1、 第一节第一节 变量间的相关关系变量间的相关关系一）相关关系的概念一）相关关系的概念二）相关关系的种类二）相关关系的种类新课导入新课导入:某车间工人的基本情况：某车间工人的基本情况：在这里，在这个车间的所有在这里，在这个车间的所有9 9名工人（总名工人（总体）中，我们一方面可以了解职工工资总额、生活支出总数、平体）中，我们一方面可以了解职工工资总额、生活支出总数、平均工时数等，现在我们要分析的是工资、一周工时及生活支出和均工时数等，现在我们要分析的是工资、一周工时及生活支出和食用支出比例等方面的关系，有没有什么关联。食用支出比例等方面的关系，有没有什么关联。序号序号工资工资 一周工时一周工时
2、生活支出生活支出 食用支出比例食用支出比例 年龄年龄 1 12 23 34 45 56 67 78 89 9850850840840830830820820810810800800795795790790785 785 4949484847474646454544444343424241 41 600600590590590590587587585585570570562562560560590590 20%20%22%22%22.5%22.5%23%23%23.5%23.5%24%24%26%26%26.5%26.5%27%27%3030292945452626222248485252232
3、32424 一一)相关分析的概念相关分析的概念相关分析的概念相关分析的概念1)1)函数关系函数关系1.定义定义当一个或几个变量取一定的值时，当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值与之相对应，另一个变量有确定值与之相对应，我们称这种关系为确定性的函数我们称这种关系为确定性的函数关系。关系。2.2.函数关系特点函数关系特点（1 1）是一一对应的确定关系；）是一一对应的确定关系；（2 2）设有两个变量）设有两个变量 x x 和和 y y，变量，变量 y y 随变量随变量 x x 一起变化，并完全依赖一起变化，并完全依赖于于 x x，当变量，当变量 x x 取某取某个数值时，个数值时，y y
4、 依确定的关系取相应的值，则依确定的关系取相应的值，则称称 y y 是是 x x 的函数，记为的函数，记为 y y=f f(x x)，其中，其中 x x 称为自变量，称为自变量，y y 称为因变量称为因变量 3.3.函数关系的例子函数关系的例子 某种商品的销售额某种商品的销售额(y y)与销售量与销售量(x x)之间之间的关系可表示为的关系可表示为 y y=p x p x(p p 为单价为单价)圆的面积与半径之间的关系可表示为圆的面积与半径之间的关系可表示为S S=r r2 2 企业的原材料消耗额企业的原材料消耗额(y y)与产量与产量(x x1 1)、单位产量消耗单位产量消耗(x x2 2)
5、、原材料价格、原材料价格(x x3 3)之之间的关系可表示为间的关系可表示为y y=x x1 1 x x2 2 x x3 3 2)2)相关关系相关关系1.1.定义：定义：当一个或几个相互联系的变量取当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一变量的值一定数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定的虽然不确定，但它仍按某种规律在一定的范围内变化。变量间的这种关系称为具有范围内变化。变量间的这种关系称为具有不确定性的相关关系。不确定性的相关关系。现象之间客观存在的不严格、不确定现象之间客观存在的不严格、不确定的数量依存关系。的数量依存关系。相关关系的特点相关关系
6、的特点:变量间关系不能用函数关系精确表达变量间关系不能用函数关系精确表达一个变量的取值不能由另一个变量唯一确一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定定当变量当变量 x x 取某个值时，变量取某个值时，变量 y y 的取值可的取值可能有几个能有几个各观测点分布不同各观测点分布不同.相关关系和函数关系的区别和联系相关关系和函数关系的区别和联系 1.1.区别区别:(1)(1)相关关系与函数关系的根本区别在于相依变相关关系与函数关系的根本区别在于相依变量间的关系值是否确定量间的关系值是否确定.(2)(2)相关关系的研究中各变量的地位是对等相关关系的研究中各变量的地位是对等,函函数关系时自变量和因变量必须
