1、第三节 连续信号的拉普拉斯变换分析 n拉普拉斯变换拉普拉斯变换 n从傅立叶变换到拉普拉斯变换 n拉普拉斯变换的收敛域n拉普拉斯变换的性质n常用信号的拉普拉斯变换n拉普拉斯反变换n单边拉普拉斯变换n信号的复频域分析信号的复频域分析n拉普拉斯变换的几何表示n拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系n由零极点图对傅立叶变换进行几何求解1一、拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换1、从傅立叶变换到拉普拉斯变换、从傅立叶变换到拉普拉斯变换有几种情况不满足狄里赫利条件：n指数增长信号n功率型周期信号)0(aeatn若乘一衰减因子 为任意实数，则 收敛，满足狄里赫利条件te().tx te)(.aeetat21()()tx t
2、x t e()1()()jtXx t edt()()stX sx t e dtjs象函数正LT1()()2jstbjx tXs e dsj原函数逆LTFT:实频率 是振荡频率LT:复频率S 是振荡频率，控制衰减速度双边拉普拉斯变换32、拉普拉斯变换的收敛域、拉普拉斯变换的收敛域n 为指数型衰减因子，它至多能使指数增长型函数满足绝对可积条件，或满足 (2-111)n有些函数，如 、等，它们随t的增长速率比 的衰减速度快，这些函数乘上衰减因子后仍不满足绝对可积条件，它们的拉普拉斯变换便不存在.n即使是乘上衰减因子后能满足绝对可积条件，也存在一个的取值问题。te0)(limttetx2tettte4
3、2、拉普拉斯变换的收敛域、拉普拉斯变换的收敛域n乘上衰减因子后，能否满足绝对可积条件n取决于信号x(t)的性质，也取决于的取值。把能使信号的拉普拉斯变换Xb(s)存在的s值的范围称为信号x(t)的拉普拉斯变换的收敛域，记为ROC。tetx)(dtetxt)(5双边拉氏变换收敛域()()()tx tu teu t0(1)0()()()tttx t edtu t edtut edt0111()1L Tx tss0110j)(tuet)(tu01100016例例1：求右边信号：求右边信号 的拉普拉斯的拉普拉斯变换及其收敛域变换及其收敛域。n解：由拉普拉斯变换定义式可知n上式积分只有在1时收敛，这时
4、收敛域表示在以轴为横轴、j轴为纵轴的平面上.)()(tuetxt(1)(1)00()()1|1tstbststXse u t edtedtes 11)(ssXbS+1=+1 j78()()()atbtx te u te ut0()()0()tbtatx t edtedtedtbabaab,ab收敛，存在双边拉氏变换没有收敛域。不存在双边拉氏变换92、拉普拉斯变换的收敛域、拉普拉斯变换的收敛域n连续信号x(t)的拉普拉斯变换的收敛域的边界是s平面上平行于j轴的直线。n右边信号右边信号x(t)u(t-t0)的拉普拉斯变换如果存在，则其收敛域具有0形式，即收敛域具有左边界0。n左边信号左边信号x(t
5、)u(-t+t0)的拉普拉斯变换如果存在，则其收敛域具有右边界0。n双边信号双边信号的拉普拉斯变换如果存在，则其收敛域必为平面上具有左边界和右边界的带状区域。n如果时限信号时限信号的拉普拉斯变换存在，则其收敛域必为整个s平面。103、拉氏变换的基本性质（1）线性1()ni iikx t1.()niik L x t()dx tdt微分()(0)sX sx积分tdf)()(0)X sxss时移00()()x tt u tt0()steX s频移()atx t e()X sa113、拉氏变换的基本性质（2）尺度变换()x at1sXaa0lim()(0)lim()stx txsX s终值定理0lim
6、()()lim()tsx txsX s 卷积定理12()*()x tx t12().()XsXs初值定理12().()x t x t121()*()2XsXsj12例：周期信号的拉氏变换11()()Lx tX s11()()LsnTx t nTeX s1001()()()1LsnTnnsTx t nTX seX se第一周期的拉氏变换利用时移特性利用无穷级数求和134、常用信号的拉氏变换S1tatu)(as 1nt1!nsn)(t1)(0tt 0ste()u t145、拉普拉斯反变换、拉普拉斯反变换n部分分式法部分分式法：将：将Xb(s)展开展开为部分分式，再求解为部分分式，再求解x(t)n留
