1、实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称与弹性，因而又称连续系统连续系统或或分布参数系统分布参数系统确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统连续体是具有无限多自由度的系统连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是组，它是偏微分方程偏微分方程在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什
2、么差在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的系统是完全类似的（1）本章讨论的连续体都是线性弹性体）本章讨论的连续体都是线性弹性体（2）材料均匀连续；各向同性）材料均匀连续；各向同性（3）振动满足微振动的前提）振动满足微振动的前提（1）杆的纵向振动）杆的纵向振动 讨论等截面细直杆的纵向振动讨论等截面细直杆的纵向振动 杆长杆长 l假定振动过程中各横截面仍保持为平面假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面积截面积 A单位长度的质量单位长度的质量弹性模量弹性模量 E),(txqlx0)
3、,(txq单位长度杆上分布的纵向作用力单位长度杆上分布的纵向作用力 杆参数：杆参数：忽略由纵向振动引起的横向变形忽略由纵向振动引起的横向变形),(txu杆上距原点杆上距原点 x 处截面在时刻处截面在时刻 t 的纵向位移的纵向位移微段分析微段分析),(txqlx0dxtxq),(dxudxxuu22xuAdxdxxNNN微段应变：微段应变：横截面上内力：横截面上内力：xuEAEAN达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力 xudxudxxuu)(xdx0),()(22tuAdxdxtxqNdxxNNdxtxqNdxxNNtuAdx),()(22变形为：变形为：),(txu 为杆上
4、距原点为杆上距原点 x 处截处截面在时刻面在时刻 t 的纵向位移的纵向位移),(txqlx0横截面上内力：横截面上内力：xuEAEAN达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：dxtxqNdxxNNtuAdx),()(22xdx杆的纵向强迫振动方程杆的纵向强迫振动方程 等直杆等直杆EA为常数为常数),(122222txqAxuatu/Ea 弹性波沿杆的纵向的传播速度弹性波沿杆的纵向的传播速度)(xuEAxxN),()(22txqxuEAxtuA 系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样，假系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样，假设一个主振动模态，即设系统按某一主振型振动时，其上所有设一个
5、主振动模态，即设系统按某一主振型振动时，其上所有点都做简谐运动。点都做简谐运动。假设杆上各点做同步运动，即所有的点将同时经过平衡位置假设杆上各点做同步运动，即所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。，并同时达到极限位置。22222xuatu得到杆的纵向自由振动微分方程为得到杆的纵向自由振动微分方程为q x t(,)0固有频率和主振型固有频率和主振型),(122222txqAxuatu22222xuatu解可以用解可以用x的函数的函数U(x)与与t的谐函数的乘积表示，即的谐函数的乘积表示，即)()(),(tqxUtxu)()()()(2xUxUatqtq 记：记：2p 0)()()(0)
6、()(22xUapxUtqptq )(xU杆上距原点杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅处的截面的纵向振动振幅q(t)表示杆上各点的振动规律的时间函数表示杆上各点的振动规律的时间函数 ptBptAtqsincos)(0)()()(0)()(22xUapxUtqptq )()()()(2xUxUatqtq 记：记：2papxDapxCxUsincos)(通解：通解：当当U(x)具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下，具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下，求解值求解值 p2及振型函数及振型函数U(x)称为杆作纵向振动的特征值问题。称为杆作纵向振动的特征值问题。p2为特征值，为特征值，U(x
