1、昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding1 钢球作抛落运动下的运动学钢球作抛落运动下的运动学 钢球运动轨迹和转速率与装球率的关系钢球运动轨迹和转速率与装球率的关系 钢球抛落运动理论的应用钢球抛落运动理论的应用 磨矿机的功率磨矿机的功率本讲主要内容昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding2 磨矿作用是靠磨内介质的运动来完成的，因此，要研究磨机的磨矿作用，首先必须研究磨内介质的运动情况。弄清磨矿介质的运动规律，就能据此而调节密矿作用。一、钢球作抛落运动的运动学昆明理工
2、大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding3)戴维斯拍摄磨机内钢球运动的照片说明，如果磨内只有钢球和水时，钢戴维斯拍摄磨机内钢球运动的照片说明，如果磨内只有钢球和水时，钢球会产生向下滑动，而且下滑现象很明显，钢球不能上升到理论上它应该达球会产生向下滑动，而且下滑现象很明显，钢球不能上升到理论上它应该达到的高度，如果加入砂子，钢球的滑动现象即消除。有的试验指出，当磨内到的高度，如果加入砂子，钢球的滑动现象即消除。有的试验指出，当磨内只有钢球不加水及矿石时，球荷为只有钢球不加水及矿石时，球荷为10%10%、20%20%、30%30%时钢球都有
3、滑动现象，但时钢球都有滑动现象，但球荷在球荷在40%40%以上，滑动即停止。以上，滑动即停止。昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding4钢球在离心状态下是不产生磨矿作用的，故应该避免离心状钢球在离心状态下是不产生磨矿作用的，故应该避免离心状态的出现，这就要研究使钢球发生离心的最小转速或使钢球态的出现，这就要研究使钢球发生离心的最小转速或使钢球不产生离心的最大转速的问题，即磨机的临界转速问题。不产生离心的最大转速的问题，即磨机的临界转速问题。CN2cosmvGR 或或 30cosnR转 分 钢球运动的最基本的公式钢球运动的最基本的
4、公式 cvcncos1c3042.4DnR转 分 当转速为当转速为，相应的每分钟转速，相应的每分钟转速时，钢球上升到定点时，钢球上升到定点Z Z，不再落下，发生了，不再落下，发生了 离心化，此时，离心化，此时，C=GC=G，昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding5cn实际转速实际转速n n是临界转速是临界转速的百分数的百分数，称为转速率，即，称为转速率，即 c100%nn转速率转速率通常表示磨机转速的相对高低。通常表示磨机转速的相对高低。昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and
5、Grinding6 钢球运动分为两步：钢球先随筒体作圆钢球运动分为两步：钢球先随筒体作圆运动，然后再作抛落式运动。故其运动轨迹运动，然后再作抛落式运动。故其运动轨迹亦分为两部分。在图亦分为两部分。在图10-7中，球从点中，球从点B到点到点A是圆运动的轨迹，而是圆运动的轨迹，而A点到点到C点再到点再到B点点为为抛落运动轨迹。抛落运动轨迹。二二 钢球运动轨迹和转速率与装球率的关系钢球运动轨迹和转速率与装球率的关系图图4-3-3昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding7图图4-3-3222sincosxRyRR在图在图4-3-3中，以
6、脱离点中，以脱离点A为原点，取为原点，取xAy坐坐标，在此坐标系中，圆心在磨机中心标，在此坐标系中，圆心在磨机中心O点及点及半径为半径为R的圆曲线的方程式为：的圆曲线的方程式为：v球从球从A点以磨机运转时的线速度点以磨机运转时的线速度v抛出，根据抛物落下的情形，水平抛出，根据抛物落下的情形，水平距离距离(x)和垂直距离（和垂直距离（y）分别为：）分别为：cosxvtcosxtv 或或 昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding8而初速度不为而初速度不为0 0的自由落体运动方程式为的自由落体运动方程式为212sinyvtgt2222
7、cosgxyxtgv将上面的将上面的t t值代入，得到值代入，得到根据前述（根据前述（10-110-1），），2cosvRg232R cosxyxtg这就是在坐标这就是在坐标xAyxAy中钢球作抛物落下的运动方程式。中钢球作抛物落下的运动方程式。昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding9 为了准确画出抛物线，必须确定它的最高点为了准确画出抛物线，必须确定它的最高点C，它与，它与x轴的交点轴的交点D及落回点及落回点B的坐标。的坐标。cyy最大y最大确定确定C点的坐标点的坐标：因：因故对式故对式10-710-7取一次导数并令它等于零
8、，用求取一次导数并令它等于零，用求极大值的方法可求出极大值的方法可求出的坐标值：的坐标值：21sincos2cyR2sincoscxR昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding10确定确定D点的坐标：点的坐标：因因D点是抛物线与水平点是抛物线与水平x轴的交点，所以轴的交点，所以确定确定B的坐标：的坐标：B点是钢球抛落运动的终点，也是圆运动的起点，即点是钢球抛落运动的终点，也是圆运动的起点，即B点既符合抛落运动，也符合圆运动，它必然是两运动公式联立求点既符合抛落运动，也符合圆运动，它必然是两运动公式联立求解时得到的公解，解此三角方程
