1、数值分析数值分析数值分析数值分析Numerical Analysis计算的目的不在于数据，而在于洞察事物计算的目的不在于数据，而在于洞察事物。理查德理查德哈明哈明The purpose of computing is insight，not numbers.Richard Wesley Hamming(http:/ 引论引论数值分析的概念、地位和特点数值分析的概念、地位和特点1 1 数值分析的研究对象（课程简介）数值分析的研究对象（课程简介）数值分析数值分析是研究各种数学问题的数值方法的设计、是研究各种数学问题的数值方法的设计、分析、有关的数学理论和具体实现的一门学科。分析、有关的数学理论和具
2、体实现的一门学科。实际上实际上就是就是介绍用计算机解决数学问题的计算方法及其理论。介绍用计算机解决数学问题的计算方法及其理论。这门课程又称为这门课程又称为(数值数值)计算方法、科学与工程计算等计算方法、科学与工程计算等。1.1.数值分析的概念数值分析的概念数值分析数值分析数值数值分析分析输入复杂问题或运算输入复杂问题或运算.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 计算机计算机近似解近似解利用计算机高速的简单运算去实现各种复杂的功能利用计算机高速的简单运算去实现各种复杂的功能数值分析数值分析 科学计算科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件的核心内容是以现代化的计算机及
3、数学软件（Matlab,Mathematica,Maple,MathCAD etc.）为工具，以数学为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。模型为基础进行模拟研究。现代科学的三个组成部分现代科学的三个组成部分:科学理论科学理论,科学实验科学实验,科学计算科学计算2.2.数值分析的地位数值分析的地位促使一些促使一些边缘学科边缘学科的相继出现：的相继出现：计算数学计算数学,计算物理学计算物理学,计算力学计算力学,计算化学计算化学,计算生物学计算生物学,计算地质学计算地质学,计算经济学计算经济学,等等等等数值分析数值分析实际实际问题问题建立数学建立数学模型模型数值分析提出数值分析提出算法算法程序程序设
4、计设计编程上机计编程上机计算算分析结果并对实际问题进行分析结果并对实际问题进行解释说明解释说明 在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方法数值方法，即将数学模型中的即将数学模型中的连续变量离散化连续变量离散化，转化成一系列相应的，转化成一系列相应的算法步骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意算法步骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。的数值结果。数值分析数值分析总的来看，数值分析这门课具有以下几个特点：总的来看，数值分析这门课具有以下
5、几个特点：(1)(1)数值分析是一门数值分析是一门与计算机应用密切结合与计算机应用密切结合的实用性的实用性很强的学科；很强的学科；(2)(2)数值分析这门课程即要讨论连续变量问题又要数值分析这门课程即要讨论连续变量问题又要讨论离散变量问题，关心的是讨论离散变量问题，关心的是数值结果数值结果；(3)(3)数值分析这门课程已成为近代数学的一个重要数值分析这门课程已成为近代数学的一个重要分支，专门研究数学问题的数值解法。分支，专门研究数学问题的数值解法。3.3.数值分析的特点数值分析的特点数值分析数值分析二、数值分析的研究内容和研究方法方法数值分析的研究内容和研究方法方法插值问题插值问题（Ch2）线
6、性代数方程组的数值解法线性代数方程组的数值解法(Ch6)非线性方程组的数值解法非线性方程组的数值解法(Ch7)数值积分与数值微分数值积分与数值微分(Ch4)常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法(Ch5)函数逼近函数逼近 (Ch3)矩阵特征值与特征向量的计算问题矩阵特征值与特征向量的计算问题(Ch8)研究内容研究内容数值分析数值分析研究方法研究方法:1.1.数值方法的特点（支撑理论）数值方法的特点（支撑理论）2.2.如何评价数值方法的好坏（评价标准）如何评价数值方法的好坏（评价标准）递推性递推性(迭代迭代),),近似代替近似代替,离散化离散化,外推法外推法 本课程的基本目的，是使大家通过学习