7、)又称为特征函数或主振型；而又称为特征函数或主振型；而p是固有频是固有频率。率。杆有无穷多个自由度系统，振型不再是折线而变成一条杆有无穷多个自由度系统，振型不再是折线而变成一条连续曲线，表示各坐标振幅的相对比值连续曲线，表示各坐标振幅的相对比值。由杆的边界条件，可以确定由杆的边界条件，可以确定p2值及振型函数值及振型函数U(x)。由杆的边界条件，可以确定由杆的边界条件，可以确定p2值及振型函数值及振型函数U(x)。ip由频率方程确定的固有频率由频率方程确定的固有频率 有无穷多个有无穷多个 22222xuatu)()(),(tqxUtxuptBptAtqsincos)(apxDapxCxUsin
8、cos)(ip)(xUi一一对应一一对应第第 i 阶主振动：阶主振动：)2,1(),sincos)(),()(itpBtpAxtxuiiiiiiU U系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：1)sincos)(),(iiiiiitpBtpAxtxuU U现在来确定几种简单边界条件下杆的固有频率和主振型现在来确定几种简单边界条件下杆的固有频率和主振型0)(,0)0(lUU所以1.杆两端固定的情况杆两端固定的情况特征为两端位移为零，特征为两端位移为零，apxDapxCxUsincos)(0sin,0lapDCsinpal 0),2,1,0(iliapi),2,1
9、,0(sin)(ixliDxUii即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为相应的主振型为相应的主振型为边界条件为：边界条件为：0)()0(),0(tqUtu0)()(),(tqlUtlu不能恒为零不能恒为零)(tq由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去 分别令分别令i=1,2,3，可得系统的前三阶，可得系统的前三阶固有频率和相应的主振型为固有频率和相应的主振型为.3sin)(,3;2sin)(,2;sin)(,333222111xlDxUlapxlDxUlapxlDxUlap杆的前三阶
10、主振型表示如图所示。杆的前三阶主振型表示如图所示。),2,1(iliapi),2,1(sin)(ixliDxUii2.杆一端固定，一端自由杆一端固定，一端自由特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件：0),(xtluEA)()(),(tqxUtxu0CapxDapxCxUsincos)(固有频率：固有频率：0),0(tu模态函数：模态函数：,.2,1,)212(ilaipi,.2,1,2)12(sin)(ixliDxUiilx0或：或：,.5,3,1,2ilaipi,.5,3,1),2sin()(ixliDxUii频率方程频率方程0cosap
11、l0)0(U0)(lU杆右端固定，左端自由杆右端固定，左端自由特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件：0),0(xtuEA)()(),(tqxUtxu0DapxDapxCxUsincos)(固有频率：固有频率：0),(tlu模态函数：模态函数：,.2,1,)212(ilaipi,.2,1,2)12(sin)(ixliDxUii频率方程频率方程0cosapllx00)(lU0)0(U边界条件边界条件固有频率固有频率模态函数模态函数,.2,1,)212(ilaipi,.2,1,2)12(sin)(ixliDxUii频率方程频率方程0cosapl
12、lx00)(lU0)0(Ulx0,.2,1,)212(ilaipi,.2,1,2)12(sin)(ixliDxUii0cosapl0)0(U0)(lU3.杆的两端都是自由的情况杆的两端都是自由的情况lx0特征：自由端的轴向力为零特征：自由端的轴向力为零 边界条件边界条件：0),0(xtuEA0),(xtluEA固有频率：固有频率：),2,1,0(,ilaipi相应的主振型为：相应的主振型为：0D0sinapl0)0(U0)(lU)()(),(tqxUtxuapxDapxCxUsincos)()2,1,0(cos)(ilxiCxUii当当p p=0=0时，对应了杆的刚体振型。时，对应了杆的刚体振
