1、第5章空间一般力系和重心空间一般力系是各力作用线在空间任意分布的力系,也称为空间任意力系。显然,这是力系中最一般的情况,其他各种力系都是它的特殊情况。本章将研究空间一般力系的简化与平衡问题。与平面力系的研究方法相似,空间一般力系的简化也是应用力向一点平移的方法将空间一般力系分解为两个基本力系:空间汇交力系和空间力偶系,再应用这两个力系的简化结果简化原力系,建立空间一般力系的平衡条件并导出平衡方程。5.1力对轴之矩设有一平面L,其上力F对平面内O点之矩将使刚体绕O点转动,如图5-1a所示。从空间的观点看,这一转动效应实际上就是空间物体绕通过O点且与该平面垂直的空间轴z轴的转动。所以,平面内力对点
2、之矩实际上就是空间问题中的力对轴之矩。此时,力F的作用线须与z轴在空间相互垂直。力F对z轴之矩度量了力F使刚体绕z轴转动的效应。图5-1若力F不在垂直于z轴的平面内,如图5-1b所示,要考察力F使刚体绕z轴转动的效应,需将力F分解为两个分力Fz和Fxy(图5-1b)。分力Fz平行于z轴,它对刚体绕z轴的转动不起作用;分力Fxy在垂直于z轴的平面内,Fxy对z轴的矩表示了力F使刚体绕z轴转动的效应。由此可得如下定义:空间力对轴之矩是使刚体绕此轴转动效应的度量,它等于此力在垂直于轴的任一平面上的投影对轴与平面交点之矩。若以Mz(F)表示力F对z轴之矩,上述定义可表示为5 1zOxyxy()()MF
3、MFF d（）式中,正负号按右手螺旋规则确定,即从z轴的正向朝负向看,若Fxy使刚体绕该轴作逆时针转动,取正号;反之则取负号。显然,力对轴之矩是代数量。由上述定义可知:(1)当力沿其作用线滑移时,力对轴之矩不变;(2)当力的作用线与轴相交(d=0)或平行(Fxy=0)时,力对该轴之矩等于零。与平面问题中力对点之矩一样,力对轴之矩也有合力矩定理,即合力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。力对轴之矩也可用解析式表示。设力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx、Fy、Fz,力F的作用点A的坐标为(x、y、z),如图5-2所示。由力对轴之矩的定义和合力矩定理,可得xzyyxzzyxM(F)yFzFM
4、(F)zFxFM(F)xFyF5-2（）图5-25.2力对轴之矩与力对点之矩的关系空间力对点之矩是一个矢量,可用力的作用点到矩心的矢径r与力F的矢积表示53O(F)MrFa（）将此式用解析形式表示,可以得到53OzyxzyxxyzijkMFxyzyFzFi()()()(zFxFjxFyF kbF)FF（）因此,力对点之矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影分别为OxzyOyxzOzyxMFyFzFMFzF()()(xFMFFy)xF比较式(5-2)和式(5-3)不难看到:力对点之矩矢在通过该点的任一轴上的投影,等于力对该轴之矩。上述结论也可用几何法证明。用MO(F)表示力F对点O的矩矢,用Mz(F
5、)表示力F对通过点O的z轴之矩,如图5-4所示。MO(F)的大小为|MO(F)|=2OAB面积力F对z轴之矩也可用相应的三角形面积表示为Mz(F)=2OAB面积图5-4OAB是OAB在坐标面Oxy上的投影。该两三角形平面间的夹角即是这两个平面法线间的夹角,也就是矢量MO(F)与z轴之间的夹角,如图5-4所示。由几何学关系有OAB=OABcos即 MO(F)z=Mz(F)(5-4a)同理可得对x轴和y轴的相应关系MO(F)x=Mx(F)(5-4b)MO(F)y=My(F)(5-4c)5.3空间一般力系向任意点简化及其结果的讨论5.3.1空间一般力系向任意点简化空间一般力系向任意点简化与平面一般力
6、系的简化方法一样,用力的平移定理,可以把空间一般力系向任意一点简化。要注意的是,由于空间一般力系中各力的作用线不在同一平面内,故将力系中各分力向一点平移时,附加力偶的力偶矩应当用矢量表示。设一空间一般力系(F1、F2、Fn)作用在刚体上,如图5-5a所示。将力系中各力分别向任选的简化中心O平移,可以得到一空间汇交力系(F1、F2、Fn)和一空间力偶系,该力偶系的各分力偶矩矢分别为M1、M2、Mn,如图5-5b所示。其中1122nnFF,FF,FF1122OOnOn()(MMF,MMF,)F()MM图5-5这两个力系可以分别按空间汇交力系和空间力偶系的合成方法合成为通过简化中心的一个力和一个力偶
