1、电阻串、并联、分压、分流电阻串、并联、分压、分流公式公式欧姆定律和基尔霍夫电流定律及欧姆定律和基尔霍夫电流定律及电压定律电压定律电流、电压和电功率电流、电压和电功率电路中的电位及其计算电路中的电位及其计算受控源的概念受控源的概念 电路及电路模型电路及电路模型1.1 电路及电路模型电路及电路模型1.11.1.1 电路 电路就是电的传送路径，它由电源、负载和中间环节组成，图是按实物画出的手电筒电路的示意图，它由电源（干电池）、小电珠（负载）和开关（中间环节）三部分组成，导线是连接这三部分必不可少的。当闭合开关S 时，正电荷便从电源正极通过导线源源不断地流经小电珠中的灯丝，回到电源负极。灯丝的作用是
2、把电能变成了光能和热能。电路的另一个重要功能是实现电信号的传递和处理。总之，虽然实际电路种类很多，但就其功能来说，可概括为两大类：一是作为能量的传输或转换；二是实现电信号的传递和处理。1.1.2 电路模型 电流、电压和电功率电流、电压和电功率1.2 电流、电压和电功率电流、电压和电功率1.21.2.1 电流在国际单位制（在国际单位制（SISI）中，电流的单位为安培，简称安（）中，电流的单位为安培，简称安（A A），对，对于很小的电流可用毫安（于很小的电流可用毫安（mAmA）或微安（）或微安（AA）甚至纳安（）甚至纳安（nAnA）作为）作为单位，它们的关系是：单位，它们的关系是：安（安（A A）
3、毫安（毫安（mAmA）微安（微安（AA）纳安（纳安（nAnA）1.2.2 电压在国际单位制中，电压的单位为伏特（在国际单位制中，电压的单位为伏特（V V），简称，简称伏。把伏。把 库仑（库仑（C C）的正电荷从）的正电荷从a a 点移到点移到b b 点，电点，电场力所做的功为场力所做的功为 焦耳（焦耳（J J），则，则a a、b b 两点间两点间的电压为的电压为 伏（伏（V V），参考点处认为是零伏（，参考点处认为是零伏（V V）。）。大的电压单位采用千伏（大的电压单位采用千伏（kVkV）表示，对于很小的电）表示，对于很小的电压可用毫伏（压可用毫伏（mVmV）或微伏（）或微伏（VV）作为单位，
4、它们的关系为：）作为单位，它们的关系为：1.2.3 电功率电功率的定义为：单位时间电场力所做的功。为了更具普遍意义电功率的定义为：单位时间电场力所做的功。为了更具普遍意义，这里我们用随时间变化的功率定义式，若在，这里我们用随时间变化的功率定义式，若在dt dt 时间内电场力时间内电场力做的功为做的功为d w d w，则电功率，则电功率p p 为：为：在国际单位制中，功率的单位用瓦特表示，简称瓦（在国际单位制中，功率的单位用瓦特表示，简称瓦（W W），瓦功率等于每秒产生（或消耗）瓦功率等于每秒产生（或消耗）焦耳（焦耳（J J）的功。对于大的功）的功。对于大的功率还可以用千瓦（率还可以用千瓦（kW
5、kW）表示，对于小的功率可以用毫瓦（）表示，对于小的功率可以用毫瓦（mWmW）表）表示，它们的关系为：示，它们的关系为：欧姆定律欧姆定律1.3 欧姆定律欧姆定律1.31.3.1 欧姆定律欧姆定律是电路的基本定律之一，它指出电阻欧姆定律是电路的基本定律之一，它指出电阻R R 中流过电流中流过电流I I 时时，会在两端产生电压降，会在两端产生电压降U U，其值为电阻与电流的乘积，即：，其值为电阻与电流的乘积，即：1.3.3 电阻元件上消耗的功率与能量 基尔霍夫定律基尔霍夫定律1.4 基尔霍夫定律基尔霍夫定律1.41.4.1 名词术语1.4.2 基尔霍夫电流定律1.4.2 基尔霍夫电流定律KCL K
6、CL 的正确性是容易理解的，因为对任一节点，如任意时刻流入的正确性是容易理解的，因为对任一节点，如任意时刻流入和流出该节点的电流不相等，将会发生电荷堆积现象，这是不可和流出该节点的电流不相等，将会发生电荷堆积现象，这是不可能的。能的。KCL KCL 不仅适用于电路中的节点，也可推广到电路中任意假不仅适用于电路中的节点，也可推广到电路中任意假设的封闭面。例如图所示电路，用虚线框对三角形电路做一封设的封闭面。例如图所示电路，用虚线框对三角形电路做一封闭面，根据图上各电流的参考方向应用闭面，根据图上各电流的参考方向应用KCL KCL 时，则有：时，则有：1.4.3 基尔霍夫电压定律如图如图 所示回路