7、和实验，本课程的基本目的，是使大家通过学习和实验，初步建立并理解数值计算，特别是科学与工程计算的初步建立并理解数值计算，特别是科学与工程计算的基本概念，为进一步深入的学习打下坚实基础。基本概念，为进一步深入的学习打下坚实基础。误差、稳定性、收敛性、计算量、存贮量和自适应性误差、稳定性、收敛性、计算量、存贮量和自适应性数值分析数值分析 用到的编程语言用到的编程语言:MatlabMatlabMatlabMatlab几个特点：几个特点：1 Matlab1 Matlab处理矩阵处理矩阵容易容易2 Matlab2 Matlab绘图绘图轻松轻松3 3 MatlabMatlab编程编程简洁简洁4 4 Mat
8、labMatlab具有丰富的工具箱具有丰富的工具箱内容多！任务重！难度大！内容多！任务重！难度大！数值分析数值分析考试评分：考试评分：平时作业平时作业+考勤考勤+程序占总成绩的程序占总成绩的30%30%，期末考试占总成绩的期末考试占总成绩的70%70%，闭卷考试。，闭卷考试。三、基本要求三、基本要求作业要求：作业要求：每周有课外练习，两周交一次作业，每周有课外练习，两周交一次作业，完成完成 1 1个综合程序课题设计。个综合程序课题设计。数值分析数值分析实际实际问题问题建立数建立数学模型学模型确定数值计确定数值计算方法算方法编制程序上机编制程序上机算出结果算出结果2 2 数值计算的误差数值计算的
9、误差2.1 误差的来源与分类误差的来源与分类 用计算机解决科学计算问题时，需要经历以下几个环节：用计算机解决科学计算问题时，需要经历以下几个环节：数值结果数值结果是指在选择某种数值方法之后，编制程序正是指在选择某种数值方法之后，编制程序正确，输入初始数据正确的情形下所获得的结果。确，输入初始数据正确的情形下所获得的结果。实际问题的精确解与用计算机计算出来的数值结果实际问题的精确解与用计算机计算出来的数值结果之间就有差异，这种差异在数学上称为之间就有差异，这种差异在数学上称为误差误差。数值分析数值分析 模型误差模型误差 /*Modeling Error*/从实际问题中抽象出数学模型时产生的误差从
10、实际问题中抽象出数学模型时产生的误差 观测误差观测误差 /*Measurement Error*/通过测量得到模型中参数的值通过测量得到模型中参数的值 导致输入数据的导致输入数据的 误差误差 方法误差方法误差(截断误差截断误差/*Truncation Error*/)近似求解时产生的误差近似求解时产生的误差 舍入误差舍入误差 /*Roundoff Error*/由于计算机字长有限而在数值运算的每一步所产由于计算机字长有限而在数值运算的每一步所产生的误差生的误差数值分析数值分析dxex 102 近近似似计计算算:例例大家一起猜？大家一起猜？dxe2x1011/e解法之一解法之一：将将 作作Tay
11、lor展开后再积分展开后再积分2xe 91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4 /*Remainder*/,104 Sdxe2x取取则则 111!5191!414R称为称为截断误差截断误差 /*Truncation Error*/005091!414.R 这这里里7430024010333014211013114.S 0010200050.|舍入误差舍入误差/*Roundoff Error*/|006000100050102.dxe-x 的的总总体体误误差差计计算算=0.747 由截去部分由截去部分/*excluded terms*/
12、引起引起由留下部分由留下部分/*included terms*/引起引起数值分析数值分析 设设 是某实数的精确值是某实数的精确值,是它的一个近似值，则称是它的一个近似值，则称 为近似值为近似值 的的绝对误差绝对误差，简称，简称误差误差.2.2 误差与有效数字误差与有效数字定义定义2.1 2.1 绝对误差、相对误差绝对误差、相对误差AxxAxxAx定义定义2.2 2.2 绝对误差界、相对误差界绝对误差界、相对误差界 AAxx若若 ，则称，则称 为为绝对误差界绝对误差界，简称，简称误差界误差界AAAx称称 为为相对误差界相对误差界,记为记为 .rAxxx 称为称为 的的相对误差相对误差,常用常用