13、型。例例6-1 一均质等截面细直杆，长为一均质等截面细直杆，长为l，单位长度的质量为，单位长度的质量为 ，横，横截面积为截面积为A，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E。其一端固定，另一端连接弹。其一端固定，另一端连接弹簧常数为簧常数为k的弹簧，试求杆的纵向振动的固有频率及主振型。的弹簧，试求杆的纵向振动的固有频率及主振型。杆作纵向振动时，杆的右端的弹簧支承相当于作用杆作纵向振动时，杆的右端的弹簧支承相当于作用kU(l)之力。之力。因此，边界条件为因此，边界条件为)(dd,0)0(lkUxUEAUlxxapDxUCsin)(,0EApapalkpalcossin apxDapxCxUsinco
14、s)(解：杆的端部连接弹簧或带有解：杆的端部连接弹簧或带有集中质量时，称复杂边界条件。集中质量时，称复杂边界条件。EApapalkpalcossin tanpal EAlkUxDpaxiii()sin频率方程频率方程EAlx=l处杆的抗压刚度处杆的抗压刚度相应于固有频率相应于固有频率pi的主振型为的主振型为tanpal EAlk讨论两个极端的情况讨论两个极端的情况当当 时，相当于固定端，有时，相当于固定端，有 ,即即k 0sinpal 0alipii 12,则频率方程为则频率方程为相应的主振型为相应的主振型为i 12,aliDxUiisin)(若若 ，相当于自由端，即，相当于自由端，即k 0c
15、ospal 0,.2,1,)212(ilaipi例例6-2 与例与例6-1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一端附有集中质量端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频率和主振型。率和主振型。lxtuM22当杆作纵向振动时，附有集中质当杆作纵向振动时，附有集中质量的一端相当作用有惯性力量的一端相当作用有惯性力因此杆的边界条件为因此杆的边界条件为lxlxtuMxuEAU22,0)0(apxDapxCxUsincos)(得到得到C=0解：此系统仍属于复杂边界条件问题。解：此系统仍属于复杂边界条件问题。xapDxUs
16、in)(得频率方程得频率方程EApapalMppalcossin2AlMpal,tan无量纲因子无量纲因子质量比相应的主振型为相应的主振型为UxDpaxDlxiiiii()sinsin)sincos(sin)sincos(cos222ptBptAlapDptuptBptAlapDapxulxlxMechanical and Structural VibrationlxlxtuMxuEA22xapDxUsin)(对于对于 的情况，的情况，将很小，即杆的质量远小于集中质量时，将很小，即杆的质量远小于集中质量时，可以取可以取AlM tan2则得到则得到对于基频情况，有对于基频情况，有MAllap22
17、21其中 是不计杆本身质量时杆的抗压刚度，以上结果与不计杆本身质量而将其看成是单自由度系统所得的结果相同。EAllMEAp 1lapMAl,tanUxDpaxDlxiiiii()sinsin因为不涉及主振型的具体形式，所以不对杆作任何设定。即杆的因为不涉及主振型的具体形式，所以不对杆作任何设定。即杆的质量密度、横截面积等都可以是质量密度、横截面积等都可以是x x的函数。因此可写出杆的纵向的函数。因此可写出杆的纵向振动微分方程式为振动微分方程式为)(22xuEAxtuA只讨论简单边界条件的杆的主振型的只讨论简单边界条件的杆的主振型的正交性正交性。AUpxUEAx2)dd(dd将杆的主振动的表达式
18、0)(d)(d2222xUapxxUu x tU xAptBpt(,)()(cossin)代入jjiiUpUp,;,22iiiAUpxUEAx2)dd(ddjjjAUpxUEAx2)dd(dd取特征值问题的两个解代入因为不涉及主振型的具体形式，所以不对杆作任何设定。即杆的因为不涉及主振型的具体形式，所以不对杆作任何设定。即杆的质量密度、横截面积等都可以是质量密度、横截面积等都可以是x x的函数。因此可写出杆的纵向的函数。因此可写出杆的纵向振动微分方程式为振动微分方程式为)(22xuEAxtuA只讨论简单边界条件的杆的主振型的只讨论简单边界条件的杆的主振型的正交性正交性。AUpxUEAx2)dd
19、(dd将杆的主振动的表达式u x tU xAptBpt(,)()(cossin)代入jjiiUpUp,;,22iiiAUpxUEAx2)dd(ddjjjAUpxUEAx2)dd(dd取特征值问题的两个解代入iiiAUpxUEAx2)dd(ddjjjAUpxUEAx2)dd(ddjU乘以iU乘以分别沿杆长l对x积分，得ljiilijxUAUpdxxUEAxU020d)dd(ddljijljixUAUpdxxUEAxU020d)dd(dd再利用分部积分，可将式中左边积分为再利用分部积分，可将式中左边积分为ljiiljilijxUAUpxxUxUEAxUEAU0200dddddd)dd(ljijlj