7、，按照外回路所示回路，按照外回路abcdea 的方向巡行一周，以图中的的方向巡行一周，以图中的参考方向为准，电压降低的有参考方向为准，电压降低的有U、U、U，升高的有，升高的有US、US，即：，即：因此因此KVL 还可叙述为：对于电路还可叙述为：对于电路中的任何一个回路，任一瞬间，中的任何一个回路，任一瞬间，沿任一闭合回路巡行一周，各段沿任一闭合回路巡行一周，各段电路电压的代数和等于零。电路电压的代数和等于零。电路中的等效电路中的等效1.5 电路中的等效电路中的等效1.51.5.1 电阻的串联1.5.2 电阻的并联 电路中的电位及其计算电路中的电位及其计算1.6 电路中的电位及其计算电路中的电
8、位及其计算1.6戴维南定理及最大功率传输戴维南定理及最大功率传输定理定理弥尔曼定理及节点法求解电路弥尔曼定理及节点法求解电路电压源与电流源等效互换的解题方法电压源与电流源等效互换的解题方法用网孔电流法及回路电流法求用网孔电流法及回路电流法求解电路解电路叠加定理及置换定理叠加定理及置换定理 电压源和电流源及其等效变换电压源和电流源及其等效变换2.1 电压源和电流源及其等效变换2.12.1.1 电压源2.1.2 电流源2.1.3 实际电压源与电流源的等效变换 节点电位法2.2 节点电位法2.22.2.1 弥尔曼定理2.2.1 弥尔曼定理2.2.1 弥尔曼定理2.2.1 弥尔曼定理 等效电源定理2.
9、3 等效电源定理2.32.3.1 戴维南定理2.3.1 戴维南定理2.3.1 戴维南定理2.3.2 诺顿定理2.3.3 戴维南等效电路的开路电压UO 及等效内阻RO2.3.3 戴维南等效电路的开路电压UO 及等效内阻RO上述直接测量短路电流的方法很不安全，因为事先并不知道RO 的大小，若实际电路的RO 很小，则将有很大的电流IS 输出，这是很危险的，因此，不要轻易采用这个方法。较好的方法是像图（b）那样，用一个已知阻值的电阻RL 接入电路中，并用电压表测量出路端电压U，则由全电路欧姆定律得:最大功率传输定理2.4 最大功率传输定理2.4由全电路欧姆定律知:则电源传输给负载RL 的功率为:由数学
10、知识知道，将RL 当做变量，PL 作为函数，当PL 取极值时，它的导数应为零，由此得出：当RO 与RL 相等时，RL 上的功率PL 最大，即:网孔电流法与回路电流法2.5 网孔电流法与回路电流法2.52.5.1 网孔电流法2.5.2 回路电流法网孔电流法是以网孔电流作为未知数所列的方程，即式实际上为网孔电压的KVL 方程，因此方程式中的每一项都对应一个电压项。而图（a）中，网孔A 中有一个A 电流源，因为电流源两端的电压取决于外电路，所以它两端的电压无法用确定的电压项表示出来。若把它两端电压也设为一个未知数，则必然要多出一个方程来，求解时工作量就更大了，而根据KVL，只要一个回路中无电流源，则
11、每一个电压项都可用电流与电阻之积表示出来，或用电压源电压表示出来。这就提示我们在选择网孔时应尽量避开电流源。2.5.2 回路电流法 叠加定理和置换定理2.6 叠加定理和置换定理2.62.6.1 叠加定理2.6.1 叠加定理故电流所以2.6.1 叠加定理2.6.1 叠加定理2.6.2 置换定理置换定理可表述为：在电路中置换定理可表述为：在电路中1.若某部分电路两端的电压若某部分电路两端的电压U 为已知，则可用一个理想电压源为已知，则可用一个理想电压源US U 去置换该部分电路。去置换该部分电路。2.若流过某部分电路的若流过某部分电路的电流电流I 为已知，则可用为已知，则可用一个理想电流源一个理想
12、电流源IS I 去置换该部分电路。去置换该部分电路。3.若该部分电路的电压若该部分电路的电压U 和电流和电流I 都已知，还都已知，还可用一个电阻可用一个电阻R U I 去置换该部分电路，置去置换该部分电路，置换以后其余部分的电压换以后其余部分的电压电流均保持不变。电流均保持不变。电路分析方法举例2.7 电路分析方法举例2.7用三要素公式求解一阶动态用三要素公式求解一阶动态电路的全响应电路的全响应电感、电容串、并联的等效计算电感、电容串、并联的等效计算 换路定律及换路定律及“0+图图”的建立的建立零输入响应和零状态响应、暂零输入响应和零状态响应、暂态响应和稳态响应态响应和稳态响应 3.1 电容、
13、电感和换路定律 3.1 电容、电感和换路定律3.1.1 电容元件电容元件的模型或符号如图3.1（a）所示，中学物理中已学过，电容的定义为：升高单位电压所需要的电量。若用Q表示电容C升高电压U所需要的电量，如图3.1（b）所示，3.1.1 电容元件电容的单位为法拉，简称法（F），比它小的单位有微法（F）或皮法（pF），它们的关系为由于电容主要使用在动态电路中，即电压、电流随时间而变化，因而本章中用到的电压、电流、电量等均使用小写字母，则对（-）式可表示为将（-）式两边对时间求导数，并注意到 ，可得这就是电容上流过的电流与其两边电压的关系，如图.（d）所示，其参考方向见图.（c），i、u 为关联方