13、表示表示.AxAAxxx数值分析数值分析 定义定义2.3 有效数字有效数字/*significant digits*/用科学计数法，记用科学计数法，记 （其中（其中 ）.若若 （即（即 的截取按四舍五入规则），则称的截取按四舍五入规则），则称 为有为有n 位位有效数字有效数字，精确到，精确到 。12100kAnx.a aa 01 a|0 5 10k nAxx.naAx10k n3 14159265358979323 1416.;*.例：例：问：问：有几位有效数字？请证明你的结论有几位有效数字？请证明你的结论.*14150 31416100 5100 510*.,|.*证明：证明：有有5 位有效
14、数字，精确到小数点后第位有效数字，精确到小数点后第4位。位。注：注：0.23000.2300有有4 4位有效数字，而位有效数字，而0.00230.0023只有只有2 2位有效。位有效。1230012300如果写成如果写成0.1230.123 105105，则表示只有，则表示只有3 3位有效数字位有效数字.数字末尾的数字末尾的0 0不可随意省去！不可随意省去！数值分析数值分析例例:设设 x x1 1=1.73,=1.73,x x2 2=1.7321,=1.7321,x x3 3=1.7320=1.7320是其近似值是其近似值,问它们分别有几位有效数字问它们分别有几位有效数字?.7320508.1
15、3 x211130.00212:10ex 解解422130.00005102ex3331021000051.03 xe3 3位位5 5位位4 4位位 1210.100,0,1,.,9)pnixa aanxna 若若近近似似值值的的绝绝对对误误差差限限不不超超过过第第 位位的的半半个个单单位位，则则数数 有有 位位有有效效数数字字.(a a结结论论:数值分析数值分析 定理定理2.1 有效数字与相对误差的关系有效数字与相对误差的关系 有效数字有效数字 相对误差限相对误差限121110 51010*010201102knnrknn*.x*.a aa.aa已知已知 x*有有 n 位有效数字位有效数字，
16、则其，则其相对误差限相对误差限为为 相对误差限相对误差限 有效数字有效数字1121111110|*|*|*|0102(1)10(1)100 5102(1)nkrnkknxxx.a aaa.a1110)1(21*nra已知已知 x*的的相对误差限相对误差限可写为可写为则则可见可见 x*至少有至少有 n 位位有效数字。有效数字。数值分析数值分析浮点数：浮点数：36.83=0.3683102=0.03683103这种允许小数点位置浮动的表示法称为数的这种允许小数点位置浮动的表示法称为数的浮点形式。浮点形式。机器数机器数 x 的的二进制浮点形式二进制浮点形式为为:2.4 计算机的浮点数表示和舍入误差计
17、算机的浮点数表示和舍入误差计算机所能表示的数系不是一个连续统而是一个特殊的计算机所能表示的数系不是一个连续统而是一个特殊的离散集合（部分有理数），此集合的数称为离散集合（部分有理数），此集合的数称为机器数机器数.尾数尾数阶阶1220.ktx 12(0,1)sjk 其中，其中，阶的位数阶的位数数值分析数值分析3 病态问题、数值稳定性与避免误差危害病态问题、数值稳定性与避免误差危害问题问题：对于：对于 y =f(x)，若用，若用 x*取代取代 x，将对，将对y 产生什么影响？产生什么影响？3.1 3.1 病态问题与条件数病态问题与条件数()()(*)|()|(*)(*)re yf xf xeyf
18、xf x()(*)*()()*()()()()rf xf xxxxxxf xxx fxxxx fxexf xxf x条件数条件数/*condition number*/条件数很大时，初始数据的微小误差可条件数很大时，初始数据的微小误差可能引起结果能引起结果 A A 的很大误差的很大误差.数值分析数值分析 对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很大扰动，则称数学问输出数据（即数学问题的解）有很大扰动，则称数学问题是题是病态问题病态问题，否则称为，否则称为良态问题良态问题。28)33(,34.0|333100|fx变变化
