1、第一节n次根式与分数指数幂在初中我们已经学过整数指数幂的概念和运算,但在解决实际问题中经常要用到分数指数幂的概念,在这里我们给出分数指数幂的概念及其运算法则。我们已知道整数指数幂的定义:整数指数幂:=an(nN)零指数幂:a0=1(a0)负指数幂:a-p=(a0,且pN)分数指数幂的定义如下:定义=(m,nN,a0),即正数的正分数指数幂,表示一个根式,它的根指数是分数指数的分母,根底数的幂指数是分数指数的分子。例如=4记号理解为的倒数,即=(m,nN,a0)。又如=根据定义,分数指数幂可化为根式;反过来,一个根式也可化为分数指数幂的形式,例如:可见我们常见的n次根式(a0,nN)的分数指数幂
2、的形式为(a0,nN)分数指数幂的运算法则与整数指数幂的运算法则完全相同,即例1化简2-。解原式=2-=-x-1例2化简。解原式=第二节指数函数与幂函数一、指数函数我们先看一个实际问题,某厂原来产量为1万吨,从今年起每年产量比上一年增长7%,那么x年后的年产量y(万吨)为即y=1.07x我们把形如y=ax(a0,且a1)的函数叫做指数函数,它的定义域是实数集R。上面例子中y=1.07x就是指数函数,由于x只能取正实数,所以它的定义域是R+。又如:函数y=2x,y=,y=10 x都是指数函数。它们的定义域都为实数集R。接下来我们研究一下指数函数的图像和性质:在同一直角坐标系里,画指数函数y=2x
3、,y=,y=10 x的图像。这三个函数的定义域都为(-,+),下面分别列出x,y的对应值表:用描点法画出图像如图3-1。图3-1通过观察容易得出,图像有如下特点:(1)图像都在x轴的上方;(2)图像都通过点(0,1);(3)y=2x和y=10 x在(-,+)上是增函数,y=在(-,+)上是减函数。用类似方法可以画出指数函数y=ax分别在a1和0a1时,1)指数函数y=ax的函数值恒大于零;2)指数函数y=ax的图像经过(0,1);3)指数函数y=ax,当x0时y1;当x0时0y1)在(-,+)上是增函数。(2)当0a1.4,所以31.4。(2)因为指数函数y=0.7x在(-,+)上是减函数,又
4、,所以0.0时我们首先讨论幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=的图像和性质。函数y=x的图像是一条过原点的直线,如图3-2所示。函数y=x2的图像是顶点在原点、开口向上的一条抛物线,如图2-6所示。函数y=x3的定义域为(-,+),并且容易得出它是一个奇函数,我们通过列表采用描点画出它的图像,如图3-3所示。函数y=的定义域为0,+),通过列表采用描点画出它的图像,如图3-4所示。图3-4图像都通过原点和点(1,1);在区间(0,+)内都为递增函数;y=x和y=x3的图像关于原点对称,为奇函数;y=x2的图像关于y轴对称,为偶函数;y=的图像既不关于原点对称,也不关于y轴对称,为非奇非偶函数
5、。用类似方法,我们能归纳出幂函数y=xa当a0时的共同性质:(1)图像经过原点和点(1,1);(2)幂函数y=xa(a0)在(0,+)内单调递增。2.当a0时我们首先讨论幂函数y=x-1,y=x-2,y=的图像和性质:y=x-1就是反比例函数,它的图像是一条经过点(1,1)的双曲线,如图2-8所示。函数y=x-2的定义域为(-,0)(0,+),并且容易得出它是一个偶函数。通过列表采用描点画出它的图像,如图3-5所示。函数y=的定义域为(0,+8),通过列表采用描点法画出它的图像,如图3-6所示。通过对上述三个幂函数观察,不难得出它们都有如下性质:图像都通过原点和点(1,1);在区间(0,+)内
6、单调递增;y=x-1的图像关于原点对称,为奇函数;y=x-2的图像关于y轴对称,为偶函数;y=的图像既不关于原点对称,也不关于y轴对称,为非奇非偶函数。用类似方法,我们能归纳出幂函数y=xa,当a0时的共同性质:(1)图像经过点(1,1);(2)幂函数y=xa(a0)在(0,+)内单调递减。通过对幂函数的图像和性质的归纳,可以利用幂函数的性质来解决具体问题。例4比较下面各组中两个值的大小:(1)2.,3.;(2)0.2,0.7。解(1)设函数f(x)=,则2.,3.就是幂函数f(x)=分别在x=2.3和x=3.2处的函数值。即2.=f(2.3),3.=f(3.2)又因为-0,所以幂函数f(x)