7、是明确数关系时自变量和因变量必须是明确.(3)(3)相关关系所涉及的变量均为随机变量相关关系所涉及的变量均为随机变量,而函而函数关系的自变量和因变量都是确定性变量数关系的自变量和因变量都是确定性变量 2.2.联系联系:(1)(1)由于存在观察或测量误差由于存在观察或测量误差,函数关系所具函数关系所具有的确定性对应关系在实际中往往通过相关有的确定性对应关系在实际中往往通过相关关系表现出来关系表现出来.(2)(2)为了更好地研究相关变量间的内在联系为了更好地研究相关变量间的内在联系和数量变动比例关系和数量变动比例关系,往往借助函数关系表达往往借助函数关系表达式对相关关系作近似描述式对相关关系作近似
8、描述.(3)(3)有时有时,函数关系也可看作是相关关系的特函数关系也可看作是相关关系的特例例.即完全相关即完全相关.二二)相关关系的种类相关关系的种类（1 1）正相关：两个相关现象间，当一个变量的数）正相关：两个相关现象间，当一个变量的数值增加（或减少）时，另一个变量的数值也随之值增加（或减少）时，另一个变量的数值也随之增加（或减少），即同方向变化。增加（或减少），即同方向变化。例如收入与消费的关系。例如收入与消费的关系。（2 2）负相关：当一个变量的数值增加（或减少）负相关：当一个变量的数值增加（或减少）时，而另一个变量的数值相反地呈减少（或增加）时，而另一个变量的数值相反地呈减少（或增加）
9、趋势变化，即反方向变化。趋势变化，即反方向变化。例如物价与消费的关系。例如物价与消费的关系。（1 1）当两种相关现象之间的关系大致呈现为线性）当两种相关现象之间的关系大致呈现为线性关系时，称之为线性相关。关系时，称之为线性相关。（2 2）当两种相关现象之间的关系不表现为直线关）当两种相关现象之间的关系不表现为直线关系，而是近似于某种曲线方程的关系，则这种相系，而是近似于某种曲线方程的关系，则这种相关关系称为非线性相关。关关系称为非线性相关。（1 1）当只研究两个变量时，它们之间的相关，称）当只研究两个变量时，它们之间的相关，称为单相关。为单相关。（2 2）当所研究的是一个变量对两个或两个以上其
10、）当所研究的是一个变量对两个或两个以上其他变量的相关关系时，称为复相关。他变量的相关关系时，称为复相关。例如，某种商品的需求与其价格水平以及收入水平之间的例如，某种商品的需求与其价格水平以及收入水平之间的相关关系便是一种复相关。相关关系便是一种复相关。（3 3）在某一现象与多种现象相关的场合，假定其）在某一现象与多种现象相关的场合，假定其他变量不变，只考察其中两个变量的相关关系称他变量不变，只考察其中两个变量的相关关系称为偏相关。为偏相关。例如，在假定人们的收入水平不变的条件下，某种商品的例如，在假定人们的收入水平不变的条件下，某种商品的需求与其价格水平的关系就是一种偏相关。需求与其价格水平的
11、关系就是一种偏相关。相关关系的图示相关关系的图示 第二节第二节 简单线性相关分析简单线性相关分析一）相关表与相关图一）相关表与相关图二）相关系数二）相关系数一）相关表与相关图一）相关表与相关图1 1）相关表）相关表 一种统计表，它是直接根据现象之间的一种统计表，它是直接根据现象之间的原始资料，将一变量的若干变量值按从小到原始资料，将一变量的若干变量值按从小到大的顺序排列，并将另一变量的值与之对应大的顺序排列，并将另一变量的值与之对应排列形成的统计表。排列形成的统计表。将自变量将自变量x x的数值按照从小到大的顺序，的数值按照从小到大的顺序，并配合因变量并配合因变量y y的数值一一对应而平行排列
12、的数值一一对应而平行排列的表。的表。简单相关表简单相关表分组相关表分组相关表单变量分组相关表单变量分组相关表双变量分组相关表双变量分组相关表 某市某市19961996年年 2003 2003年的工资性现金支出与城镇储蓄存款余额的年的工资性现金支出与城镇储蓄存款余额的资料，说明简单相关表和相关图的编制方法。资料，说明简单相关表和相关图的编制方法。从表可看出，随着工资性现金支出的增加，城镇储蓄存款余额从表可看出，随着工资性现金支出的增加，城镇储蓄存款余额有明显的增长趋势。所以，资料表明有明显的增长趋势。所以，资料表明(如图如图)有明显的直线相关趋势。有明显的直线相关趋势。序号序号年份年份工资性工资
