1、【 精品教育资源文库 】 微专题 05 圆周运动中的临界问题 水平面内的临界问题 水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题 (1)与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有 Fm mv2r ，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力 达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心 (2)与弹力有关的临界极值问题
2、压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等 (2014 新课标全国卷 )(多选 )如图，两个质量均为 m 的小木块 a 和 b(可视为质点 )放在水平圆盘上， a 与转轴 OO 的距离为 l， b 与转轴的距离为 2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的 k 倍，重力加速度大小为 g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用 表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( ) A b 一定比 a 先开始滑动 B a、 b 所受的摩擦力始终相等 C kg2l是 b 开始滑动的临界角速度 D当 2kg3l 时， a 所受摩
3、擦力的大小为 kmg 解析： 选 AC 木块 a、 b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力 fmax kmg 相同它们所需的向心力由 F 向 m 2r 知 Fa Fb，所以 b 一定比 a 先【 精品教育资源文库 】 开始滑动， A 项正确； a、 b 一起绕转轴缓慢地转动时， f m 2r， r 不同，所受的摩擦力不同， B 项错； b 开始滑动时有 kmg m 22 l，其临界角速度为 b kg2l，选项 C 正确；当 2kg3l 时， a 所受摩擦力大小为 f m 2r 23kmg，选项 D 错误 解决此类问题的一般思路 首先要考虑达到临界条件时物体所处的
4、状态，其次分析该状态下物体的受力特点，最后结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程综合分析 (2018 安徽六安模拟 )(多选 )如图所示，两个可视为质点的、相同的木块 A 和 B 放在转盘上，两者用长为 L 的细绳连接，木块与转盘的最大静 摩擦力均为各自重力的 K 倍， A 放在距离转轴 L 处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴 O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是 ( ) A当 2Kg3L 时， A、 B 相对于转盘会滑动 B当 Kg2L时，绳子一定有弹力 C 在 Kg2L 2Kg3L 范围内增大时， B 所受摩擦力变大 D 在
5、 0 2Kg3L 范围内增大时， A 所受摩擦力一直变大 解析： 选 ABD 当 AB 所受静摩擦力均达到最大值时， A、 B 相对转盘将会滑动， Kmg Kmg m 2L m 22 L，解得： 2Kg3L ， A 项正确；当 B 所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即： Kmg m 22 L，解得： Kg2L， B 项正确；当 Kg2L 2Kg3L时，随角速度的增大，绳子拉力不断增大， B 所受静摩擦力一直保持最大静摩擦力不变， C项错误； 0 Kg2L时， A 所受摩擦力提供向心力，即 Ff m 2L，静摩擦力随角速度增大而增大，当 Kg2L 2Kg3L 时，以 AB 整体为研究对象
6、， FfA Kmg m 2L m 22 L，可知 A 受静摩擦力随角速度的增大而增大， D 项正确 【 精品教育资源文库 】 1如图，一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度 做匀速圆周运动，紧贴在一起的 M、 N两物体 (可视为质点 )随圆盘做圆周运动， N 恰好不下滑， M 恰好不滑动，两物体与转轴距离为 r，已知 M 与 N 间 的动摩擦因数为 1， M 与圆盘面间的动摩擦因数为 2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力 1与 2应满足的关系式为 ( ) A 1 2 1 B 12 1 C 1 2 1 D 1 21 2 1 解析： 选 C 以 M、 N 整体作为研究对象，则受力如图 1 所示，静摩擦力提供向
7、心力，有 Ff (mN mM) 2r，且 Ff 2(mN mM)g，以 N 为研究对象，受力分析如图 2 所示， M 对 N的弹力 FN提供向心力，有 FN mN 2r，且 Ff 1FN mNg，联立各式 得 1 2 1，故 C 正确 图 1 图 2 2 (2018 四川资阳一诊 )(多选 )如图所示，水平转台上有一个质量为 m 的物块，用长为 l 的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角 30 ，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为 13，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为 ，重力加速度为 g，则 ( ) A当 g2l时，细绳的拉力为