7、。力矢量为55RiiFFF（）力偶的力偶矩矢为56OiOi(MMMF)（）FR称为空间一般力系的主矢,MO称为空间一般力系对简化中心的主矩。同样地,力系的主矢与简化中心的位置选择无关;而主矩与简化中心的位置选择有关。与平面力系不同的是,空间力系的主矩是矢量而不是代数量。于是得到结论:空间一般力系向任意点简化,可以得到一个力和一个力偶。这个力通过简化中心,大小和方向等于此空间一般力系的主矢;这个力偶的力偶矩矢等于此空间一般力系对简化中心的主矩。在实际计算中,常采用解析式。过简化中心建立直角坐标系Oxyz。用FRx、FRy、FRz和Fix、Fiy、Fiz分别表示主矢FR和空间一般力系中各分力Fi在
8、坐标轴上的投影,由合力投影定理有57RxixRyiyRzizFF,FF,FF（）空间一般力系的主矢FR的大小和方向为(为便于书写,下标i可略去)222+5-8RxyzF(F)(F)(F)（）R222R222R222FiFj5-9FkxRxRxyzRyyRxyzzRzRxyzFFcos(,)F(F)(F)(F)FFcos(,)F(F)(F)(F)FFcos(,)F(F)(F)(F)（）若用MOx、MOy、MOz分别表示空间一般力系对简化中心O的主矩MO在x、y、z轴上的投影,由式(5-4)及合矢量投影定理知:5 10OxxOyyOzz()()MMF,MMF,MMF()（）主矩MO的大小和方向为2
9、22=5-11yOxz(F)(FMMMM)(F)（）222222222=5-12=yxOxOOxzOyyOOxzzOzOOxyzy(F)()(F)(F)(F)(F)MMcos M,iMMMMMMcos M,jMMM(MMMcos M,kMMMM)(F)(F)(F)(F)()(F)(F)(F)（）与平面问题中固定端约束的反力的简化方法类似,空间问题的固定端约束的反力可用6个量来表示,如图5-6所示。它所限制的位移是:既不能沿任何方向移动,也不能绕任意轴转动。图5-65.3.2简化结果分析简化结果分析空间一般力系向任意一点简化,可能出现下列4种情况:(1)FR=0,MO=0,此时,原空间一般力系为
10、一平衡力系。(2)FR=0,MO0,原空间一般力系合成为一合力偶,其矩等于空间一般力系对简化中心的主矩MO。在这种情况下,该空间一般力系的主矩与简化中心的位置无关。(3)FR0,MO=0,原空间力系合成为作用线过简化中心的合力。合力矢FR等于力系的主矢FR。当简化中心恰好选在合力的作用线上时,就是这种情况。(4)FR0,MO0,根据它们之间位置的关系,又分为3种情形。1)FRMO,这时主矢FR的作用线所在的平面与主矩MO所表示的力偶的作用面是同一平面,它们还可进一步合成为一个合力。合力的作用线到简化中心的距离为ROMdF2)FRMO,此时主矢FR和主矩MO所表示的力偶的作用面相垂直,如图5-7
11、所示,这是一种最简结果,不能再进一步合成。从而形成力学中又一个基本量,称为力螺旋。图5-73)主矢FR和主矩MO两者既不平行也不垂直。这是最一般的情况。这时可将MO分解为两个分力偶MO与MO,它们分别与FR垂直和平行。与FR垂直的力偶MO与FR可进一步合成为一个合力FR,由于力偶矩矢是自由矢量,则可将MO表示在FR处,从而得到一个力螺旋。可见,一般情形下空间一般力系可简化为力螺旋,如图5-8所示。图5-8当空间一般力系能合成为合力时,可以证明合力矩定理仍然成立,即:空间一般力系的合力对位意一点(或轴)的矩等于力系中各分力对同一点(或同一轴)的矩的矢量和(或代数和)。5 13ORO()(MFM)
12、F（）即或5 14zRz()(MFF)M（）5.4空间一般力系的平衡条件及其应用若空间一般力系的主矢和对任意点的主矩都等于零,则该力系向任意点简化所得的空间汇交力系和附加的空间力偶系分别自成平衡,这表明原空间一般力系是平衡力系。反之,若空间一般力系是平衡的,则该力系的主矢和对任意点的主矩必定都等于零。因为,当力系的主矢和对任意点的主矩有一个不为零时,原空间一般力系将等效于一个力或一个力偶或力螺旋,它们都不是平衡力系。由此得出空间一般力系平衡的必要与充分条件是:空间一般力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即(5-15)根据式(5-8)和式(5-11),可将上述条件写成解析形式的平衡条件(5-16
13、)所以,空间一般力系平衡的必要与充分条件是:力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零;以及这些力对于三个坐标轴之矩的代数和分别等于零。上式也称为空间一般力系基本式(三矩式)的平衡方程。前面所遇到的各种力系都是空间一般力系的特殊情况,例如,汇交力系、力偶系和平面一般力系等等。我们可以由空间一般力系的平衡方程(5-16)导出各种特殊力系的平衡方程。例如,对空间平行力系,如图5-9所示,令z轴与各力线平行,则各力对z轴之矩为零;又由于所有力均与x和y轴垂直,它们在这两个轴上的投影恒等于零,式(5-16)中的第一、二、六三个方程成为恒等式,所以,空间平行力系的平衡方程为000 5 17zxyF,
