1、第五章 控制规律的离散化设计第五章控制规律的离散化设计5.1最小拍控制器设计最小拍控制器设计5.2数字控制器的计算机实现数字控制器的计算机实现5.3应用实例应用实例示教机械手控制示教机械手控制本章小节本章小节习题习题第五章 控制规律的离散化设计计算机控制系统控制规律的设计就是在给定性能指标的条件下设计出数字控制器，使系统达到要求。计算机控制系统控制规律的设计方法一般分为四种，即离散化设计方法、模拟化设计方法、状态空间法设计方法和复杂控制规律设计方法。本章介绍的离散化设计方法就是假定对象本身是离散化模型或者用离散化模型表示的连续对象，以计算机控制系统理论为基础，以Z变换为数学工具，在z域中直接设
2、计出数字控制器D（z）。这种设计方法又称z域设计方法或直接设计方法。第五章 控制规律的离散化设计离散化设计方法可分为两类：(1)解析法。根据给定的闭环系统性能指标要求，通过解析计算求得数字控制器的脉冲传递函数D（z），其中最典型的就是最小拍系统的设计。(2)图解法。工程中比较常用的一种是频域法，也称双线性变换法（简称W变换法）；另一种是根轨迹法。本章将主要讲解解析法的离散化设计。典型的计算机控制系统如图5.1所示。第五章 控制规律的离散化设计图5.1 典型的计算机控制系统第五章 控制规律的离散化设计系统的闭环脉冲传递函数为 （5.1）式中,G（z）为广义对象（包括零阶保持器与实际对象）的脉冲传
3、递函数，D（z）为数字控制器的脉冲传递函数。)()(1)()()(zGzDzGzDz第五章 控制规律的离散化设计)()(11)(1)()()(zGzDzzRzEze(5.2)若已知G（z），并根据性能指标要求定出（z），则数字控制器D（z）就可由下式解出)(1)()()()()()(zzGzzzGzzDe(5.3)第五章 控制规律的离散化设计 5.1 最小拍控制器设计最小拍控制器设计最小拍系统是指如图5.1所示典型系统对某种特定输入具有最快的响应速度，被控量能在最短的调节时间即最少的采样周期数内达到设定值。换言之，偏差采样值能在最短时间内达到并保持为零。这种偏差为零只是在采样时刻为零，而在任何
4、两次采样时刻之间输出却不一定为零。第五章 控制规律的离散化设计 5.1.1 最小拍有纹波控制器的设计原理与设计方法最小拍有纹波控制器的设计原理与设计方法最小拍控制器设计必须从被控对象的特性出发，依据系统性能要求，运用解析的方法推得。1 最小拍控制器的一般设计步骤第一步：根据性能指标要求和约束条件确定（z）。性能指标要求和约束条件有：（1）稳定性：闭环系统必须是稳定的。（2）准确性：闭环系统对典型输入的响应误差必须是稳态误差。最小拍有纹波控制器只是在采样点上无稳态误差。第五章 控制规律的离散化设计（3）快速性：系统过渡过程尽快结束，即调节时间为有限拍，且拍数最小。（4）物理可实现性：设计的数字控
5、制器D（z）必须是在物理上可实现的。第二步：依据式(5.3)，由G(z)、(z)确定D(z)。第三步：根据D（z）编制控制算法的程序。显然，第一步是设计数字控制器的关键。下面将从性能指标要求和约束条件的四个方面逐步讨论（z）的确定。第五章 控制规律的离散化设计2 由准确性要求确定（z）假定广义对象G（z）是稳定的，且不含单位圆上和圆外的零点，G0（s）不含纯滞后。根据准确性要求，系统在采样点无稳态误差，即0)(1lim1limlim11ss）（）（）（）（）（zRzzzEzteeettt(5.4)对于典型输入信号，1122101121qqtAqtAtAAtr）！（！）（第五章 控制规律的离散化
6、设计其Z变换为，单位加速度输入）（，单位斜坡输入）（，单位阶跃输入）（）（）（3 122 11 11131221221111qzzTzTqzTzqzzzBzRq(5.5)其中B(z)不含（1z1）因子。将上式代入式（5.4），有01)(1lim1e1ssqtzzBzze）（）（）（第五章 控制规律的离散化设计显然，要使稳态误差为零，e（z）中必须包含（1z1）因子，且幂次不能低于q，即）（）（）（）（nnmmzfzfzfzzFzz221111e11 1)(5.6)其中mq，F（z）是关于z1的有限多项式。第五章 控制规律的离散化设计 3 由快速性要求确定（z）快速性要求闭环系统的响应能在最短时
