1、工程振动测试技术工程振动测试技术刘习军刘习军 教授教授天津大学天津大学机械工程学院力学系机械工程学院力学系第第5章章 数字信号分析数字信号分析(1)傅里叶分析傅里叶分析 数字信号分析是振动测试中的一种重要方法数字信号分析是振动测试中的一种重要方法，也是近年来测试技术的发展方向。将模拟信号，也是近年来测试技术的发展方向。将模拟信号进行转化成数字信号（进行转化成数字信号（A/D转换），依据快速傅转换），依据快速傅里叶变换里叶变换(FFT)理论进行数据分析，可进行实时理论进行数据分析，可进行实时分析，可处理非平稳信号。分析，可处理非平稳信号。特点：精度高，速度快，容易实现。特点：精度高，速度快，容易
2、实现。5.1 基本知识基本知识5.1.1 概述概述 信号分析是将一复杂信号分解为若干简单信信号分析是将一复杂信号分解为若干简单信号，然后分别对这些信号分量的特性进行分析。号，然后分别对这些信号分量的特性进行分析。这样的分解，可以抓住信号的主要成分进行这样的分解，可以抓住信号的主要成分进行分析，使复杂问题简单化。实际上，这也是解决分析，使复杂问题简单化。实际上，这也是解决所有复杂问题最基本、最常用的方法。所有复杂问题最基本、最常用的方法。信号分析中一个最基本的方法是：把频率作为信信号分析中一个最基本的方法是：把频率作为信号的自变量，在频域里进行信号的频谱分析。号的自变量，在频域里进行信号的频谱分
3、析。信号的频谱主要有两类：幅值谱和相位谱。信号的频谱主要有两类：幅值谱和相位谱。自然界的信号都有自然界的信号都有“特征频谱特征频谱”，频谱也可以用，频谱也可以用于机器部件的故障诊断。当机器部件产生疲劳或裂于机器部件的故障诊断。当机器部件产生疲劳或裂缝时，其频谱发生改变，与正常频谱相比较，即可缝时，其频谱发生改变，与正常频谱相比较，即可实现对故障的诊断，避免事故发生。实现对故障的诊断，避免事故发生。同理，可用于人体疾病的监测和诊断。同理，可用于人体疾病的监测和诊断。1.周期性信号周期性信号 周期信号的数学形式可采用傅里叶级数展开的形式周期信号的数学形式可采用傅里叶级数展开的形式 1110)2si
4、n()2cos(2)(nnntnfbtnfaatx),2sin(2110nnntnfxx22nnnbaxnnnabarctan 周期信号的幅频曲周期信号的幅频曲线图如图所示。线图如图所示。Tf11式中式中 为基频；为基频；2.准周期信号准周期信号 准周期信号的数学形准周期信号的数学形式为式为)sin()(nnnntfxtx 21 如果上式中的任意两个频率如果上式中的任意两个频率fm/fn 之比不等于有理数之比不等于有理数，如图所示的非周期信号的离散谱。则称为准周期信，如图所示的非周期信号的离散谱。则称为准周期信号。例如号。例如)(sin)(sin)(sin332211532 txtxtxtx）
5、（因为因为2/和和3/不是有理数（基本周期无限长），不是有理数（基本周期无限长），所以称为准周期信号，但经测试而得到的频谱仍然为所以称为准周期信号，但经测试而得到的频谱仍然为离散谱离散谱。553.非周期信号非周期信号 非周期信号属于瞬变型数据。它有一个重要特征非周期信号属于瞬变型数据。它有一个重要特征，就是不能用离散谱加以表示。从数学上讲，它不，就是不能用离散谱加以表示。从数学上讲，它不能表达为傅里叶级数，只能表示为傅里叶积分的形能表达为傅里叶级数，只能表示为傅里叶积分的形式，即式，即一般在有限时间一般在有限时间T内，可进行即时频谱密度计算内，可进行即时频谱密度计算 dtetxfXftj 2)
6、()(jefXfX)()(dtetxfxftjT20)()(5.1.2 5.1.2 振动信号的特征值振动信号的特征值 在振动信号处理中常用统计函数来描述它的基本在振动信号处理中常用统计函数来描述它的基本特性，即均方值、自相关函数和自功率谱密度函数特性，即均方值、自相关函数和自功率谱密度函数。这里，均方值提供了数据强度方面的描述；自相。这里，均方值提供了数据强度方面的描述；自相关函数和功率谱密度函数等分别在时域和频域上提关函数和功率谱密度函数等分别在时域和频域上提供了有关信息。供了有关信息。此外，在不少场合下还要描述两个或几个振动信此外，在不少场合下还要描述两个或几个振动信号之间的一些相互特性，