19、化不不大大 2100()11503fxxxx 求求在在例例：处处的的值值10050()5.639f 解解：,33,xxxx 有有误误差差若若却却很很大大的的误误差差而而4.22|6.528|)()(|)3100(xfxxff 数值分析数值分析dxxxxnn 10155?例例1的的近近似似值值。时时，求求积积分分 1058,1,0dxxxynnn 解解 15nnyy 0y,516.0541,083.0531,05.0521,09.05134231201 yyyyyyyyn1.511 nnyny)3(182.0位位留留保保 3216.51511nnyny 改改用用：;017.0)1(9109 yy
20、y选选初初值值：020.00)2(910 yy,025.05351,021.05401,019.05451768798 yyyyyy失之毫厘失之毫厘,差之千里！差之千里！5ln6ln510 xdx原因原因 误差的传播与积累误差的传播与积累,043.05201,034.05251,028.05301435465 yyyyyy,182.0551,088.05101,058.05151102132 yyyyyy3.2 数值方法的稳定性数值方法的稳定性数值分析数值分析.210110,n,dxexeIxnn 例：计算例：计算11 nnInI 公式一：公式一：注意此公式注意此公式精确精确成立成立63212
21、0560111100.edxeeIx 记为记为*0I80001050 .IIE则初始误差则初始误差111111110010 nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101.367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.II.II.II.II.II.II.II?!What happened?!数值分析数值分析考察第考察第n步的误差步的误差nE|)1()1(|*11*nnnnnnInIIIE|!01En|Enn 我
22、们有责任改变。我们有责任改变。造成这种情况的是造成这种情况的是不稳定的算法不稳定的算法 /*unstable algorithm*/迅速积累，误差呈递增。迅速积累，误差呈递增。可见初始的小扰动可见初始的小扰动801050|.E)1(1111nnnnInIInI 公式公式注意此公式与公式一注意此公式与公式一在理论上在理论上等价等价。方法：先估计一个方法：先估计一个IN,再反推要求的再反推要求的In(n N)。11)1(1 NINeNNNINNeI 11)1(121*可取可取0*NNNIIEN,时时当当数值分析数值分析632120560)1(11367879440)1(210838771150)1
23、(1110773517320)1(1210717792140)1(1310668702200)1(1410638169180)1(151042746233016116121*1*0*2*1*11*10*12*11*13*12*14*13*15*14*15.II.II.II.II.II.II.II.eI 取取 We just got lucky?数值分析数值分析考察反推一步的误差：考察反推一步的误差：|1)1(1)1(1|*1NNNNENININE 以此类推，对以此类推，对 n N 有：有：|)1(.)1(1|NnEnNNE 误差逐步递减误差逐步递减,这样的算法称为这样的算法称为稳定的算法稳定的
24、算法/*stable algorithm*/在我们今后的讨论中，在我们今后的讨论中，误差误差将不可回避，算法的将不可回避，算法的 稳定性稳定性会是一个非常重要的话题会是一个非常重要的话题。定义：定义：一个算法如果输入数据有扰动（即有误差），而计算过一个算法如果输入数据有扰动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定数值稳定的，否则称此算的，否则称此算法为不稳定的。法为不稳定的。数值分析数值分析1 1、防止两接近的数相减防止两接近的数相减.01182 xx例例:求下列方程的根求下列方程的根解解:.809,80921 xx用用 8 位浮点数位浮点