13、性现金支出现金支出(万元万元)x)x城镇储蓄存款余额城镇储蓄存款余额(万元万元)y)y1 119961996 5005001201202 219971997 5405401401403 319981998 6206201501504 419991999 7307302002005 520002000 9009002802806 620012001 9709703503507 720022002 105010504504508 820032003 11701170510510 (1)(1)简单相关表简单相关表单变量分组相关单变量分组相关表表自变量分组并计算次数，而对应的因变量不分组，只计算自变量
14、分组并计算次数，而对应的因变量不分组，只计算其平均值。其平均值。单变量分组相关表的特点：使冗长的资料简化，能够更清单变量分组相关表的特点：使冗长的资料简化，能够更清晰地反映出两变量之间相关关系。晰地反映出两变量之间相关关系。双变量分组相关表：双变量分组相关表：自变量和因变量都进行分组而制成的相关表，这种表形似棋盘，故又称棋盘式相关表。(2)分组相关表分组相关表v分组相关表就是将原始数据进行分组而编制的相关表。根据分组分组相关表就是将原始数据进行分组而编制的相关表。根据分组的情况不同，分组表有两种：的情况不同，分组表有两种：1 1、单变量分组表：只根据一个变量进行分组，另一个变量不、单变量分组表
15、：只根据一个变量进行分组，另一个变量不进行分组，只是计算出次数和平均数，这种表叫做单变量分组表。进行分组，只是计算出次数和平均数，这种表叫做单变量分组表。按体重分组（千克）按体重分组（千克）人数（人）人数（人）每组平均身高（厘米）每组平均身高（厘米）62.562.5以上以上2 217017060-62.560-62.53 316716757.5-6057.5-60252516316355-57.555-57.5383816216252.5-5552.5-55878716016050-52.550-52.512912915815847.5-5047.5-50919115515545-47.545
16、-47.524241541544545以下以下1 1151151合计合计400400-企业按销售额分组企业按销售额分组(万元万元)流通费用率流通费用率(%)(%)4 4以下以下9.659.654 4 8 87.687.688 8 12127.257.2512 12 16167.007.0016 16 20206.866.8620 20 24246.736.7324 24 28286.646.6428 28 32326.606.6032 32 36366.586.58 例例:简单分组相关表简单分组相关表双变量分组表双变量分组表v概念：是对自变量和因变量都进行分组而编制的相关表。例如：概念：是对自
17、变量和因变量都进行分组而编制的相关表。例如：400400个大学生身高和体重相关表个大学生身高和体重相关表按体重分组按体重分组（千克）（千克）按身高分组（厘米）按身高分组（厘米）150150以下以下150150154154154154158158158-158-1621621621621661661661661701701717及及以上以上合计合计62.562.5以上以上2 22 2606062.562.53 33 357.557.560604 46 67 78 82525555557.557.5161614148 8383852.552.555552 28 82020282825254 487
18、87505052.552.53 33 3242442424545121212912947.547.550503 330302828202010109191454547.547.52 21212101024244545以下以下1 1合计合计5 59 974749494125125686825254004002 2）相关图）相关图1 1、相关图：、相关图：利用直角坐标系第一象限，把自变量利用直角坐标系第一象限，把自变量置于横轴上，因变量置于纵轴上，而将两变量相置于横轴上，因变量置于纵轴上，而将两变量相对应的变量值用坐标点形式描绘出来，用以表明对应的变量值用坐标点形式描绘出来，用以表明相关点分布状况
