1、 向量空间（向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（）又称线性空间（Linear Spaces）.本章的特点及要求：本章的特点及要求：向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，是进一步学习数学必备的内容是进一步学习数学必备的内容.向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性方程组解括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性方程组解的结构的结构.向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统.所谓代数所谓代数系统
2、，就是带有运算的集合系统，就是带有运算的集合.6.16.1向量空间的定义和例子向量空间的定义和例子 一、引例定义产生的背景 设设 F 是一个数域，是一个数域，m nF表示上表示上mn矩阵的集合，矩阵的集合，回忆一下回忆一下 m nF上所能够施行的运算（教材上所能够施行的运算（教材P182）：只有）：只有加法和数乘两种，并且满足加法和数乘两种，并且满足(教材教材P183)：1.A+B=B+A2.(A+B)+C=A+(B+C)3.OA=A4.A+(-A)=O5.a(A+B)=aA+Ab6.(a+b)B=a B+Bb7.(ab)A=a(b)A还有一个显而易见的：还有一个显而易见的：8.1AA 设设R
3、是实数域，是实数域，V3表示空间向量的集合表示空间向量的集合.两个向量可两个向量可以作加法（平行四边形法则），可以用以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个中的一个数乘一个向量，加法和数乘满足同样的向量，加法和数乘满足同样的8条性质条性质.按照解析几何的按照解析几何的方法，向量可以用的坐标（方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都）来表达，加法和数乘都有表达式，有表达式，类似的问题许多，类似的问题许多，有必要总结它们的共性：，有必要总结它们的共性：I.涉及两个集合（其中一个集合涉及两个集合（其中一个集合）.II.涉及两种运算（什么样的运算？）涉及两种运算（什么样的运
4、算？）.III.满足满足8条运算性质条运算性质.二、二、向量空间的定义抽象出的数学本质向量空间的定义抽象出的数学本质设设F是一个数域，是一个数域，V是一个非空集合是一个非空集合.我们把我们把V中的中的元素称为向量，元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：称为向量空间，如果下列条件成立：(c1)V上有上有(闭合的闭合的)加法运算，即：对任意加法运算，即：对任意u,v属于属于V,一定有一定有u+v属于属于V.(c2)F上的数对上的数对V上的向量有上的向量有(闭合的闭合的)数乘运算，即：对任意数乘运算，即：对任意F中数中数a 和和V中元素中元素v,一定有：一定有：av属于属于V.(a1)u+
5、v=v+u，对所有，对所有u和和v属于属于V.(a2)u+(v+w)=(u+v)+w,对所有对所有u、v和和w属于属于V.(a3)V中存在一个向量，记作中存在一个向量，记作o,它满足：它满足：v+o=v 对所有对所有V中的中的v.(a4)给定给定V中每一个向量中每一个向量v,V中存在一个向量中存在一个向量u满足：满足：u+v=0.这样的这样的u称为称为v的负向量的负向量.(m1).)()(FbabVaVab，(m2).)(aVaUVUa(m3).)bUaUUba（(m4)1u=u 对所有u属于V.三、进一步的例子三、进一步的例子加深定义的理解加深定义的理解按照定义按照定义1，m nF是数域是数
6、域F上的向量空间，称为矩阵上的向量空间，称为矩阵 空间空间.（1）11,nnFF统称为元向量空间，统一用符号统称为元向量空间，统一用符号 nF表示表示.（2）nR是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常 用的一类用的一类.数域数域F上一元多项式集合上一元多项式集合Fx按照通常的加法与数乘按照通常的加法与数乘构成构成F上的向量空间，称为多项式空间上的向量空间，称为多项式空间.根据多项式加法和数乘的定义，根据多项式加法和数乘的定义，(c1)f(x)+g(x)Fx,任给任给f(x),g(x)Fx.(c2)af(x)Fx，任给任给 aF，f(x)Fx.(a1