7、以确定它们各个振动信号号之间的一些相互特性，以确定它们各个振动信号之间的相互关系。如：互相关函数和互谱密度函数之间的相互关系。如：互相关函数和互谱密度函数，它们分别描述了各振动信号在幅值域与时域和频，它们分别描述了各振动信号在幅值域与时域和频率域上的有关相互关系。率域上的有关相互关系。用以描述振动过程不变用以描述振动过程不变(静止静止)的分量。的分量。TTxdttxT01)(lim 1、均方值、均方值(1)均值均值 在时间历程在时间历程T内的振动信号内的振动信号x(t)所有值的算术平所有值的算术平均值，称为均值。表达式为均值，称为均值。表达式为dttxTTTx)(1202lim 均方值均方值
8、x2描述了振动信号的平均能量或平均功描述了振动信号的平均能量或平均功率。均方值的正平方根率。均方值的正平方根 x称为均方根值或有效值。称为均方根值或有效值。(2)均方值均方值 在时间历程在时间历程T内，振动信号内，振动信号x(t)平方值的算平方值的算术平均值，称为均方值。表达式为术平均值，称为均方值。表达式为 2、自相关函数、自相关函数 振动信号的自相关函数是描述在一个振动信号的自相关函数是描述在一个t时刻的信号时刻的信号与另一个与另一个t+时刻的信号之间的依赖关系。表达式为时刻的信号之间的依赖关系。表达式为dtxtxTRTTxx)()()(lim01特点：特点：自相关函数自相关函数Rx值可正
9、可负，且在值可正可负，且在=0时，为最大时，为最大值值 Rxx(0)=x2 （均方值）（均方值）随机噪声的自相关函数为随机噪声的自相关函数为0，周期性分量的自相关函数不为零。周期性分量的自相关函数不为零。dttxTPT)(120 振动信号在单位带宽振动信号在单位带宽 f 内的平均功率称为内的平均功率称为自功率自功率谱密度函数谱密度函数Gxx(f)，即，即dtfftxTffGTTxx),(11)(20lim3、功率谱密度函数、功率谱密度函数 功率谱是用以表示振动信号在某频段的能量成功率谱是用以表示振动信号在某频段的能量成分，振动信号在时间历程分，振动信号在时间历程T内的平均功率为内的平均功率为d
10、eRfGjxxx)(21)(dfefGRfjxxxx221)()(，功率谱密度函数与自相关函数互为正、逆傅里叶功率谱密度函数与自相关函数互为正、逆傅里叶变换：变换：傅里叶变换对傅里叶变换对同理，振动信号的同理，振动信号的互功率谱密度函数互功率谱密度函数定义为：定义为：TTxydtfftyfftxTffG0),(),(11)(lim互谱密度函数一般是复数形式，即互谱密度函数一般是复数形式，即 )(j)()(fQfEfGxyxyxy实部实部Exy(f)称为共谱密度函数；称为共谱密度函数；虚部虚部Qxy(f)称为重谱密度函数。称为重谱密度函数。4、相干函数、相干函数 相干函数是一个在频域中描述两个振
11、动信号相相干函数是一个在频域中描述两个振动信号相关特性的函数。其定义为关特性的函数。其定义为)()()()(yyxxxyxyGGG22 如果在某个频域上如果在某个频域上xz2()=0，则，则x(t)和和y(t)在此频率在此频率上是不相干的；上是不相干的；如对所有频率的如对所有频率的xz2()=0 都成立，则都成立，则x(t)和和y(t)在在统计意义上是独立的。统计意义上是独立的。相干函数在工程上也有许多应用相干函数在工程上也有许多应用:检验互谱和传递函数测量的有效性，在相干函检验互谱和传递函数测量的有效性，在相干函数为数为1时，充分有效。时，充分有效。确定许多单独信号源对一给定测点信号的贡献确
12、定许多单独信号源对一给定测点信号的贡献大小，大小，2 越大，说明由越大，说明由x(t)引起的引起的y(t)的成分越大。的成分越大。2=1 表示表示y(t)全部由全部由x(t)引起。引起。2=0表示表示y(t)全部由噪声全部由噪声n(t)所引起。因而，可以用所引起。因而，可以用来分离噪声。来分离噪声。5、倒频谱分析、倒频谱分析 倒频谱定义为功率谱函数的对数倒频谱定义为功率谱函数的对数logGxx(f)的功的功率谱。若时间历程函数为率谱。若时间历程函数为x(t)，则倒功率谱为，则倒功率谱为dtfftxTffGTTxx),(11)(20lim22)(log)(dfefGCfjxxx 若利用功率谱密度
13、函数还不能把有关信号分析出若利用功率谱密度函数还不能把有关信号分析出来，则对功率谱密度函数再作一次谱分析，就能把有来，则对功率谱密度函数再作一次谱分析，就能把有关信号分离出来，这就是倒频谱分析。关信号分离出来，这就是倒频谱分析。某机器的齿轮箱修理前后的振幅谱有一定差别，某机器的齿轮箱修理前后的振幅谱有一定差别，但不突出，特性不明显。但倒频谱中可看到修理后，但不突出，特性不明显。但倒频谱中可看到修理后，振动信号大幅度地变小了。振动信号大幅度地变小了。修理前、后的振幅谱修理前、后的振幅谱 修理前、后的倒频谱修理前、后的倒频谱其中其中，an和和bn为傅里叶级数的系数，分别为为傅里叶级数的系数，分别为