7、间内使采样点上的误差为零，这就要求e（z）包含z1 的幂次尽可能小。在满足准确性的前提下，令m=q，F（z）=1（即n=0），则此时e（z）既满足准确性又满足快速性要求，故有 e(z)=(1z1)q （5.7）对典型输入信号最小拍有纹波控制器设计可按表5.1进行。第五章 控制规律的离散化设计第五章 控制规律的离散化设计4 由稳定性要求确定（z）由式（5.3）知数字控制器D（z）不仅与输入信号有关，而且与广义对象有关。当广义对象含有单位圆上和圆外的零点、极点时，必定对e（z）、（z）有更多的要求。最小拍系统，不但要保证系统的输出在各采样点上稳定，同时也要考虑控制量的稳定，才能使闭环系统实现真正意
8、义上的稳定。因此需要对控制量进行研究。第五章 控制规律的离散化设计对图5.1所示典型系统，可推导出如果广义对象G（z）中所有零点、极点都在单位圆内，那么系统是稳定的，即被控变量y和控制量u都是稳定的。如果广义对象G（z）中含有单位圆上和圆外零点、极点，即G（z）、U（z）含有不稳定的极点，则控制量u就是不稳定的，系统输出y也就不稳定。)()()()(zRzGzzU(5.8)第五章 控制规律的离散化设计由式（5.1）可以看出D（z）、G（z）总是成对出现，但并不能简单地用D（z）的相关零极点去抵消G（z）的单位圆上、圆外的零极点。这是因为若要抵消G（z）的单位圆上或圆外的零点，D（z）必含单位圆
9、上或圆外的极点，从而使D（z）不稳定，控制量u不稳定。另外，理论上可以采用这种对消法使系统稳定，但实际控制中，由于辨识的误差或参数的变化，使得由计算机实现的D（z）并不完全随G（z）的变化而变化，故而这种抵消是不能真正实现的。第五章 控制规律的离散化设计可以找到正确解决上述问题的方法。观察)(1)()()()()()(zzGzzzGzzDe（1）让（z）的零点包含G（z）单位圆上或圆外的零点。（2）让e（z）的零点包含G（z）单位圆上或圆外的极点。第五章 控制规律的离散化设计例例5.1 设图5.1所示系统的对象传递函数是T1 s，试针对单位阶跃输入信号设计最小拍控制器D（z）。解 首先将广义对
10、象离散化。)252.1(1.2)(20sssG)286.01()1()2.01)(78.21(265.0)(1)(1211110zzzzzsGseZzGTs第五章 控制规律的离散化设计 因为G（z）中含有z1项和单位圆外零点z2.78，故（z）应包含z1及(1+2.78z1)项，(z)=a1z1(1+2.78z1)又由于G（z）中含有单位圆上极点z1，e（z）应包含(1z1)项。同时考虑到e（z）与(z)应有相同幂次，故 e(z)=(1z1)(1f1z1)第五章 控制规律的离散化设计 利用（z）1e（z），得联立方程组111178.21faaf解得735.0265.011fa从而求得第五章 控
11、制规律的离散化设计)735.01)(2.01()286.01)(1()()()()(1111ezzzzzzGzzD3211111166.05832.0486.11 )2.01()286.01)(1()()()()(zzzzzzzRzGzzU第五章 控制规律的离散化设计单位阶跃响应321111265.0 1)78.21(265.0)(zzzzzzzRzzY）（）（1)3()2(265.0)(0)0(TyTyTyy，其控制量u(k)及输出量y(k)响应曲线如图5.2所示。第五章 控制规律的离散化设计图5.2 控制量u（k）及输出量y（k）响应曲线第五章 控制规律的离散化设计可见控制量收敛，输出量稳
12、定，系统两拍即可准确跟踪输入。5 由D（z）的物理可实现性要求确定（z）D（z）物理可实现性就是指D（z）当前时刻的输出值只取决于当前时刻及过去时刻的输入，而与未来时刻无关。数学上体现在保证D（z）分母中z1的最低幂次不大于分子中z1的最低幂次。当广义对象包含纯滞后环节时，在设计D（z）时应考虑可实现性问题。第五章 控制规律的离散化设计6 最小拍有纹波系统设计总结设广义对象的脉冲传递函数为miimiirTszpzzzsGseZzG11110)1()1()(1)(5.9)其中有u个零点、v个极点在单位圆上或圆外。系统对于典型输入信号第五章 控制规律的离散化设计qzzBzR)1()()(1(5.1
13、0)要满足响应最快而稳定，且在采样点上无稳态误差，还能保证物理上的可实现性，则闭环脉冲传递函数应为)(1()(112111vqvqiuirzazaazzzz(5.11)第五章 控制规律的离散化设计误差脉冲传递函数为)1)(1()1()(1111111eruruiviqzfzfzpzz(5.12)注意：（1）上式中系数ai、fi可由关系式（z）1e（z）中z1对应系数相等的方程组求得。第五章 控制规律的离散化设计（2）G（z）含有单位圆上极点z1时，e（z）应含相应零点的要求与应含（1z1）q的快速性要求出现重复，此时e（z）中（1z1）因子就取q和G（z）的z1极点数目w中的较大者，同时（z）