7、)f(x)+g(x)=g(x)+f(x),任给任给f(x),g(x)Fx.(a2)f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x),任给f(x),g(x),h(x)Fx.(a3)0向量就是零多项式向量就是零多项式.(a4)f(x)的负向量为（的负向量为（-f(x)）.(m1)()abf(x)=(a bf(x).(m2)af(x)+g(x)=af(x)+ag(x).(m3)()abf(x)=af(x)+bf(x).(m4)1 f(x)=f(x).Ca,b表示区间表示区间a,b上连续实函数按照通常的加法上连续实函数按照通常的加法与数乘构成实数域与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间的
8、向量空间，称为函数空间.证明：比照例证明：比照例3，给出完整步骤，给出完整步骤.（1）数域）数域F是是F上的向量空间上的向量空间.（2）R是是Q上的向量上的向量空间，空间，R是否为是否为C上的向量空间？上的向量空间？注注2：这个例子说明向量空间与：这个例子说明向量空间与F有关有关.设数域取设数域取R,集合为集合为R+(实数实数)，加法和数乘定义为：，加法和数乘定义为：,kabab k aaa bRkRR证明证明关于给定的运算构成关于给定的运算构成R上的向量空间上的向量空间.注注3：运算可以是通常的，可以重新定义的：运算可以是通常的，可以重新定义的.注注4：向量空间与运算有关：向量空间与运算有关
9、.注注5：证明向量空间需要：证明向量空间需要10条性质，其中：条性质，其中：8条是验证，条是验证，2条需要解方程求出零向量与负向量条需要解方程求出零向量与负向量.在在2R上定义加法和数乘：上定义加法和数乘：2(,)(,)(,)(1)(,)(,)2a bc dac bdack kka bka kba证明证明 2R关于给定运算构成关于给定运算构成R上的向量空间上的向量空间.留作课外练习留作课外练习.四、简单性质（1）零向量零向量0是唯一的是唯一的.（2）一个向量一个向量v的负向量是唯一的，用（的负向量是唯一的，用（-v）表示）表示.（3）0v0，a00.（4）a(-v)=a)(aVV.000Vaa
10、V，或（5）6.2 6.2 子空间子空间学习目标学习目标 1理解并掌握子空间的概念理解并掌握子空间的概念.2掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间子空间.3掌握子空间的交与和的概念掌握子空间的交与和的概念.一、子空间的概念一、子空间的概念1、定义：设、定义：设V是数域是数域F上一个向量空间，上一个向量空间，W是是V 的一的一个非空子集个非空子集.（1）如果）如果W中任意两个向量的和仍在中任意两个向量的和仍在W内，那么内，那么就说，就说，W对于对于V的加法是封闭的的加法是封闭的.（2）如果对于）如果对于W中任意向量中任意向量和数域和数域F中任意中任意数数a
11、，a仍在仍在W内，那么就说，内，那么就说，W 对于标量与向量的对于标量与向量的乘法是封闭的乘法是封闭的.2、定理：设设W是数域是数域F上向量空间上向量空间V的一个非空子集的一个非空子集.如果如果W 对对于于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么本的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么本身也作成上一个向量空间身也作成上一个向量空间.3、定义：、定义：令令W是数域是数域F上向量空间上向量空间V的一个非空子集的一个非空子集.如果如果W 对对于于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就那么就称称W是是V 的一个子空间的一个子空间.注：注：V的一个子
12、空间也是的一个子空间也是F上一个向量空间，并且上一个向量空间，并且一定含有一定含有V的零向量。的零向量。例：例：向量空间向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单总是它自身的一个子空间。另一方面，单独一个零向量所成的集合独一个零向量所成的集合0显然对于显然对于V的加法和标的加法和标量与向量的乘法是封闭，因而也是量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间，的一个子空间，称为零空间。称为零空间。注：一个向量空间注：一个向量空间V本身和零空间叫做本身和零空间叫做V的的平凡子空平凡子空间间。V的非平凡子空间叫做的非平凡子空间叫做V的的真子空间真子空间。例：例：是不是是不是 的的子空间？子空间？是
13、不是是不是 的子空间？的子空间？,0|)()(时jiaFMaAUijnij)(FMn0|)(AFMAWn)(FMn解解 U中的矩阵是上三角形矩阵，显然中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间为向量空间 的非空子集。又中的非空子集。又中 的运算是矩阵的加的运算是矩阵的加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义，U是是 的的 一个子空间。一个子空间。)(FMn)(FMn)(FMn 不是