9、组可得：解时得到的公解，解此三角方程组可得：yB为负值表示为负值表示B点在点在xAy坐标系的下方。坐标系的下方。昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding11比较比较昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding1230cosnR30CnR100%cosCnn2cos 脱离角脱离角表示钢球上升的高度大小，对外层球而言，它由磨机表示钢球上升的高度大小，对外层球而言，它由磨机的转速率的转速率 决定，即筒体的转动率决定着钢球上升的高低，从决定，即筒体的转动率决定着钢球上升的高低
10、，从而决定着各特殊点坐标的位置。即在已知磨机筒体半径而决定着各特殊点坐标的位置。即在已知磨机筒体半径R的情况下，的情况下，由转速率由转速率 可以求出脱离角可以求出脱离角 ，从而算出各坐标点的位置，从而算出各坐标点的位置，也就能画出抛物线轨迹来。也就能画出抛物线轨迹来。昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding13图图10-7落回角落回角 是脱回点是脱回点B到磨机中心到磨机中心O的连线与水平的连线与水平X轴的夹角，落回轴的夹角，落回角小时，表示球落下的高度小；落回角大时，表示球落下的高度大。角小时，表示球落下的高度小；落回角大时，表
11、示球落下的高度大。脱离角脱离角及及落回角落回角是钢球作抛物运动的两个重要参数。是钢球作抛物运动的两个重要参数。脱离角脱离角 是脱离点是脱离点A到磨机中心到磨机中心O的连的连线与线与Y轴的夹角，脱离角愈小，表示球轴的夹角，脱离角愈小，表示球上升愈高，脱离角为零时，表示球不再上升愈高，脱离角为零时，表示球不再脱落并进入离心运转。脱落并进入离心运转。，昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding1424sincossinBXRR24sincoscosBYRR =24 sincoscosRR 2sin4sincoscosBYR34cos3c
12、oscos3 00sin(903)sin(390)=0390昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding15昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding16昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding17昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding18昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grind
13、ing19昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding204216cos14cos10 昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding21昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding22昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding23昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding24 根据上面
14、讲的情况可知，为了保证最内层球也能处于抛根据上面讲的情况可知，为了保证最内层球也能处于抛落状态（即所有球层都是抛落的），装球率与转速率必有落状态（即所有球层都是抛落的），装球率与转速率必有一确定关系。而且这种关系又必有临界点，过了这种临界一确定关系。而且这种关系又必有临界点，过了这种临界点，磨机的转速不足以使最内层球作抛落，钢球于是处于点，磨机的转速不足以使最内层球作抛落，钢球于是处于泻落状态。这些关系己可用康托诺维奇的理论公式计算，泻落状态。这些关系己可用康托诺维奇的理论公式计算，公式的导出和计算见本章末的附注，这里只将用计算结果公式的导出和计算见本章末的附注，这里只将用计算结果绘制的曲线表
15、示如下图。图中表明了装球率、转速率和球绘制的曲线表示如下图。图中表明了装球率、转速率和球层半径的关系，也表明了由这种关系所确定的泻落和抛落层半径的关系，也表明了由这种关系所确定的泻落和抛落的界限。的界限。昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding25昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding26昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding27昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 C
16、rushing and Grinding28三 钢球抛落运动理论的应用钢球落下时的动能 磨矿过程是个功能转变的过程，而磨矿作用是由钢球完成的，因此，研究钢球落下时的动能十分必要。钢球落下时冲击矿石的能量，即是落到终点时的动能。此动能的大小，决定于钢球的质量和落下时的高度。落下高度取决于磨机的转速及磨机直径，所以，磨机转速的决定方法实际上是和钢球落下时的动能有关。昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding29球在抛物线路程末端的速度及其分量图球在抛物线路程末端的速度及其分量图昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与
