1、目的目的 掌握绘制系统根轨迹的方法掌握绘制系统根轨迹的方法掌握利用根轨迹分析系统的方法掌握利用根轨迹分析系统的方法内容内容根轨迹方程根轨迹方程绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则利用根轨迹进行系统分析利用根轨迹进行系统分析稳定性稳定性即闭环极点即闭环极点闭环特征方程的根闭环特征方程的根动态性能动态性能稳态误差稳态误差系统的性能系统的性能开环放大倍数开环放大倍数开环积分环节个数开环积分环节个数困困 难难!困难困难1 1：系统闭环特征方程的根如何求取！：系统闭环特征方程的根如何求取！困难困难2 2：讨论或预测当系统中的某一参数发生：讨论或预测当系统中的某一参数发生 变化时系统闭环特征方程的根如
2、何变变化时系统闭环特征方程的根如何变 化化!参数改变，系统性能如何改变！参数改变，系统性能如何改变！伊万思伊万思l一、根轨迹：一、根轨迹：根轨迹法属于复域分析法，是一根轨迹法属于复域分析法，是一种图解法，它可用于控制系统的分析种图解法，它可用于控制系统的分析和设计。和设计。所谓根轨迹是指当系统某个参数所谓根轨迹是指当系统某个参数(如如开环增益开环增益K)由零到无穷大变化时，闭环特由零到无穷大变化时，闭环特征根在征根在s平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。l反馈系统开环传递函数的一般形式：反馈系统开环传递函数的一般形式：式中：式中：Zi（i=1、2.m）为开环传递函数零点为开环传递函数零点 Pj
3、（j=1、2.n）为开环传递函数极点为开环传递函数极点 K*为开环传递函数的根轨迹增益为开环传递函数的根轨迹增益 njjmiikPSZSKsG11*)()()(l系统的闭环特征方程：系统的闭环特征方程：式中，若已知式中，若已知Zi，Pj，并给定并给定一个一个K*，必可得出方程的一组解必可得出方程的一组解Sj（j=1、2.n）0)()(0)(111*njmiijkZSKPSsGl 如果变动如果变动K*，则所有则所有Sj都要发生都要发生变化。令变化。令K*由由0变化，则变化，则n个特个特征根都将连续变化，在根（复）平征根都将连续变化，在根（复）平面上各有一条变化轨迹，即有面上各有一条变化轨迹，即有
4、n条特条特征根的轨迹，这些轨迹称为征根的轨迹，这些轨迹称为系统的系统的根轨迹根轨迹。l根轨迹图示例（一）根轨迹图示例（一）如图所示的二阶系统，如图所示的二阶系统，R（s）C（s）K S（S+4）l解：解：Gk(S)=KS(s+4)K*=K开环极点：开环极点：P1=0,P2=4 无开环零点无开环零点(S)=Gk(S)1+Gk(S)K S +4s+K2l特征方程为：特征方程为：S +4S+K=02特征根：特征根：KSkS424221今令今令 K =0 范围内变化，利用解的公范围内变化，利用解的公式计算对应的特征根的值，通过连接这些式计算对应的特征根的值，通过连接这些根点，就可以在负平面上得到根轨迹
5、线。根点，就可以在负平面上得到根轨迹线。K=0 ,S1=0 ,S2=4 K=4 ,S1=S2=2K=5 ,S1=2+j ,S2=2 j K=8 ,S1=2+2j ,S2=2 2j K 时时,S1 2+j ,S2 2 jkkl有了根轨迹图，就可对系统的动态有了根轨迹图，就可对系统的动态性能进行分析：性能进行分析：1、当、当K=0时，根轨迹均在时，根轨迹均在S平面平面的左半部，因此，系统对所有的的左半部，因此，系统对所有的K值都值都是稳定的。是稳定的。2、当、当0 K 4时，闭环特征根为一对共时，闭环特征根为一对共轭复根，系统为欠阻尼状态，阶跃轭复根，系统为欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程。响应