14、不是 的子空间，因的子空间，因为为n阶单位矩阵阶单位矩阵I及及 I W，但，但0|)(AFMAWn)(FMnWOII)(在空间在空间V2里，平行于一条固定直线的一切里，平行于一条固定直线的一切向量空间作成向量空间作成V2的一个子空间。在间间的一个子空间。在间间V3里，平里，平行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作成作成V3的子空间。的子空间。例：例：例：nF中一切形如中一切形如Fin),0,(121的向量作成的向量作成 的一个子空间。的一个子空间。nF例：例：F x中次数不超过一个给定的整数中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连的多项式全
15、体连同零多项式一起作成同零多项式一起作成F x的一个子空间。的一个子空间。例：例：闭区间闭区间a,b上一切可微分函数作成上一切可微分函数作成C a,b的一个子空间。的一个子空间。例：例：设设FaaAijijnm),(1)把满足把满足AX=0的解的解X表示为表示为 ，nxxxX21显然显然 。并记。并记AX=0的解集为的解集为 nFX 0|0,AXFXVnA证明证明 是向量空间是向量空间 的一个子空间。的一个子空间。0,AVnF(2)记记AX=的解集为的解集为 是是否也是否也是 的一个字空间？这里的一个字空间？这里,|AnAVAXFXVnF0,nF证明证明：（：（1）首先，）首先，nF0000，
16、且，且A0=0，所以，所以，。0,AV其次，如果其次，如果 那么那么 所以所以 ，对于任何，对于任何 。故。故 对于对于 的两种的两种运算封闭，运算封闭，是向量空间是向量空间 的一个子空间。的一个子空间。,210,21nAFXXVXX即,0,021AXAX且,0)(2121AXAXXXA0,21AVXX,0,AVXFa0,),()(AVaXAXaaXA即有0,AVnF0,AVnF4、定理：、定理：向量空间向量空间W的一个非空子集的一个非空子集W是是V的一个子空间，要的一个子空间，要且只要对于任意且只要对于任意a,bF和任意和任意,W，都有，都有 a+bW（2）可以知道，在）可以知道，在0 的时
17、候，的时候，不一定是不一定是 的的子空间。因为对任何子空间。因为对任何 ，都有，都有A(X+Y)=AX+AY=+，故，故 对对 的加法不封闭。的加法不封闭。,AVnF,AVYX,AVnF 二、子空间的交与和二、子空间的交与和1、设、设W1，W2是向量空间是向量空间V的二个子空间，那么它们的二个子空间，那么它们的交的交W1W2也是也是V的一个子空间的一个子空间.2、一般，设、一般，设 Wi 是向量空间是向量空间V的一组子空间（个数的一组子空间（个数可以有限，也可以无限）可以有限，也可以无限）.则则 也是也是V的一个子空的一个子空间间.iiW3、注：注：二个子空间二个子空间W1与与W2 的并集，一
18、般说来不是的并集，一般说来不是子空间子空间121211224|,WWWW、考虑：由于由于0W1，0W2，所以，所以0=0+0W1+W2，因此，因此W1+W2。设。设a,bF,W1+W2,那么那么,因为因为W1,W2都是子空间都是子空间,所以所以 ,于是于是2221112121,WW111Wba222Wba2122112121)()()()(WWbabababa这就证明了这就证明了W1+W2是是V的子空间的子空间,这个子空间叫做这个子空间叫做W1与与W2 的和的和.6.3向量的线性相关一、内容分布一、内容分布6.3.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示6.3.2 线性相关与线性无关线性相关与
19、线性无关6.3.3 向量组等价向量组等价6.3.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组二、教学目的二、教学目的 1准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别 2理解向量组的等价及极大无关组的概念理解向量组的等价及极大无关组的概念3掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法 三、重点、难点三、重点、难点 线性相关性（无关）、向量组的极大线性无关组等概线性相关性（无关）、向量组的极大线性无关组等概念，替换定理的证明念，替换定理的证明6.3.1 线性组合与线性表示定义定义1 设设 是向量空间是向量空间V的的r个向量
