1、第9章 弯曲应力9.1梁横截面上的正应力现在研究梁横截面上的应力。先讨论横截面上只有弯矩而没有剪力的梁。这种情况下的弯曲称为纯弯曲。例如图9-1所示简支梁的CD段就属于纯弯曲情况。此时梁的各截面上的弯矩相等。由于只有与正应力相应的法向分布内力才能合成与弯矩相应的内力偶,故在纯弯曲时梁横截面上只可能有正应力。分析在纯弯曲时梁横截面上正应力只用静力学条件解决不了,因此,所研究的问题是超静定的,需先通过实验来研究梁的变形。取一矩形截面梁,在梁的表面画上横向线mm,nn和纵向线aa,bb。在梁两端施加一对作用在梁的纵向对称面内的外力偶Me,使此梁发生纯弯曲,如图9-2,则可观察到以下现象:(1)横向线
2、mm,nn仍然是直线,但彼此相对转动了一个角度,仍垂直于弯曲后的纵线。(2)纵向线由直线变成曲线,且靠近顶面的aa线缩短,靠近底面的bb线伸长。9.1.1实验实验根据所观察到的梁表面的变形现象,可以对梁内部的变形情况作出如下假设:图9-3梁的所有横截面在变形过程中要发生转动,但仍保持为平面,并且和变形后的梁轴线垂直。这就是梁的平面假设。可以设想梁是由无数纵向纤维所组成,弯曲变形后,梁的上层纤维缩短,下层纤维伸长,因为材料是连续的,所以中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,这一层称为中性层,中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁的纵向对称面内,故梁在变形后的形状也应对称于此平面,因此
3、,中性轴必然垂直于横截面的对称轴(图9-3)。梁变形时,横截面是绕中性轴转动的。9.1.2假设假设现在来推导纯弯曲时梁的正应力公式。与推导扭转切应力公式相似,也需综合几何、物理和静力学三方面来解决。1.变形几何方面纯弯曲时梁的纵向纤维由直线弯成圆弧,如图9-2b所示。相距为dx的两相邻截面mm、nn延长交于C点,C即为曲率中心,中性层的曲率半径以表示,两平面间的夹角以d表示。现求距中性层为y处的bb纤维的线应变。该纤维变形后的长度为(+y)d,原长为 。故bb纤维的线应变为2.物理方面假设各纵向纤维间无挤压,即各纵向纤维只有轴向拉伸或压缩的变形。于是在正应力不超过比例极限时,由胡克定律知对于指
4、定横截面,E/为常数,式(b)就反映了横截面上正应力的分布规律。由此式可知,横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比,而在距中性轴等远的同一横线上各点处的正应力相等,如图9-4所示。9.1.3梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力3.静力学方面上面虽已找到应力分布规律,但还不能直接按式(b)计算弯曲正应力,这是因为曲率半径以及中性轴的位置均未确定。这可以从静力学方面来解决。纯弯曲时梁横截面上仅有正应力(图9-5)。取横截面对称轴为y轴,中性轴取为z轴,过y、z交点与杆纵线平行的线取为x轴。在坐标(y,z)处取一微面积dA,dA上作用着微内力dA。整个横截面上所有这样的微内力构成空间平行
5、力系,故可能组成三个内力分量:轴力FN和绕y、z轴之矩My、Mz。从截面法可知,在图9-4所示纯弯曲情况下,任意截面上FN和My都等于零,而Mz的矩就是横截面上的弯矩M。于是得 FN=AdA=0(c)My=Az dA=0(d)Mz=Ay dA=M(e)首先讨论式(c)所表达的物理意义。将式(b)的关系代入式(c),得又因E/不可能等于零,故必须有AydA=0(f)此式表明整个横截面对于z轴的静矩Sz等于零,由附录A.1中可知,中性轴z必然通过横截面的形心。这样,就确定了中性轴的位置。其次,讨论式(d),将式(b)的关系代入式(d),得同样,因E/不可能等于零,故必须有AyzdA=0(h)式(h
6、)表明整个横截面对y、z这一对轴的惯性积Iyz应等于零。因为y轴是对称轴,故由附录A.2中有关结论可知,式(h)是自动满足的,因而式(g)也就自动满足。最后将式(b)的关系代入式(e),得由此得此式是用曲率表示的梁轴线的弯曲变形公式,它是弯曲理论的基本公式。式中,EIz称为梁的抗弯刚度,它反映了梁抵抗弯曲变形的能力。由上式即可确定中性层的曲率。以式(9-1)代入式(b),最后求得这就是梁横截面上的正应力公式。式中,M为横截面的弯矩;y为欲求应力点至中性轴的距离;Iz为横截面对中性轴的惯性矩。在式(9-2)中,对于正应力是拉应力还是压应力虽可以从M及y坐标的正、负号来确定,但从梁的变形情况来判断
7、更为简便:当弯矩为正时,中性层以下部分纤维伸长,故产生拉应力;中性层以上部分纤维缩短而产生压应力。弯矩为负时,则与上相反。显然,在用这一方法判定正应力是拉或压时,只须将M及y的绝对值代入式(9-2)即可。(1)式(9-1)和式(9-2)只适用于梁的材料符合胡克定律,且其拉伸和压缩时的弹性模量相等的情况。为了满足前一个条件,梁内的最大正应力值应不超过材料的比例极限。(2)式(9-1)和式(9-2)虽然是以矩形截面梁为例导出的,但在推导过程中,并未用到矩形截面的特殊性质。凡是具有纵向对称面的对称弯曲的梁,都能满足推导过程的各项要求。因此,上两式对于所有横截面存在对称轴的对称弯曲的梁都是适用的。(3
8、)式(9-1)和式(9-2)是在纯弯曲的前提下导出的。工程中更常见的弯曲问题多为横力弯曲,即这时梁的横截面上不仅有弯矩,一般来说还有剪力。同时,由于横向力的作用,还使梁的纵向纤维之间发生挤压。这些都与推导公式的前提相矛盾。但是精确的分析表明,对于细长的梁,即梁的跨长与截面高度之比l/h5时,应用纯弯曲时的公式计算梁横截面上的正应力,还是相当精确的。但应注意,此时应用(x)与M(x)来代替公式中的和M。9.1.4公式的适用范围公式的适用范围由式(9-2)知等截面梁的最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处,故其中式中,Wz称为抗弯截面系数,其值只与截面的几何形状和尺寸有关。对矩形截面(图9-6a):对圆形截面(图9-6b):对于各类型钢,其抗弯截面系数可以从型钢规格表查得。弯曲时正应力的强度条件是9.2弯曲正应力的强度条件及其应用对于拉伸许用应力t和压缩许用应力c不同的材料制成的梁应分别按最大拉应力和最大压应力建立其强度条件,即t,maxt,c,maxc(9-6)