14、向。若已知电容上的电流，要求其两端的电压，可由（-）式得从（-）式可以得到一个重要的结论：电容两端的电压不会发生突然变化，即不能突变。这是因为电压是由电流随时间积分而来的，时间变化趋于零，其两端电压的变化当然趋于零。如果以时间t 为时间的参考点，则图.（a）电路中开关S 合上之前的瞬间表示为t ，图.（b）开关S 刚合上的瞬间表示为t 。假设t 时电容上电压为uC（），t 时电容上的电压为uC（），由于电容两端电压不能突变，得（-）式表明，无论u 的值为正还是为负，由于平方的关系，WC（t）不可能为负值，即电容所存储的能量一定大于或等于零。3.1.2 电感元件把金属良导体绕在一骨架上就构成了一
15、个实际的电感器，如图.（a）所示。骨架是电绝缘的，金属良导体一般用的都是外层涂有一层绝缘漆的漆包铜线，俗称漆包线，电感元件的模型或符号如图.（b）所示。中学物理学过所谓的磁生电、电生磁，在图.4 线圈中加入电流，按右手螺旋法则，可判断出由电流i 产生的磁场的北极N 和南极S 来，如图.4（a）中所标出的N、S，因为电流越大，产生的磁性就越强，它们间是成正比的。如果用磁链 表示磁性的强弱，比例系数用L 表示，则有3.1.2 电感元件这里的比例系数就是电感，它的单位是亨利，简称亨（H），比它小的单位有毫亨（mH），微亨（H），它们的关系是3.1.3 换路定律将（3-5）式和（3-10）式写在一起，
16、即得到换路定律的数学表达式为换路定律可表述为：当电路中开关合上后的瞬间，电容上的电压值uC（0+）和电感上的电流值iL（0+），分别等于开关合上前的瞬间电容上的电压值uC（-），和电感上的电流值iL（0-）。换句话说，就是电容两端的电压不能发生突变，电感内的电流不能发生突变。应该特别指出的是，除了uC 和iL 外，电路中其他任何地方的电压和电流都是可以发生突变的，当然也包括电容上的电流iC 和电感上的电压uL 在内。为了分析电路方便，我们引入+图的概念，即在开关合上后的图中，根据uC（+）=uC（-），在t=+时刻，可把电容C 用一个电压源来代替，这个电压源的电压值就是uC（+），同样把电感L
17、 用一个电流源来代替，这个电流源的电流值就是iL（+），这样代替后的图叫做+图。在+图上，就可以很方便地计算出换路后的瞬间，即t=+时，电路中各处电压u（+）和电流i（+）的值，应当注意：所计算的只是t=+瞬间的值，也可称其为初始值。3.2 电感、电容的串并联电感、电容的串并联 3.2 电感、电容的串并联电感、电容的串并联3.2.1 电感的串联和并联大家已经知道，电阻的串、并联公式为图.（a）为电感L 与L 相串联的电路，图.（b）为它的等效图，注意，串联电路中电流处处相同，由（-）式得在图.（a）中，电压u u u，即又由图.（b）得因为图.（a）和图.（b）等效，所以有3.2.1 电感的串
18、联和并联可见电感串联公式与电阻串联公式相同，因此与电阻串联分压公式一样，电感对交流电压的分压公式为图.（a）为电感L 与L 相并联的电路，图.（b）为它的等效图。图中假设电流的增量为di，方向与电压u 为关联参考方向，注意到并联电路中各支路电压是相等的，在图.（a）中，由式（-）得3.2.2 电容的串联和并联图.（a）为电容C 与C 相串联的电路，图（b）为它的等效图，注意到串联电路中电流处处相等，图中假设了电压的增量为d u，方向与电流i 为关联参考方向。3.2.2 电容的串联和并联可见电容串联公式与电阻并联公式形式相同。因而它的分压式应与电阻并联时的分流式相同，故有电容的交流电压分压公式为
19、3.2.2 电容的串联和并联图3.11(a)为电容c1与c2 相并联的电路，图3.11(b)为它的等效图，注意到并联电路中，各支路电压相等，因而由(3-3)式 得图3.11(a)中的电流i 和图3.11(b)中的电流i 分别为可见电容的并联公式反而和电阻串联的公式相同，因而它的分流关系也应与串联电阻的分压关系相同，故有电容的交流电流分流公式为 3.3.3 动态电路的方程及三要素公式动态电路的方程及三要素公式 3.3 3.3 动态电路的方程及三要素公式动态电路的方程及三要素公式3.3.1 方程的建立分析动态电路，首先要建立描述该电路的微分方程，与分析电阻电路类似，动态电路方程的建立仍是利用KCL