19、的图形。相关点分布状况的图形。2 2、相关图被形象地称为相关散点图、相关图被形象地称为相关散点图3 3、因素标志分了组，结果标志表现为组平均数、因素标志分了组，结果标志表现为组平均数，所绘制的相关图就是一条折线，这种折线又叫相所绘制的相关图就是一条折线，这种折线又叫相关曲线。关曲线。散点图散点图月产量与生产费用散点图0501001502000246810月产量（千吨）生产费用（万元）系列1系列2400个女大学生身高和体重散布图1501551601651701750246810体重（千克）身高（厘米）系列1 二二)相关系数相关系数 1.1.相关系数的概念相关系数的概念:是指在是指在的条件下，用以
20、反映两变量间的条件下，用以反映两变量间程度和相关方向的统计分析指标程度和相关方向的统计分析指标.用用r r表表示示 2)2)相关系数的计算相关系数的计算 相关程度评价标准相关程度评价标准相关系数的计算相关系数的计算v计算公式：计算公式：2222)()(yynxxnyxxynr序号序号产品产量产品产量（千吨）（千吨）生产费用生产费用（万元）（万元）1 11.21.262621.441.443844384474.474.42 22.02.086864.004.00739673961721723 33.13.180809.619.61640064002482484 43.83.811011014.4
21、414.4412100121004184185 55.05.011511525.0025.0013225132255755756 66.16.113213237.2137.211742417424805.2805.27 77.27.213513551.8451.8418225182259729728 88.08.016016064.0064.00256002560012801280合计合计36.436.4880880207.54207.541042141042144544.64544.6相关系数计算表相关系数计算表2x2yxyxy根据上表计算：根据上表计算：104214,54.207880,4
22、.36,6.4544,822yxyxxyn228 4544.636.4 8800.96978 207.5436.48 104214880r 例：下表是有关例：下表是有关1515个地区某种食物需求量和地区人口增加量的个地区某种食物需求量和地区人口增加量的资料。资料。xynxyxy 2261362664785115151937928663342362610676141522()xxnxx222613950391522()yynyy81346481346428663341519379xyxxyyr 9950.0 第三节第三节 一元线性回归分析一元线性回归分析一）回归分析的概念一）回归分析的概念二）回
23、归分析的方法二）回归分析的方法三）估计标准差三）估计标准差四）可化为线性回归的非线性回归四）可化为线性回归的非线性回归五）相关分析与回归分析的特点五）相关分析与回归分析的特点一）回归分析的概念一）回归分析的概念 “回归回归”这个统计学术语，最早采用者这个统计学术语，最早采用者是英国遗传学家高尔登，他把这种统计分是英国遗传学家高尔登，他把这种统计分析方法应用于研究生物学的遗传问题，指析方法应用于研究生物学的遗传问题，指出生物后代有回复或回归到其上代原有特出生物后代有回复或回归到其上代原有特性的倾向。高尔登的学生皮尔逊继续研究，性的倾向。高尔登的学生皮尔逊继续研究，把回归与数学方法联系起来，把代表
24、现象把回归与数学方法联系起来，把代表现象之间一般数量关系的直线或曲线称为回归之间一般数量关系的直线或曲线称为回归直线或回归曲线。直线或回归曲线。1.从一组样本数据出发，确定变量之间的数从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式学关系式2.对这些关系式的可信程度进行各种统计检对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著找出哪些变量的影响显著，哪些不显著3.利用所求的关系式，根据一个或几个变量利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取的取值来预测或控制另一个特定变量的取
25、值，并给出这种预测或控制的精确程度值，并给出这种预测或控制的精确程度回归方程一词是怎么来的二二)回归分析的方法回归分析的方法1.1.回答回答“变量之间是什么样的关系？变量之间是什么样的关系？”2.2.方程中运用方程中运用1 1 个数字的因变量个数字的因变量(响应变量响应变量)v被预测的变量被预测的变量1 1 个或多个数字的或分类的自变量个或多个数字的或分类的自变量 (解释解释变量变量)v用于预测的变量用于预测的变量3.3.主要用于预测和估计主要用于预测和估计1.1.当只涉及一个自变量时称为一元回归，当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量若因变量 y y 与自变量与自变量 x x 之间为线性