6、为衰减振荡过程。5、开环传递函数有一个位于坐标原、开环传递函数有一个位于坐标原点的极点，所以系统为点的极点，所以系统为 I 型系统，型系统，阶跃作用下的稳态误差为阶跃作用下的稳态误差为0。绘制根轨迹实质上是寻找闭环特绘制根轨迹实质上是寻找闭环特征方程征方程 1+G(S)H(s)=0 的根的根 因此满足方程式因此满足方程式 G(S)H(s)=1的的s 的值，都必定是根轨迹上的点，的值，都必定是根轨迹上的点，故称上式为故称上式为根轨迹方程根轨迹方程。二、根轨迹方程二、根轨迹方程l利用开环传递函数的通式，即：利用开环传递函数的通式，即：G(S)H(s)=1 为复变量，所以上式为为复变量，所以上式为一
7、矢量方程，可表示为模值方程和相角方一矢量方程，可表示为模值方程和相角方程。程。1)()(*)()()(11njjmiikPSZSKsGsHsGl模值和相角方程为：模值和相角方程为：minjjinjjmiiKPSZSPSZSK1111*)12()()(1式中：式中：.2,1,0K从这两个方程中可看出，从这两个方程中可看出，l例、设系统开环传递函数为例、设系统开环传递函数为 GK(s)=如何应用根轨迹方程在如何应用根轨迹方程在 S 平面上找到平面上找到闭环极点？闭环极点？K(1s+1)S(T1S+1)(T2S+1)l解：将上式改写为零极点形式解：将上式改写为零极点形式2312111211*211*
8、1,1,01)1)(1()1()(TPTPPZKTTKTSTSSSKsGkP3Z1P2P1S113121、在复平面上画出开环的零极点。一般用、在复平面上画出开环的零极点。一般用 X 表示开环极点的位置，此系统有三个开环极点表示开环极点的位置，此系统有三个开环极点 0、P1、P2;用小圆圈用小圆圈 表示开环零点的位置表示开环零点的位置,此系统有一个开环零点此系统有一个开环零点 Z1 2、在复平面上任取一点在复平面上任取一点 S1，然后画出从各开然后画出从各开环零极点到环零极点到 S1 点的各矢量。点的各矢量。则如果：则如果：,.)2,1,0()12()(3211KK成立，那么成立，那么S1就是根
9、轨迹上的点就是根轨迹上的点l一、根轨迹的分支数一、根轨迹的分支数l二、根轨迹对称于实轴二、根轨迹对称于实轴l三、根轨迹的起点、终点三、根轨迹的起点、终点l四、实轴上的根轨迹四、实轴上的根轨迹l五、根轨迹渐近线五、根轨迹渐近线l六、根轨迹的起始角与终止角六、根轨迹的起始角与终止角l七、分离点坐标七、分离点坐标l八、根轨迹与虚轴的交点八、根轨迹与虚轴的交点l九、根之和九、根之和l 练习：练习：l一、根轨迹的分支数一、根轨迹的分支数l 根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数征方程的阶数 n，也就是分支数与闭环极点也就是分支数与闭环极点的数目相等。的数目相等。
10、l 这是因为这是因为 n 阶特征方程对应有阶特征方程对应有 n 个特个特征根，当根轨迹增益征根，当根轨迹增益 K*=0 时，这时，这 n 个个特征根随特征根随 K*变化，必然会出现变化，必然会出现 n 条根轨迹。条根轨迹。l 闭环极点若为实数，则必位于实轴上，闭环极点若为实数，则必位于实轴上，若为复数，则一定是共轭成对出现，所若为复数，则一定是共轭成对出现，所以根轨迹必对称于实轴。以根轨迹必对称于实轴。l 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点数点，如果开环零点数 m 小于开环极点数小于开环极点数 n，则有则有（n m）条根轨迹终止于无穷远处。条根
11、轨迹终止于无穷远处。根据根轨迹方程：根据根轨迹方程：*111)()(KPSZSnjjmii 根轨迹的起点，即根轨迹的起点，即 K*=0 时的闭环极点，时的闭环极点，当当 K*=0 时，上式右边为无穷大，而左边只有时，上式右边为无穷大，而左边只有当当 S Pj 时，时，才为无穷大，所以才为无穷大，所以 K*=0 时，时，根轨迹分别从开环根轨迹分别从开环 n 个极点开始。即根轨迹起个极点开始。即根轨迹起始于开环极点。始于开环极点。根轨迹的终点，即根轨迹的终点，即 K*时的闭环极点。时的闭环极点。上式可知当上式可知当 K*时，右边为时，右边为 0，而等式左，而等式左边只有当边只有当 S Zi 时，才