17、磨矿 Crushing and Grinding30钢球下落高度的绝对值达到回落点B的垂直速度钢球下落时的水平分速度合速度钢球在回落点的动能8BBCByHyyy2222g4.59VygHRSinCosgRSinCosc o sV xVx2222222cos9sinpyVVVVV22211(98cos)22pEmVmV昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding31径向分速度切向分速度钢球冲击矿石的动能n38 sincosVVtcos3ysin3VVxV2n2nmVE 昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 C
18、rushing and Grinding32决定磨机转速的方法决定磨机转速的方法 在抛落式工作的磨机中，磨矿作用主要来自钢球到达落回点的动能。此动能的大小与钢球的落下高度(H)有关，而钢球的落下高度又决定于磨机的转速。根据前面的论述必然可以从钢球最大落下高度来决定磨机的合适转速，照此理，将P156公式（4-3-28）取导数，并令它等于零，就可以求出使钢球有最大抛物落下高度时的脱离角，再从它找到相应的转速。故224.5 sin(2cossin)0dHRd054 44昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding33 应用=5444来决定
19、磨机转速时，有两种方法。第一种用最外层有最大落下高度来决定转速。若取最外层球的半径即磨机的内半径，由P149公式(4-3-2)得到而 这种办法只考虑最外层球处于适宜状态，其他层球则未必处于适宜状态，装球越多，不适宜的球层也越多，故不是合理的办法。求得的转速率较低，不能保证球荷作抛落式动作，现在转速较低的磨机采用此法。0303032coscos54 44nRRD3242.4100%=/x100%cnnDD昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding34 第二种用球荷的回转半径与脱离角的关系来推算。设想全部球荷的质量集中在某一层球，此层
20、球可以代表全部球荷，称为中间缩聚层。它的球层半径(R0)就是全部球荷绕磨机中心(O)作圆运动的回转半径。根据扇形对O点的极转动惯量半径的求法，可以得到222212120()22RRRKRR昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding35当此层球有最大下落高度时，=5444，从而即于是及 第二种方法比前一种方法较合理，因为考虑了全部球荷。实际生产中，常将少 80%视为高转速磨机，而将 76%88%视为适宜的转速率。0022900520cosRann212478300Rn12 6.33 7.2nRD37.288%42.4昆明理工大学矿物
21、加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding36球荷的循环次数球荷的循环次数磨机转一转某一钢球的循环次数为(单位：次)：由此式可知：钢球的循环次数取决于脱离角c。当磨机转速不变时不同的球层有不同的脱离角，它的循环次数也不同。磨机转速越高，c越小，循环次数也越少。到了钢球离心化时，c 0，J1，钢球贴在衬板上与磨机一起转动。0060/909028.6sin2ccnJTaa昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding37球荷的循环次数球荷的循环次数磨机转一转全部钢球循环次数：上式中的K，既与
22、装球率有关，又通过K值而与磨机的转速有关。2(1)KJ，次昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding38四、磨矿机的功率磨矿过程的力学实质磨矿过程的力学实质泻落式工作的蘑机有用功率泻落式工作的蘑机有用功率抛落式工作状态下的有用功率抛落式工作状态下的有用功率昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding391 1磨矿过程中的功与能的转变磨矿过程中的功与能的转变 磨机电动机从电网上接受电能，在电动机内出现第一磨机电动机从电网上接受电能，在电动机内出现第一次电能损失。电动机带动
23、传动装置次电能损失。电动机带动传动装置(通常是减速器通常是减速器)，传动，传动装置带动磨机简体转动，变成简体的机械能，在传动装置装置带动磨机简体转动，变成简体的机械能，在传动装置内出现第二次能损失，磨机简体在带动磨内的钢球运动，内出现第二次能损失，磨机简体在带动磨内的钢球运动，将能量传给钢球。钢球到一定高度荡下或滚下，对矿石做将能量传给钢球。钢球到一定高度荡下或滚下，对矿石做功，变成矿石的变形能，变形至极限而产生破碎。功，变成矿石的变形能，变形至极限而产生破碎。磨矿过程的力学实质昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding402 2
24、磨机的有用功率磨机的有用功率 有用功率，用来使磨矿介质运动从而发生磨矿作有用功率，用来使磨矿介质运动从而发生磨矿作用所消耗的功率，其大小与磨矿介质的重量和磨机转用所消耗的功率，其大小与磨矿介质的重量和磨机转速有关，约占总电能的速有关，约占总电能的75758080。在磨矿中，此部。在磨矿中，此部分能量多在转变中呈热能逸散损失，生产中磨机徘矿分能量多在转变中呈热能逸散损失，生产中磨机徘矿的矿浆温度较给矿高出的矿浆温度较给矿高出5 51010以上就是一个例证。以上就是一个例证。昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding413 3、磨机有
