1、第五章第五章相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性向量的内积向量的内积定义：定义：设有设有n 维向量维向量令令 x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn，则称则称 x,y 为向量为向量 x 和和 y 的的内积内积说明：说明：n内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数n内积可用矩阵乘法表示：当内积可用矩阵乘法表示：当x 和和 y 都是都是列向量列向量时，时，x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y 1122,nnxyxyxyxy定义：定义：设有设有 n 维向量维向量令令则称则称 x,y
2、 为向量为向量 x 和和 y 的的内积内积1122,nnx yx yx yx y 向量的内积向量的内积1122,nnxyxyxyxy 1212,nnyyxxxy Tx y x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中内积具有下列性质（其中 x,y,z 为为 n 维向量，维向量，l l 为实数）：为实数）：l对称性：对称性：x,y=y,xl线性性质：线性性质：l l x,y=l lx,y x+y,z=x,z+y,z l当当 x=0（零向量）（零向量）时，时，x,x=0；当当 x 0（零向量）（零向量）时，时，x,x 0l施瓦兹（施瓦兹（Schwarz）不等式）不等式
3、x,y2 x,x y,y11221122,nnnnx yx yx yx yy xy xy xy x x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中内积具有下列性质（其中 x,y,z 为为 n 维向量，维向量，l l 为实数）：为实数）：l对称性：对称性：x,y=y,xx,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中内积具有下列性质（其中 x,y,z 为为 n 维向量，维向量，l l 为实数）：为实数）：l对称性：对称性：x,y=y,xl线性性质：线性性质：l l x,y=l lx,y x+y,z=x,z+y,z,()(),TTTx yxyx
4、yx yx yllllllllll,()()()(),TTTTTxy zxyzxyzx zy zx zy zx,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中内积具有下列性质（其中 x,y,z 为为 n 维向量，维向量，l l 为实数）：为实数）：l对称性：对称性：x,y=y,xl线性性质：线性性质：l l x,y=l lx,y x+y,z=x,z+y,z l当当 x=0（零向量）（零向量）时，时，x,x=0；当当 x 0（零向量）（零向量）时，时，x,x 0 x,x=x12+x22+xn2 0 x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有下列性质（其中
5、内积具有下列性质（其中 x,y,z 为为 n 维向量，维向量，l l 为实数）：为实数）：l对称性：对称性：x,y=y,xl线性性质：线性性质：l l x,y=l lx,y x+y,z=x,z+y,z l当当 x=0（零向量）（零向量）时，时，x,x=0；当当 x 0（零向量）（零向量）时，时，x,x 0l施瓦兹（施瓦兹（Schwarz）不等式）不等式x,y2 x,x y,y回顾：线段的长度回顾：线段的长度2212|,OPxxx xx1x2x1x2x3P(x1,x2)OPO若令若令 x=(x1,x2)T，则，则222123|,OPxxxx x若令若令 x=(x1,x2,x3)T，则，则x,x=
6、x12+x22+xn2 0 2,xxxxx xx xlllll lllllll ll向量的长度向量的长度定义：定义：令令称称|x|为为 n 维向量维向量 x 的的长度长度（或（或范数范数）当当|x|=1时，称时，称 x 为为单位向量单位向量向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：n非负性：非负性：当当 x=0（零向量）（零向量）时，时，|x|=0；当当 x0（零向量）（零向量）时，时，|x|0n齐次性：齐次性：|l l x|=|l l|x|22212|,0nx xxxxx2|,|,|xxxx xx xxlllllllll ll l向量的长度向量的长度定义：定义：令令称称|x|为为 n
7、维向量维向量 x 的的长度长度（或（或范数范数）当当|x|=1时，称时，称 x 为为单位向量单位向量向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：n非负性：非负性：当当 x=0（零向量）（零向量）时，时，|x|=0；当当 x 0（零向量）（零向量）时，时，|x|0n齐次性：齐次性：|l l x|=|l l|x|n三角不等式：三角不等式：|x+y|x|+|y|22212|,|nx xxxxxxyx+yy向量的正交性向量的正交性施瓦兹（施瓦兹（Schwarz）不等式）不等式x,y2 x,x y,y=|x|y|当当 x 0 且且 y 0 时，时，定义：定义：当当 x 0 且且 y 0 时，把时，把
8、称为称为 n 维向量维向量 x 和和 y 的的夹角夹角当当 x,y=0，称向量，称向量 x 和和 y 正交正交结论：结论：若若 x=0，则，则 x 与任何向量都正交与任何向量都正交,arccos|x yxy ,1|x yxy xy 定义：定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组正交向量组定理：定理：若若 n 维向量维向量a1,a2,ar 是一组两两正交的非零向量，是一组两两正交的非零向量，则则 a1,a2,ar 线性无关线性无关证明：证明：设设 k1a1+k2a2+kr ar=0（零向量）（零向量），那么，那么 0=a1,0=a1,k1a1+k2a2
9、+kr ar =k1 a1,a1+k2 a1,a2+kr a1,ar =k1 a1,a1+0+0 =k1|a1|2从而从而 k1=0同理可证，同理可证，k2=k3=kr=0综上所述，综上所述，a1,a2,ar 线性无关线性无关例：例：已知已知3 维向量空间维向量空间R3中两个向量中两个向量 正交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向量a3，使，使a1,a2,a3 两两正交两两正交分析：分析：显然显然a1a2 解：解：设设a3=(x1,x2,x3)T，若，若a1a3，a2a3，则，则 a1,a3=a1T a3=x1+x2+x3=0 a2,a3=a2T a3=x1 2 x2+x3=012111,2
10、11aa 12311101210 xAxxx 12311101210 xAxxx 111111111101121030010010rrr得得从而有基础解系从而有基础解系 ，令，令 1320 xxx 101 3101a 定义：定义：n 维向量维向量e1,e2,er 是向量空间是向量空间 中的向量，中的向量，满足满足 e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）；中的一个基（最大无关组）；e1,e2,er 两两正交；两两正交；e1,e2,er 都是单位向量，都是单位向量，则称则称 e1,e2,er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基例：例：是是 R4 的一个规范正交基