12、为时，才为 0。所以。所以 K*时，时，根轨迹终止于各零点。根轨迹终止于各零点。当当 n m 时，只有时，只有 m 条根轨迹趋向于零条根轨迹趋向于零点，还有点，还有（n m）条根轨迹趋向如何？条根轨迹趋向如何？由于由于 n m,当当 S 时，上式可写成时，上式可写成（Zi,Pj 可忽略不计）则：可忽略不计）则：01mnS 当当 K*时，有时，有 n m 条根轨迹趋于条根轨迹趋于 若实轴上某线段的右侧，开环零极点数目若实轴上某线段的右侧，开环零极点数目之和为奇数，则该线段一定为根轨迹段之和为奇数，则该线段一定为根轨迹段。在实轴的根轨迹上取一点在实轴的根轨迹上取一点 S1,一对开环复数零一对开环复
13、数零极点对极点对 S1 的向量对称于实轴，其相角等值反号，的向量对称于实轴，其相角等值反号，在相角方程中将相互抵消，剩余的仅是位于实轴在相角方程中将相互抵消，剩余的仅是位于实轴上的开环零极点对上的开环零极点对 S1 向量，但位于向量，但位于 S1 点左边的点左边的开环零极点对开环零极点对 S1 点的向量相角为零，位于点的向量相角为零，位于 S1 点点右边的开环零极点构成相角右边的开环零极点构成相角 ，故根据相角方程，故根据相角方程，只有实轴上的根轨迹区段右侧的开环零极点数之只有实轴上的根轨迹区段右侧的开环零极点数之和为奇数，才能满足相角方程。和为奇数，才能满足相角方程。如果开环零点数如果开环零
14、点数 m 小于开环极点数小于开环极点数 n，则则当当 K*时，有（时，有（n m）条根轨迹趋向条根轨迹趋向，这（这（n m）条根轨迹趋向无穷远的方位，可条根轨迹趋向无穷远的方位，可由渐近线决定。由渐近线决定。渐近线与实轴交点坐标：渐近线与实轴交点坐标：mnZPnjmiija11mnka)12(K 依次取依次取 0，1,2 一直到出现重复一直到出现重复为止为止。)2)(1()(SSSksGkP1=0,P2=1,P3=2 无零点无零点 有三条根轨迹趋向无穷远，其渐近线与实有三条根轨迹趋向无穷远，其渐近线与实轴的交点坐标轴的交点坐标000116035,2180,1603,0)12(13210aaaa
15、njmiijakkkmnkmnZP0-1-2 一般情况下，如果根轨迹位于实轴上两相一般情况下，如果根轨迹位于实轴上两相邻开环极点之间，则这两极点间至少存在一个分邻开环极点之间，则这两极点间至少存在一个分离点。如果根轨迹位于两相邻开环零点间（其中离点。如果根轨迹位于两相邻开环零点间（其中一个零点可位于无穷远处），那么，这两个零点一个零点可位于无穷远处），那么，这两个零点之间至少存在一个分离点。之间至少存在一个分离点。两条或两条以上的根轨迹的分支，可随两条或两条以上的根轨迹的分支，可随 K*的增大而相遇又立即分开的交点称为根轨迹的分的增大而相遇又立即分开的交点称为根轨迹的分离点或会合点。离点或会合
16、点。分离点即为根轨迹的交点，它必为系统的分离点即为根轨迹的交点，它必为系统的重根，故可由特征方程取导数联解得出。重根，故可由特征方程取导数联解得出。0)()(0)()(1)(111*11*njmiijnjjmiikZSKPSPSZSKsG或：或：对特征方程求导得：对特征方程求导得：0)()(1*1niinjjZSKPSdsdmiinjjZSPS111125.33)1()(2*SSSKsGk试求系统闭环根轨迹的分离点坐标试求系统闭环根轨迹的分离点坐标12.012.2115.115.1125.33)1()(212*dddjdjdSSSKsGkd1 即为所求即为所求 Z1P1P2d23)3()(2*
17、SSSKsGk试求系统闭环根轨迹的分离点坐标试求系统闭环根轨迹的分离点坐标据法则据法则 1：n=2 有两条分支有两条分支 据法则据法则 3：两条分支分别起始于：两条分支分别起始于 1,2 点，一点，一条终止于条终止于 3 点点 另一条为无穷远处。另一条为无穷远处。据法则据法则 4：在开环极点：在开环极点1，2，之间及开环零，之间及开环零点点（3，）之间的实轴为根轨迹）之间的实轴为根轨迹据法则据法则 5：有一条渐近线：有一条渐近线)12()12(kmnkaK=0,则则 =可见渐近线就是根轨迹本身。可见渐近线就是根轨迹本身。l据法则据法则 6：可确定实轴上的分离点与会合点显然：可确定实轴上的分离点
