1、第七章多元生命函数本章结构n多元生命函数简介n 连生状况n最后生存状况n生命模型n人寿保险与生存年金n在特殊死亡律假定下求值本章中英文单词对照n多元生命函数n连生状态n最后生存状态n共同震动n继承年金nMultiple life functionnJoint-life statusnLast-survivor statusnCommon shocknReversionary annuities第一节多重生命函数简介多重生命函数的定义及作用n多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。n作用n养老金给付场合n合伙人联保场合n遗产税计算场合多元剩余寿命的联合分布n联合密度函数n联合分布函数()
2、()(,)T x T yfs t()()()()0 0(,)Pr(),()(,)T x T ys tT x T yFs tT xs T ytfu v dvdu多元剩余寿命的联合分布n边际生存函数()()()0 0()()()()0 0()()Pr()(,)1()()Pr()(,)1()sT xT x T ysxT xtT yT x T ytyT yFsT xsfu v dvdupFsFtT ytfu v dudvpFt 第二节多元生命状况连生状况n连生状况定义：n当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。当有一个成员死亡时，连生状况就结束了。简记连生状况为：n连生状况剩余寿命等于：n连生状况剩余
3、寿命的性质：求连生状况的剩余寿命实质上就是m个生命的最小次序统计量1(,)mxx1min(),()mTT xT x两个体连生状况的生命函数n分布函数n生存函数()Pr()Prmin(),()1 Pr(),()1TtxytxyF tqTtT x T ytT xt T ytp ()Pr(),().TtxytxtyStT xt T ytpi d pp两个体连生状况的生命函数n密度函数n死亡效力函数()().()TTtxtyx ty tdftF t i d ppdt()().()Txyx ty tTftti dSt两个体连生状况的生命函数n两独立个体至少有一个在第K年死亡的概率n连生状况整值剩余寿命为
4、k的概率:1x k y kx k y kx ky kx ky kqpqqqq:Pr()kxyx k y kkxkyx ky kKkpqid ppqq两个体连生状态的生命函数n剩余寿命期望0010()()xytxyxykxykeE T xyp dteE T xyp最后生存状况n最后生存状况定义：n只要有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况。只有当所有成员都死亡时，最后生命状况才算结束。简记为：n最后生存状况的剩余寿命等于：n最后生存状况的剩余寿命的性质：最后生存状况的剩余寿命实际上就是m个生命的剩余寿命的最大次序统计量1(,)mxx1max(),()mTT xT x多元生存状况剩余寿命的关系n
5、 n n n ()()()()T xyT xyT xT y()()()()T xyT xyT xT y()()()()K xyK xyK xK y()()()()K xyK xyK xK y两个体最后生存状况的生命函数n分布函数 等价公式()()Prmax(),()Pr()Pr()Pr()tT xyxytxtytxyFtqT x T ytT xtT ytT xytqqq()()()()()()()()T xyT xT yT xyFtFtFtFt两个体最后生存状况的生命函数n生存函数 等价公式()()Prmax(),()Pr()Pr()Pr()tT xyxytxtytxyStpT x T ytT
6、 xtT ytT xytppptxyttxtyxypppp两个体最后生存状况的生命函数n密度函数 等价公式()()()()()()()()()().()T xT yT xyT xyT xytxx ttyy ttxtyy ty tdftFtftftftdti d pppp()()()()()()()()T xyT xT yT xyftftftft两个体最后生存状况的生命函数n死亡效力函数()()()()()().T xyxyT xytxx ttyy ttxtyy ty ttxtytxtyfttStppppi dpppp两个体最后生存状况的生命函数n最后生存状况整值剩余寿命为k的概率n等价公式:P
7、r()Pr()Pr()Pr().()(1)(1)kxx kkyy kxyx k y kkxx kkyy kkxkyx kx kx kx kkykxx kkxkyy kkxkyx kx kK xykK xkK ykK xykpqpqpqi d pqpqppqqqqppqppqpp qqxyxykkkkxyqqqq两个体最后生存状态的生命函数n剩余寿命期望0000 xyxyxyxyxyxyeeeeeeee例1：n假定（60）和（65）服从Moivre 生存模型，n计算100)(,)(,65,6065,6065,6065,60tptptt例1答案350,351401)(350,35354040350
8、351)(3535400401)(404065,60656065,6065656060tttttttpppttttpttttpttttt例1答案4035,401350,14002)(4035,4040350,14001400265,6065,6065,60265,60656065,60tttttppdtdtttttpppptttttt例2n假定：n不抽烟的人的死亡力是同年龄抽烟的人的死亡力的一半。n不抽烟的人数满足如下方程n有一对夫妻丈夫（65）不抽烟，妻子（55）抽烟，求他们还能共同生活的期望时间。750,)75(1000 xxlx例2答案5417.320201010202010102020
9、)55()55(,1010)65()65(7575)(,7575)(7522,7511002010055,6555,65020556555,65255652dtttdtpettppptstsptstspxxsxxsxxtstnttssstnnntsnnsxnxx联合生命状况剩余寿命协方差分析2020()2()()2()(),()(),()()()()()oxytxyoxytxyooooooooxyxyxyxxyyxyVar T xytp dteVar T xytp dteCov T xy T xyE T xy T xyE T xy E T xye eeeeeee第三节联合生命模型简介n联合生命