14、1110222nnntnfbtnfaatx)sincos()(TnttnftxTa01d22cos)(TnttnftxTb01d22sin)(5.2 傅立叶变换傅立叶变换 复杂周期振动信号数据可按公式展开成傅复杂周期振动信号数据可按公式展开成傅里叶级数，如里叶级数，如.傅立叶系数傅立叶系数anbn如图所示如图所示 nanb傅里叶系数图傅里叶系数图 12 f根据欧拉公式根据欧拉公式tnfjtnfetnfi112221sincostnfjtnfetnfj112221sincos2211221tnfjtnfjeetnfcos2211221tnfjtnfjeetnfsin得得代入上式整理得代入上式整理
15、得 ntnfjenfXtx121)()(tetxTjbanfXTtnfjnnd120211)()(傅里叶变换对傅里叶变换对ntnfjenfXtx121)()(tetxTnfXTtnfjd10211)()(其中：其中：jenfXnfX)()(1122121nnbanfX)()(nnabarctg X(nf1)在正负频率上都有定义，只有在正频率上有在正负频率上都有定义，只有在正频率上有物理定义。物理定义。X(nf1)称为称为x(t)的傅里叶变换，是一个复数，因此的傅里叶变换，是一个复数，因此它也可以表示为它也可以表示为傅里叶变换对傅里叶变换对 如果如果x(t)不是周期函数，那么在时间不是周期函数，
16、那么在时间t的有限区的有限区间间t t0，t0+T内，傅立叶级数及傅立叶系数的公内，傅立叶级数及傅立叶系数的公式仍然成立：式仍然成立：它表明：在有限时间区间上一个复杂波可以它表明：在有限时间区间上一个复杂波可以分解成为无限个简谐波。分解成为无限个简谐波。Ttt00,ntnfjenfXtx121)()(dtetxTnfXTtttnfj001211)()(),(210n下面讨论非周期函数下面讨论非周期函数x(t)在无限时间区间在无限时间区间(-，+)的的分解。先考察有限区间分解。先考察有限区间-T/2，T/2。由复杂周期函数的。由复杂周期函数的傅立叶变换傅立叶变换ntnfjenfXtx121)()
17、(2,2TTtdtetxTnfXTTtnfj222111)()(),2,1,0(n 在傅立叶级数中在傅立叶级数中1/T就是基频就是基频f1，它也等于谱线间，它也等于谱线间隔大小隔大小 f，故有，故有 ffT 11Tnnf11 2 2、非周期函数的傅立叶变换、非周期函数的傅立叶变换代入上式代入上式tnfjnTTtnfjedtetxftx112222)()(当当T 时，时，fdf 对对nf1求和变成对求和变成对f积分。得积分。得dfedtetxtxftjftj22)()(dtetxfXftj 2)()(dfefXtxftj 2)()(此式称为傅立叶积分，要求满足绝对可积条件。此式称为傅立叶积分，要
18、求满足绝对可积条件。傅立叶积分可看作傅立叶级数的推广，是非周期函数傅立叶积分可看作傅立叶级数的推广，是非周期函数在无限区间上的分解，得到的频率分量是连续频谱。在无限区间上的分解，得到的频率分量是连续频谱。由此可得由此可得傅里叶变换对傅里叶变换对5.3 有限离散傅立叶变换有限离散傅立叶变换周期函数的傅里叶级数展开为周期函数的傅里叶级数展开为ntnfjenfXtx121)()(tetxTnfXTtnfjd)(1)(0211非周期函数的傅里叶积分为非周期函数的傅里叶积分为tetxfXftjd2)()(fefXtxftjd2)()(以上是对于连续函数的傅立叶变换以上是对于连续函数的傅立叶变换傅里叶变换
19、对傅里叶变换对傅里叶变换对傅里叶变换对 对于离散函数的傅立叶变换，只能在有限长对于离散函数的傅立叶变换，只能在有限长度上进行，设有限长度为原始信号的时间周期长度上进行，设有限长度为原始信号的时间周期长度为度为T，采样点数为，采样点数为N，则，则t=k t，采样时间间隔为采样时间间隔为 tT/N，采样频率为采样频率为fs=1/t，频率间隔为频率间隔为 f=1/T，fn=n f，fm=(N/2)f 因此，这种周期信号的计算，只需取时域一因此，这种周期信号的计算，只需取时域一个周期的个周期的N个抽样和频域一个周期的个抽样和频域一个周期的N个抽样。个抽样。102NnNnkjkefnXxtkx)()(1