18、与会合点显然l 1 与与 2间的实轴上有分离点，在间的实轴上有分离点，在 3 与与 间间的实轴上有会合点。的实轴上有会合点。41.359.131211121ddddd123l 根轨迹与虚轴的相交，意味着闭环极点为纯根轨迹与虚轴的相交，意味着闭环极点为纯虚根，虚根，l jw，系统处于临界稳定状态。因此将系统处于临界稳定状态。因此将 S=jwl代入特征方程中得：代入特征方程中得：0)(1jwGk0)(1Im0)(1RejwGjwGkk)2)(1()(SSSKsGk解：解：P1=0,P2=1,P3=2 无零点无零点 有三条根轨迹趋向无穷远，其渐近线与实轴的有三条根轨迹趋向无穷远，其渐近线与实轴的交点
19、坐标为：交点坐标为：3)12()12(1321011KmnKmnZPanjmiija0006035,2180,1603,0aaaKKK分离点：分离点：02630)1()2()2)(1(0211112ddddddddddd33116226624366d0)2)(1()(KSSSsD令令 S=jw0)2(30230)23(0)2)(1(32232jwwwKKjwwjwKjwwjwKjwjwjw020332wwwK62Kw012P0P1P22221)(,)5)(2(*)(2sHSSSKsG要求：要求：（1）概略绘制系统轨迹图，判断系统的）概略绘制系统轨迹图，判断系统的稳定性。稳定性。（2）如果改变反
20、馈通路传递函数使）如果改变反馈通路传递函数使 H(s)=1+2S 试判断试判断 H(s)改变后系统的稳定性，研究改变后系统的稳定性，研究 H(s)改变改变所产生的效应。所产生的效应。解解：（：（1）系统无开环有限零点，开环有限极点）系统无开环有限零点，开环有限极点为：为：P1=P2=0,P3=2,P4=5实轴上根轨迹区间为：实轴上根轨迹区间为：5，2，0，0根轨迹渐近线条数为：根轨迹渐近线条数为：4，且：，且：0000315,225,135,4575.1aa由由分离点方程：分离点方程：051212ddd得：得：40)4)(54(ddd0 2 5l（2）当）当H(s)=1+2S 时，系统开环传递
21、函数为：时，系统开环传递函数为：)5)(2()5.0(*)()(21SSSSKsHsG其中其中 K1*=2K*.H(s)的改变使系统增加了一个的改变使系统增加了一个开环零点。开环零点。实轴上的根轨迹区间为：实轴上的根轨迹区间为：，5，2,0.5 0,0 000300,180,6017.2aa系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为:0*2107)(234KSKSSSsD列劳斯表列劳斯表 S4 1 10 K*S3 7 2K*S2 K*S7*270K*270*)491(*KKK当当 K*=22.75 时，劳斯表时，劳斯表 S 行的元素全为零。由行的元素全为零。由辅助方程：辅助方程：025.1595.2
22、4*7*)270()(22SKSKsA0 0.5 2 5 所谓根轨迹的起始角，是指起始于开环极点所谓根轨迹的起始角，是指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平线的正向夹角。的根轨迹在起点处的切线与水平线的正向夹角。而根轨迹的终止角是指终止于开环零点的根轨迹，而根轨迹的终止角是指终止于开环零点的根轨迹，在终点处的切线与水平线的正向夹角。在终点处的切线与水平线的正向夹角。njmijjjijiZmjnijjjijiPZZPZPPZPii1111)()()()()5.15.0)(5.15.0)(5.2()2)(2)(5.1()(jSjSSSjSjSSKsGk试绘制系统的概略的根轨迹试绘制系统的概略