25、数(有效数字有效数字)计算计算1089442719.080 .1055728091.0,1017944272.01221 xx用用 4 位浮数点位浮数点(有效数字有效数字)计算计算108944.080 .105600.0,101794.01221 xx两接近数相减两接近数相减损失了有效数字损失了有效数字数值不稳定的方法数值不稳定的方法121xx 改改用用公公式式.105574.080911 仍用仍用4 位浮点数计算位浮点数计算数值稳定数值稳定的方法的方法减法本身完全正确减法本身完全正确误差传播的研究十分重要误差传播的研究十分重要 是因为求是因为求 的误差的误差(并不大并不大),进行减法后导致不
26、应忽视的后果进行减法后导致不应忽视的后果 80准确准确3.3 避免有效数字损失避免有效数字损失a1=0.12345,a2=0.12346,（5位位,而而 a2 a1=0.00001,1位有效数字。位有效数字。数值分析数值分析 几种经验性避免方法几种经验性避免方法：;xxxx ;1lnlnln xxx当当|x|1 时：时：.6121112xxxex0.4+0.3+0.2+0.1+1234=12351234+0.4+0.3+0.2+0.1=12344 4位有效数字舍入运算位有效数字舍入运算：例例：2 2、避免出现避免出现“大数吃小数大数吃小数”数值分析数值分析3.4 减少运算次数减少运算次数 例：
27、例：的的值值。计计算算多多项项式式0111)(axaxaxaxpnnnnn 次次乘乘法法，需需作作计计算算nxann;2)1(12)1()(nnnnxpn的的值值需需作作乘乘法法次次数数：计计算算.n加加法法次次数数：(b)利用秦九韶算法利用秦九韶算法(1247)(a)直接计算每一项再求和：直接计算每一项再求和：).(,;)(1,2,1,11nnkkkknnnaxSSaSxp的的递递推推公公式式：计计算算 解：解：),(0 xpSn 则则次次加加法法。次次乘乘法法的的值值只只需需作作计计算算nnxpn)(110()()nnnp xx xx a xaaa数值分析数值分析 例例3 计算计算 ln2
28、 的近似值，要求误差小于的近似值，要求误差小于10.解：解：,1)1(211Sln211nnxn ，则则得得取取,10112ln7 nSn误误差差.1107 n计算量太大各项的舍入误差会损失和的有效数字计算量太大各项的舍入误差会损失和的有效数字 (b)用级数用级数 计算计算)1()1231(211ln22 xmxxxxxm,)31(121)31(51)31(31132ln231242 mmx，则则取取用前用前 9 项（即取项（即取 m=8）计算就能达到精度要求）计算就能达到精度要求:,)31(171)31(51)31(31132ln216428 S.102ln78 S即即舍入误差舍入误差(a)
29、用级数用级数 计算计算)1,1()1(321)ln(1132 xnxxxxnn数值分析数值分析一、几种常用的数学软件一、几种常用的数学软件 第三节第三节 数学软件工具数学软件工具 目前流行的数学软件主要有以下几种：目前流行的数学软件主要有以下几种：符号运算软件：符号运算软件：Mathematica,MapleMathematica,Maple矩阵处理软件：矩阵处理软件：MatlabMatlab统计处理软件：统计处理软件：SAS,Spss,OriginSAS,Spss,Origin数学数学CADCAD软件：软件：MathCADMathCAD数值分析数值分析 1、符号运算软件：符号运算软件：Mat
30、hematica,Maple 一提起计算机求解，人们就会想到数值计算。但一提起计算机求解，人们就会想到数值计算。但随着符号运算及计算机代数理论的日益成熟，人们又随着符号运算及计算机代数理论的日益成熟，人们又利用计算机来进行符号计算。利用计算机来进行符号计算。70年代人们开发了几个年代人们开发了几个较为成功的通用的计算机代数系统，如较为成功的通用的计算机代数系统，如Reduce系统和系统和MACSYMA系统。但由于速度慢，开发不方便，因此系统。但由于速度慢，开发不方便，因此没有流行起来。在没有流行起来。在1988年推出的年推出的Mathematica软件才使软件才使得符号运算系统的使用普及起来。
