1、巴中市普通高中 2020 级“零诊”考试数学答案（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1【解析】B先写出集合 M ，然后逐项验证即可由U =1, 2, 3, 4, 5 且 U M =1, 2得 M =3, 4, 5 ，故选 B备注：2022 年全国乙卷理数第 1 题改编.2【解析】C利用复数四则运算，先求出 z ，再依照复数的概念求出复数 z 的虚部选 C方法一：由题意有 3 4i (3 4i)( i) 4 3iz = = = - - -i i (-i)，故复数 z 的虚部为 -3 方法二：由 i z = 3-
2、4i = i( - 3i - 4) ，得 z = -4 - 3i ，故复数 z 的虚部为 -3 3【解析】A l1l2 m = 1 ，故“ m =1”是“ l1l2 ”的充分不必要条件选 A4【解析】D不妨取双曲线的右焦点 (c, 0) ，渐近线 y = bx ，由点到直线距离公式得 b2 = 4 ，然后利用离心率的变通公式 c = 1+ b2 = 5 ，进而求得离心率 e 的值由题意得，不妨取双曲线的右焦点2F( 1+ b , 0) ，双曲线的渐近线为 y = bx ，即 bx - y = 0 ，则2| b b +1 -0|2b+1= b = 2，即 b2 = 4a2 ，所以离心率 e =
3、b2 +1 = 5 选 D5【解析】C充分利用长方体中的棱、面之间的关系直观感知，同时结合空间中线面间平行及垂直的判定与性质推理论证，需注意相应定理的条件的完备性对于 A 选项，n a 也可能；对于 B 选项， 由条件得不到 m a ，故不能推断出a b ；对于 C 选项，则法线与法向量垂直则两个平面垂直知正确；对于 D 选项，条件中缺少 m a ，故得不到 m b a b6【解析】D由任意角的三角函数定义，得 tanq = = ，故 B(2, 2a) ，| OB |= 2 1+ tan2a = 2| OA| 由1 22 23 cos q -sin q 3cos2q = - 得：cos2q =
4、 cos q -sin q = = -5cos sin 52 2q + q21 tan- q = - 3，变形得：251+ tan a，解得 tan2q = 4 ，所以 | OB |= 2 5 或者，设 | OA|= r ，则 r2 =1+ a2 ， sinq = a , cosq = 1, | OB |= 2r ；由 cos2 3 r r 5q = - 得2 2q = q - q = 1- a = 1- a = - 32 2cos2 cos sin2 25r 1+ a，解得： a2 = 4 ，故| OB |= 2r = 2 5 选 D7【解析】D借助判断函数的奇偶性、对称性和有界性，正弦型函
5、数的符号变化规律，均值不等式等知识进行推断由 ( ) 2sin(p x), 2, 2 f x = x -等知识进行推断由 ( ) 2sin(p x), 2, 2x -xe + e知 f (x) 为奇函数，且在 (0, 1) 内恒正，故 A、B 选项不正确；又 2sin(p x) 2 ， ex + e-x 2 且等号不同时成立，由不等式的性质知| f (x) | 0 知：3 6 3 6 2当 k =1时取最小值，故 min 7w = 选 B或者 ，由 cos( ) w + = p 时 y =1 ，由 y = sinwxy = wx + p 知 x p 22 3 3知当 w = 2 3w 3 2w
6、 2w = 时 y =1 ，故由题意得 5p - p = p ，解得 7x p11【解析】D f (x) = 3x2 -3 的变号零点为 x = -1和 x =1，故 A 正确；由 f (-1) = 3 0 -1= f (1) 知 B正确；由 y = x3 - 3x 是奇函数，其图象向上平移 1 个单位长度得到函数 f (x) 的图象，故 C 正确；由于函数 f (x) 在 x =1处取极小值 -1，故直线 x + y = 0 与曲线 y = f (x) 不相切，故 D 错误，选 D也可借助函数的图象直观感知作出判断12【解析】A由已知得：a = log2 6 =1+ log2 3, b =
7、log312 =1+ log3 4, c = log4 20 =1+ log4 5 ，故 a, b, c的大小顺序与 log2 3, log3 4, log4 5 的大小一致由 log2 3 = log4 9 log4 5 知 a c ，排 除 B、D由 23 3 ；由 42 33 得 2log3 4 3 ，即 log3 4 3 b ，排除 C故选 A2 2ln(x +1) 或者利用函数 f (x) (x 1) ln x= 的单调性比较 log2 3, log3 4, log4 5 的大小事实上，当 x 1时 ln(x +1)ln x- = x +1 x f (3) f (4) ，由换底公式得
