1、转化 可分离变量微分方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)()(22分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y(x)是方程的解,xxfxxxgd)(d)()(两边积分,得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式)(yG)(xF当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x)是的解.则有称为方程的隐式通解.同样,当F(x)=f(x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y)也是的解.例例1.求
2、微分方程yxxy23dd的通解.解解:分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令(C 为任意常数)或例例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C=1,112xy(C 为任意常数)故所求特解为 1)0(y例例3.求下述微分方程的通解:)1(sin2yxy解解:令,1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx)1tan(C 为任意常数)所求通解:练习练习:.dd的通解求方程yxexy解
3、解 分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe(C 0 )例例4.子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律.解解:根据题意,有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量,MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始条件,得0MC 故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分:td)(已知 t=0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原例例5.成正比,求解解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分:得Cmtvkgmk)(ln1)0(vkgm此处利用初始条件,得)(l
4、n1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)1(tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系.kmgv t 足够大时内容小结内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解 y=x 及 y=C (1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1)根据几何关系列方程2)根据物理规律列方程3)根据微量分析平衡关系列方程(如:例6)(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤思考与练习思考与练习 求下列方程的通解:0d)(d)()1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1)分离变量(2)方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln
