1、第九节第九节 连续函数的运算与连续函数的运算与初等函数的连续性初等函数的连续性一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结四、小结一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx二、反函数与复合函数的连续性二、
2、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1,1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1,1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若意
3、义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(.2的的理理论论依依据据变变量量代代换换xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求.1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解例例2 2.1lim0 xexx 求求.1)1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则.0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx .)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfy
4、uuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,),0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.),0()0,(1sin内连续内连续在在 xy三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1,0(aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1,0(log aaxya对数函数对数函数;),0(内单调且连续内单调且连续在在定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.xy xaa
5、log ,uay .log xua ,),0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,1cos xy,4,2,0:xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy,1,0:xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.),1上连续上连续函数在区间函
6、数在区间注意注意注意注意2.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.例例3 3.1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式.1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20.0)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx四、小结四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理;两点意义两
7、点意义.反函数的连续性反函数的连续性.一、一、填空题：填空题：1 1、43lim20 xxx_.2 2、xxx11lim0_.3 3、)2cos2ln(lim6xx _._.4 4、xxx24tancos22lim _.5 5、tett1lim2_.6 6、设、设,0,0,)(xxaxexfx 当当 a_时，时，)(xf在在 ),(上连续上连续.练练 习习 题题7 7、函数函数61)(24 xxxxxf的连续区间为的连续区间为 _._.8 8、设设 时时当当时时当当1,11,2cos)(xxxxxf确定确定 )(lim21xfx_;)(lim1xfx_._.二、二、计算下列各极限：计算下列各极限：1 1、axaxax sinsinlim；2 2、xxxcot20)tan31(lim；3 3、1)1232(lim xxxx；三、三、设设 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知已知)(xf在在 0 x处连续，试确处连续，试确 定定a和和b的值的值.一、一、1 1、2 2；2 2、21；3 3、0 0；4 4、0 0；5 5、)11(212 e；6 6、1 1；7 7、),2(),2,3(),3,(；8 8、22,0,0,不存在不存在.二、二、1 1、acos；2 2、1 1；3 3；21e.三、三、eba ,1.练习题答案练习题答案