14、中v的个数减少所出现的重复数。（3）最小拍有纹波系统在采样点上的调节时间为ts(r+q+u+v1)T第五章 控制规律的离散化设计例例5.2 设图5.1所示系统的对象传递函数是)11.0)(1(10)(0ssssGT0.5 s试针对单位阶跃输入信号设计最小拍有纹波控制器D（z）。解解)0067.01)(6065.01)(1()05355.01)(4815.11(7385.0)(1)(1111110zzzzzzsGseZzGTs第五章 控制规律的离散化设计由此知r=1，q=1，u=1（单位圆外零点z=11.4815），v=1（单位圆上极点z=1）。因为q=v=1，故e（z）中不再外加极点，且（z）
15、中v的数目应减去1。所以(z)=z1(1+1.4815z1)a1e(z)=(1z1)(1+f1z1)利用e(z)=1(z)，由z1对应幂次系数相等解得：a1=0.403f1=0.597第五章 控制规律的离散化设计则 (z)=0.403z1(1+1.4815z1)e(z)=(1z1)(1+0.597z1)最小拍有纹波数字控制器为)05355.01)(597.01()0067.01)(6065.01(5457.0)()()()(1111ezzzzzzGzzD第五章 控制规律的离散化设计对阶跃输入信号的响应为321111403.0 1)4815.11(403.0)(zzzzzzzRzzY）（）（即y
16、(0)=0,y(T)=0.403,y(2T)=y(3T)=1。系统的输出响应曲线如图5.3所示。第五章 控制规律的离散化设计图5.3 系统单位阶跃输入时的输出响应曲线第五章 控制规律的离散化设计5.1.2 最小拍有纹波系统存在的主要问题最小拍有纹波系统存在的主要问题尽管最小拍有纹波控制系统设计方法简单，设计步骤明确，设计过程可解析地进行，设计出的控制器D（z）结构也非常简单，但仍然存在一些问题。1对不同输入类型的适应性差对不同输入类型的适应性差针对某一典型输入信号而设计的最小拍有纹波控制系统，对其他类型的输入不一定是最小拍，甚至可能会有很大的超调和静差。第五章 控制规律的离散化设计例例5.3
17、设有一阶广义对象取T=1 s。针对单位斜坡输入设计最小拍有纹波系统，并同时对比单位阶跃、单位斜坡、单位加速度输入时系统的响应。解针对单位斜坡输入设计数字控制器为(z)=2z1z2115.015.0)(zzzG2121e)1()5.01(4)()()()(zzzzGzzD第五章 控制规律的离散化设计（1）对单位阶跃输入系统的响应：此时系统两拍后进入稳态，且无差，但因y(T)=2，系统超调达100%。43211212 11)2()(zzzzzzzzRzzY）（）（第五章 控制规律的离散化设计（2）对单位斜坡输入系统的响应：43221121432 )1()2()(zzzzzzzzRzzY）（）（此时
18、系统两拍后进入稳态，且无差。第五章 控制规律的离散化设计（3）对单位加速度输入系统的响应：54323121215.1175.3 )1(2)2()(zzzzzzzzzzRzzY）（）（可见此时系统既不是最小拍，也不是稳态无差。输出响应曲线见图5.4。第五章 控制规律的离散化设计图5.4 三种典型输入时系统的输出响应曲线图第五章 控制规律的离散化设计2 对参数变化过于灵敏最小拍系统的闭环脉冲传递函数含有多重极点z=0，这种多重极点对系统参数变化的灵敏度可达到无穷。因此，若系统参数有变化或计算机中存储的参数与设计的参数有差异时，实际系统会严重偏离期望的数值。这也正是最小拍系统在做实验时常常得不到预想
19、效果的原因。第五章 控制规律的离散化设计例例5.4 将例5.3中115.015.0)(zzzG变为114.015.0)(*zzzG求单位斜坡输入时系统的响应。第五章 控制规律的离散化设计解解 参数变化后系统的闭环脉冲传递函数变为32211*2.06.01)5.01(4.2)()(1)()()(zzzzzzDzzDz 对单位斜坡输入系统的响应为6543238.656.444.44.24.2)(zzzzzzY输出序列为0，0，2.4，2.4，4.44，4.56，6.38，显然与期望值0，1，2，3，4，5，6，相差甚远。此时系统的闭环极点已变成z1=0.906，z2，3=0.453j0.12，已偏