20、，个向量，是数域是数域F中任意中任意r个数个数.我们把和我们把和r,2112,ra aarraaa2211叫做向量叫做向量 的一个向量组合的一个向量组合.r,21如果如果V 中某一向量中某一向量 可以表示成向量可以表示成向量 的的线性组合，我们也说线性组合，我们也说 可以由可以由 线性表示线性表示.r,21r,21零向量显然可以由任意一组向量零向量显然可以由任意一组向量 线性线性表示，因为表示，因为r,21r0000216.3.2 线性相关与线性无关定义定义2 设设 是向量空间是向量空间V的的r个向量。如果存在个向量。如果存在F中不全为零的数中不全为零的数 使得使得r,21raaa,21（1）
21、02211rraaa那么就说那么就说 线性相关线性相关.r,21如果不存在如果不存在F中不全为零的数中不全为零的数 使得等式使得等式（1）成立，换句话说，等式（）成立，换句话说，等式（1）仅当）仅当 时才成立，那么就说，向量时才成立，那么就说，向量 线性无关线性无关.raaa,21021raaar,21例1 令令F是任意一个数域。是任意一个数域。中向量中向量3F 1=（1,2,3），），2=（2,4,6），），3=（3,5,-4）线性）线性相关。相关。例2 判断判断 的向量的向量3F 1=（1,-2,3），），2=（2,1,0），），3=（1,-7,9）是否）是否线性相关。线性相关。例3 在向
22、量空间在向量空间F x里，对于任意非负整数里，对于任意非负整数 n,1nxx 线性无关。线性无关。命题6.3.1 向量组向量组 中每一个向量中每一个向量 都可以由这都可以由这一组向量线性表示一组向量线性表示.,21ri命题6.3.2 如果向量如果向量 可以由可以由 线性表示，而每一个线性表示，而每一个又都可以由又都可以由 线性表示，那么线性表示，那么 可以由可以由 线性表示线性表示.r,21is,21s,21命题6.3.3 如果向量组如果向量组 线性无关线性无关,那么它的任意那么它的任意一部分也线性无关一部分也线性无关.一个等价的提法是一个等价的提法是:如果向量组如果向量组 有一部分向量线性相
23、关有一部分向量线性相关,那么整个向那么整个向量组量组 也线性相关也线性相关.,21r,21r,21r命题6.3.4 设向量组设向量组 线性无关线性无关,而而 线性相关线性相关.那么那么一定可以由一定可以由 线性表示线性表示.,21r,21rr,21定理 6.3.5 向量向量 线性相关线性相关,必要且只要其中必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合某一个向量是其余向量的线性组合.)2(,21rr6.3.3 向量组等价定义定义3 设设 和和 是向量空间是向量空间V的两个的两个向量组向量组,如果每一个如果每一个 都可以由都可以由 线性表示线性表示,而每一而每一 也可以由也可以由 线性表示线性表示
24、,那么就说那么就说这两个向量组等价这两个向量组等价.,21r,.,21nin,.,21ir,21例例4 向量组向量组 1=(1,2,3),2=(1,0,2)与向量组与向量组 1=(3,4,8),2=(2,2,5),3=(0,2,1)等价等价.等价的概念显然具有传递性等价的概念显然具有传递性:如果如果 与与 等价等价,而后者又与而后者又与 等价等价,那那么么 与与 等价等价.,21s,.,21n,.,21i,21s,.,21i定理6.3.6(替换定理）设向量组设向量组 线性无关线性无关,并且每一并且每一 都都 可以由向量组可以由向量组,21rr,.,21n线性表示线性表示,那么那么rs,并且必要
25、时可以对并且必要时可以对 中中向量重新编号向量重新编号,使得用使得用 替换替换后所得的向量后所得的向量 与与 等价等价.r,21n,.,21,121srr,.,21n,.,21n推论推论6.3.7 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。6.3.4 向量组的极大线性无关组(1)线性无关；线性无关；,.,21inii定义定义4 向量组向量组 的一部分向量组的一部分向量组 叫做一个极大线性无关部分组（简称极大无关组），叫做一个极大线性无关部分组（简称极大无关组），如果如果,21n，,.,21inii(2)每一每一 ，j=1,n,都可以由都可以由
26、线性表示。线性表示。j,.,21inii例5看看F3的向量组的向量组)0,1,1(),0,1,0(),0,0,1(321在这里在这里 线性无关，而线性无关，而 ,所以所以 是一个极大无关组。另一方面，容易看是一个极大无关组。另一方面，容易看出，出，也是向量组也是向量组 的极的极大无关组。大无关组。,21213,21,31,32,321推论推论6.3.8 等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量.特别，一个向量组的任意两个极大无关组含有相同特别，一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量。个数的向量。6.4 基和维数 一、内容分布一、内容分布6.
