梁理论。北京：人民交通出版社，1988.n2郭金琼.箱梁设计理论.北京：人民交通出版社,1991.n3李明昭等.桥梁结构力学.北京：人民交通出版社,1990.n4CP.汉斯.薄壁杆件的弯曲与扭转.北京：人民交通出版社,1980.n5项海帆.高等桥梁结构理论.北京：人民交通出版社，2001.