20、021NkNknjnetkxNXfnX)()(则连续的周期函数的变换关系为：则连续的周期函数的变换关系为：ntnfjenfXtx121)()(tetxTnfXTtnfjd)()(02111则离散的周期函数的变换关系为：则离散的周期函数的变换关系为：tkt NTt ff 1Tf1 将将代入代入采样、离散后的计算结果示意图采样、离散后的计算结果示意图对于非周期信号对于非周期信号x(t)的傅里叶变换关系式为的傅里叶变换关系式为fefXtxftjd2)()(tetxfXftjd2)()(正变换和逆变换都是连续函数，但是，在计算处正变换和逆变换都是连续函数，但是，在计算处理时，当理时，当x(t)是周期函
21、数时，是周期函数时，T就是其周期，当就是其周期，当x(t)不是不是周期函数时，周期函数时，T就是截断的样本长度，其变换关系仍然就是截断的样本长度，其变换关系仍然为。为。102NnNnkjkefnXxtkx)()(1021NKNknjnetkxNXfnX)()(傅里叶变换对傅里叶变换对傅里叶变换对傅里叶变换对 傅立叶积分变换对的离散表达式与傅立叶级数傅立叶积分变换对的离散表达式与傅立叶级数的离散表达式相同。的离散表达式相同。从式中可以看出，若计算某一个频谱从式中可以看出，若计算某一个频谱Xn，则需，则需进行进行xk与与e-j2nk/N的的N次复数乘式运算和次复数乘式运算和N1次的复次的复数加法运
22、算。若将数加法运算。若将N个频谱全部计算完，则需：个频谱全部计算完，则需：复数乘法运算复数乘法运算N2次，次，复数加法运算复数加法运算N（N1）次。）次。若若N=1024（210），计算），计算2096128次复数运算。次复数运算。时间长，无法实时分析。时间长，无法实时分析。102NnNnkjkefnXxtkx)()(1021NKNknjnetkxNXfnX)()(.4 快速傅立叶变换（快速傅立叶变换（FFT）快速傅立叶变换法的基本思想是巧妙地利用复指数快速傅立叶变换法的基本思想是巧妙地利用复指数函数的周期性、对称性，充分利用中间运算结果，使函数的周期性、对称性，充分利用中间运算结果，使计算工
23、作量大大减少。计算工作量大大减少。步骤：步骤：对时域对时域xi进行分解。将一长时间序列分解成比较进行分解。将一长时间序列分解成比较短的子时间序列，子时间序列再继续分解成更小的子短的子时间序列，子时间序列再继续分解成更小的子时间序列，递推下去直到最后得到一个最简单的子时时间序列，递推下去直到最后得到一个最简单的子时间序列：一个数为止。间序列：一个数为止。l利用傅氏变换计算公式对最后得到的最简单的子利用傅氏变换计算公式对最后得到的最简单的子时间序列的进行傅里叶变换。时间序列的进行傅里叶变换。条件：条件：l为满足分解和组合的需要，时间序列的长为满足分解和组合的需要，时间序列的长度必须满足度必须满足N
24、=2P（P为整数）的关系。为整数）的关系。以以N=8为例，时间序列如图示，为例，时间序列如图示，时间序列的分解示意图时间序列的分解示意图l将各子时间序列的傅里叶变换结果按一定规则进行将各子时间序列的傅里叶变换结果按一定规则进行组合。最后便得到原时间序列的傅里叶变换结果。组合。最后便得到原时间序列的傅里叶变换结果。将原时间序列分解为两个子序列，偶数排成一将原时间序列分解为两个子序列，偶数排成一个序列，用个序列，用 yk 表示。奇数排成一个序列，用表示。奇数排成一个序列，用 zk 表示。两个子序列长度均为表示。两个子序列长度均为4。122kkkkxzxy 将两个子时间序列将两个子时间序列 yk 和
25、和 zk 进行傅立叶变换进行傅立叶变换得得 k=0,1,2,(N/2)122120120222121NnkjNKknNKNnkjknezNZeyNY n=0,1,2(N/2)1 为建立两个子时间序列的频谱与原时间序列频谱为建立两个子时间序列的频谱与原时间序列频谱之间的关系，现将原时间序列的傅立叶变换计算公之间的关系，现将原时间序列的傅立叶变换计算公式的偶数项和奇数项分开写出，则有式的偶数项和奇数项分开写出，则有 120221202221202221202211NKNknjNKkNnjNknjkNKNnjNkkjNKkNknjkezeeyNeezeyN )(1201221201222210211