11、的一个规范正交基nVR 123410000100,00100001eeee 也是也是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基1234001212001212,121200001212eeee 123411110111,00110001eeee 是是 R4 的一个基，但不是规范正交基的一个基，但不是规范正交基设设 e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，则，则V 中任意一中任意一个向量可唯一表示为个向量可唯一表示为 x=l l1e1+l l2e2+l lrer于是于是特别地，若特别地，若 e1,e2,er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基，则，则问题：问
12、题：向量空间向量空间 V 中的一个基中的一个基 a1,a2,ar 向量空间向量空间 V 中的一个规范正交基中的一个规范正交基 e1,e2,er2,1,2,|iiiiiix ex eire eel l,1,2,iix eirl l求规范正交基的方法求规范正交基的方法第一步：正交化第一步：正交化施密特（施密特（Schimidt）正交化过程）正交化过程设设 a1,a2,ar 是向量空间是向量空间 V 中的一个基，那么令中的一个基，那么令11ba a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3122222111,b abacabb b3333313213233121122,bacaccb ab aabb
13、b bb b基基正交基正交基规范正交基规范正交基b1c2a2b2返回返回令令 c2 为为 a2 在在 b1 上的投影，则上的投影，则 c2=l l b1，若令若令 b2=a2 c2=a2 l l b1，则，则 b1b2 下面确定下面确定l l 的值因为的值因为所以所以 ，从而，从而2121121110,b bab ba bb bllll2111,a bb bl l 12222212111,b abacababb bl la2b1 第一步：正交化第一步：正交化施密特（施密特（Schimidt）正交化过程）正交化过程设设 a1,a2,ar 是向量空间是向量空间 V 中的一个基，那么令中的一个基，那
14、么令于是于是 b1,b2,br 两两正交，并且与两两正交，并且与a1,a2,ar 等价，即等价，即 b1,b2,br 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基特别地，特别地，b1,bk 与与a1,ak 等价（等价（1 k r）121112212111,rrrrrrrrrb ab abab bb bbabbbbb 11ba 122222111,b abacabb b第二步：单位化第二步：单位化设设 b1,b2,br 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，那么令，那么令因为因为从而从而 e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个规范正交基规范正交基
15、112212111,|rrrebebebbbb21111111221111|111,1|be ebbb bbbbb111|,1ee e例：例：设设 ，试用施密特正交化，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第一步正交化，取第一步正交化，取1231142,3,1110aaa 111222111132333121122111,45321,631114111,151212 0,330111bab ababb bb ab ababbb bb b 例：例：设设 ，试用施密特正交化，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第二步单位化，令第
16、二步单位化，令1231142,3,1110aaa 1112223331112|611111|311110|21ebbebbebb 例：例：已知已知 ，试求非零向量，试求非零向量a2,a3，使，使a1,a2,a3 两两正交两两正交.解：解：若若a1a2，a1a3，则，则 a1,a2=a1T a2=x1+x2+x3=0 a1,a3=a1T a3=x1+x2+x3=0即即a2,a3 应满足方程应满足方程 x1+x2+x3=0 基础解系为基础解系为把基础解系正交化即为所求把基础解系正交化即为所求1111a 12100,111231110,2211aa（以保证（以保证 a2a3 成立）成立）定义：定义：
17、如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 ATA=E，则称矩阵则称矩阵 A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 即即 A1=AT，于是于是从而可得从而可得n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交量，且两两正交1,(,1,2,)0,Tijijija aa ai jnij 即即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基 1111212212221212100010,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnaa aa aa aaa aa aa aA Aa aaaa aa aa a定义
18、：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA=E，即即 A1=AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基.因为因为ATA=E 与与AAT=E 等价，所以等价，所以1,(,1,2,)0,Tijijijb bb bi jnij 1111212212221212100010,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnbb bb bb bbb bb bb bA
19、Ab bbbb bb bb b定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA=E，即即 A1=AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基n方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的行向量行向量都是单位向都是单位向量，且两两正交量，且两两正交 即即 A 的的行向量组行向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基.121200121
20、200001212001212P 例：例：正交矩阵正交矩阵R4 的一个规范正交基的一个规范正交基1234001212001212,121200001212eeee|()()|TTTTTyy yPxPxx P Pxx xx正交矩阵具有下列性质：正交矩阵具有下列性质：若若 A 是正交阵，则是正交阵，则 A1 也是正交阵，且也是正交阵，且|A|=1 或或1 若若 A 和和B是正交阵，则是正交阵，则 A 和和 B 也是正交阵也是正交阵定义：定义：若若 P 是正交阵，则线性变换是正交阵，则线性变换 y=Px 称为称为正交变换正交变换经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保经过正交变换，线段的
21、长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这就是正交变换的优良特性持不变），这就是正交变换的优良特性表示一个从变量表示一个从变量 到变量到变量 线性变换，线性变换，其中其中 为常数为常数.n 个变量个变量 与与 m 个变量个变量 之间的之间的关系式关系式12,myyy11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax ija12,nxxx12,myyy12,nxxx11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 系数矩阵系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.返回返回