20、离圆点甚远，系统已不具备最小拍设计的特点。第五章 控制规律的离散化设计 3 控制作用易超出限制范围控制作用易超出限制范围离散系统中许多参数与采样周期有关，当采样周期T变小时，参数亦变化，到一定程度就会使控制量超出系统的线性范围（包括放大器饱和、D/A饱和、电机转速限制等），控制量起不到预期控制的效果。下面举例说明。例例5.5 设图5.1所示系统的对象传递函数是110)(0sTsGi研究采样周期T与控制量u的关系。第五章 控制规律的离散化设计解解 广义对象的脉冲传递函数为110e1)e1()(e1)(zzsGsZzGiiTTTTTs令,则iTTe11 1)1()(zzzG控制量为)()()()(
21、zRzGzzU第五章 控制规律的离散化设计当T ，则显然，如果采样周期一直减小，系统通过功放驱动电机，则U（z）幅度达到一定程度，必然引起放大器饱和或达到电机转速极限。因此在设计中，必须恰当选择T。根据经验T应比对象惯性时间常数Ti 小一个数量级或T/Ti1/16。)()()1(zUzG第五章 控制规律的离散化设计4 在采样点之间存在纹波在采样点之间存在纹波最小拍有纹波系统只是在采样点上的稳态无差，而在采样点之间的输出往往存在偏差，即纹波。这些纹波对系统的品质产生影响，同时增加功耗、振动和机械磨损，有些系统甚至不允许有纹波。因此必须弄清纹波产生的原因，并设法消除。由于存在上述问题，最小拍有纹波
22、系统在实际使用时就受到限制，有些书中称其为“最低标准设计”。第五章 控制规律的离散化设计5.1.3 最小拍无纹波控制器设计最小拍无纹波控制器设计最小拍无纹波系统数字控制器的设计，是在最小拍有纹波控制器设计基础上，对闭环脉冲传递函数（z）做进一步修正，以达到不仅采样点上稳态无差，而且能消除采样点之间的纹波。因此需首先弄清纹波产生的原因，而后找到消除纹波的方法。1 纹波产生的原因纹波产生的原因通过下面的例题来说明纹波产生的原因。第五章 控制规律的离散化设计例例5.6 设图5.1所示系统的对象传递函数是取采样周期T=1 s，针对单位阶跃输入设计最小拍控制器，并观察误差与控制量的输出。解解 按前述最小
23、拍有纹波系统设计方法得)1(10)(0sssG11718.011.0274.0)(zzzzD第五章 控制规律的离散化设计故误差为111)1()()()(11zzzRzzEe可见系统一拍即进入跟踪，误差为零。控制量输出为4321109.0152.0212.0295.0272.0)(zzzzzEzDzU）（）（即控制量在一拍后并未进入稳态（是常数或零），而是在不停地波动，从而使连续部分的输出在采样点之间存在纹波。第五章 控制规律的离散化设计由此例可得到以下结论：最小拍有纹波系统设计可以使得在有限拍后采样点上的误差为零，但数字控制器的输出并不一定达到稳定值，而是上下波动的。这个波动的控制量作用在零阶
24、保持器的输入端，必然使保持器输出波动，导致整个系统输出也出现波动。控制器的波动究其原因是由于其U（z）含有单位圆内的极点。根据z平面上极点分布与瞬时响应的关系，左半单位圆内极点尽管是稳定的，但其响应却是振荡的，因而引起U（z）波动。第五章 控制规律的离散化设计2 消除纹波的附加条件消除纹波的附加条件要想消除纹波，只要使控制量是常数或零，不再出现波动即可。鉴于最小拍有纹波设计的思想，其系统输出y（k）可以在有限拍内达到稳定，将u（k）当作系统输出，设计出D（z），使其也能在有限拍内达到稳定，从而使系统输出y（k）无纹波。设计的出发点：，则)()(zGzPzQ）（)()()()()()()(zQz
25、PzzGzzRzU第五章 控制规律的离散化设计为使U（z）/R（z）成为关于z1的多项式，显然应使（z）包含Q（z）因子，即包含G（z）的所有零点。因此在最小拍有纹波设计基础上，应使（z）包含G（z）的所有零点，这就是消除纹波的附加条件，也是有纹波与无纹波设计的唯一区别。设计最小拍无纹波系统的方法总结如下：（1）按最小拍有纹波设计方法确定（z）。（2）在按无纹波附加条件（z）的零点中必须包含G(z)的所有零点，确定（z）。第五章 控制规律的离散化设计设G（z）含有w个零点z1，z2，z3，zw，u个单位圆上、圆外零点（wu），则无纹波（z）应有)(1()(112111vqvqiwirzazaa
26、zzzz(5.13)其中,z1的幂次增加wu，相应地e（z）中z1的幂次也应增加wu，即)1)(1()1()(1111111erwrwiviqzfzfzpzz(5.14)第五章 控制规律的离散化设计(3)最小拍无纹波系统在采样点上的调节时间为 ts(r+q+w+v1)T比有纹波增加wu拍，这也就是无纹波的代价。例例5.7 设图5.1所示系统的对象传递函数是)1(10)(0sssGT1 s试针对单位阶跃输入信号设计最小拍无纹波控制器D（z），并观测U（z）。第五章 控制规律的离散化设计解解)368.01)(1()718.01(68.3)(1)(11110zzzzsGseZzGTs由此知q=1，r