27、4.1 子空间的生成元子空间的生成元6.4.2向量空间的基与维数向量空间的基与维数6.4.3 维数定理维数定理6.4.4余子空间与子空间的直和余子空间与子空间的直和二、教学目的二、教学目的 1掌握有限维向量空间基与维数的概念及其求法掌握有限维向量空间基与维数的概念及其求法2理解基在向量空间理论中所起的作用理解基在向量空间理论中所起的作用三、重点、难点三、重点、难点 基和维数的概念及求法、维数定理基和维数的概念及求法、维数定理 6.4.1 子空间的生成元设设V是数域是数域F上的一个向量空间上的一个向量空间.考虑考虑 的一切线性组合所成的集合。这个集合显然不空，的一切线性组合所成的集合。这个集合显
28、然不空，因为零向量属于这个集合因为零向量属于这个集合.其次其次,设设n,21nnnnbbbaaa22112211,那么对于任意那么对于任意Fba,nnnbbaabbaabbaaba222111仍是仍是 的一个线性组合的一个线性组合,因此因此,的一切线的一切线性组合作成性组合作成V的一个子间的一个子间.n,21这子空间叫做由这子空间叫做由 所生成的子空间所生成的子空间,并且并且用符号用符号 表示表示,向量向量 叫叫做这个子空间的一组生成元做这个子空间的一组生成元.n,21),(21nLn,21例1看看 如下的如下的n个向量个向量:nF,2,1,0,0,1,0,0nii这里除这里除 第第 i 位置
29、是位置是1外外,其余位置的元素都是零其余位置的元素都是零.令令inaaa,21是是 中任意一个向量。我们有中任意一个向量。我们有nF.2211nnaaa因此因此,而而 是是 的一的一组生成元组生成元.nLFn,21n,21nF例2F X在里在里,由多项式由多项式 所生成的子空间是所生成的子空间是nxx,1.|,110FaxaxaaxxLinnn就是就是F上一切次数上一切次数n不超过的多项式连同零多项式所不超过的多项式连同零多项式所生成的子空间生成的子空间.设设 是向量组是向量组 的一个极大的一个极大无关组无关组.由命题由命题6.3.2,子空间子空间 的每的每一个向量都可以由一个向量都可以由 线
30、性表示线性表示.另一方另一方面，面，的任意一个线性组合自然是的任意一个线性组合自然是 中的向量中的向量.riii,21n,21nL,21riii,21riii,21nL,21定理6.4.1 设设 是向量空间是向量空间V 的一组不全为零的向的一组不全为零的向量量,而而 是它的一个极大无关组是它的一个极大无关组.那么那么n,21niii,21riiinLL,2121根据这个定理根据这个定理,如果子空间如果子空间 不等于不等于零子空间零子空间,那么它总可以由一个线性无关的生成元那么它总可以由一个线性无关的生成元生成生成.nL,216.4.2 向量空间的基定义定义1 设设V是数域是数域F上一个向量空间
31、上一个向量空间.V中满足下列两个条件中满足下列两个条件的向量组的向量组 叫做叫做V的一个基的一个基:n,21（1）线性无关；线性无关；n,21（2）V的每一个向量都可以由的每一个向量都可以由 线性线性表示表示.n,21根据这个定义，向量空间根据这个定义，向量空间V的一个基就是的一个基就是V的一个组的一个组线性无关的生成元。线性无关的生成元。例3 由例由例1可得，可得，中向量组中向量组 是是 的一组的一组生成元。显然这组向量是线性无关的，因此生成元。显然这组向量是线性无关的，因此 是是 的一个基。这个基叫做的标准的一个基。这个基叫做的标准基。基。nFnFn,21n,21nF例4 在空间在空间 里
32、，任意两个不共的向量里，任意两个不共的向量 都构成都构成一个基；在一个基；在 里，任意三个不共面的向量里，任意三个不共面的向量 都构成一个基。都构成一个基。2V21,3V321,定义 一个向量空间的基所含向量的个数叫做的维数一个向量空间的基所含向量的个数叫做的维数零空间的维数定义为零空间的维数定义为空间空间的维数记作的维数记作dim这样，空间这样，空间 的维数是；的维数是；的维数；的维数；n的维的维数是数是n；上一切上一切m n矩阵所成的向量空间是维数是矩阵所成的向量空间是维数是mn如果一个向量空间不能由有限个向量生成，那么它如果一个向量空间不能由有限个向量生成，那么它自然也不能由有限个线性无