23、的根轨迹1）据法则）据法则 1有有 4 条根轨迹条根轨迹2）据法则）据法则 4 则（则（0 1.5）（）（2.5 ）为实轴上的根轨迹为实轴上的根轨迹 3）据法则）据法则 3 有有 n m=4 3=1 条条 4）据法则）据法则 5 求求 的根轨迹的渐近线的根轨迹的渐近线 mnka)12(5）据法则）据法则 6 00000003142112101)12(37905.10859195.56)12()()()12(2kkPPZPkijjjiPK=0 时时 则：则：00000000413212205.1495.329)12(901175.63121199153)12()()()12(79222Zjiii
24、jZPkkZZPZk0 2.5 1.5l 系统的闭环特征方程在系统的闭环特征方程在 n m 时，可以表示时，可以表示为：为：nininiinininnnnnjmiijSSSSSSaSaSaSZSKPS111111111*)(.)()(.)()(l式中：式中：Si 为闭环特征根为闭环特征根l当当 n m 2 时，特征方程第二次与时，特征方程第二次与 K*无关，无关，无论无论 K*取何值，开环取何值，开环 n 个极点之和总是等于个极点之和总是等于闭环特征方程闭环特征方程 n 个根之和。个根之和。ninjjiPS11 所以当所以当 K*变化时，变化时，为常数，为常数，由此可知系统所有特征根之和为定值
25、，故若有一由此可知系统所有特征根之和为定值，故若有一些特征根增大时，必将有一些特征根要减小，即：些特征根增大时，必将有一些特征根要减小，即：当当 K*增大时，若系统的某些特征根在复平面上向增大时，若系统的某些特征根在复平面上向左移动（即这时对应的根轨迹曲线向左延伸），左移动（即这时对应的根轨迹曲线向左延伸），则必有另一些特征根向右移动（即另一些相应的则必有另一些特征根向右移动（即另一些相应的根轨迹曲线向右延伸）。根轨迹曲线向右延伸）。ninjjiPS11）（12.005.0)105.0()(2SSSSKsGk)42)(42)(20(*)204)(20(400)(12.005.0)105.0()
26、(22jSjSSSKSSSSKsGSSSSKsGkk）（42,20,0400*4,321jPPPKK无零点无零点l1、因为开环有因为开环有4 个极点，故有个极点，故有4条根轨迹条根轨迹l2、确定实轴上的根轨迹（、确定实轴上的根轨迹（0 20）l3、n=4,m=0 所以有根轨迹所以有根轨迹 4 条渐近线的方向和位置如下：条渐近线的方向和位置如下：64)42()42()20(011jjmnZPnjmiija00004547,313545,2135,145,0)12(aaaaakkkkmnk 因开环有一对共轭复数极点，求因开环有一对共轭复数极点，求 P3,4 处根轨迹处根轨迹起始角。起始角。0004
27、3231311333905.125.116)12()()()()12()()()12(kPPPPPPkPPZPkminjjiPK=0 时，时，04033939PP1.1504214212011011114321djdjdddPdPdPdPd系统的特征方程为：系统的特征方程为：0*400100240*)204)(20()(2342KSSSSKSSSSsD令令 S=jw 代入得：代入得：0*)(400)(100)(24)()(234KjwjwjwjwjwD0400240*100324wwKww由：由：解得：解得：47.3,1391*1.4,03,21KKww0202l一、用闭环零、极点表示的阶跃响
28、应解析式一、用闭环零、极点表示的阶跃响应解析式l二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系l三、主导极点与偶极子三、主导极点与偶极子l一、用闭环零，极点表示的阶跃响应解析式一、用闭环零，极点表示的阶跃响应解析式设设 n 阶系统的闭环传递函数为：阶系统的闭环传递函数为：niimiinnnmmmSSZSKaSaSabSbSbsRsCs11110110)()(*.)()()(假设输入为阶跃作用，即假设输入为阶跃作用，即 r(t)=1(t),R(s)=1/SSSSZSKsCniimii1)()(*)(11)(snKKKnnSSASASSASSASAsC10110.