26、关之间为线性关系时称为一元线性回归系时称为一元线性回归2.2.对于具有线性关系的两个变量，可以用对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线性方程来表示它们之间的关系一条线性方程来表示它们之间的关系3.3.描述因变量描述因变量 y y 如何依赖于自变量如何依赖于自变量 x x 和和误差项误差项 的方程称为回归模型的方程称为回归模型 对于只涉及一个自变量的简单线性回归模对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示为型可表示为 y=a +x+模型中，模型中，y y 是是 x x 的线性函数的线性函数(部分部分)加上误加上误差项差项线性部分反映了由于线性部分反映了由于 x x 的变化而引起的的变化而引起
27、的 y y 的变化的变化误差项误差项 是随机变量是随机变量v反映了除反映了除 x x 和和 y y 之间的线性关系之外的之间的线性关系之外的随机因素对随机因素对 y y 的影响的影响v是不能由是不能由 x x 和和 y y 之间的线性关系所解释之间的线性关系所解释的变异性的变异性和和 称为模型的参数称为模型的参数cyab X+式中：a与b为模型参数，为随机误差项：YEYab X+bxay+最小平方法最小平方法基本数学要求：基本数学要求：2()minyy02012min,min)(22xbxaybxaybabxayyy，有求偏导数，并令其为零、分别对函数中，有由xbynxbnyaxxnyxxyn
28、b22)(2ynab xxya xb x+例：根据表人均销售额与利润率资料，求其例：根据表人均销售额与利润率资料，求其一元线性回归方程。一元线性回归方程。人均销售额与利润率资料人均销售额与利润率资料 解：首先，根据表中合计栏的资料求出标准方程组中解：首先，根据表中合计栏的资料求出标准方程组中所需数据；其次，将求出的数据代入公式，求出所需数据；其次，将求出的数据代入公式，求出a a、b b的值：的值：386.0293.2ab再次，将再次，将a a、b b的值代入回归方程得：的值代入回归方程得：最后，由回归方程可得相应的回归估计值，最后，由回归方程可得相应的回归估计值，如如表所示。表所示。x2.2
29、930.386y+y直线回归方程的计算直线回归方程的计算序序号号产品产品产量产量（千吨）（千吨）生产生产费用费用（万元）（万元）11.2621.44384474.422.0864.00739617233.1809.61640024843.811014.441210041855.011525.001322557566.113237.2117424805.277.213551.841822597288.016064.00256001280合合计计36.4880207.541042144544.62x2yxyxyxybxayabxbyaxxnyxxynbnyynxxcc90.1231.5131.51
30、55.490.1211090.124.3654.20788804.366.45448)()(1108880)(55.484.36222+则：数值代入、将万元千吨人均国民人均消费人均国民人均消费收入金额收入金额1981393.824919881068.86431982419.1426719891169.26901983460.8628919901250.77131984544.1132919911429.58031985668.2940619921725.99471986737.7345119932099.511481987859.97513我国人均国民收入与人均消费金额数据 单位：元年份年份2
31、)5.12827(77.160733231374575.1282799.915617313b73077.98652638.061538.573a99.9156173iiyx7457iy5.12827ix77.160733232ix已知已知n=13n=13，可求可求代入公式有代入公式有：回归方程为回归方程为 y=54.22286+0.52638 xy=54.22286+0.52638 x 结果表明人均国民收入每增加结果表明人均国民收入每增加1 1元，元，人均消费金额平均增加人均消费金额平均增加0.530.53元。元。2229.54526378.0ab三）估计标准误差三）估计标准误差(1)(1)根