33、关的向量生成在这一自然也不能由有限个线性无关的向量生成在这一情况，就说这个向量空间是无限维的情况，就说这个向量空间是无限维的定理.例例5 x作为作为上向量空间，不是有限生成的，因上向量空间，不是有限生成的，因而是无限维的而是无限维的.设设 是向量空间是向量空间的一个基那么的一个基那么的的每一个向量可以唯一地被表成基向量每一个向量可以唯一地被表成基向量 的线性组合的线性组合,21nnaaa,21定理.3 n维向量空间中任意多于维向量空间中任意多于n个向量一定线性相关个向量一定线性相关 定理.设设 是是n维向量空间维向量空间中一组线性无关的中一组线性无关的向量那么总可以添加向量那么总可以添加 n
34、r 个向量个向量 ，使，使得得 作为作为的一个基特别，的一个基特别，n维向量空间中任意维向量空间中任意n个线性无关的向量都可以取作个线性无关的向量都可以取作基基iaaa,21nraa,1,11nrr6.4.3 维数定理定理定理.设设 和和 都是数域都是数域上向量空间上向量空间的有限维子空的有限维子空间那么间那么 也是有限维的，并且也是有限维的，并且dim（）dim dim dim（）6.4.4 余子空间与子空间的直和定理定理.6 设向量空间设向量空间V是子空间是子空间W与与W的直和的直和.那么那么V中每中每一向量一向量 可以唯一地表成可以唯一地表成 W W 定理 6.4.7 n 维向量空间维向
35、量空间V的任意一个子空间的任意一个子空间W都有余子空间都有余子空间,如果如果W是是W的一个余子空间的一个余子空间,那么那么dimV=dimW+dimW.6.5 坐 标一、内容分布一、内容分布6.5.1 坐标的概念及其意义坐标的概念及其意义6.5.2 过渡矩阵过渡矩阵6.5.3坐标变换公式坐标变换公式二、教学目的二、教学目的 1.理解向量空间中坐标的概念及其意义理解向量空间中坐标的概念及其意义.2.掌握坐标变换公式，过渡矩阵的概念及性质掌握坐标变换公式，过渡矩阵的概念及性质.三、重点、难点三、重点、难点 坐标变换公式，过渡矩阵坐标变换公式，过渡矩阵 6.5.1 坐标的概念及其意义定义定义1 设设
36、 ，是是V的一个基的一个基ndimV F,Vn,21nnnnxxxxxx221121 ,F),(V则则 称为称为 关于基关于基 的坐标的坐标.nnxxxF),(21n,21nnnnxxxxxx21212211,例1 的向量的向量 关于标准基的坐标就是关于标准基的坐标就是 nFnaaa,21例2 的向量的向量 关于标准关于标准基基 的坐标是的坐标是 .关于关于基基 的坐标是的坐标是 xnF nnxaxaxaaxf2210nxxx,12naaaa,210 xfncxcxcx,12 !,!2,21ncfcfcfcfn，这里，这里c F.例3 的向量的向量 关于标准基关于标准基 的坐标是的坐标是 .3
37、2F222111 cbacbaA23222113,1211,EEEEEE222111,cbacba),(2211nnyxyxyx（i）关于基关于基 的坐标是；的坐标是；n,21（ii）关于基关于基 的坐标是；的坐标是；an,21),(21naxaxax，这里，这里a F.注：向量的坐标依赖于基的选择，即同一向量关注：向量的坐标依赖于基的选择，即同一向量关于不同基的坐标一般是不同的于不同基的坐标一般是不同的.设设 关于基关于基 的坐标分别是的坐标分别是和和 ，则，则n,21),(21nxxx),(21nyyy,6.5.2 过渡矩阵定义定义2 设设 ，、是是V的两个基，若关于基的两个基，若关于基
38、的坐标的坐标是是 ，则矩阵，则矩阵ndimV F,Vn,21n,21n,21nkaaankkk,2,1,21nnnnnnaaaaaaaaa212222111211叫做基叫做基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵n,21n,21T,2121nn1基基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵是是T，则基，则基 到基到基 的过渡的过渡矩阵是矩阵是n,21n,21n,21n,21-1T设设 ，则，则 T,2121nnH,2121nn2基基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵是，即是，即n,21n,21T,2121nn ，即，即 。1TH ，所以，所以HT,2121nnTH,2121nnITHHT基基 到基到基 的过渡