27、=1，w=1（单位圆内零点z=0.718），v=1（单位圆上极点z=1）。按式（5.13）和式（5.14）有(z)=z1(1+0.718z1)a1e(z)=(1z1)(1+f1z1)第五章 控制规律的离散化设计利用e（z）=1（z），由z1对应幂次系数相等解得：a1=0.582,f1=0.418则最小拍无纹波数字控制器为11e418.01)368.01(158.0)()()()(zzzzGzzD111111e058.0158.0 )1(1)418.01)(1(418.01)368.01(158.0 )()()()(zzzzzzzRzzDzU第五章 控制规律的离散化设计对单位阶跃输入信号的响应为
28、321111582.0 1)718.01(582.0)(zzzzzzzRzzY）（）（即y(0)=0,y(T)=0.582,y(2T)=y(3T)=1。因此得到u（k）从第二拍起恒为零，y（k）从第二拍起恒为1，因此输出不再出现纹波。最小拍无波纹设计，除了在采样点之间消除了波纹外，还在一定程度上减少了控制能量，降低了对参数的敏感度。但仍然是针对某一系统特定输入设计的，对其他输入的适应性依然不好。第五章 控制规律的离散化设计3 改进的最小拍控制器设计改进的最小拍控制器设计无论最小拍有纹波设计还是无纹波设计，都存在对不同类型的输入信号适应性差，对参数变化过于敏感以及控制作用易超出线性范围等问题，故
29、此需对最小拍设计进行改进。1）切换程序法切换程序法的设计思想是：针对各种输入类型分别设计出对应的最小拍有纹波或无纹波数字控制器D1(z)、D2(z)、，根据误差大小使各类控制器在线切换，以解决适应性问题。第五章 控制规律的离散化设计如有两类典型输入时的切换程序法系统如图5.5所示。图5.5 切换程序的最小拍系统第五章 控制规律的离散化设计当系统刚投运时，相当于阶跃输入，可按阶跃输入设计的D1（z）最小拍系统作为控制程序。当系统误差e（k）减小到一定程度Em时，即|e(k)|Em|，则切换成按速度输入设计的最小拍D2（z）。程序流程图如图5.6所示。第五章 控制规律的离散化设计图5.6 最小拍控
30、制切换程序流程图第五章 控制规律的离散化设计2）惯性因子法惯性因子法又称阻尼因子法或折衷设计法。其设计思想是：在针对某一种典型输入设计的最小拍e（z）或（z）中加入惯性因子，从而兼顾到各类输入，使调节时间短，超调量不要过大。代价即以牺牲最小拍换取系统对各类输入的适应。常见的惯性因子表达形式如下：（1）NNazzzazzz)1(1)()1(1 1*1e*e）（或）（）（(5.15)第五章 控制规律的离散化设计（2）)1()1)(1(111211e*ezazazazzN）（）（或)1()1)(1(1)(11211*zazazazzN）（(5.16)其中N=1最为常见，即 111e*eazzz）（）
31、（(5.17)第五章 控制规律的离散化设计从而）（）（）（zzGzzD*e*)(5.18)式中a称为惯性因子或阻尼因子。为使系统稳定，a 的取值范围应满足|a|1。为使系统响应能单调衰减，常取0a1。a的选取盲目性较大，工程上常采用凑试法，反复凑试确定a，因而工作量较大，这也正是惯性因子法的缺点。第五章 控制规律的离散化设计惯性因子法之所以能有效增加系统对不同输入的适应性，是因为1/（1az1）是1/（s+a）的Z变换，因其是一阶惯性环节，它的引入相当于增强了单位圆内实轴上的极点。在a的取值范围满足|a|1时，系统对应的响应是衰减的，因此会使系统不再出现大幅度的交替变化。例例5.8 设有一阶广
32、义对象)368.01)(1()718.01(68.3)(1111zzzzzG取T=1 s。针对单位斜坡输入设计最小拍有纹波系统D(z)，并应用阻尼因子法进行改造。第五章 控制规律的离散化设计解解 (1)针对单位斜坡输入进行最小拍有纹波设计。e(z)=(1z1)2,(z)=2z1z2 对单位阶跃输入系统的响应43211212 11)2()(zzzzzzzzRzzY）（）（对单位斜坡输入系统的响应43221121432 )1()2()(zzzzzzzzRzzY）（）（第五章 控制规律的离散化设计对单位等加速度输入系统的响应2e115432)1()(5.1175.3)(limTzRzzezzzzzR