32、据因变量实际值和估计值的离差计算根据因变量实际值和估计值的离差计算计算公式计算公式 计算公式又可写为：计算公式又可写为：22ceyySn2ceyySn估计标准误估计标准误 根据回归方程得出因变量的估计值。这个数根据回归方程得出因变量的估计值。这个数值和实际数值之间就可能会产生误差额，这就是值和实际数值之间就可能会产生误差额，这就是估计值对于实际值的误差，在统计学当中，我们估计值对于实际值的误差，在统计学当中，我们用标准差指标来反映误差值在这一章中，我们也用标准差指标来反映误差值在这一章中，我们也用这样的计算原理来计算：用这样的计算原理来计算：(2)(2)根据根据a a、b b两个参数值计算估计
33、标准误差两个参数值计算估计标准误差 第一种计算方法含义很明显，计算公式第一种计算方法含义很明显，计算公式和过程都表明了估计标准误差是用平均和过程都表明了估计标准误差是用平均误差来表现的。但是计算比较麻烦，需误差来表现的。但是计算比较麻烦，需要计算出所有的估计值。如果已经有了要计算出所有的估计值。如果已经有了直线回归方程的参数值，可用一个比较直线回归方程的参数值，可用一个比较简单的计算公式，即：简单的计算公式，即：2230230eeyaybxySnnyaybxySnn)(59.8286.454490.1288031.5110421490.12,31.51,6.4544,104214,8802)(
34、)(22万元代入公式：产费用例子资料：根据前面产品产量和生计算公式：yxyxSbaxyyynxybyayS1999年伊春林区年伊春林区16个林业局木材剩余物和年木材采伐量资料个林业局木材剩余物和年木材采伐量资料第二步：模型估计第二步：模型估计2)532(26.214001687.202532262.825016b33.25404.012.679375a8250.262xy87.202y532x21411.262x已知已知n=16n=16，可求可求代入公式有：代入公式有：回归方程为回归方程为 结果表明伊春林区年采伐量每增加结果表明伊春林区年采伐量每增加1 1万万立方米，将平均产生立方米，将平均产
35、生0.4040.404万立方米的剩余物。万立方米的剩余物。763.0404.0abxy404.0763.0+第三步：预测第三步：预测假设乌伊岭林业局假设乌伊岭林业局20042004年计划采伐木材年计划采伐木材2020万万m m3 3，求木材剩余物的点预测值。，求木材剩余物的点预测值。200420044043.07629.0 xy+33231.7204043.07629.0m万+估计标准差估计标准差6742.01453.42)(2nyySy四）可化为线性回归的非线性回归四）可化为线性回归的非线性回归v当因变量和自变量间的关系是指数曲线型时，通常采用当因变量和自变量间的关系是指数曲线型时，通常采用
36、变量代换法将非线性模型线性化，再按照线性模型的方变量代换法将非线性模型线性化，再按照线性模型的方法处理。法处理。v（1）模型是指数型）模型是指数型xcaby11lglglglg,lg,lg,ccccyaxbyyAa BbyAB x+两边取对数两边取对数令令得到线性回归方程得到线性回归方程q相关分析中相关分析中x x与与y y对等，回归分析的两个变量不是对等，回归分析的两个变量不是对等的对等的,其中其中x x与与y y要确定自变量和因变量；要确定自变量和因变量；q相关分析中相关分析中x x、y y均为随机变量，回归分析中只有均为随机变量，回归分析中只有y y为随机变量为随机变量,自变量是可以控制的变量自变量是可以控制的变量.q相关分析测定相关程度和方向，回归分析用回归相关分析测定相关程度和方向，回归分析用回归模型进行预测和控制。模型进行预测和控制。q两者都是对客观事物数量依存关系的分析两者都是对客观事物数量依存关系的分析,回归分析是在相关分析的基础上进行的回归分析是在相关分析的基础上进行的.q回归分析不仅可认识事物之间的关系回归分析不仅可认识事物之间的关系,更重更重要的是可运用这种关系推算要的是可运用这种关系推算,预测未来的发展预测未来的发展趋势趋势,可见回归分析是相关分析的继续和拓展可见回归分析是相关分析的继续和拓展.