39、矩阵是，的过渡矩阵是，即即n,21n,21H,2121nnTH,2121nnn,21则则 。所以基。所以基 到基到基 的过渡矩阵是的过渡矩阵是TH TH,2121nnn,21n,21例4 考虑中考虑中 以下两组向量：以下两组向量：3R1 ,3 ,2 ,1 ,1 ,1 ,2 ,1 ,33211 ,0 ,2 ,3 ,2 ,1 ,1 ,1 ,1321证明：证明：和和 都是的基求出由都是的基求出由基基 到基到基 的过渡矩阵。的过渡矩阵。321 ,321 ,321 ,321 ,证明：易知证明：易知 ，这里，这里 是是 的标准基。所以的标准基。所以 。因此，由基。因此，由基 到到 的过渡矩阵是的过渡矩阵是
40、A,321321B,321321321 ,3RBA,-1321321321,321,07214213119613102121121111755321BA 6.5.3 坐标变换公式定理定理6.5.2 设设 关于基关于基 的坐标是的坐标是 ，即，即n,21),(21nxxx 关于基关于基 的坐标是的坐标是 ，即，即n,21),(21nyyynnnnxxxxxx21212211,(1)nnnnyyyyyy21212211,(2)基基 到基到基 的过渡矩阵是的过渡矩阵是T，即，即n,21n,21T,2121nn(3)由（由（2）和（）和（3）得）得 nnyyy2121T,(4)比较（比较（1）和（）和
41、（4）得）得 nnyyyxxx2121T例5 取取 的两个彼此正交的单位向量的两个彼此正交的单位向量 ,它们作成它们作成 的一个基令分别是由旋转角的一个基令分别是由旋转角 所得的向量那么所得的向量那么 也是也是 的一个基的一个基 到到 的过渡矩阵的过渡矩阵是是2V2V21,21,2V,21,21cossinsincos212211xxxxxx这正是平面解析几何里这正是平面解析几何里,旋转坐标轴的坐标变换公旋转坐标轴的坐标变换公式式例例6 考虑考虑 的向量的向量3R1,5,2,1 ,0 ,1,3 ,1 ,2321证明：证明：构成构成 的一个基，并且求出向量的一个基，并且求出向量 (4,12,6)
42、关于这个基的坐标关于这个基的坐标321 ,3R易知易知,6124,6124321321A,321321，这里，这里1-1 35-0 12-1-2A所以所以 ，向量，向量(4,12,6)关于这个关于这个基基 的坐标是的坐标是 6124A,1321321 ,6124A1证明：证明：6.6向量空间的同构 一、内容分布一、内容分布6.6.1 同构映射同构映射6.6.2 同构映射的性质同构映射的性质6.6.3向量空间的同构向量空间的同构二、教学目的二、教学目的 1.理解向量空间同构的概念、性质及重要意义理解向量空间同构的概念、性质及重要意义.2.掌握有限维向量空间同构的充要条件掌握有限维向量空间同构的充
43、要条件.三、重点、难点三、重点、难点 向量空间同构的概念，同构的判别向量空间同构的概念，同构的判别.6.6.1 同构映射定义定义1 设设 、是两个向量空间。是两个向量空间。V 到到W的一个映射的一个映射 f 叫做一个同构映射，如果叫做一个同构映射，如果F ,VF ,W（i）f 是是V到到W的双射；的双射；（ii）；fffV,（iii）.afafaV ,F6.6.2 同构映射的性质同构映射的性质1.设设f 是是V 到到W 的同构映射，则的同构映射，则 是是W 到到V 的同构的同构映射。映射。1f（i i）00 f（iiii）ffV（iiiiii）bfafbafbaV,F,（iviv）n,21线性
44、相关线性相关)(,),(),(21nfff线性相关线性相关.3.设设 、是两个向量空间，是两个向量空间，是是V的基，的基，f 是是V到到W的同构映射，则的同构映射，则 是是W的基的基.F ,VF ,Wn,21)(,),(),(21nfff2.设设 f 是是V到到W的同构映射，则的同构映射，则6.6.3 向量空间的同构如果两个向量空间如果两个向量空间 与与 之间可以建立一个之间可以建立一个同构映射同构映射,那么就说那么就说 与与 同构同构,记作记作 .F ,VF ,WF ,VF ,WF W,F V,定理定理1 设设 ，则，则 。ndimV F,VnFV 定理定理2 向量空间的同构是一个等价关系向