7、=在(0,+)内是减函数。02.33.2所以f(3.2)f(2.3)即3.0,所以幂函数f(x)=在(0,+)内是增函数。因为00.270.72所以f(0.27)f(0.72)即0.20,且a1);那么b称为以a为底N的对数,记作b=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,必须注意N0。对于对数的定义易得ab=NlogaN=b(a0,a1,N0)。例如:24=16,可写成log216=4,读“以2为底16的对数等于4”。又如:10-1=可写成log10=-1;30=1可写成log31=0;2=3可写成log273=。当a0,且a1时,恒有a0=1,所以有恒等式:loga1=0。又因为a1
8、=a,所以有恒等式:logaa=1。若将b=logaN代入ab=N式中,可得恒等式:=N,(a0,a1,N0)。例1把下列对数写成指数形式:(1)log39=2;(2)log255=。解(1)32=9;(2)2=5。例2求下列对数的值:(1)log927;(2)lo32。解(1)设log927=b,则9b=27,32b=33,所以b=即log927=(2)设lo32=b则=322-2b=25所以b=-即lo32=-二、积、商、幂的对数利用指数的运算性质和对数的定义可知如下的对数性质:性质1logaMN=logaM+logaN(M0,N0,a0,且a1);证明设logaM=p,logaN=q则M
9、=ap,N=aqMN=apaq=ap+q所以logaMN=p+q即logaMN=logaM+logaN性质2loga=logaM-logaN(M0,N0,a0,且a1)证明设logaM=plogaN=q则M=ap,N=aq=ap-q所以loga=p-q即loga=logaM-logaN性质3logaM=logaM(M0,a0,且a1)证明设logaM=p,则M=apM=(ap)=aplogaM=p即logaM=logaM例4计算:(1)log28;(2)log69+log64;(3)log3+log3+log312。解(1)log28=log28+log2=3+=3;(2)log69+log6
10、4=log694=log636=2(3)log3+log3+log312=log3+log3+log312=log312=log39=2三、常用对数定义以10为底的对数叫做常用对数,为了简便起见,通常把底10省略,简写成lgN。读作“N的对数”。对于10的整数次幂的对数,有lg10n=nlg10=n(nZ)。例如,lg100=lg102=2,lg10000=lg104=4,lg0.000001=lg10-6=-6。那么如何求一个正数的常用对数呢?可用两种方法:一是查“常用对数表”;二是运用计算器计算常用对数。这里介绍计算器的使用方法:先按log键,然后输入真数值,再按=键。例5已知:lg20.
11、301,求:(1)lg20;(2)lg2000;(3)lg0.02。解(1)lg20=lg210=lg2+lg10=0.301+1=1.301;(2)lg2000=lg2103=lg2+lg103=0.301+3=3.301;(3)lg0.02=lg210-2=lg2+lg10-2=0.301-2=-1.699。第四节对数函数某沙漠面积年平均增长2%,若以这样的速度发展,y年以后沙漠面积年平均增长到原来的x倍,那么有1.02y=x。由对数的意义可得:y=log1.02x。我们把形如y=logax(a0,且a1)的函数叫做对数函数,它们的定义域是(0,+)。可见,对数函数y=logax与指数函数
12、y=ax互为反函数,所以在同一坐标中它们的图像关于直线y=x对称,于是,根据指数函数y=ax的图像即可得到对数函数y=logax(a0,且a1)在a1和0a1b)0a0,且a1)有如下性质:性质1y=logax(a0,且a1)的图像都在y轴的右方,且都经过点(1,0)。性质2y=logax(a1)当x1时y0,当0 x1时y0;y=logax(0a1时y0,当0 x0。性质3对数函数y=logax(a1)在(0,+)上是增函数;对数函数y=logax(0a1)在(0,+)上是减函数例1求下列函数的定义域:(1)y=ln(x2-9);(2)y=。(2)由lo(x-3)0,得不等式组解得30,得x
13、3,所以函数y=ln(x2-9)的定义域是(-,3)(3,+);例2利用对数函数的性质,比较下列各组的大小:(1)log23和log24;(2)log0.33和log0.34;(3)log25和log52解(1)因为a=21,所以对数函数y=log2x在(0,+)上是增函数;又因为34,所以log23log24;(2)因为a=0.31,所以对数函数y=log0.3x在(0,+)上是减函数;又因为3log0.34;(3)因为a=21,所以对数函数y=log2x在(0,+)上是增函数,即有log25log22=1;又因为a=51,所以对数函数y=log5x在(0,+)上是增函数,即log52log52。