20、iljixUAUpxxUxUEAxUEAU0200dddddd)dd(ljiiljilijxUAUpxxUxUEAxUEAU0200dddddd)dd(ljijljiljixUAUpxxUxUEAxUEAU0200dddddd)dd(杆端简单边界条件总可以写成杆端简单边界条件总可以写成1.1.固定端固定端 2.2.自由端自由端lxxxU或0,0)(lxxxxUEA或0,0d)(dljiiljixUAUpxxUxUEA020ddddddljijljixUAUpxxUxUEA020dddddd等于零相减，得相减，得0d)(022ljijixUAUppjipp 0d0ljixUAUij就是杆的主振型
21、关于质量的正交性。就是杆的主振型关于质量的正交性。ljiiljilijxUAUpxxUxUEAxUEAU0200dddddd)dd(ljijljiljixUAUpxxUxUEAxUEAU0200dddddd)dd(杆端简单边界条件总可以写成杆端简单边界条件总可以写成1.1.固定端固定端 2.2.自由端自由端lxxxU或0,0)(lxxxxUEA或0,0d)(dljiiljixUAUpxxUxUEA020ddddddljijljixUAUpxxUxUEA020dddddd等于零iiiAUpxUEAx2)dd(ddjU乘以ljiilijxUAUpxxUEAxU020dd)dd(dd分别沿杆长l对x
22、积分，得0d)(022ljijixUAUppjipp ijljiilijxUAUpxxUEAxU020dd)dd(dd0d)dd(dd0lijxxUEAxU0ddddd0ljixxUxUEA上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。ljijljixUAUpxxUxUEA020dddddd0d)(022ljijixUAUpp当当i=j 时，式总能成立，令时，式总能成立，令jpljMxAU02d为第为第j阶主质量阶主质量jpljjljKxxUEAxUxdxdUEA002d)dd(ddd)(第第j阶主刚度阶主刚度 Kpj与与Mpj的大小取决于第的大小取决于第j阶主振
23、动中常数的选择阶主振动中常数的选择 pKMjp jp j2主质量与主刚度的关系主质量与主刚度的关系与多自由度系统相似，可将主振型函数与多自由度系统相似，可将主振型函数Uj进行标准化。如进行标准化。如果主振型中的常数按下列归一化条件确定果主振型中的常数按下列归一化条件确定1d02jpljMxUA则得到的主振型则得到的主振型 称为正则振型，称为正则振型，Uj2jjppK这时相应的第这时相应的第j阶主刚度阶主刚度 与有限多自由度系统一样，在对杆进行的纵向自与有限多自由度系统一样，在对杆进行的纵向自由振动分析的基础上，可以用振型叠加法求解杆对由振动分析的基础上，可以用振型叠加法求解杆对纵向任意激励的响
24、应。纵向任意激励的响应。首先研究杆对初始条件的响应。首先研究杆对初始条件的响应。杆的自由振动微分方程杆的自由振动微分方程)(22xuEAxtuA假定在给定的边界条件下，已经得到各阶固有频率及相应的正假定在给定的边界条件下，已经得到各阶固有频率及相应的正则振型。则振型。p ii(,)12()(,)Uxii 12 u x tUxtiii(,)()()1根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为第第i阶正则坐标阶正则坐标第第i阶正则振型函数阶正则振型函数1d02i pliMxUA0)dd(dd11iiiiiixUEAxUA 0d)dd(ddd1010 iliji
25、iljiixxUEAxUxUUA jU通乘以并沿杆长l积分这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。,2,102ipiii考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为)(22xuEAxtuAu x tUxtiii(,)()()1u xuxu xux(,)()(,)()0000uxUxuxUxiiiiii001001()()()()设杆的初始条件为设杆的初始条件为正则坐标变换正则坐标变换ljiljiixUxAuxUUA00100d)(dljiljiixUxuAxUUA00100d)(dAUxj()乘以乘以沿