29、)()0()()(*)()(*110110GSZKSSZSKAniimiiSniimiinKiiiKKmiiKSSnKiiimiiKSSSZSKSSSZSKAK1111)()(*)()(*nktSKKeAAtC10)(从上式可看出：系统的单位阶跃响应将由闭环极从上式可看出：系统的单位阶跃响应将由闭环极点点 Sk 及系数及系数 Ak 决定，而系数决定，而系数 Ak 也是与闭环零，也是与闭环零，极点分布有关。极点分布有关。一个控制系统总是希望它的输出量尽可能一个控制系统总是希望它的输出量尽可能复现给定输入量，要求动态过程的快速性，平稳复现给定输入量，要求动态过程的快速性，平稳性要好一些，要达到这一
30、要求，闭环零极点应如性要好一些，要达到这一要求，闭环零极点应如何分布呢？何分布呢？l2、要求系统快速性好，应使阶跃响应式中的每、要求系统快速性好，应使阶跃响应式中的每个分量个分量 eSkt 衰减得快，则闭环极点应远离虚轴要衰减得快，则闭环极点应远离虚轴要求系统平稳性好，则复数极点最好设置在求系统平稳性好，则复数极点最好设置在 Sl平面中与负实轴成平面中与负实轴成 450夹角线附近。夹角线附近。由二阶系统的分析可知，共轭复数极点位于由二阶系统的分析可知，共轭复数极点位于450线上，对应的阻尼比（线上，对应的阻尼比（=0.707）为最佳阻为最佳阻尼比，这时系统的平稳性与快速性都较理想。尼比，这时系
31、统的平稳性与快速性都较理想。l3、要求动态过程尽快消失，要求系数、要求动态过程尽快消失，要求系数 Ak 小小l Ak 小，对应的暂态分量小。小，对应的暂态分量小。nkiiikkmiikkSSSZSKA11)()(*由上式可知，要使分母大，分子小，从而看出，由上式可知，要使分母大，分子小，从而看出，闭环极点之间的间距闭环极点之间的间距(Sk Si)要大，零点要大，零点 Zi应靠近极点应靠近极点 Skl1、主导极点、主导极点 离虚轴最近的闭环极点（复数极点或实数极离虚轴最近的闭环极点（复数极点或实数极点）对系统动态过程性能的影响最大，起着主要点）对系统动态过程性能的影响最大，起着主要的决定作用，称
32、为主导极点。的决定作用，称为主导极点。一般其它极点的实部绝对值比主导极点的实一般其它极点的实部绝对值比主导极点的实部绝对值大部绝对值大 6 倍以上时，则那些闭环极点可以忽倍以上时，则那些闭环极点可以忽略。有时甚至比主导极点的实部绝对值大略。有时甚至比主导极点的实部绝对值大 2 3倍的极点也可忽略不计。倍的极点也可忽略不计。l2、偶极子、偶极子 一对靠近虚轴很近的闭环零极点，称为偶一对靠近虚轴很近的闭环零极点，称为偶极子。极子。从从 C(t)式中可看出，当极点式中可看出，当极点 Sk 与某零点与某零点 Zi 靠得很近时，它们之间的模值很小，则对应的靠得很近时，它们之间的模值很小，则对应的 Ak
33、很小，很小，AkeSkt 也很小，故也很小，故 C(t)中的这个分量可忽中的这个分量可忽略不计略不计l 偶极子这个概念对控制系统的综合设计偶极子这个概念对控制系统的综合设计是很是很 有用的，我们可以有意识地在系统中有用的，我们可以有意识地在系统中加入适当的零点，以抵消对动态过程影响较加入适当的零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，使系统的动态过程获得改善。大的不利极点，使系统的动态过程获得改善。l 工程上，某极点工程上，某极点 Sk 与某零点与某零点 Zi 之间的之间的距离比它们的模值小一个数量级，就可以认距离比它们的模值小一个数量级，就可以认为这对零、极点为偶极子。为这对零、极点为偶极子
34、。l一、系统的稳定性一、系统的稳定性l二、系统的暂态特性二、系统的暂态特性l三、系统闭环极点的确定三、系统闭环极点的确定l一、系统的稳定性一、系统的稳定性 由稳定性的充要条件可知，只有当系统的由稳定性的充要条件可知，只有当系统的全部特征根都在复平面的左半平面上时，系统才全部特征根都在复平面的左半平面上时，系统才稳定。在画系统根轨迹时可以看到，当稳定。在画系统根轨迹时可以看到，当k*=0时，可能出现一部分根轨迹落在右半根平面上的时，可能出现一部分根轨迹落在右半根平面上的情况。于是就存在这样的问题，即要确定情况。于是就存在这样的问题，即要确定k*的取的取值范围，即确定与左半平面的根轨迹对应的那些值