20、、KVL 和元件R、L、C 各自的电压与电流关系（VAR）。电路中只含有一个电容或只含有一个电感的叫做一阶电路，当然对于多个L 或多个C 的串并联，我们可以用它们的串并联公式等效为一个总的电感或电容，也就化成了一阶电路。3.3.1 方程的建立图.（a）为只含有一个电容的RC 串联电路，当开关S 闭合后，如图.（b），电路中就有电流产生，对C 充电，电容上的电压就随着时间的增加而变化。下面我们以uC 为未知量，来分析图（b）的KVL 方程的列法。3.3.1 方程的建立图.（a）为只含有一个电感的RL 串联电路，当开关S 闭合后，如图.（b）所示，电路中就有电流iL 产生，下面我们以iL 为未知量
21、来分析图.（b）KVL 方程的列法。3.3.2 一阶微分方程的求解将式（3-22）和式（3-23）相对比，可以看出，它们都有着相似的形式。等式左边第一项都是一个变量对时间的导数，因而可统一用 来表示。第二项都是变量前有一个系数，如果这里用=RC，或=来表示系数的分母，则第二项也相同，都可以统一表示为 ；等式右边都是一个常数，这是因为US 和R、L、C 在电路中都是常数之故，因而等式右边可用常数FS 表示，这样，我们可把式（3-22）和式（3-23）统一写成3.3.2 一阶微分方程的求解解出了这个微分方程后，只要把（3-22）式和（3-23）式中相应的 值代入即可。即只要解出了（3-24）式，就
22、等于同时解出了（3-22）式、（3-23）式两个方程，大大减小了工作量。根据数学知识知道，微分方程的完全解等于它的齐次解与特解之和，即全解全解 齐次解齐次解 特解特解3.3.2 一阶微分方程的求解解出了这个微分方程后，只要把（3-22）式和（3-23）式中相应的 值代入即可。即只要解出了（3-24）式，就等于同时解出了（3-22）式、（3-23）式两个方程，大大减小了工作量。根据数学知识知道，微分方程的完全解等于它的齐次解与特解之和，即全解 齐次解 特解齐次解指的是式（3-24）中，等式右边的常数为零时，微分方程的解，特解则具有与FS完全相同的形式，即FS 为常数，特解也应为常数。3.3.2
23、一阶微分方程的求解齐次解指的是式（3-24）中，等式右边的常数为零时，微分方程的解，特解则具有与FS完全相同的形式，即FS 为常数，特解也应为常数。第一步：先求齐次解，即上式可变形为两边分别积分得其中，C 为常数，如果尚未学过积分，我们可以将上式求导后发现，的确得到了（-）式，所以验证了（-）式是正确的。常数C 本身可正、可负，也可为零，因而我们可用lnA 来代替，这是因为当A 为正；当A=时，C=ln=，可见用lnA 完全完全可以代替常数C。将C=lnA 代入（3-27）式，并移项到左边得即齐次解为y Ae-t，为了不与全解y 相混淆，可把齐次解写为y，即3.3.2 一阶微分方程的求解第二步
24、：特解具有与FS 完全相同的形式，因为FS 为常数，所以我们可以设特解为常数K，由（3-25）式知全解y 为第三步：确定完全解（3-28）式中的常数A 和K。当t 时，由（3-28）式知 3.3.零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 3.3.零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应3.4.1零输入响应零输入响应的定义是：在换路后的电路中，当外加激励为零，即电压源和电流源都为零时，仅由uC（+）或iL（+）所产生的响应。这里的“零输入”指的就是电压源US=，电流源IS=。由于电容上初始电压uC（+）在换路后不为零，它所存储的电能将对电路中的电阻进行放电，随着时间t 的增加，其两端电压
25、将逐渐减小，当t 时，电容两端的电压最终降为零，即uC（）=。同理，由于电感中初始电流iL（+）在换路后不为零，它所存储的磁能也将通过电路中的电阻放电，当t 时，也有iL（）。由三要素公式知道，当y（）时，有3.4.1零输入响应（3-32）、（3-33）式中使用了下标x，它表示所求的响应为零输入响应，今后凡指明要求电路中某处电压或电流的零输入响应时，都要带上这个下标。3.4.2 零状态响应零状态响应的定义是：在换路后的电路中，当电路的初始储能为零，即uC（+）、iL（+）都为零时，仅由电压源US 和电流源IS 所产生的响应。这里的零状态指的就是电容上的初始值uC（+）=V，电感上的初始值iL（