26、沿x杆长对积分，得杆长对积分，得liiliixUxuAxUxAu000000d)(d)(将正交性和归一化条件代入将正交性和归一化条件代入,2,1sincos00itpptpiiiiiiu x tUxp tpp tiiiiiii(,)()(cossin)100得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应得到杆对初始条件的总响应得到杆对初始条件的总响应u x tUxtiii(,)()()1例例6-3 一端固定，一端自由的等直杆，长为一端固定，一端自由的等直杆，长为l。自由端受到轴向。自由端受到轴向常拉力常拉力P的作用。设在的作用。设在t=0时突然去掉此力，求杆的
27、纵向自由振动。时突然去掉此力，求杆的纵向自由振动。0PEA杆的初始条件为杆的初始条件为u xuxxu xux(,)(),(,)()000000杆的固有频率及主振型为杆的固有频率及主振型为,5,3,12sin)(,5,3,12ixliDxUilaipiii解：根据题意，解：根据题意，t=0时杆内的应变为时杆内的应变为杆的固有频率及主振型为杆的固有频率及主振型为,5,3,12sin)(,5,3,12ixliDxUilaipiii将主振型代入归一化条件，得将主振型代入归一化条件，得AlDxxliDAili21d)2sin(02得到正则振型为得到正则振型为,5,3,12sin2)(ixliAlxUi得
28、到正则坐标表示的初始条件为得到正则坐标表示的初始条件为,5,3,10)0(2sin4d2sin)0(222000iiilDAxxlixDAiiliiiiip t()cos0,3,1220,3,12220,3,1cos2sin2sin8cos2sin42sin)(),(iiiiiiiiitplxiiiltpiilDAlxiDtUtxu得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应得到杆以正则坐标表示下的对初始条件的响应于是杆的自由振动为于是杆的自由振动为liiliixUxuAxUxAu000000d)(d)(,5,3,12sin2)(ixliAlxUi令令x=l，其中，其中 ，),5,3,1(12si
29、n21iii,3,1,3,11220220cos18cos2sin2sin8),(iiitipiltpiiiltlu若将若将t=0代入上式，可得初始时自由端的位移。代入上式，可得初始时自由端的位移。lap21 EAPlllilutlx0220220088)1251911(8得杆的自由端的自由振动得杆的自由端的自由振动 此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率及主振型函数可写出杆的振动方程为及主振型函数可写出杆的振动方程为,3,1)2sin2cos(2sin),(iiitlaiBtlaiAlxitxu常数常数Ai,Bi由初始条件确定。初
30、始条件为由初始条件确定。初始条件为u xuxxu xux(,)(),(,)()000000再利用三角函数的正交性可得再利用三角函数的正交性可得022sin)0,(2sin)0,(,3,10,3,1iiiilaiBlxixuxlxiAxuBi 0三角函数的正交性三角函数的正交性022sin)0,(2sin)0,(,3,10,3,1iiiilaiBlxixuxlxiAxuBi 0llixlxixxlxiA0002d2sind)2(sin2sin8220iilAii 135,3,12cos2sin),(iitlaiAlxitxutlaiiillxii2cos2sin82sin220,3,1,3,12
31、20cos2sin2sin8iitplxiiillxi2sinu x tUxtiii(,)()()1并沿杆长并沿杆长l积分积分),()(22txqxuEAxtuA11),()dd(ddiiiiiitxqxUEAxUA 受迫振动微分方程受迫振动微分方程通乘以通乘以UjljljiiiljiiixUtxqxUxUEAxxUUA00101d),(d)dd(ddd 这就是在激励这就是在激励q(x,t)作用下按正则坐标表示的杆的受迫振动的作用下按正则坐标表示的杆的受迫振动的运动微分方程。运动微分方程。,3,2,1d),(02ixUtxqpliiii利用正交性及归一化的条件利用正交性及归一化的条件,3,2,
