1、项目4.1走进立体世界案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!图4-1【分析】观察我们生活的空间,一切物体都占据着空间的一部分.如果我们只考虑它们占有空间部分的大小,而不考虑其他因素,则这个空间部分可称作一个几何体.在不同的标准下,空间几何体有不同的分类.例如:根据几何体形成的特点可分为“多面体与旋转体”;根据几何体外体特点可分为“柱体、锥体与球体”.空间几何体可看作点、线、面的运动轨迹,即点动成线,线动成面,点、线、面围成体.根据图4-2所示的模型,探究几何体的构成.图4-2其中,图4-2a有个面,有条棱,有个顶点;图4-2b有个面,有条棱,有个顶点;图4-2c有个面,有条棱,有个顶点;图4-2
2、d有个面,有条棱,有个顶点.例1你能试着画出一个正方体与一个圆锥吗?空间图形与平面图形的画法有什么不同?【解】根据空间图形的直观图画法,将正方体与圆锥绘制如下(见图4-3):图4-3请结合例1的画法,绘制以下几何体:(1)圆柱体;(2)球.例2如图4-4所示,在正方体ABCD-ABCD中,你能说出下列各角的度数吗?(1)BAC;(2)BCB;(3)BCA.【解】(1)因为正方体ABCD-ABCD的顶面ABCD为正方形,所以BAC=45;图4-4(2)因为正方体ABCD-ABCD的侧面BCCB为正方形,所以BCB=45;(3)因为AB,BC,AC分别为三个相等正方形的对角线,故AB=BC=AC,
3、所以ABC为正三角形,则BCA=60.想一想BCA=BCB+BCA是否成立.例3一只蜘蛛在一长方体木块的顶点A处,一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的定点C处,蜘蛛急于捉住苍蝇,沿着长方体的表面向上爬,它要从A点爬到C点,应沿着怎样的路线爬行,才能在最短的时间内捉住苍蝇.【解】将侧面BBCC如图4-5展开.因为两点之间,线段最短,所以连结AC得,线段AC为最短路径.图4-5如图4-6所示,已知圆柱的底面半径为2cm,高为4cm,求从点A绕圆柱侧面一周到点D的最短路程(用根式表示).图4-6习题1.请动手制作一个空间几何体,并找出它在生活中的实例.2.面数最少的多面体是几面体?它有多少条棱?多少个
4、顶点?3.用一张4cm8cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,若还需装上一个底面,则底面所需硬纸板的大小规格如何?项目4.2柱体案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!图4-7【案例】观察图4-7,已知饮料盒的尺寸为65mm40mm100mm,吸管的直径为6mm,长度为150mm.请思考:(1)图中出现了几种几何体?(2)它们之间是否相似?区别是什么?(3)思考这一盒饮料可插满多少支吸管?【分析】(1)纸质饮料盒为,吸管为(填“棱柱体”或“圆柱体”);(2)它们都是,但其中纸质饮料盒为,吸管为(填“柱体”、“多面体”或“旋转体”);(3)饮料盒的体积(容积)为,吸管的体积(容积)为,所以一共可以插满支吸管
5、.1.几何体的种类看一看,想一想,请将图4-1和图4-8中对应的模型编号,填写在相应几何体的横线上.图4-8简单几何体2.柱体的分类与计算公式3.长方体长方体的侧面积=C底h;长方体的对角线=;长方体的体积=S底高=长宽高.4.圆柱圆柱的侧面积=C底h=2rh;圆柱的体积=S底h=r2h.例1如图4-9所示,长方体ABCD-ABCD的长为12cm,宽为9cm,高为8cm,求:(1)表面积;(2)体积;(3)对角线长.【解】(1)表面积=侧面积+底面积=2(12cm+9cm)8cm+212cm9cm=552cm2;(2)体积=底面积高图4-9=12cm9cm8cm=864cm3;(3)对角线=c
6、m=cm=17cm.则该长方体的表面积为552cm2,体积为864cm3,对角线长为17cm.1.试述棱柱、直棱柱、正棱柱的关系.2.将一个高20cm,半径5cm的圆柱形木块削成正三棱柱,则该棱柱的表面积,体积分别是多少?若是正四棱柱呢?项目4.3锥体案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!【案例】已知某型号碾米机的下料斗是一个正四棱锥,如图4-11所示,底面边长和侧棱长都是60cm.请计算:(1)制作下料斗所需薄钢板的面积(接头忽略不计).图4-11(2)该下料斗的容积.【分析】(1)下料斗(正四棱锥)的表面积可视作由一个正方形的底面和四个等边三角形组成,其中S侧=C底h;(2)下料斗(正四棱锥
7、)的容积V=S底h.1.圆锥的侧面积=rl圆锥的侧面积=rl.2.锥体的分类与计算公式注:1.棱锥的高与斜高是不同的.2.如果锥体被平行于底面的平面所截,则所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离的平方和锥体高平方的比.例1根据图4-12的尺寸,制作相应锥体,并思考表面积的计算方法(近似至0.1cm).图4-12解:(1)正四棱锥的表面积=侧面积+底面积=410cmcm+(10cm)2382.8cm2(2)圆锥的表面积=侧面积+底面积=rl+r2=6cm10cm+(6cm)2301.6cm2例2已知棱锥的底面积为5.7cm2,一平行于底面的截面将高从顶点起分成6 7的两部