10、模型分为两类：nCommon Skhoc 模型：它假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型。这种模型假定有时与现实情况不符，但易于分析。nCopulas模型：它假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型。这种模型假定更符合实际情况，但不易于分析。Common Shock 模型 如果有 满足且有一个Common Shock 随机变量Z，它独立于 ,且服从指数生存函数令则(),()Tx Ty()()()()(,)()()Tx TyTxTySs tSsSt(),()Tx Ty()0,0zZSzez()min(),()min(),T xTx ZT yTy Zmax(,)()()()()(,)()s
11、 tT x T yTxTySs tSsSe联合生命状况分析 n记n边际生存函数为 n连生状况剩余寿命生存函数为 n最后生存状况剩余寿命生存函数为()min(),()min(),T xTx ZT YTYZ()()()()()Pr()()0()()Pr()0()()sT xTxtT yTySsT xsT ySs eStT xT ytSt e()()()()()()tT xyTxTyStStSte()()()()()()()()()()tT xyTxTyTxTyStStStStSte第四节人寿保险与生存年金 寿险趸缴纯保费的确定原理1022 Pr()kukuuAE ZvKkVar ZAA联合生命状况
12、下寿险趸缴保费的确定n连生状况n最后生存状况1022xykxyxykkkxykxyxyAvqqqVar ZAA11:0022kkxyxykxyx k y kkkkxyxyxyAvqvpqVar ZAA联合生命状况下生存年金的确定n原理n连生状况n最后生存状况222:11(1)uuu nu naAVar YAAdd222:11(1)xyxyxy nxy naAVar YAAdd222:11(1)xyxyxy nxy naAVar YAAdd连生状况和最后死亡状况的关系(1)()()()()(2)(3)xyxyxyxyxyxyK xyK xyK xK yAAAAaaaa例3n例1续，假定n计算05
13、.065,6056,6065,6065,60,aAaA例3答案（1）3177.03177.040114002)(5867.01400275)(4721.0351)(4323.0401)(65,60656065,60403505.035005.040065,6065,6035005.035065,6065,6035005.0350656540005.04006060AAAAordtedttedttfvAdttedttfvAdtedttfvAdtedttfvAttttttttt例3答案（2）646.13646.1305.03177.011266.805.05867.011558.1005.0472
14、1.011354.1105.04323.01165,60656065,6065,6065,6065,6065,6065656060aaaaorAaAaAaAa单重次顺位函数n 在n年之内，(x)先于(y)死亡1xynqntxxynyttxxtnytxntyxntyxxyndttpdtppdtptfdsdtsftfdsdtsftfq000001)()()()()()(单重次顺位函数n 在n年之内，(y)后于(x)死亡n 2xynqxnynxynxynynntyxyynnxttyytntxyn tyxxynqpqqqdttppdtppdsdtsftfdsdttfsfq1100000 02)()1(
15、)1()()()()()()(0(nyTxTpr顺位保险1201xyyxyTxxyttxyAAAdtpvA例4n例1续n求)05.0(,)2()1(265,60165,60165,60165,6010165,60AAAqandq例5n假定有一(20)岁女性，一(50)岁男性n已知n求两者中第一个死亡者的期望寿命151301mf例5答案501032503120)(3/213/130110101151301150,20150,200151301150,2001.00deathfirstofagetheEqqdteeqdteetttfmmf例4答案（1）25.0.035140405714.03514
16、0401001006565,60165,60103503506565,60165,60dttdtpqdttdtpqtttt例4答案（2）149.0264.0323.0)(165,6065265,60165,6065,60165,603506565,60165,60AAAAAAdttpeAtt继承年金(reversionary annuities)n继承年金的定义：在联合生命状态中，只有在其中一个生命（v）死亡之后，另一个生命（u）才能开始获得年金。这种年金叫做继承年金，简记为 。n终身继承年金n定期继承年金vuayxyx yaaa:y nxy nx y naaa第五节特殊死亡律假定下求值Gom
17、perz假定下 n目的：寻找能替代连生状态的单个生命状态w，即n已知在Gomperz假定下有 ，则在两生命独立假定下有n由这个等式可求出w，于是(),0 xysssxxBcx sy ssxyBcBcBcccctxytppMakeham假定下 n由于Makeham假定的死亡效力函数含有常数项，所以无法用单个生命状态替换连生状态，但是可以考虑用两个同年龄的连生状态（w，w）作替换，即n已知在Makeham假定下有 ，则在两生命独立假定下有n由这个等式可求出，于是()()xyssxxABc222x sy ssxyABcABcABcccctxytpp例6n假定生命表服从Makeham分布n且多元生命状
18、态20:30可以被W:W代替。n假定多元生命状态10:W可以被Z:Z代替n求Z.210c例6答案204262226222222010103230203020zcccccccccccccwzzwww均匀分布假定n在均匀分布假定下，趸缴纯保费和生存年金具有单生命状态下近似的性质()1(1)()()xyxyxyxymxyxyiAAaAam am补充案例1n假定有一20岁的女性和一50岁的男性。已知n求第一个死亡的期望年龄。151,301mF补充案例2n求（10）和（20）都能活到他们目前年龄的两倍且至少有一个能活到他目前年龄的3倍的概率。DCBAofNoneEpppDppCpppBpppppA,.2.1050204020101020204010601050103020101050105020101030补充案例3n求（25）和（45）死亡间隔在10年内的概率。)(1)(111155:254510145:352510145:254510145:352510145:254510145:252510145:252510145:254510qpqpEqpqpDqpqpCqpBqpA补充案例4n确定该年金产品的现时值n（X）和（Y）都存活时给付1n（X）死亡后降到1/3n（Y）死亡后降到1/4n已知12,18,24xyyxaaa