35、范围，即确定与左半平面的根轨迹对应的那些 K*值，系统只是在上述取值条件时，才是稳定值，系统只是在上述取值条件时，才是稳定的。的。)1()(2*SSKsGk有三条根轨迹，有三条根轨迹，n m=3 条根轨迹条根轨迹 渐近线：渐近线：333.03131mnPiia00060,2180,1603,03)12()12(aaaakkkkmnk100.333l 从根轨迹图可以看出，不论系统从根轨迹图可以看出，不论系统 k*取何值，总有两条分支在右半平面上，取何值，总有两条分支在右半平面上，即系统总不稳定。这种不稳定是由于开即系统总不稳定。这种不稳定是由于开环零极点配置即系统的结构决定的，故环零极点配置即系
36、统的结构决定的，故称为结构不稳定系统。称为结构不稳定系统。l 主导极点在动态过程中起主要作用，那么主导极点在动态过程中起主要作用，那么在计算性能指标时，在一定条件下，就可以在计算性能指标时，在一定条件下，就可以只考虑暂态分量中主导极点所对应的分量，只考虑暂态分量中主导极点所对应的分量，将多阶系统近似看作一、二阶系统。将多阶系统近似看作一、二阶系统。)108.001.0)(167.0(1)(2SSSs2.94,5.13,21jSS其零极点分布如图所其零极点分布如图所示：极点示：极点 S1 离虚轴离虚轴最近，所以此系统的最近，所以此系统的主导极点为实数极点主导极点为实数极点S1，而极点而极点S2,
37、3可忽可忽略不计，这时系统可略不计，这时系统可近似看成一阶系统。近似看成一阶系统。11167.01)(TSSsGS1S2S3 式中：式中：T=0.67S 由时域分析可知：由时域分析可知：系统无超调量系统无超调量%=0 ，ts=3T=3 0.67=2S)108.001.0)(167.0()159.0()(2SSSSS零极点分布如图所零极点分布如图所示：极点示：极点S1与零点与零点Z1构成偶极子，故构成偶极子，故主导极点不应是主导极点不应是S1，而是而是S2,3，则系统可则系统可近似为二阶系统。近似为二阶系统。S1Z1S2S3108.001.01)(2SSsG10,4.0n%=25%21e2)4.
38、0(114.34.0eStns88.05.3)15.0)(1()(SSSKsGkKKSSSKSSSKsGk2*)2)(1(*)2)(1(2)(1、作根轨迹图、作根轨迹图有三条根轨迹有三条根轨迹实轴上（实轴上（0 1），（），（2 ）为）为 根轨根轨迹段迹段渐近线夹角与坐标：渐近线夹角与坐标：1321)180,60,60()12(000aamnk012111ddd d1=0.423 ,d2=1.58 d2 不在根轨不在根轨迹段上，故舍去。迹段上，故舍去。求虚轴交点坐标求虚轴交点坐标0*23)(23KSSSsD0*)(2)(3)()(23KjwjwjwjwD0*30223Kwww3*,414.16
39、*,03,21KwKw012 d11.4141.414 当系统开环增益当系统开环增益 K 3 时，根轨迹将有时，根轨迹将有两条分支伸向两条分支伸向S平面的右半部，这时系统平面的右半部，这时系统不稳定，所以系统稳定的开环增益范围为：不稳定，所以系统稳定的开环增益范围为：0 K 0.38 后，根轨迹将进入复平面。后，根轨迹将进入复平面。令令 K*=1.06，可知它必是一个实根在可知它必是一个实根在 2 区间，而另两个根为共轭复根。为此，区间，而另两个根为共轭复根。为此，可先在实轴根轨迹可先在实轴根轨迹 2 间用试探法求取对间用试探法求取对应的实根。应的实根。设所求实根为设所求实根为 S1,则已知则
40、已知 S1=2 时时,K*=0,故可取故可取 S1=2.3 作试探。作试探。S1P3P2P1L3L2L1897.03.03.13.2*321LLLK不是所求的值，同样可再选不是所求的值，同样可再选875.15.05.15.2*5.21KS 应在应在 2.3 2.5 之间之间当当 S1=2.34 时，时，K*=1.06用这种方法，如果开始选的用这种方法，如果开始选的 S1 点离所求值差得点离所求值差得很多，那么就可能要计算很多的点，这样就很麻很多，那么就可能要计算很多的点，这样就很麻烦了，为了更快地接近目标，可以先采一些近似烦了，为了更快地接近目标，可以先采一些近似估计。估计。)()(*1323