8、f (x) 02 ln xlog 3 log 4 log 5 ，故 a b c 选 A2 3 4二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13【解析】2由抛物线 y2 = 2px (p 0) 的几何性质知，其焦点到准线的距离为 p ，本题中 p = 2 14【解析】57计算得 x = 1 (2 + 3+ 5 + 6) = 4 ， 1 (28 31 41 48) 37y = + + + = ，则样本中心点是 (4, 37) ，4 4代入回归方程得 a$ = y - 5x = 37 - 5 4 =17 ，所以回归方程是 $y = 5x +17 ，将 x = 8 代入得 $y =
9、 57 15【解析】8 6p 由 BD 平面 ADC ， AD, DC 平面 ADC ，得 BD AD, BD CD ；由 BD = 2 ，AB = 2 2 ， BC = 2 5 及 勾 股 定 理 得 ： AD = 2, CD = 4 ， 又 AC = 2 5 ， 故AD +CD = AC ，所以 AD DC ，即 BD，AD，CD 两两垂直，所以三棱锥2 2 2A- BCD 的外接球与以 BD，AD，CD 分别为长、宽、高的长方体的外接相同（如右图，O 为球心），所以球半径2 2 2R = 2 + 2 + 4 = 6 ，从而 4 3 8 6 V = p R = p R = 2 + 2 +
10、4 = 6 ，从而 4 3 8 62 3p ，(0, 316【解析】 以三角形边角关系的射影定理为背景，综合考查正弦、3 4 余弦定理、三角变换的基本公式与方法，三角函数的图象与性质等知识，求角 A 时，既可用正弦定理边化角，也可用余弦定理角化边，还可直接用教材中习题的结论射影定理简化；对于 sin BsinC 的范围问题，可利用 B + C = 2p 且 0 B, C p 转化只含一个角变量的函数的值域3 2 （1）求角 A 的过程与方法由已知及正弦定理得：2sin Acos A =sinCcos B +sin BcosC =sin(B +C) =sin A ，又 0 ，A p2文科数学答案
11、第 2页 共 8 页故 cos 1 A = p A = ，所以2 3由已知及射影定理得：2acos A = ccosB +bcosC = a ，故 cos 1 A pA = ，又 0 ，所以2 2A = p 32 2 2 2 2 2a + c - b + a + b - c = a A ，化简得 cos 1 A p 由已知及余弦定理得： 2 cos A = ，又 0 ，所 以2a 2a 2 2A = p 3（2）求 sin BsinC 范围的过程与方法（20220903 晚 9 点修正版）策略一：利用正弦型函数的图象与性质由A = p 得 B + C = 2p ，故 C = 2p - B ，且
12、 0 B 2p 3 3 3 3 sin BsinC = sin Bsin(2p - B) = sin B( 3 cosB + 1 sin B) = 3 sin 2B - 1 cos2B + 1 = 1 sin(2B - p ) + 1 3 2 2 4 4 4 2 6 4因为 2 7 B p-p - p p ，故 1 sin(2 ) 1 B = p 时取等号，故 sin sin (0, 3B - - ，当且仅当 B C 6 6 6 2 6 3 4令 , x - x B = p - x C = p + x ，由题意得 -p p ， 3 sin 33 3 3 3 2 2故 sin sin sin(
13、)sin( ) x - x x + xB C = p - x p + x = ( 3 cos 1sin )( 3 cos 1sin )3 3 2 2 2 2= 3 cos - 1 sin 3 sin2 (1 , 32 2x x = - x 4 4 4 2 4- ，所以 - 3 sin 3 ， 0 sin2 3p p因为 x x x ，当且仅当 x = 0 ，即3 3 2 2 4故 sin BsinC 3 sin2 = - x(0, 34 4B = C = p 时取等号，3由和、差角的余弦公式可得： 2sin sin cos( ) cos( ) cos( ) 1B C = B - C - B +