33、zzYz）（）（）（）（可见系统对单位阶跃输入两拍后进入稳态，且无差，但t=T时，系统超调达100%；对单位斜坡输入系统两拍后进入稳态，且无差；对单位加速度输入系统的响应既不是最小拍，也不是稳态无差，稳态偏差为T2。第五章 控制规律的离散化设计(2)采用惯性因子法进行改进。取a=0.5，则121*1211e*5.015.1)(1)(,5.01)1(5.011)()(eezzzzzzzzzz)1)(718.01()368.01)(1(717.2)(1111*e*zzzzzzGzzD）（）（）（第五章 控制规律的离散化设计对单位阶跃输入系统的响应4321*0625.1125.125.15.1)(z
34、zzzzRzzY）（）（对单位斜坡输入系统的响应5432*9375.4875.375.25.1)(zzzzzRzzY）（）（对单位等加速度输入系统的响应2*112)1()(elimTzRzzez）（）（第五章 控制规律的离散化设计与最小拍有纹波设计比较，单位阶跃输入系统超调降低至50%，对单位斜坡输入系统过渡过程加长了，对单位加速度输入系统的静差却增大一倍。所以说惯性因子法并不能改善对所有输入信号的响应。3）最小均方差设计最小均方差设计的基本思想是：在按最小拍设计的e（z）和（z）的表达式中引入惯性因子，然后再按照综合性积分性能指标误差的平方和最小原则确定惯性因子a的大小。与惯性因子法相比，这
35、种方法惯性因子a的确定是解析的，无需凑试。第五章 控制规律的离散化设计由最小拍设计得 111e*eazzz）（）（1*11)(azzz）（而最小均方误差设计的性能指标可记做 d)()(21)(1120zzzEzEjkeJk(5.19)第五章 控制规律的离散化设计其中，)()()(*ezRzzE由以上式子可知，J是a的函数，因此总能找到一个a使得J最小。按某一种典型输入设计的e（z）对应一条J1a曲线，按另一种典型输入设计，将得到另一条J2a曲线。选a使J最小，就是选使J1、J2 都比较小的a，显然应取两条曲线的交点处的a。第五章 控制规律的离散化设计4）非最小的有限拍控制 在最小拍设计的基础上
36、，将e（z）再乘以一个z1的多项式M（z）=b0+b1z1+b2z2+bnzn，也就是将（z）中的z1的幂次适当提高一到二阶，这样系统尽管已不再是最小拍了，但仍然是有限拍。通过适当选择多项式的系数bi，可改变（z）中各项的系数，从而降低系统对参数变化的灵敏度，减小控制作用。bi的选取可用凑试法，也可在某种最佳性能指标准则下确定。第五章 控制规律的离散化设计 5.2 数字控制器的计算机实现数字控制器的计算机实现前面介绍了最小拍系统数字控制器的设计方法，但具体如何在计算机上实现数字控制器的算法却没有涉及，现在讨论这一问题。设计的D（z）的表示形式不同，其计算机实现可以有不同的方法。（1）D（z）对
37、应的差分方程用状态空间表示时，数字控制器的状态空间方程可直接在计算机上编程。第五章 控制规律的离散化设计（2）D（z）以 z1的脉冲传递函数表示时，可以用硬件和软件两种方法实现：利用硬件数字电路实现时，实际上是制作一个专用的处理机来完成特定形式D（z）的运算，一般用于某些专用系统；软件方法是通过编制计算机程序来实现 D（z）的方法，称为计算机实现。软件实现又可分为以下几种：直接程序法、串行程序法和并行程序法。第五章 控制规律的离散化设计5.2.1 直接程序法直接程序法所谓直接程序法，是指将 D（z）离散化的差分方程不做任何变化，直接编制软件的方法。直接编排结构就是按高阶传递函数分子、分母多项式
38、系数进行编程实现。它又可以分为三种形式:零极点型，极零点型，可测标准型。1 零极点型 在z域中，数字控制器一般可以表示成关于z1的有理分式niiimiiinnmmzazbzazazaazbzbzbbzEzUzD1022110221101)()()(5.20)第五章 控制规律的离散化设计式（5.20）两边交叉相乘后，可以得到数字控制器的输出的Z变换表达式)()()(10zUzazEzbzUniiimiii(5.21)对上式作Z反变换，在零初始条件下，可得差分方程)()()(10ikuzaikezbkuniiimiii(5.22)根据式（5.21）可画出直接程序法的信号流程图如图5.7所示。根据式
39、（5.22）可编写出计算 u（k）的程序流程图如图5.8所示。第五章 控制规律的离散化设计图 5.7 零极点型直接程序法信号流程图第五章 控制规律的离散化设计图5.8 零极点型直接程序法程序流程图第五章 控制规律的离散化设计通过分析发现，零-极点型直接程序法计算一次u（k）的花费为：加法次数为 m+n；乘法次数为 m+n+1；移动或称为延时运算次数为 m+n；其中，寄存纯滞后信号的单元数为m+n+2，即 (n+1)个u(ki)单元，i=0,1,2,n;(m+1)个e(ki)单元，i=0,1,2,m。,0,1,2,),()(,),2()1(),1()(nknkunkukukukuku,0,1,2