25、用功率的确定方法、磨机有用功率的确定方法 磨矿有用功率的确定方法很多，而且一直有所争磨矿有用功率的确定方法很多，而且一直有所争论和补充，其实用性的说法不一，难于定论，常见的论和补充，其实用性的说法不一，难于定论，常见的有如下几个：有如下几个：A A 列文逊经验公式：列文逊经验公式：其中其中Q Q为球的装入量，为球的装入量，t t；D D为球磨机内径，为球磨机内径，m m上上式是根据转速时提出的，其中包括提升球的功能及式是根据转速时提出的，其中包括提升球的功能及摩擦损失。摩擦损失。6.8NQ DKW昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grin
26、ding42B B布兰德经验公式：布兰德经验公式：KWKW式中式中Q Q同上，同上，C C与装球率有关不同球荷充填率与装球率有关不同球荷充填率C C值如下表值如下表0.735NCQ D 球 充填率0.10.20.30.4 0.5大钢球11.911.0 9.9 8.5 7.0小钢球11.510.6 9.5 8.2 6.8不同球荷充填率时常数C的值昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding43C C邦德经验公式：邦德经验公式：对棒磨：对棒磨：对球磨：对球磨：式中式中KwrKwr、KwbKwb分别为每分别为每ltlt钢棒及钢球所需功率，
27、钢棒及钢球所需功率，kWkW；D D为内径为内径m m；VpVp为填充率，为填充率，%；VsVs为磨机转速率；为磨机转速率；SsSs为球径为球径系数。系数。131.752(6.35.4)wrPSKDVC0.3(9 10)0.14.879(3.23)12PSCsKwbDV CSs昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding44 由泻落式公式由泻落式公式 ，我们可我们可以得到以下重要结论：以得到以下重要结论：2.533.62sinsin2NDL有用功率与装球率和转速率的关系图泻落式工作磨机的有用功率泻落式工作磨机的有用功率昆明理工大学矿
28、物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding45（1 1）从有用功率与装球率和转速率的关系图，我们从有用功率与装球率和转速率的关系图，我们知道磨矿机的直径、长度及其转速率皆为一定，且转知道磨矿机的直径、长度及其转速率皆为一定，且转速率一定时钢球上升到一定的高度，故标志其位置的速率一定时钢球上升到一定的高度，故标志其位置的偏转角偏转角可看为常数，这时只有装球率可看为常数，这时只有装球率影响功率消影响功率消耗。因此，把耗。因此，把装球率提高到装球率提高到5050以上是不合理的。生以上是不合理的。生产实践中的装球率都在产实践中的装球率都在5050以下以
29、下，正是这个道理。，正是这个道理。昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding46（2 2）有用功率和磨机直径的关系式为有用功率和磨机直径的关系式为:kw kw 式中式中K K为综合系数，此式表明，磨机所需要的为综合系数，此式表明，磨机所需要的有用功率与筒体直径的有用功率与筒体直径的2.52.5次方和长度成正比。有单位次方和长度成正比。有单位球重量有用功率为球重量有用功率为 由此式可知它与由此式可知它与l l成正比，故成正比，故装球率越小，装球率越小，l l值越大，式子左边越大值越大，式子左边越大。因此，。因此，装球越小，磨机功耗装
30、球越小，磨机功耗越低。越低。2.5NKDL200060 x102NnlG昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿与磨矿 Crushing and Grinding47根据公式根据公式:计算出磨机在不同计算出磨机在不同转速率和装球率下作转速率和装球率下作抛落式工作所消耗的抛落式工作所消耗的有用功率，从而绘出有用功率，从而绘出理论曲线如右图所示。理论曲线如右图所示。此图说明：此图说明：抛落式工作状态下的有用功率抛落式工作状态下的有用功率3346160.8649(1)(1)3GNDKK在不同筒体转速率和不同转速率下磨机的有用功率昆明理工大学矿物加工工程系昆明理工大学矿物加工工程系碎矿
31、与磨矿 Crushing and Grinding48（1 1）随着转速率随着转速率()()的增加，到一定程度，钢球即由泻的增加，到一定程度，钢球即由泻藩状态转变为抛范状态，但转变点随充填率不同而异。线藩状态转变为抛范状态，但转变点随充填率不同而异。线ABAB即泻落与抛落的界限，当转速率即泻落与抛落的界限，当转速率()()超过超过ABAB线的横坐标线的横坐标时，钢球的运动即进入抛藩状态。时，钢球的运动即进入抛藩状态。(2)(2)随着转速率随着转速率()()和装球牢和装球牢()()的增加，有用功率也逐的增加，有用功率也逐渐增加，到一定转速率时，有用功率达到最大值。装球牢渐增加，到一定转速率时，有用功率达到最大值。装球牢越多，达到有用功率极大值所需的转速率也越高。越多，达到有用功率极大值所需的转速率也越高。（3 3）当转速率为临界转速的当转速率为临界转速的7878-84-84时，有用功率开始时，有用功率开始下降，当所有的球都离心化时，磨矿机的有用功率就等于下降，当所有的球都离心化时，磨矿机的有用功率就等于零。零。