26、NKNkkjNKkNknjkNKNnkjknexexNexNX)(将子时间序列代入得将子时间序列代入得nNnjnnZeYX 221 如果仅用如果仅用n=0，1，（，（N/2）1来计算来计算Xn的的全部值，并注意到全部值，并注意到 ,则有则有1je nNnjnNnZeYX2221n=0，1，2，（N/2）1n=0，1，2，（N/2）1复变量复变量W称为称为“旋转因子旋转因子”。将。将W代入上式得代入上式得NjeW 2nnnNnnnnnZWYXZWYX21212令令n=0,1,2,(N/2)1（a）同理，重复前面的方法，将同理，重复前面的方法，将 yk 和和 zk 再分成更短的再分成更短的子序列，
27、即子序列，即1/4子序列。依此类推，可得到子序列。依此类推，可得到1/8子序列，子序列，一直到，一直到1/2p子序列，对于子序列，对于N=2P的时间序列，则最的时间序列，则最后每个子序列只包含有一项，而单项的傅里叶变换就后每个子序列只包含有一项，而单项的傅里叶变换就等于它自己。即等于它自己。即N=1,K=0,n=0011001020111xxexNXiNKNknjk(b)将每一项最简子序列进行傅里叶变换，然后再将每一项最简子序列进行傅里叶变换，然后再进行组合，最后可得到原时间序列的傅里叶变换结进行组合，最后可得到原时间序列的傅里叶变换结果。因此，（果。因此，（a）、）、(b)式称为快速傅里叶变
28、换的基本式称为快速傅里叶变换的基本计算迭代公式，此计算方法称为计算迭代公式，此计算方法称为FFT算法。该法的算法。该法的复数计算次数只有复数计算次数只有 （乘法）（乘法）（加法）（加法）以以N=1024为例，原为为例，原为2096128次（两百多万次）。次（两百多万次）。现为现为15360次（一万五千多次），运算次数减少次（一万五千多次），运算次数减少（136倍）。倍）。NN2log2NN2log下面以下面以N=22的时序为例来说明快速傅里叶变的时序为例来说明快速傅里叶变换的计算过程，如图所示，原时间序列换的计算过程，如图所示，原时间序列 yk 经两次经两次分解后得到分解后得到4个单项子序列，
29、然后利用（个单项子序列，然后利用（b）式对单）式对单项子序列进行傅里叶变换，将其结果再利用（项子序列进行傅里叶变换，将其结果再利用（a）式）式进行两次组合，就得到了原时间序列的傅里叶变换进行两次组合，就得到了原时间序列的傅里叶变换结果。具体计算过程为结果。具体计算过程为2 N4 N2 N（2）两个）两个1/2子序列的傅里叶变换子序列的傅里叶变换1 2 1022 jeWNn;，1 211210 211211 211210 21121313111313010202101202000nxxxxZnxxxxZnxxxxYnxxxxY)()()()(（1）根据（）根据（b）式）式4个单项个单项1/4子序
30、列的傅里叶变换为子序列的傅里叶变换为 T0=x0U0=x2V0=x1Q0=x3即单个数值的傅里叶变换就是它本身。即单个数值的傅里叶变换就是它本身。根据式（根据式（a），得），得此时：此时：（3 3）原时序频谱计算）原时序频谱计算,4 321022NnjeeWjNj,/则有则有)()()(310200000212121 21xxjxxZWYX此时：此时：上述这种计算过程称为蝶形计算，可用蝶型交上述这种计算过程称为蝶形计算，可用蝶型交叉图来表示。叉图来表示。3=n 41212=n 41211=n 41210=n 412131201113312000023120111131200000)()()(x
31、xjxxZWYXxxxxZWYXxxjxxZWYXxxxxZWYX 每个蝶型有四个数据点，上面两个是参加计算的每个蝶型有四个数据点，上面两个是参加计算的数据，下面两个是计算的结果，箭头表示参加计算的数据，下面两个是计算的结果，箭头表示参加计算的数与结果之间的联系，蝶型的一边写上数与结果之间的联系，蝶型的一边写上“旋转因子旋转因子”数数W。不管。不管N有多长，其蝶型计算流程图是一样的。有多长，其蝶型计算流程图是一样的。蝶型交叉图蝶型交叉图1 21 121313111nxxxxZ)(3=n 41 2131201113)(xxjxxZWYXjeWj2/在蝶形计算中，数据是按它的奇偶位置来排列在蝶形计