41、321PPPPLLLK现在对它们作近似处理，即认为现在对它们作近似处理，即认为 L2=P3-P2,L1=P3-P1,显然，这种近似关系结果，必有显然，这种近似关系结果，必有大于所求的值，正好有利于确定准确的大于所求的值，正好有利于确定准确的 S1 点点范围。范围。53.01206.1*06.1*21LLKK时，时，把这个把这个 值反回去计算对应的值反回去计算对应的05.253.253.153.0*K偏大偏大但这样来，已经把所求的但这样来，已经把所求的 S1 点缩小在点缩小在 2 2.53 的范围内了。以后再根据的范围内了。以后再根据 K*的偏的偏离程度，适当修正离程度，适当修正 值，就可以很快
42、得到比较值，就可以很快得到比较准确的结果。准确的结果。找出实根找出实根 S1=2.34 后，由特征方程式后，由特征方程式006.12323SSS利用除法，把（利用除法，把（S S1）因子提出，就可以得出因子提出，就可以得出另两个特征根。另两个特征根。46.066.006.12334.2223SSSSSS2334.2SS SSSS54.166.0266.022076.146.006.146.0SS016.00)46.066.0)(34.2(06.123223SSSSSS再解：再解：46.066.02SS59.033.03,2jS)22)(3(*)(2SSSSKsGk试求试求 K*=4 时，系统闭
43、环极点值。时，系统闭环极点值。0,4mn0201135,4525.141nPii实轴上的分离点实轴上的分离点 d1=2.29，对应对应 K*=4.3复数开环极点的起始角复数开环极点的起始角06.714,3p0*663220*)22)(3(0*)22)(3(232342222KjwwjwwjwwKjwwjwwKjwwjjwjw0*8065243Kwwww16.8*059.1562Kw013P2P1P3P41.25 2.29l 系统有系统有 4 个特征根，根据所给的个特征根，根据所给的 K*=4,比分比分离点离点 K*=4.3 要小，可判断出在实轴上由两个根，要小，可判断出在实轴上由两个根，即系统
44、在即系统在 K*=4 时有两个实根和两个共轭复根。时有两个实根和两个共轭复根。用试探法求取实根，先有用试探法求取实根，先有 2.29 3 之间之间找第一个根，设此根为找第一个根，设此根为 S2，它与它与 P2=3 的距离的距离为为 ，则，则 S2 对应的对应的 K*应为：应为：224321*)2(1)2(1)3(LLLLKlL1 为为 S2 与与 P1 的长度的长度lL2 为为 S2 与与 P2 的长度的长度lL3 为为 S2 与与 P3 的长度的长度lL4 为为 S2 与与 P4 的长度的长度 作近似处理来估算作近似处理来估算 ，即：，即：27.015415*152121*222KPK94.
45、2)27.02(1 27.0)27.03()2(1)(*222PK偏小，故偏小，故 应再选大些，根据偏小程度，考虑应再选大些，根据偏小程度，考虑 增大引起增大引起（P2 ）和和 1+（2 )2 要减小，要减小，因此因此 增大应比增大应比 K*偏小的程度更高，由此可选偏小的程度更高，由此可选 =0.46 进行计算，得：进行计算，得：94.3)54.11(46.054.0*2K就很接近了，再稍作调整，最后可得出就很接近了，再稍作调整，最后可得出:52.2,48.02S现再找现再找 0 2.29 间的根间的根 S1，也可设也可设 S1 在在 2 点点的右侧的右侧 处近似计算处近似计算21)2(*K
46、得出得出 =0 近似得近似得 S1=2 代入后再计算代入后再计算 K*=212=4 正是所求。正是所求。52.2,221SS为实根为实根86.024.079.048.0468504.552.44,322342jSSSSSSSSS2、二阶系统的闭环极点与、二阶系统的闭环极点与 ,w 的关系的关系nnnnnjSSsG222212)(l 根的实部根的实部 就是闭环极点的横坐标，就是闭环极点的横坐标，虚部虚部 就是闭环极点得纵坐标，根的就是闭环极点得纵坐标，根的 幅值为幅值为 ，相角的补角，相角的补角 l都可在图中找出。都可在图中找出。l 在图中还能看出，具有相同幅值在图中还能看出，具有相同幅值 的根将的根将落在以落在以 为半径的圆上，故把这种圆称等为半径的圆上，故把这种圆称等 线，具有相同阻尼系数线，具有相同阻尼系数 的根将有相同的的根将有相同的 值，值，故以定值故以定值 为倾角的直线称为等为倾角的直线称为等 线。所以若线。所以若已知根的位置，就可以从坐标图确定已知根的位置，就可以从坐标图确定 ，等值，反过来，根据给定的等值，反过来，根据给定的 ，也可以，也可以确定所求的根的位置。确定所求的根的位置。nnj21 nj21nj21nnnnnn21 arctg