31、在这方面代表性的得符号运算系统的使用普及起来。在这方面代表性的软件就是软件就是Mathematica和和Maple。虽然在。虽然在Matlab里也有里也有符号计算系统，但它采用的是符号计算系统，但它采用的是Maple内核。内核。数值分析数值分析 1、符号运算软件：符号运算软件：Mathematica,Maple Mathematica:美国美国Wolfram公司出品。公司出品。1988 年推年推出第一版版本，刚推出时受到极大好评，出第一版版本，刚推出时受到极大好评，New York 时时代周刊这样评论：代周刊这样评论：“the importance of the program cannot
32、be overlooked”，Business Week 把把Mathematica列为当年十大最重要的新产品之一。列为当年十大最重要的新产品之一。Mathematica在技在技术界也被作为智力和应用的革命性产品受到极大欢迎。术界也被作为智力和应用的革命性产品受到极大欢迎。人们常说人们常说Mathematica的出现标志着现代技术计算的开的出现标志着现代技术计算的开始。目前版本为始。目前版本为5.0。数值分析数值分析 1、符号运算软件：符号运算软件：Mathematica,Maple Maple：加拿大：加拿大Mathsoft公司出品。公司出品。1980年年 加拿大加拿大Waterloo大学开
33、始研究符号运算系统。取这个名字是为大学开始研究符号运算系统。取这个名字是为了表明这个软件是加拿大生产的。目前最新的版本为了表明这个软件是加拿大生产的。目前最新的版本为Maple Release9.5。Maple功能基本和功能基本和Mathematica一致。由于这两个一致。由于这两个软件功能相似，因此统一介绍这两个软件的功能和特软件功能相似，因此统一介绍这两个软件的功能和特点。点。数值分析数值分析 功能：功能：数值计算：数值计算：初等计算、线性代数计算、数值方法等初等计算、线性代数计算、数值方法等符号运算：符号运算：多项式因式分解与展开、微分、积分、级数、多项式因式分解与展开、微分、积分、级数
34、、数列等。数列等。绘图功能：绘图功能：方便、强大、直观的二、三维绘图。方便、强大、直观的二、三维绘图。特点：特点：1)简单易用的交互式操作方式简单易用的交互式操作方式:两种软件都使用英文单两种软件都使用英文单 词来命名函数，非常直观、易用。对每一个命令都词来命名函数，非常直观、易用。对每一个命令都 能给出显示结果，非常方便。能给出显示结果，非常方便。2)功能强大功能强大:强大的数值计算功能和威力无比的符号运强大的数值计算功能和威力无比的符号运 算功能。算功能。3)结构化的程序设计语言结构化的程序设计语言4)Tex输出格式输出格式:Tex是科技文章的一种格式，科技界应是科技文章的一种格式，科技界
35、应 用十分用十分广广泛。泛。数值分析数值分析 2、矩阵处理软件：矩阵处理软件：Matlab简介：简介：MATLAB的含义是矩阵实验室的含义是矩阵实验室,是是Matrix Laboratory的缩写。它的前身是的缩写。它的前身是LINPACK（解线性方程）和（解线性方程）和EISPACK（解特征值问题）的（解特征值问题）的FORTRAN子程序库。子程序库。由于它把矩阵当成一个对象，因此编写程序更加直观、由于它把矩阵当成一个对象，因此编写程序更加直观、方便。方便。1984年年 正式推出正式推出,最新版本为最新版本为V7.0 Release14.MATLAB具有非常强大和直观的计算功能，并且具有非常
36、强大和直观的计算功能，并且由于其有非常好的扩展性能，现在已经成为世界上应用由于其有非常好的扩展性能，现在已经成为世界上应用最广泛的工程计算软件之一最广泛的工程计算软件之一 数值分析数值分析 特点：特点：(1)强大的数值运算功能强大的数值运算功能 在在MATLAB环境中，有超过环境中，有超过500种数学、统计、科学及种数学、统计、科学及工程方面的函数可使用，函数的命名表示自然，使得问题和工程方面的函数可使用，函数的命名表示自然，使得问题和解答像数学公式一般简单明了，让用户可全力发挥在解题方解答像数学公式一般简单明了，让用户可全力发挥在解题方面，而非浪费在电脑操作上。面，而非浪费在电脑操作上。(2