32、1d),(02ixUtxqpliiii将形如上式的各个正则坐标表示的响应代入将形如上式的各个正则坐标表示的响应代入,便得到杆的初始便得到杆的初始条件下对任意激励的响应为条件下对任意激励的响应为sincosdd)(sin),(1)()(),(00001tpptpxtpxqUpUtxUtxuiiiiitiliiiiii写出第写出第i个以正则坐标表示的响应为。个以正则坐标表示的响应为。tiliiiiiiiixtpxqUptpptpt0000dd)(sin),(1sincos)(例例6-4 如图所示两端固定的杆，突然受到均布纵向力如图所示两端固定的杆，突然受到均布纵向力q(常数常数)的的作用，试求其响
33、应。设初始条件均为零。作用，试求其响应。设初始条件均为零。解：该杆的固有频率和主振型为解：该杆的固有频率和主振型为,3,2,1sin)(,ilxiDxUlaipiii,2,11dsind02202ixxliADxUAlili2)22sin(21d)2cos1(21dsin0002llilxixxlxixxlilllAlDi2将主振型代入归一化条件，得将主振型代入归一化条件，得考虑到考虑到q为常量，并且初始条件均为零，得为常量，并且初始条件均为零，得,3,2,1sin2ixliAlUi1)()(),(iiitxUtxu得到正则振型为得到正则振型为,3,2,1d),(02ixUtxqpliiiit
34、iliiiixtpaxpaxppAlq001dd)(sinsinsin12,5,3,13232)cos1(sin14itlaixliiaAqltiliiiiiiiixtpxqUptpptpt0000dd)(sin),(1sincos)(例例6-5 图示的等直杆在自由端作用有简谐激振力，其中图示的等直杆在自由端作用有简谐激振力，其中F0为为常数，求杆的纵向稳态受迫振动。常数，求杆的纵向稳态受迫振动。tFsin0解：解：由例由例8-3 已知杆的正则振型为已知杆的正则振型为,5,3,12sin)(ixliDxUiiDAli2liiiixUtxqp02d),(得第得第i个正则方程为个正则方程为在本例中
35、由于激励不是沿杆身作用的分布力，而是集中力。在本例中由于激励不是沿杆身作用的分布力，而是集中力。对于如图所示的在对于如图所示的在 处的集中力，处的集中力，x 利用利用 函数，函数，()x)()(),(xtFtxq第第i个正则方程为个正则方程为tiFDxUtxqpiliiiisin2sind),(002 由上式求出正则坐标的稳态响应为由上式求出正则坐标的稳态响应为tiFDptiiisin2sin1)(022,5,3,12sin)(ixliDxUiiF(t)F(t)表示为分布力表示为分布力)()(d)()(d),(00iililUtFxUxtFxUtxq于是杆的稳态受迫振动为于是杆的稳态受迫振动为
36、,3,1220,3,12sin2sin1sin2)(),(iiiiixliipAltFtUtxu当激振力频率当激振力频率 等于杆的任一阶固有频率等于杆的任一阶固有频率pi时，都会发生共振。时，都会发生共振。Mechanical and Structural Vibration 假设梁的各截面的中心主惯性轴在同一平面假设梁的各截面的中心主惯性轴在同一平面Oxy 内，外内，外载荷也作用在该平面，且略去剪切变形的影响及截面绕中性载荷也作用在该平面，且略去剪切变形的影响及截面绕中性轴转动惯量的影响，因此梁的主要变形是弯曲变形，这即是轴转动惯量的影响，因此梁的主要变形是弯曲变形，这即是通常称为欧拉通常称
37、为欧拉伯努利梁伯努利梁(BernoulliEuler Beam)的模型。的模型。),(txp),(txmyx0p(x,t):单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 梁参数：梁参数：J 截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩 为梁的密度为梁的密度A 梁横截面积梁横截面积E 弹性模量弹性模量外部力：外部力：),(txp),(txmyx0 在梁上在梁上x处取长为处取长为 dx 的微元段。的微元段。dxtxp),(dx22tyAdx dxxMM dxxQQ MQdxtxm),(),(txp),(txmyx0),(txyxdxf(x
38、,t):单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 微段受力分析微段受力分析y(x,t):距原点距原点 x 处的截面在处的截面在 t 时刻时刻 的横向位移的横向位移 截面上的剪力和弯矩截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力微段的惯性力:),(dxtxp:),(dxtxm微段所受的外力矩微段所受的外力矩:,MQ:22tyAdx 微段所受的外力微段所受的外力 在梁上在梁上x处取长为处取长为 dx 的微元段。的微元段。根据微段根据微段dx的受力图，写出微段的受力图，写出微段沿沿y向的运动微分方程。向的运动微分方程。0d),()d(d22 x