40、,k ),()(,),2()1(),1()(mmkemkekekekeke第五章 控制规律的离散化设计2 极极零点型零点型为了减小移位操作的次数，将式（5.20）进行改造，引入中间变量Q（z）。于是有：miiimiiiniiizbzQzbzazEzU001)(1)()(5.23)niiizazEzQ11)()(5.24)第五章 控制规律的离散化设计从而niiizazQzEzQ1)()()(5.25)零初始条件下，系统的差分方程为)()(0ikqbkumii(5.26)()()(1ikqakekqnii(5.27)其计算机程序框图由读者自行编写。第五章 控制规律的离散化设计 3 可测标准型可测标
41、准型为了减小因计算机造成的输出滞后的次数，将式（5.20）进行改造，写作：iniiiniiizzPzEbzzUazEbzEbzU)()()()()()(1010(5.28)其中)()()(zUazEbzPiii(5.29)零初始条件下，系统的差分方程为第五章 控制规律的离散化设计niniidkebikpkebku1010)()()()(5.30)()()(ikuaikebikpdiii(5.31)其计算机程序框图由读者自行编写。此种直接程序法计算滞后小，主要因为d的计算可以在上一个采样周期内完成，本次采样只要得到e(k)，按式(5.28)计算一次乘法、一次加法即可得到u(k)，所以计算周期小，
42、利于提高系统品质。第五章 控制规律的离散化设计5.2.2 串行程序法串行程序法 当数字控制器具有较高的阶次时，可把D（z）分解因式，化作一些简单的一阶或二阶环节的串联。这时D（z）的形式可一般地表示为nk1 )()()()()(10210kiikzDdzDzDzDdzD(5.32)其中Di(z)是一阶或二阶环节，即1111)()()(zzzEzUzDiiiii(5.33)第五章 控制规律的离散化设计或2211221111)()()(zzzzzEzUzDiiiiiii(5.34)编程时，将每个环节的输出作为下一个环节的输入，逐个环节串行下去，最终输出u（k），而各个环节的编程仍可用直接程序法。串
43、行程序法信号流程图如图5.9所示。第五章 控制规律的离散化设计图5.9 串行程序法信号流程图串行程序法的特点如下：（1）可以简化程序设计，设计出的一阶或二阶Di（z）子程序可以反复调用。这种程序所占存储量小，程序易读、易改。（2）降低系统对参数、及量化误差的灵敏度。（3）D（z）的因式分解有时较困难。第五章 控制规律的离散化设计5.2.3 并行程序法并行程序法当数字控制器具有较高的阶次时，可用部分分式法把D(z)化为一些简单的一阶或二阶环节的相加，其中每个环节可用直接程序法编程。这种方法又叫部分分式法。这时D（z）的形式可一般地表示为liizDdzD)()(0(5.35)式中 Di（z）是一阶
44、或二阶环节，即11)()()(zzEzUzDiiiii(5.36)第五章 控制规律的离散化设计或22111101)()()(zzzzEzUzDiiiiiii(5.37)并行程序法信号流程图如图5.10所示。并行程序法的特点如下：（1）可以简化程序设计，设计出的一阶或二阶程序可以反复调用。（2）可降低系统对参数、及量化误差的灵敏度。（3）部分分式有时难求。第五章 控制规律的离散化设计图5.10 并行程序法信号流程图第五章 控制规律的离散化设计5.2.4 小结及例题小结及例题各种计算机程序实现法计算一次u（k）的开销列于表5.2中。选择程序实现法的原则是：程序易读性强，计算时间短，计算误差小，占存
45、储单元少，编程方便。按上述原则，为了简便易读，可采用零极点型直接程序法；为了减小计算滞后，可选用可测标准型直接程序法；为了计算精确并减小系数变化的灵敏度，应选用串行程序法；选并行程序法精度当然也较高，但其计算次数、移位次数等都大为增加。第五章 控制规律的离散化设计第五章 控制规律的离散化设计例例5.9 设21211111593.0407.01083.0366.0383.0 )593.01)(1()586.01)(368.01(383.0)()()(zzzzzzzzzEzUzD试写出各种程序设计法的差分方程。第五章 控制规律的离散化设计解解 (1)直接程序法1：根据式(5.22)得)2(593.