37、)数据分析和可视化功能、文字处理功能数据分析和可视化功能、文字处理功能 MATLAB可以绘制二、三维图形，与可以绘制二、三维图形，与Mathematic和和Maple相比，它还能处理光照模型，制作出高品质的图形。相比，它还能处理光照模型，制作出高品质的图形。功能十分强大。功能十分强大。MATLAB Notebook为用户提供了强大的文为用户提供了强大的文字处理功能，并允许字处理功能，并允许WORD访问访问MATLAB的数值计算和可的数值计算和可视化结果，制作科学性或工程性图文并茂的文章视化结果，制作科学性或工程性图文并茂的文章.数值分析数值分析 (3)高级、简单、高效的程序环境高级、简单、高效
38、的程序环境 做为一种解释型的程序语言，做为一种解释型的程序语言，MATLAB允许使用允许使用者在短时间内写完程序者在短时间内写完程序,所花的时间约为用所花的时间约为用 FORTRAN 或或 C 的几分之一，而且不需要编译的几分之一，而且不需要编译(compile)及及 连连 接接(link)即能执行，同时包含了更多及更容易使用的内建即能执行，同时包含了更多及更容易使用的内建功能。功能。(4)开放及可延伸的架构开放及可延伸的架构 MATLAB允许使用者接触它的大多数的数学源代允许使用者接触它的大多数的数学源代码，检查运算法，更改现有函数，甚至加入自己的函数码，检查运算法，更改现有函数，甚至加入自
39、己的函数使使 MATLAB成为使用者所需要的环境。成为使用者所需要的环境。数值分析数值分析 (5)丰富的工具箱丰富的工具箱 MATLAB的工具箱融合了套装前软体的优点，与的工具箱融合了套装前软体的优点，与一个灵活的开放但容易操作之环境，这些工具箱提供了一个灵活的开放但容易操作之环境，这些工具箱提供了使用者在特别应用领域所需的许多函数。现有工具箱有：使用者在特别应用领域所需的许多函数。现有工具箱有：符号运算（利用符号运算（利用Maple V的计算核心执行）、图像处理、的计算核心执行）、图像处理、统计分析、信号处理、通信、线性矩阵不等式、偏微分统计分析、信号处理、通信、线性矩阵不等式、偏微分方程、
40、高阶谱分析、财政金融、神经网络、模拟分析、方程、高阶谱分析、财政金融、神经网络、模拟分析、控制系统、实时控制、小波分析、最优化、模糊逻辑、控制系统、实时控制、小波分析、最优化、模糊逻辑、分析及合成等分析及合成等30多种。多种。数值分析数值分析 3、数学、数学CAD软件：软件：MathCAD Mathcad是由是由MathSoft公司推出的一种交互式公司推出的一种交互式数值系统。在输入一个数学公式、方程组、矩阵之后，数值系统。在输入一个数学公式、方程组、矩阵之后，计算机能直接给出结果，而无须去考虑中间计算过程。计算机能直接给出结果，而无须去考虑中间计算过程。最令人激动的是在加入软件包自带的最令人
41、激动的是在加入软件包自带的Maple插件后能直插件后能直接支持符号运算。你可以在计算机上输入数学公式、符接支持符号运算。你可以在计算机上输入数学公式、符号和等式等，很容易地算出代数、积分、三角以及很号和等式等，很容易地算出代数、积分、三角以及很多科技领域中的复杂表达式的值，并可显示数学表格多科技领域中的复杂表达式的值，并可显示数学表格和图形和图形,通过对图形结果的分析，使我们对问题的理解通过对图形结果的分析，使我们对问题的理解更加形象。更加形象。数值分析数值分析 特点：公式编辑功能强大、直观性强。特点：公式编辑功能强大、直观性强。功能：功能：公式编辑：公式编辑：MathCAD的最吸引人的地方在于编辑的最吸引人的地方在于编辑 公式非常方便、实用，几乎没有不能表示的数学公式非常方便、实用，几乎没有不能表示的数学 公式。公式。矩阵功能矩阵功能 定义的矩阵或矢量定义的矩阵或矢量 矩阵操作：矩阵转置、求逆矩阵、求矩阵的行列矩阵操作：矩阵转置、求逆矩阵、求矩阵的行列 式的值。式的值。Mathcad的用户主要针对具备应用数学知识但并不的用户主要针对具备应用数学知识但并不要求具有较多的计算机知识的用户，如工程研究人员、要求具有较多的计算机知识的用户，如工程研究人员、学生等。最新版本为学生等。最新版本为MATHCAD 11