32、算中，数据是按它的奇偶位置来排列的，每进行一次计算都要排列一次。以的，每进行一次计算都要排列一次。以N=16为例为例来说明排列情况，因为来说明排列情况，因为N=24，故共有，故共有4排，数据前排，数据前后共排列了后共排列了4次，排列情况如表所示。次，排列情况如表所示。表 N=16 时的数据排列情况 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 2 4 6 8 10 12 14 1 3 5 7 9 11 13 15 0 4 8 12 2 6 10 14 1 5 9 13 3 7 11 15 0 8 4 12 2 10 6 14 1 9 5 13 3 11 7 1
33、5 以上是针对时域离散化后所进行的快速傅立叶以上是针对时域离散化后所进行的快速傅立叶变换，对于傅立叶逆变换，同理可进行在频域离散变换，对于傅立叶逆变换，同理可进行在频域离散化的快速傅立叶逆变换。化的快速傅立叶逆变换。5.5 频率混淆与采样定理频率混淆与采样定理 离散信号傅里叶变换的优点：离散信号傅里叶变换的优点：l速度快，实时分析。速度快，实时分析。l频率分辨率、分析精度高。频率分辨率、分析精度高。l功能多，时域分析、频域分析、模态分析等。功能多，时域分析、频域分析、模态分析等。l使用方便，由专用的分析仪或计算机完成。使用方便，由专用的分析仪或计算机完成。问题：问题：l（1）无限长连续信号截断
34、的离散信号经傅里叶）无限长连续信号截断的离散信号经傅里叶变换后的结果是否相同变换后的结果是否相同?l（2）采样及截断后所产生的问题？）采样及截断后所产生的问题？要把连续模拟信号转换为离散数字信号，要把连续模拟信号转换为离散数字信号，需要对连续模拟信号的时间历程进行采样。采样需要对连续模拟信号的时间历程进行采样。采样就是将连续模拟信号转换成离散数字信号。并且就是将连续模拟信号转换成离散数字信号。并且保证离散后的信号能唯一确定原连续信号，即要保证离散后的信号能唯一确定原连续信号，即要求离散信号能恢复成原连续信号。求离散信号能恢复成原连续信号。1.采样定理采样定理 采样就是将连续模拟信号转换成离散数
35、字信采样就是将连续模拟信号转换成离散数字信号。但必须满足一定的条件，这个条件就是采样号。但必须满足一定的条件，这个条件就是采样定理：定理：采样频率采样频率fS必须大于被分析信号成份中最高频率必须大于被分析信号成份中最高频率fm值的两倍以上，即：值的两倍以上，即：离散信号才能在一定程度上代表原信号。离散信号才能在一定程度上代表原信号。msftf21 采样定理采样定理 采样定理采样定理原信号原信号 离散信号离散信号 t是采样时间间隔。是采样时间间隔。fm称为被分析信号的最大称为被分析信号的最大频率，一般由经验确定。频率，一般由经验确定。mft21msftf21 物理概念物理概念:为保证信号频率不变
36、，即唯一确定，则在为保证信号频率不变，即唯一确定，则在一个周期必须多于两个点。一个周期必须多于两个点。如果采样频率太低，采样点太少，在一个周期如果采样频率太低，采样点太少，在一个周期内少于两个点，以致不能复现原信号。就出现了虚内少于两个点，以致不能复现原信号。就出现了虚假的低频信号。称为频率混淆。假的低频信号。称为频率混淆。高、低频混淆现象高、低频混淆现象 例例1、设所分析信号的频率范围为、设所分析信号的频率范围为1HZ3kHZ，采用，采用电荷放大器。试确定其采样时间间隔和设置高、低电荷放大器。试确定其采样时间间隔和设置高、低频截断开关。频截断开关。解：（解：（1）由信号的最高分析频率）由信号
37、的最高分析频率3kHZ，根据采，根据采样定理式，得样定理式，得s 00016670300021.t st 160 （2）根据信号的区间范围，为达到除混淆的目）根据信号的区间范围，为达到除混淆的目的，电荷放大器的高、低频截断开关设置为的，电荷放大器的高、低频截断开关设置为:低频截低频截断开关置断开关置1HZ档；高频截断开关置档；高频截断开关置3kHZ档。档。取取例例2、设分析信号的振幅为、设分析信号的振幅为1.0毫米，频率为毫米，频率为fm=3HZ，采样频率为，采样频率为fs=5Hz。求：产生的高、低频混淆频率值，为防止产生高、求：产生的高、低频混淆频率值，为防止产生高、低频混淆现象应如何选取采