14、 C = B - C + ，2由已知得 0 B, C 2p ，故 - 2 - 2 ，所以 cos( ) ( 1 , 1p p B = C = p 时取 B C B - C - ，当且仅当3 3 3 2 3等号，故 sin sin (0, 3B C 4 策略二：用余弦定理转化在ABC 中，由正弦、余弦定理得： sin2 B +sin2 C - 2sin BsinCcos A = sin2 A ，代入A = p 得：33 = sin + sin - sin sin ，变形得 sin sin 3 (sin sin )22 2B C B C B C = - B - C ，4 4B C B C B C
15、B C又 sin sin sin( ) sin( )B - C = + + - - + - -2 2 2 2 B + C B - C p B - C B - C= 2cos sin = 2cos sin = sin ，2 2 3 2 2由已知得 0 B, C 2p ，故3p B - C p- ，所以 sin3 2 3B - C ( 3 , 3 ) -2 2 2所以 0 | sin sin | 3 B - C ，当且仅当2B = C = p 时取等号，3故 sin sin (0, 3B C 4三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必
16、须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60 分17（12 分） 解：（1）方法一：由 Sn+1 - 2Sn = 2 得： Sn+2 - 2Sn+1 = 2 1 分 Sn+1 - 2Sn = Sn+2 - 2Sn+1 ，变形得 Sn+2 - Sn+1 = 2(Sn+1 - Sn ) 2 分 an+2 = 2an+1 3 分又 a1 = 2 且 S2 - S1 = S1 + 2 a2 = 2a1 4 分由知：对任意 nN*，恒有 an+1 = 2an ，且 a1 = 2文科数学答案第 3页 共 8 页 数列an 是首项与公比均为 2 的等比数列5 分 2na = 6 分n
17、方法二：由 Sn+1 - 2Sn = 2 变形得： Sn+1 + 2 = 2(Sn + 2) 2 分又 a1 = 2 ，故 S1 + 2 = a1 + 2 = 4 3 分 数列Sn + 2 是以 4 首项，2 为公比的等比数列 S + 2 = 4 2n-1 = 2n+1 ，故 S = 2n+1 - 2 4 分n n 当 n 2 时， n 1 n n n n n-a = S - S = + - - - = 5 分1 2 2 (2 2) 2又 a1 = 2 也适合上式 2na = 6 分n（2）方法一：由（1）知， bn = nan = n2n 7 分 1 2 2 22 3 23 2nT = +
18、+ + L+ nn2 1 2 2 2 ( 1) 2n 2nT = 2 + 3 +L+ n - + n +1 8 分n两式相减得： 2 22 23 2n 2n 1-T = + + L+ - n + 9 分nn2(1- 2 )= - 2 = (1- ) 2 - 2n n+1 n n+11- 211 分 T = (n -1) 2n+1 + 2 12 分n方法二：由（1）知， bn = nan = n2n 7 分裂项变形得： b = n 2n = (n -1) 2n+1 - (n - 2) 2n 9 分n 1 2 2 22 3 23 2nT = + + + L+ nn= 2 + 2 + (2 2 -
19、2 ) + (3 2 - 2 2 ) +L+(n -1) 2n+ - (n - 2) 2n 10 分3 4 3 5 4 11 = + - 2 (n 2) 2n+即 T = (n -1) 2n+1 + 2 12 分n18（12 分）解：（1）由题意得，总人数为 20045 岁以上（含 45 岁）的人数为 200 3 120 = ，45 岁以下的人数为 801 分5一周内健步走少于 5 万步的人数为 200 3 60 = 2 分10由此得如下列联表： 3 分一周内健步走5 万步 一周内健步走 1406080120 75 分 有 90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关6 分 （2）由题