26、+）=A。对于电容和电感，由于初始状态为零，由三要素公式可知在求零状态响应时应注意以下几点：l因为是求零状态响应，即使在换路后的电路中电容和电感的初始状态不为零，也必须把它视为零，即在画+图时，令uC（+）=V，iL（+）=A。l除了求uCf（t）和iLf（t）可用公式（3-34）外，在求电阻或某一支路的电压和电流的零状态响应时，绝不能使用类似（3-34）的公式。这是因为零状态只是针对电容电压uC（+）和电感电流iL（+）为零而言的。由换路定律知道，电容两端电压和电感中的电流在换路前后瞬间是相等的，即二者不可以突变。除此以外，电路其他各处的电压和电流都是可以突变的，即y（+）一般是不为零的，因
27、而仍应按三要素法先在+图上求出y（+），并求出y（）和时间常数 后，代入三要素公式才能正确求出零状态响应yf（t）。l直接使用三要素公式来求包括电容电压、电感电流在内的yf（t）也完全可以，但必须按照零状态响应的定义，令换路后的uC（+）=，iL（+）=才行。3.4.1零输入响应因为零输入响应yx（t）是只考虑了电源为零而仅由初始状态uC（+）、iL（+）对电路的作用结果，零状态响应yf（t）是只考虑了初始状态为零而仅由电源对电路的作用结果，而全响应是考虑了上述两种情况的共同结果，故由叠加定理得全响应 零输入响应 零状态响应即 3.5稳态响应和暂态响应 3.3.5稳态响应和暂态响应3.5 稳态
28、响应和暂态响应全响应不仅可以看做零输入响应和零状态响应两部分之和，还可以看成为稳态响应和暂态响应两部分之和，这种不同的区分方法，为从不同角度研究实际电路提供了方便。将三要素公式重写如下式中第二项为暂态响应，它随着时间t 将趋于零，因而只是一个暂时的现象，所以称为暂态响应，这一部分表明了在换路后对电路的冲激情况。为了清晰，将稳态响应与暂态响应表示如下 3.63.6求解一阶动态电路的方法求解一阶动态电路的方法 3.63.6求解一阶动态电路的方法求解一阶动态电路的方法3.5 稳态响应和暂态响应求解一阶动态电路的方法，简单地说，就是要充分使用好三要素公式。求全响应时，即使求零输入响应和零状态响应，只要
29、从它们的定义出发，也完全可以仅使用三要素公式把它们求出来，而不必记忆其他那些从三要素公式派生出来的公式。下面给出几种常见情况的一阶电路用三要素法求解的方法和步骤。.待求的变量为iL、uL 和uC、iC这种情况不必画出 图，它可以借助换路定律直接得到uC（+）、iL（+），具体步骤为3.5 稳态响应和暂态响应.电路中含有多个电感或电容这种情况可先用串并联公式（3-14）、（3-16）、（3-18）、（3-20）将其化简后，用一个总的L 或总的C 来代替，就变成了典型的一阶电路，然后用三要素公式求解即可。.电路中既有电感L,又有电容C这种情况往往看起来像二阶电路，要仔细分析，一般说来都可以化成两个
30、单独的一阶电路，因而也就有两个单独的时间常数 L R，RC，同时应在两个单独的一阶电路中分别计算其他两个要素y（+）和y（）。.含有受控源的电路对于这类电路的求解，只要记住受控源是随着某一处电压或电流的变化而变化的，再记住求R 时，必须用戴维南等效源中求RO 的方法，则含受控源的一阶动态电路仍可用三要素法方便地求解。本章对含有受控源电路的情况不做过高要求，因而后面只举一个例子来说明怎样应对这种情况就可以了。正弦稳态电路有功功率的计算正弦稳态电路的欧姆定律相量形式和绝对值形式单一元件的相量形式及其平均功率相量模型图和相量图串、并联与混联电路的分析方法 4 4.1 正弦电压和电流正弦电压和电流 4
31、.1 正弦电压和电流正弦电压和电流4.1.1 正弦量的三要素按正弦规律变化的周期信号称为正弦交流电，简称交流电。正弦信号的瞬时表达式可以用正弦函数来表示，也可以用余弦函数来表示，二者在本质上相同，本教材采用余弦函数表示正弦信号。对于电压和电流，由于都是变化的信号，应该采用小写字母表示为其中，Um、Im 称为正弦信号的振幅或者最大值，规定用大写字母加下标m 表示。称为角频率，或角速度，其单位是弧度秒，或rads，它表示交流电在单位时间内变化的弧度数。如果正弦量变化一个周期所用的时间是Ts，而一周就是 弧度，并考虑到周期的倒数为频率f，则角频率和周期分别为4.1.2 相位差（4-1）式中的（t u