38、样频率低频混淆现象应如何选取采样频率?fs/22.5Hz为防止产生高、低频混淆现象应如何选取采样频率为防止产生高、低频混淆现象应如何选取采样频率高于高于2fm的频率。的频率。Hz02Hz52Hz3Hz52.).(.f解：由信号的最高频率解：由信号的最高频率3HZ，根据镜面频率折射，根据镜面频率折射原理，得高、低频混淆频率应为原理，得高、低频混淆频率应为折射点为折射点为 高、低频混淆频率示意图高、低频混淆频率示意图实测中不出现实测中不出现功率谱密度函数的混淆示意图功率谱密度函数的混淆示意图 这是功率谱密度函数的混淆示意图，混淆区域这是功率谱密度函数的混淆示意图，混淆区域的频谱将不是原来信号的真实
39、频谱，而产生了虚假的频谱将不是原来信号的真实频谱，而产生了虚假的频谱线。因此，在实测中应严加注意。的频谱线。因此，在实测中应严加注意。5.6 泄漏与窗函数泄漏与窗函数l数字信号分析对有限时间长度数字信号分析对有限时间长度T的离散时间序的离散时间序列进行离散傅里叶变换（列进行离散傅里叶变换（DFT）运算，这意味着）运算，这意味着首先要对时域信号进行截断。这种截断将导致频首先要对时域信号进行截断。这种截断将导致频谱分析出现误差，其效果是使得本来集中于某一谱分析出现误差，其效果是使得本来集中于某一频率的功率（或能量），部分被分散到该频率邻频率的功率（或能量），部分被分散到该频率邻近的频域，这种现象称
40、为近的频域，这种现象称为“泄漏泄漏”效应。效应。l以余弦信号以余弦信号x(t)=Acos(2 f0t)为例说明截断前后为例说明截断前后的频谱变化的泄漏效应。的频谱变化的泄漏效应。可看到当截断长度是周期长度可看到当截断长度是周期长度T时，时，周期延拓的虚拟无限长信号与原信号相同周期延拓的虚拟无限长信号与原信号相同，如图所示。，如图所示。当截断长度不是周期长度当截断长度不是周期长度T时，则周期延时，则周期延拓的虚拟无限长信号与原信号是不同的，如拓的虚拟无限长信号与原信号是不同的，如图所示。这样就造成了泄漏。图所示。这样就造成了泄漏。(b)截断长度不是周期长度时虚拟信号截断长度不是周期长度时虚拟信号
41、图图5-16 截断长度不是周期长度时的虚拟信号示意图截断长度不是周期长度时的虚拟信号示意图 a.有限时间长度有限时间长度T的离散时间序列信号被截断，的离散时间序列信号被截断，相当于原来的余弦信号乘以一个矩形窗函数。相当于原来的余弦信号乘以一个矩形窗函数。b.无限长度的余弦信号具有一个单一的频率成无限长度的余弦信号具有一个单一的频率成分，其单边谱是在分，其单边谱是在f0处的单根分布的离散的谱线。处的单根分布的离散的谱线。余弦信号被矩形窗余弦信号被矩形窗截断形成的泄漏截断形成的泄漏余弦信号被矩形窗余弦信号被矩形窗截断形成的泄漏截断形成的泄漏 c.矩形窗函数的频谱是包含一个主瓣和许多旁矩形窗函数的频
42、谱是包含一个主瓣和许多旁瓣的连续谱。瓣的连续谱。d.时域中余弦信号乘以矩形窗函数。频域中的时域中余弦信号乘以矩形窗函数。频域中的频谱等于原信号的频谱与窗函数频谱的卷积。频谱等于原信号的频谱与窗函数频谱的卷积。余弦信号被矩形窗余弦信号被矩形窗截断形成的泄漏截断形成的泄漏 e.卷积的结果将导致离散谱变为在卷积的结果将导致离散谱变为在f0处有一主处有一主瓣，两旁各有许多旁瓣的连续谱。瓣，两旁各有许多旁瓣的连续谱。f.这也就是说，原来集中在频率这也就是说，原来集中在频率f0处的功率，处的功率，泄漏到了泄漏到了f0邻近的很宽的频带上。邻近的很宽的频带上。泄漏示意图泄漏示意图 l为了抑制为了抑制“泄漏泄漏
43、”，需采用特种窗函数来替，需采用特种窗函数来替代矩形窗函数。这一过程，称为窗处理，或者叫代矩形窗函数。这一过程，称为窗处理，或者叫加窗。加窗。l就是认为创造一个周期函数，使原信号的数就是认为创造一个周期函数，使原信号的数字信息满足周期函数的定义。字信息满足周期函数的定义。l这样的周期函数在延拓过程中不出现跳跃现这样的周期函数在延拓过程中不出现跳跃现象的最容易办到的是两段为零的函数。这个过程象的最容易办到的是两段为零的函数。这个过程称为加窗。称为加窗。l加窗的目的，是使在时域上截断信号两端的加窗的目的，是使在时域上截断信号两端的波形突变变为平滑，在频域上尽量压低旁瓣的高波形突变变为平滑，在频域上
44、尽量压低旁瓣的高度。度。常用窗函数的时域常用窗函数的时域图象图象 在数字信号处理中常用的窗函数有：在数字信号处理中常用的窗函数有：矩形（矩形（Rectangular）窗）窗w(t)=1 0tT 汉宁（汉宁（Hanning）窗）窗 w(t)=0tTtT21 cos 凯塞凯塞贝塞尔（贝塞尔（kaiser-bessel）窗）窗 tTtTtTtw60030504244022411cos.cos.cos.0tT 平顶（平顶（Rectangular）窗）窗 tTtTtTtTtw80322063880492129311cos.cos.cos.cos.0tT常用窗函数的常用窗函数的时域图象时域图象常用窗函数的