8、0 【 精品教育资源文库 】 B当 3g4l时，物块 与转台间的摩擦力为 0 C当 4g3l时，细绳的拉力大小为 43mg D当 gl时，细绳的拉力大小为 13mg 解析： 选 AC 当转台的角速度比较小时，物块只受重力、支持力和摩擦力，当细绳恰好要产生拉力时 mg m 21lsin 30 ，解得 1 2g3l，随角速度的增大，细绳上的拉力增大，当物块恰好要离开转台时，物块受到重力和细绳的拉力的作用， mgtan 30 m 22lsin 30 ，解得 2 2 3g3l ，由于 1 3g4l 2，所以当 3g4l时，物块与转台间的摩擦力不为零，故 B 错误；由于 g2l w1，所以当 g2l时
9、，细绳的拉力为零，故 A 正确；由于 1 gl 2，由牛顿第二定律得 f Fsin 30 m? ?gl 2lsin 30 ，因为压力小于 mg，所以 f 13mg，解得 F 13mg，故 D 错误；当 4g3l 2时，物块已经离开转台，细绳的拉力与重力的合力提供向心力，则 mgtan m? ? 4g3l 2lsin ，解得 cos 34，故 F mgcos 43mg，故 C 正确 竖直面内的临界问题 1竖直面内圆周运动的临界问题 “ 轻绳和轻杆 ” 模型 (1)“ 轻绳 ” 模型特点：无支撑 (如球与绳连接、沿内轨道的 “ 过山车 ” 等 ) 均是没有支撑的小球 小球过最高点的条件是什么？ 过
10、最高点时，若 v gr，当 v 增大时，小球受到的弹力 FN如何变化？ (2)“ 轻杆 ” 模型的特点：有支撑 (如球与杆连接、小球在弯管内运动等 ) 【 精品教育资源文库 】 均是有支撑的小球 小球能过最高点的条件是什么？ 过最高点时，若 0 v gr时，小球受到的弹 力 FN的方向如何？随着 v 的增大 FN怎样变化？若 v gr又会怎样？ 2两类模型对比 轻绳模型 轻杆模型 示意图 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 过最高 点的临 界条件 由 mg mv2r 得 v 临 gr 由小球能运动即可得 v 临 0 讨论 分析 (1)过最高点时， v gr， FN mg mv2r，绳、轨道
11、对球产生弹力 FN (2)不能过最高点 v gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨 道 (1)当 v 0 时， FN mg， FN背离圆心 (2)当 0 v gr时， mg FN mv2r， FN背离圆心并随 v 的增大而减小 (3)当 v gr时， FN 0 (4)当 v gr时， mg FN mv2r， FN指向圆心并随 v 的增大而增大 在最高 点的 FN 图象 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向 (2018 陕西西安一中模拟 )(多选 )如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为 m的小球，在竖直平面内做圆周运动 (不计一切阻力 )，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度
12、大小为 v，其 T v2图象如图乙所示，则 ( ) A轻质绳长为 amb 【 精品教育资源文库 】 B当地的重力加速度为 am C当 v2 c 时，轻质绳的拉力大小为 acb a D只要 v2 b，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为 6a 解析： 选 BD 在最高点重力和绳子的拉力的合力充当向心力，所以有 T mg mv2R，即 T mRv2 mg，故斜率 k mR，纵截距 y mg，根据几何知识可得 k ab， y a，联立解得 g am， R mba ， A 错误， B 正确；当 v2 c 时，代入 T mRv2 mg，解得 T acb a， C 错误；只要 v2 b，绳子的拉力大于
13、0，根据牛顿第二定律得最高点， T1 mg mv21R，最低点， T2 mg mv22R，从最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得12mv2212mv21 2mgR，联立解得 T2 T1 6mg，即小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为 6a， D 正确 在竖直面内的圆周运动临界问题 (2017 广东汕头二模 )如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点 O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为 v，此时绳子的拉力大小为 T，拉力 T 与速度 v 的关系如图乙所示，图象中的数据 a 和 b 包括重力加速度 g 都为已知量，以下说法正确的是 ( ) 图甲 图乙 【 精品教育资源
14、文库 】 A数据 a 与小球的质量有关 B数据 b 与圆周轨道半径有关 C比值 ba只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关 D利用数据 a、 b 和 g 能够求出小球的质量和圆周轨道半径 解析： 选 D 在最高点对小球受力分析，由牛顿第二定律有 T mg mv2R，可得图线的函数表达式为 T mv2R mg，图乙中横轴截距为 a，则有 0 maR mg，得 gaR，则 a gR；图线过点 (2a， b)，则 b m2aR mg，可得 b mg，则 ba mR， A、 B、 C 错由 b mg 得 m bg，由 a gR 得 R ag，则 D 正确 3 (2018 东城区模拟 )(多选 )长为 L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度 v，下列说法中正确的是 ( ) A当 v 的值为 gL时，杆对小球的弹力为零 B当 v 由 gL逐渐增大时，杆对小球的