39、txpxxQQQtyxA ),(22txpxQtyA dxtxp),(dx22tyAdx dxxMM dxxQQ MQdxtxm),(),(txp),(txmyx0),(txyxdx截面上的剪力和弯矩截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力微段的惯性力:),(dxtxp:),(dxtxm微段所受的外力矩微段所受的外力矩:,MQ:22tyAdx 微段所受的外力微段所受的外力 在梁上在梁上x处取长为处取长为 dx 的微元段。的微元段。0d),()d(d22 xtxpxxQQQtyxA ),(22txpxQtyA dxtxp),(dx22tyAdx dxxMM dxxQQ MQdxtxm),(以右截面上任一
40、点为矩心，力矩平衡：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：略去高阶小量：略去高阶小量：0),(22),()22 dxtxmdxtyAdxdxdxtxpQdxMdxxMM（),(txmxMQ 得得2222),(tyAtxpxmxM 对于对于等截面等截面梁，则梁，则E、J为常数，上式又可写成为常数，上式又可写成),(),(2244txmxtxptyAxyEJ ),(),()(222222txmxtxptyAxyEJx 变截面变截面欧拉欧拉伯努利梁的横向振动微分方程伯努利梁的横向振动微分方程 2222),(tyAtxpxmxM 代入材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度
41、的关系：22),(),(xtxyEItxM 等截面等截面梁的横向振动微分方程梁的横向振动微分方程),(),(2244txmxtxptyAxyEJ ),(),()(222222txmxtxptyAxyEJx 变截面变截面梁的横向振动微分方程梁的横向振动微分方程 得到梁的横向自由振动的运动微分方程得到梁的横向自由振动的运动微分方程0),(,0),(txmtxp0)(222222 tyAxyEJx ),(),()(222222txmxtxptyAxyEJx 解用解用x的函数的函数Y(x)与与t的谐函数的乘积表示的谐函数的乘积表示)sincos)()()(),(t pBt pAxYtqxYtxy 梁上
42、各点按振型函数梁上各点按振型函数Y(x)作同步谐振动作同步谐振动 0)()d)(d(dd22222 xAYpxxYEJx 代入在在Y(x)符合梁的边界条件并具有非零解的条件下，由此方程求符合梁的边界条件并具有非零解的条件下，由此方程求解解p2和振型函数和振型函数Y(x)的问题，称为梁作横向振动的特征值问题。的问题，称为梁作横向振动的特征值问题。0)()d)(d(dd22222 xAYpxxYEJx)()(dd444xYxYx 对于等截面梁对于等截面梁224ap xxxxFEDCxY jjeeee)(通解为通解为AEJa 2或表示为或表示为xCxCxCxCxY chshcossin)(4321
43、根据梁的边界条件可以确定根据梁的边界条件可以确定值及振型函数值及振型函数Y(x)中待定中待定常数因子。边界条件要考虑四个量，即挠度、转角、弯矩常数因子。边界条件要考虑四个量，即挠度、转角、弯矩和剪力，梁的每个端点都与其中的两个量有关。和剪力，梁的每个端点都与其中的两个量有关。)()(dd444xYxYx 对于等截面梁对于等截面梁通解为通解为xCxCxCxCxY chshcossin)(4321 )(xYiip一一对应一一对应第第 i 阶主振动：阶主振动：iAiB和和 由系统的初始条件确定由系统的初始条件确定 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：)2,1(
44、),sincos)(),()(itpBtpAxtxyiiiiiiY Y 1)sincos)(),(iiiiiitpBtpAxtxyY Y1.固定端固定端lxxxxYxY 或或00d)(d,0)(常见的简单边界条件有如下几种常见的简单边界条件有如下几种2.简支端简支端lxxxxYxY 或或00d)(d,0)(22在梁的自由端上弯矩在梁的自由端上弯矩M与剪力与剪力 等于零等于零33xyEJQ lxxxxYxxY 或或00d)(d,0d)(d3322在梁的固定端上挠度在梁的固定端上挠度y与转角与转角 等于零，即等于零，即xy 在梁的简支端上挠度在梁的简支端上挠度y与弯矩与弯矩 等于零等于零22xyE
