1、微分的逆运算问题不定积分欧阳顺湘北京师范大学珠海分校1 原函数与不定积分p1.1 原函数与不定积分的概念p1.2 基本积分公式p1.3 不定积分的线性运算法则1.1 原函数与不定积分的概念不定积分微分的逆运算微分问题 已知作匀加速直线运动的物体的位移S(t)，求速度.21()2SS tat21()()2vS tatat积分问题p已知作匀加速直线运动的物体的速度v(t)，求位移.即已知 求 S=S(t)使得()vv tat()S tat积分问题p已知作匀加速直线运动的物体的速度v(t)，求位移.即已知 求 S=S(t)使得()S tat()vv tat这样的函数有21()2SS tat21()2
2、SS tatC 或一般问题p在实际中，常常有这样的问题：要找一个函数，它关于自变量 x 的变化速度对于任何 x 的值都是已知的例：放射性衰减放射性物质的总量 pf(t)(时间 t 的函数)减少的速率都同这一时刻存在的物质总量成正比。p这一点是可以想象的，因为每一部分物质减少速度同其它每一部分物质是一样的。例：放射性衰减的数学模型放射性物质的总量 pf(t)(时间 t 的函数)减少的速率都同这一时刻存在的物质总量成正比。()(),0ftkf tk0()ektpf tp放射性衰减模型中的参数0()ektpf tpk:减少的速率都同该时刻存在的物质总量的比例p_0=f(0):初始时刻物质总量k 的计
3、算 与 半衰期p在一定时间以后，放射性物质将减少到其初始总量的一半，即所谓的半衰期。00 e2kppln2k一般，各种放射性元素的半衰期是已测定的，从而k也是确定的生物体年龄测定的原理p碳14是放射性物质，随时间而衰减，碳12是非放射性物质。活性人体因吸收食物和空气，恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12的含量不变，因而所含碳14与碳12之比为常数。生物体年龄的测定p碳14是放射性物质，随时间而衰减，碳12是非放射性物质。活性人体因吸收食物和空气，恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12的含量不变，因而所含碳14与碳12之比为常数。p已测定一古墓中遗体所含碳14的数量为原有碳14含量
4、的80。求遗体的死亡年代。0()ektpf tp回到：一般问题 要找一个函数，它关于自变量 x 的变化速度对于任何 x 的值都是已知的定义如果在区间I内，即 xfxF xf则称 xF为在区间I内的一个原函数可导函数 xF的导函数为 xf如:3x23x3x是的一个原函数23x tvtS tS是 tv的一个原函数 tatv tv是 ta的一个原函数FunctionAntideriveTable of Basic Antiderivativesxnn 1x1excosxxexnxxnsinln11Each function F(x):(a,b)that verifies x(a,b)F(x)=f(x
5、)is called an Primitive funtion of f(x)on(a,b).原函数的一般研究p存在性：什么函数的原函数存在？p有多少：p如果不只一个，那么各个原函数之间有什么联系？存在性p定理1：如果函数 f(x)在区间 I 上连续，则 f(x)在 I 上存在原函数。（作为以后的定理的推论）存在性p初等函数在其有定义的区间上存在原函数有多少无穷多 定理2 设 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的一个原函数，其中C为任意常数原函数的结构 定理2 设 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的一个原函数，其
6、中C为任意常数f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数如果知道一个原函数Fp FC也是原函数p 其它原函数一定是 F+某个常数FunctionAntideriveTable of Basic Antiderivativesxnn 1x1excosxxn1n 1 Clnx Cex Csinx CFunctionAntiderivesinxsec2xsecxtanx11 x211 x2cosx Ctanx Csecx Csin1x Ctan1x C定义 xf如果 xF是在开区间I内的一个原函数，则 CxF(C为任意常数)称为 xf在开区间I内的记为,dxxf即 dxxf CxF积分符号 xf被积函
7、数x积分变量 dxxf被积表达式不定积分,C 积分常数The Indefinite Integralf x dx F x CF x f x 不定积分的几何意义：Oxy积分曲线：xf的一个原函数的图形积分曲线族：CxF在积分曲线族上横坐标相同的点处作切线彼此是平行的例p设曲线通过点（0，0），且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值，求此曲线.例p设曲线通过点（0，0），且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值，求此曲线.p解：设所求曲线为 y=f(x),有下面的微分方程：0cos,|0.xdyxdxy0cos,|0.xdyxdxycossin.yxdxxC0|sin00 xyC
8、0C cosdyxdxsinyx基本积分公式p求导公式与积分公式相对应f x dx F x CF x f x Table of Indefinite Integralsxndx xn1n 1 Cexdx ex Csinxdx cosx Ccosxdx sinx Csec2xdx tanx C1xdx lnx Caxdx axlna Ccsc2xdx cot x Csecxtanxdx secx Ccscxcot xdx cscx CTable of Indefinite Integralscf x dx cf x dxf x g x dx f x dxg x dxkdx kx C1x21dx tan1x C11 x2dx sin1x CHint不定积分的线性运算法则p先补充两个基本规则微分与不定积分互为逆运算的体现线性运算法则 I线性运算法则 II例22 (2cose3)d2 cos ddd3 de12sine32xxxxxxx xxx xxxxxC例322221 d(1)d111 =ddarctan1xxxxxxxxxCx例421 coscosdd221 =(dcos d)21 =(sin)2xxxxxx xxxCExercisepP94 1.The End