32、）或（t i）称为正弦信号的相位角，任何两个频率相同的正弦量之间相位角的差简称为相位差。例如（4-1）式中两个正弦变量u 和i 间的相位差为可见对两个相同频率的正弦信号来说，相位差就等于它们的初相差。若，即u i，常称为电压超前电流 角，或称为电流滞后电压 角；若，即ui，则称为电压滞后电流 角，或称为电流超前电压 角。必须指出：两个正弦量比较相位时，必须是同频率、同函数、同符号，并且相位差角的绝对值小于或等于180的前提下，才能确定超前与滞后的关系，因此，在比较相位之前，首先应把给出的各种正弦电压、电流都变成正系数的余弦函数，之后才能用公式（4-4）去求它们之间的相位差。4.1.3 有效值有
33、效值的定义是：让正弦信号和直流电分别通过两个阻值相等的电阻，如果在正弦信号变化一个周期T 的时间内，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电的值为正弦信号的有效值。在图.（a）中，电阻R 中通过直流电流I，它的功率 ，在T 时间内消耗的电能为 ，其中T 为交流电一周所用的时间，即周期。4 4.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法 4.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法4.2.1 相量对于（-）式所表示的交流电压和电流，在分析计算中很不方便，例如在并联电路中，两条支路的电流分别为它们的总电流为 (4-7)在图.（a）所示的直角坐标系中，我们设想以（-）式中的电流振幅Im 作
34、为长度的有向线段，以初相角i 为起始位置，开始以角速度 逆时针绕原点旋转，则Im 在x 轴上的投影即为（-）式，如图.（b）所示。像这样既有大小，又有方向的线段称之为向量，这样就把正弦电流的瞬时值与向量的旋转联系起来了。为了区别力学中的向量，交流电中常称为“相量”。图.求两个力的合力如果有两个这样的有向线段Im和Im，都以角速度 绕原点旋转，并且初相角分别为 和，则在整个旋转过程中，由于角速度 都相同，它们的相对位置，即夹角-是不变的。这就给我们一个启示，如果暂时抛开（-）式中的t，即认为t=，先用力学中求合力的方法，求出Im 与Im的振幅之和Im 及与x 轴的夹角i 来，最后再考虑到旋转情况
35、下的角速度，则就得到了两个电流i、i 求和的完整结果为4.2.1 相量图.中两个力F，F 为已知量，现在要求它们的合力F。用正交分解法知道F 在x 轴上的分量为，在y 轴上的分量为；F 在x 轴上的分量为，在y 轴上的分量为。若直接用数学式表达出F 和F 却很容易混淆，例如F ，从中看不出 和 中究竟哪一个代表x轴分量，哪个代表y 轴分量。如果借助复数平面来表示，即y 轴用 作为单位，即中学学过的i ，在电学中为了与电流符号i 区别开来，这里用j ，则y 轴就为虚轴jy，在这样的规定下，F 和F 可以分别表示为4.2.1 相量这样我们就很容易看出F 在x 轴上的分量是，在y 轴上的分量是，不会
36、再混淆了。求它们的合力时，实轴x 上两个力的分量之和为Fx ；虚轴jy 上的两个力的分量之和为Fy ，可得到图.的A 点，连接原点O 与A 点，就得到了合力F 的大小和方向。这与用平行四边形法则得出的结果完全一样。若直接用复数来做，可得合力F 的大小为 与x 轴的夹角用 表示为 可见利用复数这一工具，求合力是很方便的。对于求两个电流（或电压）之和，也可以用类似的方法，例如i1 5cos（t+63.435）A，i2 10cos（t+18.435）A，如前所述先抛开t 不管，则I1m在x 轴上的分量为5cos63.435=，在y 轴上的分量为5sin63.435=2；I2m 在x 轴上的分量为10
37、cos18.435=3，在y 轴上的分量为10sin18.435=1，因此在图4.4的复平面上可表示为由复数运算可得振幅与x 轴的夹角为这时，再考虑到t，即可写出两个电流之和为综上所述，利用复数这一工具可以很方便地求出两个电流或两个电压之和。求差运算与此类似，此处不再赘述。用复数表示电压、电流，要用 或 表示。字母上边的小黑点是为了区别电量毕竟不同于像力这样的物理量，我们把它叫做相量。例如I 既表示了电流有大小，同时又有初相角这样两重含义，即 ，因此图畅 电流相量可写为 如前所述，采用虚轴后，在复平面上进行加减运算与直角坐标系中的运算没有什么不同，但对乘除运算来说就大不相同了，这主要得力于欧拉