20、意，抽取的 8 人中一周内健步走5 万步有 6 人，少于 5 万步的有 2 人 7 分将一周内健步走5 万步的 6 人编号为 1，2，3，4，5，6，另外两人记为 A, B ，则所有可能情况如下：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，1A，2A，3A，4A，5A，6A，1B，2B，3B，4B，5B，6B，AB总共 28 种10 分其中恰有一人一周内健步走步数不少于 5 万步所有可结果如下 ：1A，2A，3A，4A，5A，6A，1B，2B，3B，4B，5B，6B共 12 种11 分记“抽取的 2 人中恰有一人一周内健步走步数不少于 5 万步”这
21、事件 C文科数学答案第 4页 共 8 页由等可能事件的概率公式得： (C) 12 3P = = 12 分28 719（12 分）解：（1）证明方法一：F由正方形 ABCD 的性质得： ABCD 1 分又 AB 平面 DCF， CD 平面 DCF E AB平面 DCF 2 分 BECF ， BE 平面 DCF， CF 平面 DCF BE平面 DCF3 分C AB I BE = B, AB, BE 平面 ABE B 平面 ABE平面 DCF 4 分DA AE 平面 ABE AE平面 DCF6 分 方法二：在 CF 取点 G 使得 CG = 2 = BE ，连结 EG、DG，如右图F BECF 四边
22、形 BEGC 是平行四边形 1 分GE故 EGBC ，且 EG = BC 2 分又 ADBC, AD = BC ADEG, AD = EG 3 分 四边形 ADGE 是平行四边形 4 分CB AEDG 5 分又 AE 平面 DCF， DG 平面 DCFDA AE平面 DCF6 分（2）由体积的性质知： 1V - =V - = S h 8 分F ACE A CEF CEF3 平面 BCFE 平面 ABCD，平面 BCFE I 平面 ABCD=BCAB BC ， AB 平面 ABCD AB 平面 BCFE 9 分又 AB = 2故 点 A 到平面 CEF 的距离为 2，即三棱锥 A -CEF 底面
23、 CEF 上的高 h = 2 10 分由题意，知 BE BC, BECF 且 CF = 3, BC = 2 1 3S = CF BC = 11 分CEF2 1 1 3 2 2V - =V - = S h = = 12 分F ACE A CEF CEF3 320（12 分解：（1）2f x = - x + a = x 1 分 1 -x + ax +1( ) , 0x x1f (x) = - x + a 在 (0, + ) 是减函数 2 分x由在 x = 2 时取得极大值得： f (2) = 0 ，即 1 - 2 + = 0 ，解得： 3a a = 3 分2 2 f (x) = ln x - 1
24、x2 + 3 x ，故 (1) 3, (1) 1f = f = 4 分2 2 2 曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程为 1 3 ( 1)y - = x - ，即3x - 2y -1= 0 5 分2 （2）证明方法一:由题意得：2 1,g(x = f ( = -x + ax + x 0 6 分) x)x由 g(x) = 0 得 -x2 + ax +1= 0 ，其判别式= a2 + 4 0由一元二次方程根与系数的关系知，关于 x 的方程 -x2 + ax +1= 0 有唯一正根设 -x2 + ax +1= 0 的唯一正根为 m ，则有 am = m2 -1 7 分文科
25、数学答案第 5页 共 8 页当 0 x 0 ，故 g(x) 单调递增；当 x m 时， g(x) 0 ，则 h (x) 1 x 0 = + 2 2 x h(x) 在 (0, + ) 上是增函数且 h(1) = 0 9 分由 am = m2 -1及 am = m2 -1得： a m 1 0= - ，解得 m1 10 分m1 1 h(m) h(1) = 0 ，故 2g(x) = lnm + m - 0 11 分max2 2a2 3 2 a2 3- - - -2 2 a 1 12 22 2又 g(e ) = - - x + ax -1= - (x - a) -1 0 且 0 e 0 6 分) x)x由 g(x) = 0 得 -x2 + ax +1= 0 ，其判别式= a2 + 4 0由一元二次方程的根与系数的关系知，方程 -x2 + ax +1= 0 有唯一正根设 -x2 + ax +1= 0 的正根为 m ，则有 am = m2 -1 7 分当 0 x 0 ，故 g(x) 单调递增；当 x m 时， g(x) 0 ，故 g(x) 单调递减1 1 1 1 2 2g(x) = g(m) = lnm - m + am + = lnm + m - 8 分max2 2 2 2a2 3 2a2 3- - - -