14、MF,)M(F)（）图5-95.5平行力系的中心与重心5.5.1平行力系的中心平行力系的中心平行力系的中心是平行力系合力的作用点。若作用于某刚体上的任意个平行力(所组成的平行力系)有合力时,则可顺次应用这种合成法求出该平行力系的合力。该合力作用线仍平行于原力系中各分力的作用线,其大小等于该平行力系中所有各分力的代数和;合力作用点所在的位置称为平行力系的中心,用点C表示。若将原力系中各分力绕其各自的作用点同方向转过同样角度,使它们仍保持相互平行,则合力将仍与各分力平行,也绕点C转过相同的角度。由此可知,平行力系中心C的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关,而与各平行力的方位无关。设有空间平行
15、力系(F1、F2、Fn)分别作用于刚体上的A1、A2、An各点,取直角坐标系Oxyz,如图5-13所示。各力作用点的坐标分别为(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)、(xn,yn,zn),平行力系中心(即合力作用点C)的坐标为(xC,yC,zC)。图5-13先令所有各分力的作用线与z轴平行,利用对x轴的合力矩定理,有xRxiMFM)()F(将计算力矩的解析计算式(5-2)代入上式,并注意到FR=Fi,则C点的y坐标为iiCiF yyF同理,利用对y轴的合力矩定理,可以求出坐标xC的表达式。再将力系转到和y轴(或x轴)平行,再利用对x轴(或y轴)的合力矩定理,可求出点C的另外一个坐标zC的表
16、达式。这些公式是相似的,所以空间平行力系中心C的坐标公式如下:1111115-18nnniiiiiiiiicccnnniiiiiiFxF yFzx,y,zFFF（）5.5.2重心重心重力是地球对物体的引力,如果将物体视为由无数质点所组成,则各质点的重力便组成空间汇交力系。但由于地面上的物体与地球本身相比是很小的,而且离地心又极远,因此可近似地认为各质点的重力组成一个空间平行力系。该平行力系合力的大小就是物体的重量;该平行力系的中心就是物体的重心。1.重心坐标公式重心坐标公式如将物体分割成许多微小单元体,每个微小单元体的重力为Gi,其作用点为Mi(xi,yi,zi),如图5-14所示。图5-14
17、由式(5-18)可以直接得到物体重心C(xC,yC,zC)的坐标公式为1115-19nnniiiiiiiiicccG xG yG zx,y,zGGG（）若物体是均质的,其单位体积的重量为,各微小单元体体积为Vi,整个物体的体积为V=Vi,则Gi=Vi,G=V,代入上式,得1115-20nnniiiiiiiiicccx Vy Vz Vx,y,zVVV（）这时,物体重心的位置完全取决于物体的几何形状,而与重量无关。物体几何形状的中心称为形心。均质物体的重心与形心重合;对非均质物体,两者一般不重合。若物体是均质薄壳或均质细杆,其形心坐标公式可表示为111111nnniiiiiiiiicccnnnii
18、iiiiiiicccxAyAzAx,y,zAAAxLyLzLx,y,zLLL式中,A、L分别为物体的总面积和总长度;Ai、Li分别为微小单元体的面积和长度。对于连续分布的物体和图形,可将整个物体或图形无限细分,式(5-19)式(5-22)可表示为积分的形式。若均质物体具有对称面、对称轴或对称中心,则其重心一定在对称面、对称轴或对称中心上。2.组合形物体的重心组合形物体的重心1)分割法工程中一些比较复杂的物体往往可以看成几个简单形状物体的组合,称这类物体为组合形体。若这类形体中每一个简单体的重力Fi及其重心坐标(xiC、yiC、ziC)是已知的,利用式(5-19)式(5-22)中相应的公式,即可
19、求得整个组合形体的重心。2)负面积法若在物体内切去一部分(例如有空穴或孔的物体),要求剩余部分物体的重心时,仍可用与分割法相同的公式,只是切去部分的面积(或体积)应取做负值。3)实验法求重心工程中经常会遇到外形复杂的物体,用计算的方法求重心位置将非常困难。实验法则可比较方便地确定出重心的位置,而且具有足够的准确度。常用的实验方法有两种:悬挂法，称重法悬挂法悬挂法对于具有对称面或平板形状的物体,可将该物体先悬挂在任一点A,如图5-17a所示,根据二力平衡原理,重心在过悬挂点A的铅垂线上,标出此线。然后再将它悬于另一点D,同样可标出另一铅垂线(图5-17b)。这两条铅垂线的交点C就是该物体的重心。图5-17称重法称重法对于形状复杂或体积较大的物体有时用称重法测定其重心。例如曲柄连杆机构中的连杆,因为具有对称轴,所以只要确定重心在此轴上的位置即可。先称得连杆的重量W,并测得连杆两端轴心A、B间的距离l。将B端放在台称上,A端尖角支承,并使AB水平(图5-18),测得B端约束力FB的大小,由力矩方程00ABMF,h(F)lW可得BFhlW对于空间形状非对称的物体,可通过三次称重的方法确定其重心位置。图5-18
