1、第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三三章 一、一、函数单调性的判定法函数单调性的判定法若定理定理 1.设函数)(xf0)(xf则 在 I 内单调递增)(xf,)0)(xf(递减).证证:无妨设,0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故.)()(21xfxf这说明 在 I 内单调递增.)(xf在开区间 I 内可导,证毕例例1.确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(x
2、f得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故)(xf的单调增单调增区间为,)1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1(12xoy12yxo说明说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 例例2.证明20 x时,成立不等式.2sinxx证证:令,2sin)(xxxf,2,0()(上连续在则xf，上可导在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtan
3、x0,)2,0()(内单调递减在因此xf从而2,0(,2sinxxx0)2()(fxf,2)(处左连续在又xf因此且证证证明0tanxx令,tan)(xxx则xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上递减在x从而0)0()(x即),0(,0tan2xxx例3 证明：当x1时，xx132 AB定义定义.设函数)(xf在区间 I 上连续,21Ixx(1)若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凹凹的;(2)若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf连续曲线凹凸分界点称为拐点拐点.图形是凸凸的.yox2x1x221xx yox1x221
4、xx 2xyox二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点定理定理2.(凹凸判定法)(xf(1)在 I 内,0)(xf则 在 I 内图形是凹的;)(xf(2)在 I 内,0)(xf则 在 I 内图形是凸的.)(xf设函数在区间I 上有二阶导数例例4.判断曲线4xy 的凹凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x,0 y故曲线4xy 在),(上是向上凹的.说明说明:1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy,0连续在点x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 两侧异号异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的
5、一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,xyo例例5.求曲线3xy 的拐点.解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点(0,0)为曲线3xy 的拐点.oxy凹凸xxy24362)(3632xx例例6.求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点.解解:1)求y,121223xxy2)求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx对应3)列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸,点(0,1)及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32)1,0(),(271132内容小结内容小结1.可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点 连续曲线的凹凸分界点 .),(21)1,(2121e1.曲线21xey的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:)21(222xeyx),(2121),(21及及yox)1,(2121e)1,(2121e ;