45、JM 3.自由端自由端下面讨论在两种支承情况下，梁的固有频率和主振型。下面讨论在两种支承情况下，梁的固有频率和主振型。1.两端铰支两端铰支0,0sh3 Cl可得可得 0sin l 由此式得由此式得,2,1.,iliilii 简支梁的频率方程简支梁的频率方程yx0一端圆柱固定铰一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰另一端圆柱滑动铰固定铰：挠度和截面弯矩为零固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零得：得：0)(lY0)(lY0)0(Y0)0(YxCxCxCxCxYchshcossin)(4321042 CC0shsin31 lClC 0shsin31 lClC 对应于
46、对应于 的固有频率为的固有频率为i,2,12222 iAEJliapii ,2,1sin)(1 ixliCxYii可见，各固有频率与梁长的平方成反比。可见，各固有频率与梁长的平方成反比。因此主振型函数为因此主振型函数为第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态模态形状模态形状节点位置节点位置yx0无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点三个节点三个节点2.左端固定，右端自由左端固定，右端自由0d)(d,0d)(d0d)(d,0332200 lxlxxxxxYxxYxxYY042 CC0)ch(cos)shsin)(sh(sin2 llllll 因此有因
47、此有xCxCxCxCxY chshcossin)(4321 代入031 CC0)ch(cos)sh(sin21 llCllC 0)shsin()ch(cos21 llCllC llllllllCCriiiiiiiiii chcosshsinshsinchcos21 边界条件为边界条件为1chcos ll 悬臂梁的频率方程悬臂梁的频率方程方程的前四个根为方程的前四个根为996.10,855.7,694.4,875.14321 llll 时，可以取i 3,4,3)21(iili 固有频率为固有频率为 ,2,1422 iAlEJlapiii 基频为基频为41515.3AlEJp llllllllCC
48、riiiiiiiiii chcosshsinshsinchcos21 则主振型函数为则主振型函数为,2,1)sh(sinchcos)(ixxrxxCxYiiiiiii 则主振型函数为则主振型函数为)sh(sinchcos)(xxrxxCxYiiiiiii 前三阶主振型由图所示前三阶主振型由图所示 铅垂梁的前三阶模态形状铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态一个节点一个节点两个节点两个节点无节点无节点节点位置节点位置yx0频率方程：频率方程：1coshcos ll模态函数：模态函数：224ap AEJa 2其中：其中：),2,1(),sinh(sinc
49、oshcos)(ixxxxxiiiiii),2,1(,sinhsincoshcossinhsincoshcos illlllllliiiiiiiii当当 i=1,2,3时时解得：解得：730.41 l853.72 l996.103 l3 i当当 时时),4,3(,)21(iili自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零0 i当当 时时00 l对应刚体模态对应刚体模态3.两端自由两端自由 00 lYlY 0000 YY例：悬臂梁例：悬臂梁一端固定，另一端有弹性支撑一端固定，另一端有弹性支撑边界条件边界条件固定端：挠度和截面转角为零固定端：挠度和截面转角为零弹性支撑端：剪力、弯矩分别与
50、直线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等2kx0y1kl弹簧弹簧2：直簧，与挠度成正比：直簧，与挠度成正比弹簧弹簧1：卷簧，与截面转角成正比：卷簧，与截面转角成正比弯矩平衡条件：弯矩平衡条件：xtlykxtlyEJ ),(),(122),(),(222tlykxtlyEJx 剪力平衡条件：剪力平衡条件：)()(),(tqxYtxy)()(2lYklYEJ )()(1lYklYEJ 0)0(Y0)0(YxCxCxCxCxY sinhcoshsincos)(4321 0)cosh(cos)sinh(sin)sinh(sin)cosh(cos1211 ll