38、公式显然，欧拉公式将和的形式变成了指数形式。4.2.1 相量4.2.2 正弦交流电相量计算法的两套公式把电流、电压相量的四种表示形式及其含义表示如下各字母所代表的含义由图4.6中可明确看出。4.2.2 正弦交流电相量计算法的两套公式若用有效值相量表示正弦交流电，则相应有应当注意，相量式中只包括了正弦交流电的两个要素：振幅和初相。另外，从欧拉公式 中，我们令 ，还可以推导出一个很有用的数学关系。4.2.2 正弦交流电相量计算法的两套公式我们在 式中定义了复阻抗Z，简称阻抗Z，为什么不叫电阻呢？这是因为交流电路中不仅用到电阻R，还要用到电容C，电感L，它们对交流电流都表现出各自不同的特性，这个特性
39、统一叫做阻抗。由式知并注意到我们可以得出两套公式（注意有效值电压、电流的相应公式）（4-16）（4-17）（4-18）（4-16）式称为欧姆定律的相量形式，Z 称为复阻抗。在（4-17）式和（4-18）式中，Z称为阻抗模，称为阻抗角。为了方便叙述，我们把（4-17）式称为欧姆定律的绝对值形式，简称绝对值形式。使用这两套公式时应注意以下几点：u一定要配套使用，若用（4-16）式，电流、电压都要用相量形式，阻抗Z要用复阻抗，并且要用振幅相量，即电流电压都要用振幅，要用有效值相量，则电流、电压都必须是有效值相量。u若用（4-17）式，则电流、电压都必须是它的模值，阻抗也必须是它的模，并且是用电流、电
40、压的振幅值，它的有效值也必须配套使用。u两套公式间互变时利用的桥梁是（4-18）式。4.3 4.3 单一元件的相量形式及其平均功率单一元件的相量形式及其平均功率 4.3 4.3 单一元件的相量形式及其平均功率单一元件的相量形式及其平均功率4.3.1 电阻元件在图4.8（a）的正弦交流电路中，设定了u 和i 为关联参考方向。如果u 和i 为由（4-19）式写出它们的相量形式为4.3.1 电阻元件4.3.2 电感元件设有一电感元件L，其电压、电流采用关联参考方向，如图畅（a）所示，当通过电感的电流为其相量形式写为 为了求出电感电压相量与电流相量的关系，由（3-8）式知4.3.3 电容元件设有一个电
41、容元件C，其电压、电流采用关联参考方向，如图畅（a）所示。当电容两端的电压为 时，与电感处理方法一样，用 来代替初相角，可得相量4.3.3 电容元件由（4-28）式得出的电容电路的相量模型如图4.10（b）所示。由（4-15）式知-j=-，因此按照（4-28）式得出一个重要结论：电容C 两端的电压滞后它的电流，若以电流 作为参考相量，将它们画在相量图上，如图4.10（c）所示。如果以电流作为参考相量，即 ，则电流 ，因为电容电压滞后电流，则瞬时电压u 可表示为4.3.4 正弦交流电路的平均功率在正弦交流电路中，电感和电容是不消耗平均功率的，只有电阻消耗平均功率，因此只要在一个电路中知道了每个电
42、阻两端的电压或流过它的电流的有效值，就可用 式求出功率来。但在许多电路中，这往往是不能如愿的，为此我们应找出计算交流电路平均功率的一般计算式，并进一步验证电感、电容不消耗平均功率。假设一个任意的由电感、电容、电阻等多个元件构成的复杂电路，如图4.11（a）所示，图中i、u 取关联参考方向，若已知i、u 分别为4.3.4 正弦交流电路的平均功率这里顺便介绍一下电工技术中常用的几个有关功率的术语。u有功功率：指电路中真正消耗掉的平均功率，即 ，单位为W，称为瓦。u视在功率：即用交流电压表和电流表分别在图4.11（a）这样的电路中测量出来的电流、电压有效值的乘积，即PS IU，单位为VA，称为伏安。
43、所谓“视在”，是指看起来好像有PS 这么大的功率。u无功功率：也就是不消耗电能的功率，即Q UIsin，单位为Var，称为乏。以上三个功率用三角形表示为图4.12所示，简称为功率三角形。显然，功率因数cos 越接近 越好，这样电网将不会去做无功功率，无功功率并不消耗平均功率，但它将影响整个电网的供电电流。4.4 4.4 正弦串联电路和并联电路正弦串联电路和并联电路 4.4 4.4 正弦串联电路和并联电路正弦串联电路和并联电路4.4.1 正弦串联电路图4.14（a）为典型的串联电路，图4.14（b）为它的相量模型。4.4.2 正弦并联电路图4.16（a）为典型的并联电路。若在图4.16（a）上研
44、究电流变化规律也是很困难的，但在相量图4.16（b）上，由于KCL、KVL 仍然成立，我们完全可以按照直流电路的方法来分析，例如由分流关系可求出当然也可由并联电路两端电压相同，直接由 得 4.5 4.5 混联电路的分析混联电路的分析 4.5 4.5 混联电路的分析混联电路的分析串联或并联电路可以解决电工技术中的许多问题。例如，用电器都是并联接在V交流电源上的，而就某一个用电器来说，又可能是由几个元件串联后再接到V 电源上的。上一节介绍的方法对这些情况基本都可获得圆满的分析结果，而且用上节例4-6中介绍的方法二，还可避开繁杂的复数运算。我们学习交流电路的分析，不单单是对强电而言，对于各种微弱的、