7、数法留数法15例：求 所对应的信号。n解：对Xb(s)进行部分分式展开，得 1,)1)(3)(5()2(8)(sssssXb15731013)(ssssXb1,13)(1ssXb)(3)(1tuetxt210(),33bXss)(10)(32tuetxt7(),55bsXss )(7)(53tuetxt)()7103()()()()(53321tueeetxtxtxtxttt166、单边拉普拉斯变换、单边拉普拉斯变换n实际信号一般都有初始时刻，不妨把初始时刻设为坐标原点，通常大家关心的信号都是 的因果信号n称为信号x(t)的单边拉普拉斯变换 0,0)(ttx0)()(dtetxsXst积分下限
8、取积分下限取0-是是为了处理在为了处理在t=0包含冲激函数及包含冲激函数及其导数的其导数的x(t)时时较方便较方便 176、单边拉普拉斯变换n单边拉普拉斯变换只考虑信号 区间，与t0区间的信号是否存在或取什么值无关，因此，对于在t0区间内不同，而在区间 内相同的两个信号，会有相同的单边拉普拉斯变换 0t0t18n单边拉普拉斯变换具有单边拉普拉斯变换具有 的收敛域的收敛域。由于单边拉普拉斯变换的收敛域单值，所以在研究信号的单边拉普拉斯变换时，把它的收敛域视为变换式已包含了，一般不再另外强调。n信号的单边拉普拉斯变换可看成信号x(t)u(t)的双边拉普拉斯变换，可以用下式求出x(t)u(t)：式中
9、的X(s)为单边拉普拉斯单边拉普拉斯，称上式为单边拉普拉斯反变换.n单边拉普拉斯变换除时域微分和时域积分外除时域微分和时域积分外，绝大部分性质与双边拉普拉斯变换相同绝大部分性质与双边拉普拉斯变换相同，不再象双边拉普拉斯变换那样去强调收敛域。0jjstdtesXjtutx)(21)()(196、单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 初值定理和终值定理初值定理和终值定理 n初值定理初值定理：对于在t=0处不包含冲激及各阶导数的因果信号x(t)，若其单边拉普拉斯变换为X(s)，则x(t)的初值x(0+)可由下式得到 n终值定理终值定理：对于满足以上条件因果信号x(t)，若其终值x()存在，则它可由下式得
10、到)(lim)0(ssXxs)(lim)(0ssXxs20二、信号的复频域分析二、信号的复频域分析n拉普拉斯变换的几何表示n拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系n由零极点图对傅立叶变换进行几何求解211 1、拉普拉斯变换的几何表示、拉普拉斯变换的几何表示n如果信号x(t)是实指数或复指数信号的线性组合，则其拉普拉斯变换可表示为n如果N(s)为Xb(s)的m次分子多项式，有m个根zj，D(s)为n次分母多项式，有n个根pi)()()(sDsNsXbniimjjbPszsXsX110)()()(Xb(s)的零点Xb(s)的极点221 1、拉普拉斯变换的几何表示、拉普拉斯变换的几何表示n零极点图：如果在s
11、平面上分别以“。”和“”标出Xb(s)的零点和极点的位置，就得出的Xb(s)零极点图。n在的零极点图中，标出了Xb(s)的收敛域后，就构成了拉普拉斯变换的几何表示，它除去可能相差一个常数因子外，和有理拉普拉斯变换一一对应，可以完全表征一个信号的拉普拉斯变换，进而表征这个信号的基本属性。232 2、拉氏变换与傅氏变换的关系、拉氏变换与傅氏变换的关系()jtx t ed t 因果 0乘衰减因子te()0()jtx t edtjs0()stx t edt()stx t edtjs()()jtx t edt024n收敛域包含收敛域包含j轴轴。只要将Xb(s)中的s代以j，即为信号的傅立叶变换 n收敛域
12、不包含收敛域不包含j轴轴。信号的傅立叶变换不存在，不能用将Xb(s)中s代以j求傅立叶变换。n收敛域的收敛边界位于收敛域的收敛边界位于j轴上轴上。信号的拉普拉斯变换为Xb(s)，则其傅立叶变换为 jsbsXX|)()(piiijsbksXX1)(|)()(拉普拉斯变换和傅立叶变换的根本区别在于变换的讨论区域不同，拉普拉斯变换和傅立叶变换的根本区别在于变换的讨论区域不同，前者为前者为s平面中的整个收敛区域，后者只是平面中的整个收敛区域，后者只是j轴轴 25收敛域包含收敛域包含j轴轴()x tt)(tueataaj1()X ssa1()X jjajs 26收敛域不包含收敛域不包含j轴轴)(tueataat()x t1()X ssa傅氏变换不存在，拉氏变换存在j27收敛域的收敛边界位于收敛域的收敛边界位于j轴上轴上存在傅氏变换，但收敛于虚轴，不能简单用 ，要包含奇异函数项。)(tu1()Xss1()()X jj()()()sjnnnXjX sk js K1=1283 3、由零极点图对傅立叶变换进行几何求值、由零极点图对傅立叶变换进行几何求值n如何由信号拉普拉斯变换的零极点图求如何由信号拉普拉斯变换的零极点图求解信号的傅立叶变换？解信号的傅立叶变换？2930