8、分,如图4-13所示,求此截面的面积?图4-13【解】由题意得,h1 h2=6 7,则r1 r2=6 13,S1 S2=62 132=36 169.所以该截面的面积=底面面积=5.7cm21.21cm2.一块正方形薄铁板的边长是2cm,以它的一个顶点为圆心,边长为半径画弧,沿弧剪下一个扇形.用这块扇形铁板围成一个圆锥筒,求圆锥筒的容积(保留两位有效数字).项目4.4球体案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!【案例】2005年2月25日,欧洲航天局的科学家在荷兰诺德韦克举行的研讨会上称:火星曾经存在,现在还可能存在生命.根据欧洲“火星快车”探测器发回的照片,欧洲科学家发现在火星的赤道附近,存在一个
9、形成不到500万年的巨大冰洋,同时他们相信在火星的北极点上,火山运动还在继续.在与会的250名科学家中,75%的科学家认为火星上曾经存在生命,25%的科学家认为火星上现在仍存在生命.这种生命就是“细菌”.已知:火星的直径约是地球直径的一半.思考:地球的体积是火星体积的几倍?地球的半径约为6370km,则地球和火星的体积各是多少?(1)球体的体积计算公式:R3;(2)地球的(近似)体积=R3=(6370km)3=608708278815km3;火星的体积=R3=76088534852km3;(3)地球的体积是火星的8倍.1.球的表面积与体积公式2.半径与表面积和体积的关系图4-14例1我国首都靠
10、近北纬40纬线,求北纬40纬线的长度大约为多少?(地球半径约为6730km).【解】如图4-14所示,A是北纬圈上的一点,AK是它的半径,所以OKAK,设c是北纬40的纬线长,因为AOB=OAK=40,所以c=2AK=2OAcosOAK=2OAcos4023.14166370km0.766030658km例2木星的表面积约是地球表面积的120倍,体积约是地球体积的多少倍?【解】设木星的半径为R1,地球的半径为R2,由题意得4=120.4,则=120,即R1=2R2.因为V球=R3所以V1=(2)3V21315V2即木星体积约是地球体积的1315倍.1.计算地球表面积(地球半径约为6730km)
11、.2.有一个空心钢球,质量为142g,外径为5.0cm,求钢球的内径(钢的密度是7.9g/cm3,保留两位有效数字).项目4.5多面体与旋转体的应用案例导入遇到问题,调整好状态应对吧!【案例】某厂生产如图4-15所示六角头螺母,螺母的底面是正六边形,底面边长13.10mm,高10mm,内孔直径10mm.已知:(1)螺母的材料为“A3型钢”,密度7800kg/m3,目前的市场价为4000元/t.该型钢有以下几种规格:(2)螺母需镀上金属锌以防锈,而镀锌的成本为15元/m2.请选择一种钢材来计算产品的材料成本.图4-15【分析】产品如何定价?因为价格=成本+利润额=成本+利润率价格,所以产品的定价
12、主要取决于产品的成本。那么,产品的成本除了原材料成本外,还有哪些内容呢?产品定价的步骤:1.成本核算(1)直接成本人工费用;材料费用;制造费用(水、电、辅助材料等)。(2)间接成本管理费用:办公费、行政工资、出差费等;提成:福利、困补、医疗补助等(工资的14%)+培训费用(工资的2%)+工会费用(工资的1.5%);管理费:主管部门费用等(2%);设备折旧:按使用年限分摊的折旧费用;销售费用:广告费(销售收入的2%)、接待费、税金(营业税、销售税金、附加税等)等。2.产品定价价格=(利润率一般为20%左右).常用多面体、旋转体的表面积、体积公式见下表.例1边长为3,4,5的直角三角形,绕其斜边旋
13、转一周,求所得旋转体的体积与表面积.【解】如图4-16所示,旋转所得的几何体是一个由两个圆锥组成的组合体,都以圆O为底面,高分别为AO、BO.图4-16在直角三角形ABC中,OCAB=ACBC,则OC=2.4cm所以V=OC2(AO+OB)=(2.4cm)25cm30.16cm3S上=rl=OCACS下=rl=OCBCS总=S上+S下=OCAC+OCBC=OC(AC+BC)52.78cm2.即该旋转体的体积为30.16,表面积为52.78.例2如图4-17所示,从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱的上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到一个几何体.求这个几何体的表面图4-17例3
14、有一个空心钢球,质量为142g,外径为5.0cm,求钢球的内径(钢的密度是7.9g/cm3,结果保留两位有效数字).【解】设空心钢球的内径为2xcm.那么钢球壳的体积是V=-x3=.由7.9g/cm3cm3=142g,得x=cm11.335cm,所以x2.25cm,2x=4.5cm.即钢球的内径为4.5cm.例4一块正方形薄铁板的边长是22cm,以它的一个顶点为圆心,边长为半径画弧,沿弧剪下一个扇形.用这块扇形铁板围成一个圆锥筒,求圆锥筒的容积(结果保留两位有效数字).【解】扇形弧长是22cm=11cm.设所做圆锥筒的底面半径为,则2r=11cm,解得r=5.5cm.因为圆锥筒底的母线长是22cm,所以圆锥的高h=cm21.3cm,则V圆锥=5.5221.3cm26.7102cm3.图4-181.观察图4-18所示的几何体,说出该几何体的组成.2.请观察你周围空间里的物体,寻找几何体的踪影,分析其结构;并根据所学的多面体与旋转体的体积、表面积计算公式来进行相应的表面积与体积计算(每人至少寻找到三例).3.请根据图4-19提示的正多面体展开图,动手制作正多面体(提示:在制作时注意留边).图4-19再根据你所制作的正多面体回答如下问题:(1)正多面体的棱数、顶点数;(2)测量正多面体的棱长;(3)计算正多面体的高;(4)计算正多面体的表面积;(5)计算正多面体的体积.