45、频谱图常用窗函数的频谱图l在一般情况下，压低旁瓣通常伴随着主瓣的变宽，在一般情况下，压低旁瓣通常伴随着主瓣的变宽，但是旁瓣的泄漏是主要考虑因素，然后才考虑主瓣变但是旁瓣的泄漏是主要考虑因素，然后才考虑主瓣变宽的泄漏问题。宽的泄漏问题。为了保持加窗后的信号能量不变，要求窗函数为了保持加窗后的信号能量不变，要求窗函数曲线与时间坐标轴所包围的面积相等。对于矩型窗曲线与时间坐标轴所包围的面积相等。对于矩型窗，该面积为，该面积为T1，因此，对于任意窗函数，因此，对于任意窗函数W(t)，必，必需满足积分关系式需满足积分关系式TTdttw0)(窗函数的选用：窗函数的选用：随机信号，通常选用汉宁窗。因为它可以
46、在不太加随机信号，通常选用汉宁窗。因为它可以在不太加宽主瓣的情况下，较大地压低旁瓣的高度，从而有效宽主瓣的情况下，较大地压低旁瓣的高度，从而有效地减少了功率泄漏。地减少了功率泄漏。l周期信号或准周期信号，选用旁瓣极低的凯塞周期信号或准周期信号，选用旁瓣极低的凯塞贝贝塞尔窗或平顶窗。塞尔窗或平顶窗。l冲击过程和瞬态过程的测量，一般选用矩形窗。而冲击过程和瞬态过程的测量，一般选用矩形窗。而不宜用汉宁窗、凯塞不宜用汉宁窗、凯塞贝塞尔窗或平顶窗。贝塞尔窗或平顶窗。l通常将截短了的矩形窗应用于冲击过程中力的测量通常将截短了的矩形窗应用于冲击过程中力的测量（称为力窗）。（称为力窗）。l衰减振动信号，选用指
47、数衰减窗（称为指数窗）。衰减振动信号，选用指数衰减窗（称为指数窗）。宽带随机信号加汉宁窗宽带随机信号加汉宁窗前后的波形前后的波形简谐信号加平顶窗简谐信号加平顶窗前后的波形前后的波形 从频域看，窗函数的作用就象是模拟分析仪从频域看，窗函数的作用就象是模拟分析仪中的带通滤波器，窗函数的傅里叶频谱就相当于中的带通滤波器，窗函数的傅里叶频谱就相当于带通滤波器的滤波特性。带通滤波器的滤波特性。常用窗函数的栅栏效应常用窗函数的栅栏效应 N条谱线，就相当于条谱线，就相当于N个并联的恒带宽滤波器，它们的个并联的恒带宽滤波器，它们的中心频率各等于相应的频率采样中心频率各等于相应的频率采样kf(k=1,2,3.N
48、1)。如果。如果信号中某频率分量的频率信号中某频率分量的频率f，恰好等于，恰好等于Kf，即，即fi 恰好与显示恰好与显示或输出的频率采样完全重合，那么该谱线可给出精确的谱或输出的频率采样完全重合，那么该谱线可给出精确的谱值；反之，若值；反之，若fi 与频率采样不重合，就会得到偏小的谱值。与频率采样不重合，就会得到偏小的谱值。这种现象则称为这种现象则称为“栅栏效应栅栏效应”。常用窗函数的常用窗函数的栅栏效应栅栏效应 由此可知，由于频谱图中的曲线由由此可知，由于频谱图中的曲线由N条谱线组条谱线组成，若被测频率成，若被测频率f正好是在正好是在fk点，则测试数据没有偏点，则测试数据没有偏差，若被频率差
49、，若被频率f在在fk f fk+1之间，则存在误差，最大之间，则存在误差，最大误差处为误差处为 f=(fk+fk+1)/2点点。常用窗函数的常用窗函数的栅栏效应栅栏效应 四种常用的窗函数由于栅栏效应可能产生的最大偏度误四种常用的窗函数由于栅栏效应可能产生的最大偏度误差值为：差值为：矩形窗矩形窗_3.92dB或或36.3汉宁窗汉宁窗_1.42dB或或15.1 凯塞凯塞贝塞尔窗贝塞尔窗_1.02dB或或11.1平顶窗平顶窗_0.01dB或或0.1常用窗函数的常用窗函数的栅栏效应栅栏效应例题：已知：例题：已知：mm（）、若（）、若f0=50.51 Hz，采样频率为，采样频率为256.0 Hz，N25
50、6点，经点，经FFT计算的幅频曲线的测试结果频率计算的幅频曲线的测试结果频率应为应为 Hz，若采样频率为，若采样频率为64.0 Hz，测试结果的频，测试结果的频率应为率应为 Hz？（画出幅频曲线示意图）。？（画出幅频曲线示意图）。（）若（）若f0=50.26Hz，若采样频率为，若采样频率为256 Hz，N512点。采样的时间间隔点。采样的时间间隔 t=，傅里叶变，傅里叶变换后在幅频曲线中的频率间隔换后在幅频曲线中的频率间隔 f ，若加矩，若加矩形窗振幅为形窗振幅为 ，频率为，频率为 ，若加平顶窗，若加平顶窗振幅为振幅为 ，频率为，频率为 ，在此例中频率，在此例中频率的最大误差是的最大误差是 H