45、量空间的同构是一个等价关系.定理定理3 mnmndimW F,WdimV F,V67 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间一、内容分布一、内容分布6.7.1矩阵的行空间与列空间矩阵的行空间与列空间6.7.2线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构二、教学目的二、教学目的 1掌握矩阵的秩和它的行空间、列空间维数之间的关掌握矩阵的秩和它的行空间、列空间维数之间的关系系2准确地确定齐次线性方程组解空间维数准确地确定齐次线性方程组解空间维数3熟练地求出齐次线性方程组基础解系及非齐次线性熟练地求出齐次线性方程组基础解系及非齐次线性方程式组的任意解方程式组的任意解三、重点、难点三、重点、难点 齐次线性方程组的
46、基础解系，次线性方程组的基础解齐次线性方程组的基础解系，次线性方程组的基础解系与全部解的关系系与全部解的关系.6.7.1 矩阵的行空间与列空间设给了数域设给了数域F上一个上一个mn矩阵矩阵 A212222111211mnmmnnaaaaaaaaa1矩阵矩阵A的每一行可以看成的每一行可以看成 的一个向量，叫做的一个向量，叫做A的行向量令的行向量令 表示表示A的行向量，这里，的行向量，这里，由由A的的n个列向量个列向量 所生成的所生成的 的子空间的子空间 叫做矩阵叫做矩阵A的行空间的行空间nFnFm ,21miaaainiii,2 ,1,21m ,21),(L21mmmnmmnnaaaaaaaaa
47、21212222111211 A2矩阵矩阵A的每一列可以看成的每一列可以看成 的一个向量，叫做的一个向量，叫做A的列向量。令的列向量。令 表示表示A的列向量，这里，的列向量，这里，由由A的的n个列向量所生个列向量所生成的成的 的子空间的子空间 叫做叫做A的列空间的列空间mFn ,21niaaamjjjj,2 ,1,21mF),(L21nnmnmmnnaaaaaaaaa,A21212222111211注：注：当当mn时，矩阵时，矩阵A的行空间和列空间是不同的行空间和列空间是不同的向量空间的子空间的向量空间的子空间3设设 ，且，且 ，则，则nnmmnmFQ,FP,FA0|,0|QP（i）PA与与A
48、有相同的行空间有相同的行空间（ii）AQ与与A有相同的列空间有相同的列空间证：证：mmmmmmmmnmmnnmmmmmmpppppppppaaaaaaaaappppppppp212122221112112122221112112122221112110 PA 1mmmmmmmmmmppppppppp21221122221211212111 mmmmmmmeeeeeeeee212122221112111-0 PAPA2mmmmmmmmmmeeeeeeeeee21221122221211212111 ，所以它们生成，所以它们生成 的同一子空间。的同一子空间。,2121mmnF4.一个矩阵的行空间的
49、维数等于列空间的维数，等一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数，等于这个矩阵的秩于这个矩阵的秩给定给定 ，秩，秩A=r，不妨设，不妨设 nmFA0 1111rrrraaaa，则存在，则存在0|,0|,FQ,FPQPnnmm，使得，使得0 00 IPAQr1-Q0 00 IPAr0 00 IPAQ1-r由于这一事实，我们也把一个矩阵的秩定义为它的行由于这一事实，我们也把一个矩阵的秩定义为它的行向量组的极大无关组所含向量的个数；也定义为它的向量组的极大无关组所含向量的个数；也定义为它的列向量组极大无关组所含向里的个数。列向量组极大无关组所含向里的个数。数域数域F上线性方程组有解的充要条件是它的系数
50、矩阵上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。与增广矩阵有相同的秩。6.7.2线性方程组的解的结构1齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间给定数域给定数域 F上一个齐次线性方程组上一个齐次线性方程组0AX000 0 0 0 21212222111211221122221211212111nmnmmnnnmnmmnnnnxxxaaaaaaaaaxaxaxaxaxaxaxaxaxa（1）令令 ，易知它是，易知它是 的一个子空间，这的一个子空间，这个子空间称为齐次线性方程组（个子空间称为齐次线性方程组（1）的解空间。）的解空间。0AX|XWnF2若秩若秩A=r，则解空间，则
