1、2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量引言引言n纯量阵纯量阵 l lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(l lEn)An=An(l lEn)=l lAn n矩阵乘法一般不满足交换律，即矩阵乘法一般不满足交换律，即AB BA n数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即l l(AB)=(l lA)B=A(l lB)nAx=l l x?例：例：34003422,123002311l l 一、基本概念一、基本概念定义：定义：设设 A 是是 n 阶矩阵，如果数阶矩阵，如果数 l l 和和 n 维维非零向量非零向量 x 满足满
2、足Ax=l l x，那么这样的数那么这样的数 l l 称为矩阵称为矩阵 A 的的特征值特征值，非零向量，非零向量 x 称为称为 A 对应于特征值对应于特征值 l l 的的特征向量特征向量例：例：则则 l l=1 为为 的特征值，的特征值，为对应于为对应于l l=1 的特征向量的特征向量.342212311 3423 21 一、基本概念一、基本概念定义：定义：设设 A 是是 n 阶矩阵，如果数阶矩阵，如果数 l l 和和 n 维维非零向量非零向量 x 满足满足Ax=l l x，那么这样的数那么这样的数 l l 称为矩阵称为矩阵 A 的的特征值特征值，非零向量，非零向量 x 称为称为 A 对应于特
3、征值对应于特征值 l l 的的特征向量特征向量Ax=l l x=l lE x 非零向量非零向量 x 满足满足(Al lE)x=0（零向量）（零向量）齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解系数行列式系数行列式|Al lE|=0特征方程特征方程特征多项式特征多项式n特征方程特征方程|Al lE|=0n特征多项式特征多项式|Al lE|111212122212|0nnnnnnaaaaaaAEaaal ll ll ll l 二、基本性质二、基本性质n在复数范围内在复数范围内 n 阶矩阵阶矩阵 A 有有 n 个特征值（重根按重数计个特征值（重根按重数计算）算）n设设 n 阶矩阵阶矩阵 A 的特征值
4、为的特征值为 l l1,l l2,l ln，则，则l l1+l l2+l ln=a11+a22+ann l l1 l l2 l ln=|A|例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=2，l l2=4 当当 l l1=2 时，时，对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 3113A 2231|(3)186(4)(2)13AEl llllllllllllll l1231012302xx 12110110 xx 111p k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应
5、的特征向量例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=2，l l2=4 当当 l l2=4 时，时，对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 3113A 2231|(3)186(4)(2)13AEl llllllllllllll l1231014304xx 12110110 xx 211p k p2（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：所以所以 A 的特征值为的特征值为 l l1=1，l
6、l2=l l3=2 211020413A 2221121020(2)43413(2)(2)(1)(2)AEl ll llllllll ll lllllllllll 例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 l l1=1 时，因为时，因为解方程组解方程组(A+E)x=0解得基础解系解得基础解系 211020413A 1111101030 010414000rAEAEl l 1101p k p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 l l2=l l3=2 时，因为时
7、，因为解方程组解方程组(A2E)x=0解得基础解系解得基础解系 k2 p2+k3 p3（k2,k3 不同时为零）不同时为零）就是对应的特征向量就是对应的特征向量211020413A 4114112000 000411000rAE 23100,141pp 二、基本性质二、基本性质n在复数范围内在复数范围内 n 阶矩阵阶矩阵 A 有有 n 个特征值（重根按重数计个特征值（重根按重数计算）算）n设设 n 阶矩阵阶矩阵 A 的特征值为的特征值为 l l1,l l2,l ln，则，则l l1+l l2+l ln=a11+a22+ann l l1 l l2 l ln=|A|n若若 l l 是是 A 的一个
8、特征值，则齐次线性方程组的基础解系的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为就是对应于特征值为 l l 的全体特征向量的最大无关组的全体特征向量的最大无关组例：例：设设 l l 是方阵是方阵 A 的特征值，证明的特征值，证明(1)l l2 是是 A2 的特征值；的特征值；(2)当当 A 可逆时，可逆时，1/l l 是是 A1 的特征值的特征值结论：结论：若非零向量若非零向量 p 是是 A 对应于特征值对应于特征值 l l 的特征向量，则的特征向量，则pl l2 是是 A2 的特征值，对应的特征向量也是的特征值，对应的特征向量也是 p pl lk 是是 Ak 的特征值，对应的特征
9、向量也是的特征值，对应的特征向量也是 p p当当 A 可逆时，可逆时，1/l l 是是 A1 的特征值，对应的特征向量仍然的特征值，对应的特征向量仍然是是 p 二、基本性质二、基本性质n在复数范围内在复数范围内 n 阶矩阵阶矩阵 A 有有n 个特征值（重根按重数计个特征值（重根按重数计算）算）n设设 n 阶矩阵阶矩阵 A 的特征值为的特征值为 l l1,l l2,l ln，则，则l l1+l l2+l ln=a11+a22+ann l l1 l l2 l ln=|A|n若若 l l 是是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为就是
10、对应于特征值为 l l 的全体特征向量的最大无关组的全体特征向量的最大无关组n若若 l l 是是 A 的一个特征值，则的一个特征值，则 j j (l l)=a0+a1 l l+am l l m是矩阵多项式是矩阵多项式 j j (A)=a0+a1 A+am A m 的特征值的特征值例：例：设设3 阶方阵阶方阵 A 的特征值为的特征值为1,1,2，求，求A*+3A2E 的特征值的特征值解：解：A*+3A2E=|A|A1+3A2E=2A1+3A2E=j j (A)其中其中|A|=1(1)2=2 设设 l l 是是 A 的一个特征值，的一个特征值，p 是对应的特征向量令是对应的特征向量令则则2()32
11、j llj lll l 11()(232)2()3()2223232()A pAAE pA pApppppppj jllj lllj lllll 定理：定理：设设 l l1,l l2,l lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果l l1,l l2,l lm 各不相同，则各不相同，则p1,p2,pm 线性无关线性无关例：例：设设 l l1 和和 l l2 是方阵是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为向量依次为 p1 和和 p2，证明证明 p1+p2不是不是 A 的特征向量的特征向量