46、0)1(407.0 )2(083.0)1(366.00.383e(k)()()(10kukukekeikuzaikezbkuniiimiii（2）直接程序法2：根据式(5.26)、(5.27)得)2(593.0)1(407.0)()()()(1kqkqkeikqakekqnii第五章 控制规律的离散化设计)2(083.0)1(366.0)(383.0)()(0kqkqkqikqbkumii（3）直接程序法3：根据式(5.30)、(5.31)得)()()(ikuaikebikpdiiininiidkebikpkebku1010)()()()(第五章 控制规律的离散化设计有)2()1()(383.
47、0)(21kpkpkeku)1(407.0)1(366.0)1(1kukekp)2(593.0)2(083.0)2(2kukekp（4）串行程序法：根据式（5.32），将D（z）分解为两个一阶环节相乘，有第五章 控制规律的离散化设计)(*)(383.0 593.01586.011368.01383.0)()()(211111zDzDzzzzzEzUzD其中:11111368.01)()()(zzzEzUzD11122593.01586.01)()()(zzzUzUzD第五章 控制规律的离散化设计按直接程序法1则有:)1()1(0.368)()(11kukekeku)1(593.0)1(586.
48、0)()(2112kukukuku)(383.0)(2kuku(5)并行程序法:根据式(5.35)，将D(z)分解为两个一阶环节相加，有)593.01712.01164.01(383.0)()()(1111zzzzzEzUzD第五章 控制规律的离散化设计其中:11111164.0)()()(zzzEzUzD1122593.01712.0)()()(zzzEzUzD按直接程序法1则有:)1()1(164.0)(11kukeku)1(593.0)1(712.0)(22kukeku)()()(383.0)(21kukukeku第五章 控制规律的离散化设计 5.3 应用实例应用实例示教机械手控制示教机
49、械手控制计算机控制的示教型机械手可以工作在恶劣的环境中，代替人工进行重复的或繁重的劳动，如核辐射、海底作业、焊接、喷漆、取放工件等。5.3.1 工作原理工作原理计算机控制的示教型机械手的功能较强，并且具有记忆能力。该类机械手具有多个自由度，一般由旋转系统、升降系统和伸缩系统等组成。这些系统的工作原理和设计方式是相似的，现以伸缩系统为例介绍它的工作原理和设计方法。第五章 控制规律的离散化设计示教再现型机械手伸缩系统的工作原理如图5.11所示。它主要由计算机、阀控油缸、液压动力源和计算机外围通道组成。其中计算机实现记忆、比较、控制的功能；阀控油缸具有出力大、响应快、体积小等优点，是系统的执行元件；
50、液压动力源是执行元件的动力源泉；计算机外围通道由轴角解码器和模拟输出通道组成，轴角解码器用来将机械手输出位置转换成数字信号，输入给计算机，模拟输出通道则将计算机输出的数字信号转换成连续的模拟信号作用于电液伺服阀，控制机械手动作。第五章 控制规律的离散化设计图5.11 示教再现型机械手伸缩系统第五章 控制规律的离散化设计示教时，系统的开关S与A点闭合，系统呈开环状态。通过人工操作示教操作器可以使机械手停留在任意位置。对所需的工作位置，可通过示教操作器上的记录按钮把机械手的位置送到计算机中存储（记忆）起来。机械手的位置是通过装在机械手输出手臂处的轴角解码器把位置信号转换为数字量后再送给计算机的。第
