1、7.1压杆稳定的概念工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。在前面讨论轴向受压杆强度问题时,认为只要压杆截面上的压应力不超过材料的抗压容许应力,就能*第7章压 杆 稳 定保证杆件正常工作。实验证明,这个结论只适用于较短的压杆。工程实践表明,对于细长压杆,在轴向压力作用下,在杆内的应力并没达到材料的极限应力时,压杆就可能改变原有直线形式的平衡而突然变弯,从而丧失承载能力。所谓压杆稳定,实质上是指受压杆件保持直线形状平衡状态的稳定性。现以理想轴心压杆为例,说明压杆稳定性的概念。所谓理想轴心压杆是指由匀质材料制成、轴线是直线、压力的作用线与压杆的轴线重合的压杆。如图7-1所示图7-17.2临界力和临界应
2、力7.2.1细长压杆临界力计算公式欧拉公式由上节的学习可知,只要作用在压杆上的压力FFcr,压杆就会丧失稳定,所以压杆稳定性计算的关键是确定临界力。由欧拉公式可以看出,细长压杆临界力Fcr与压杆的抗弯刚度成正比,而与杆长成反比,还与压杆两端的支承情况有关。临界力Fcr除以压杆的横截面面积A,即为临界应力,用cr表示7.2.2临界应力计算压杆临界应力的欧拉公式中,称为压杆的柔度或长细比,它是稳定计算 中 的 一 个 重 要 的 物 理 量。柔 度 与 i、l 有 关,而 i 值 取 决于压杆的截面形状与尺寸,值取决于压杆两端的支承情况。因此,从物理意义上看,综合反映了压杆的长度、截面形状与尺寸以
3、及压杆两端支承情况对临界应力的影响。7.2.3欧拉公式的适用范围前已述及,欧拉公式是在材料满足胡克定律的前提下推导出的,因此欧拉公式的适用范围是压杆的临界应力cr不超过材料的比例极限p,即crp式(7-3)中,p为压杆的临界应力cr等于材料比例极限p时的柔度值,则欧拉公式的适用范围为p(7-4)式(7-3)表明,当压杆的柔度大于或等于p时,才可应用欧拉公式计算临界力和临界应力。这类压杆称为大柔度杆或细长杆,即欧拉公式只适用于大柔度杆。料比例极限p。当压杆的临界应力cr超过材料比例极限p时,欧拉公式不再适用。对这类压杆多采用经验公式计算临界力和临界应力,我国多采用如下的直线经验公式,其表达式为c
4、r=a-b(7-5)式中a、b与材料有关的常数,其值见表7-2。1.中长压杆的临界力计算经验公式7.2.4中长压杆临界力计算上面已说明,欧拉公式只适用于大柔度杆,即压杆的临界应力cr不超过材和欧拉公式一样,经验公式(7-5)也有它的适用范围,它要求临界应力不超过材料的受压极限应力。这是因为当临界应力达到材料的受压极限应力时,压杆已因为强度不足而破坏。因此,对于由塑性材料制成的压杆,其临界应力不允许超过材料的屈服应力s,即cr=a-bs由上式得=s(7-6)式(7-6)中,s为压杆的临界应力cr等于材料屈服应力s时的柔度值,它也是一个仅与材料性质有关的常数。则直线经验公式的适用范围为ps计算时,
5、一般把柔度值介于s与p之间的压杆称为中长杆或中柔度杆,而把柔度小于s的压杆称为短粗杆或小柔度杆。对于柔度小于s的短粗杆或小柔度杆,一般不会发生失稳,其破坏是因为材料的抗压强度不足而造成的,即属于强度问题。如果将这类压杆也按照稳定问题进行处理,则对塑性材料制成的压杆来说,可取临界应力cr=s。2.临界应力总图综上所述,压杆按照其柔度的不同,可以分为三类,并分别由不同的计算公式计算其临界应力。当p时,压杆为细长杆(大柔度杆),其临界应力用欧拉公式(7-2)来计算;当ps时,压杆为中长杆(中柔度杆),其临界应力用经验公式(7-5)来计算;当s时,压杆为短粗杆(小柔度杆),其临界应力等于杆受压时的极限
6、应力。如果把压杆的临界应力根据其柔度不同而分别计算的情况,用一个简图来表示,该图形就称为压杆的临界应力总图。图7-3即为某塑性材料的临界应力总图。7.3压杆稳定的计算当压杆中的应力达到其临界应力时,压杆将要丧失稳定,因此正常工作情况下的压杆,其横截面上的正应力应小于临界应力。在工程中,为了保证压杆具有足够的稳定性,还必须考虑一定的安全储备,这就要求横截面上的应力不能超过压杆的容许临界应力值cr,即cr(7-7)式(7-7)即为压杆需满足的稳定条件。因为压杆的临界应力总是随柔度而改变,柔度越大,临界应力越小,所以在对压杆进行稳定计算时,为了使用上的方便,将容许临界应力表示为材料的抗压强度许用应力
7、乘以一个随柔度而变化的系数,称为折减系数。仅取决于柔度值的大小,且值小于1,则稳定条件如下：(7-8)式(7-8)即为满足压杆稳定条件的实用计算方法。与强度条件类似,应用式(7-8)可以解决压杆稳定的以下三类问题:(1)稳定校核即当压杆的几何尺寸、所用材料、支承情况及压力F均为已知时,校核其是否满足稳定条件。(2)求稳定容许荷载即当压杆的几何尺寸、所用材料及其支承情况已知时,按稳定条件计算容许荷载值F。(3)选择截面即当杆的长度、所用材料、支承情况及荷载已知时,按稳定条件选择杆的截面尺寸。要提高压杆的稳定性,关键在于提高压杆的临界力或临界应力,所以提高压杆稳定性的措施应从影响压杆临界力的各种因
8、素去考虑。从前面的讨论得知,影响压杆临界应力的主要因素是柔度。临界应力与压杆的柔度的平方成反比,柔度值越小,临界应力cr值越大,压杆稳定性就越好。而柔度取决于压杆的长度、截面形状和尺寸以及支承条件。因此,要提高压杆的稳定性,应从以下几个方面考虑:7.4提高压杆稳定性的措施由欧拉公式可知,大柔度杆的临界应力与材料的弹性模量成正比,所以选择弹性模量较高的材料,就可以提高大柔度杆的临界应力,也就提高了其稳定性。2.选择合理的截面形状增大截面的惯性矩,可以增大截面的惯性半径,降低压杆的柔度,从而提高压杆的稳定性。在压杆的横截面面积相同的条件下,应尽可能使材料远离截面形心轴,以取得较大的惯性矩,从这个角度出发,空心截面要比实心1.合理选择材料截面合理,如图7-6所示。在工程实际中,若压杆的截面是用两根槽钢组成的,则应采用如图7-7所示的布置方式,可以取得较大的惯性矩或惯性半径。3.改善约束条件、减小压杆长度根据欧拉公式可知,压杆的临界力与其计算长度的平方成反比,而压杆的计算长度又与其约束条件有关。因此,改善约束条件,可以减小压杆的长度系数和计算长度,从而增大临界力。在相同条件下,从表7-1可知,自由支座最不利,铰支座次之,固定支座最有利。减小压杆长度的另一个方法是在压杆的中间增加支承,把一根压杆的计算长度减小。