45、频率较高的正弦信号来说，单纯的串联或并联电路就较少了。虽然有些强电或弱电信号的混联电路可以忽略某些次要因素后变成单一的串、并联电路，但必竟有些混联电路无法变成简单电路，因此必须学习一些分析混联电路的基本方法。一般说来，混联电路仍然可以沿用直流电路的分析方法，但必须在电路的相量模型图上才能这样做，因此应该首先画出相量模型图来，然后才能使用分压分流法、弥尔曼定理、戴维南定理、网孔法、叠加定理等方法进行分析，显然，复数运算是无法避开的。4.6 4.6 正弦交流电路分析方法举例正弦交流电路分析方法举例 4.6 4.6 正弦交流电路分析方法举例正弦交流电路分析方法举例正弦电路分析的基本依据，概括起来说，
46、就是“两套公式、两个图”。两套公式指式的欧姆定理相量形式和式的绝对值形式；两个图指的是交流电路的相量模型图和表示超前滞后关系用的相量图。为了清晰，下面对比列出两套公式，如表.所示 4.7 4.7 三相电路简介三相电路简介 4.7 4.7 三相电路简介三相电路简介图.为三相发电机产生的三个正弦电压，我们把每个电压称为一相，称为相电压。相电压是相对于发电机组内的三个绕组的公共端而言的，而公共端常连在一起，并接地，因此参考地就是大地。图.的三个交流电压相量分别是 ，彼此相差120，由于发电机通常是顺时针旋转的，所以 在第三象限，因而相量 应该写成 ；而 本应写成 ，但按照相量图中角度的规定，角度的绝
47、对值不能超过180，因此将 发电机组输出的三个相电压有效值是相等的，若我们用UP 表示，则4.7.1 相电压4.7.2 线电压4.7.2 线电压如果用力学上矢量加法的平行四边形法则，也可计算出线电压的有效值，如图4.34中的虚线所示。三个相电压是对称的，故有4.7.3 线电压三相电路的负载由三部分组成，其中每一部分称为一相负载，若三相负载阻抗Z 相同，则称为对称三相负载。图4.35为三相四线制的Y-Y 系统，图中ZO为中线阻抗。三相电路中，端线电流 称为线电流，而流过各相负载的电流 称为相电流，显然在Y-Y系统中，相电流和线电流是相等的。4.7.3 线电压我们来计算中线ZO 两端电压 ，显然这
48、是个两节点电路，一个节点选做参考地，则由弥而曼定理得4.7.3 线电压由此可得出两个重要结论：在负载对称的Y-Y 系统中，中线上的电压为V，因而在计算时，可把它当做短路。若每相负载吸收的功率为 ，则三相用电的总功率为在负载对称的Y-Y 系统中，中线内的电流为A，因此可以把它当成开路，即可以去掉中线，从而三相四线制就变成了三相三线制。这就是为什么电力系统中用高压线送电时只使用三根高压线的原因，很明显，这不仅节省了25 的有色金属导线，而且送电系统因少用一根线而大大减少了架线费用。在用户一方用电时，应尽可能将三相负载设计成一致。此外，还应在图4.35的“O”点埋接地线，以免各小用户在负载不一致时，
49、其负载两端电压会从220V 升高而损坏电器。可见“O”点地线的牢靠接地十分重要。理想变压器的变压、变流及变阻抗关系含互感电路的分析方法耦合电感及去耦等效含理想变压器电路的分析方法 5.1 5.1 耦合电感元件耦合电感元件5.1 5.1 耦合电感元件耦合电感元件5.1.1 耦合电感的基本概念图5.1（a）为电感L 的电流i 与产生的磁链 11的关系图，图5.1（b）为电感元件的模型，由第3章（3-7）式、（3-8）式中知道图5.1.2 互感系数M5.1.3 耦合电感的电压、电流关系5.1.4 同名端的判别方法根据右手螺旋法则判断磁通相助、相消是不难的。例如图5.3 中，先假设出电流 的流向，根据
50、 流入端的方向，若用右手螺旋法则判断出磁通相助，则这两个流入端为同名端，当然另外两端也为同名端，如图5.3（a）中的a与c、b与d 为同名端，而a与d、b 与c 则为异名端；若磁通相消，则流入端为异名端，例如图5.3（b）中的a与c为异名端，当然a与d 就为同名端了。5.2 5.2 耦合电感的去耦等效耦合电感的去耦等效5.2 5.2 耦合电感的去耦等效耦合电感的去耦等效5.2.1 耦合电感的串联等效5.2.3 耦合电感的T 型等效.同名端为公共端的T 型去耦等效图5.10（a）为一互感线圈，由图上的两个小黑点知道，L 的b 端与L 的d 端为同名端，当然a、c 也是同名端，同名端只标在两个端点
