1、固体电子学固体电子学成绩考核成绩考核平时成绩（平时成绩（40）考试成绩（）考试成绩（60）平时作业：独立完成期末考试：闭卷考试(?)第一章：晶体的结构和晶体的结合第一章：晶体的结构和晶体的结合固体固体晶体晶体非晶体非晶体（研究固体的开始）1.1晶体的特征与晶体结构的周期性1.1.1 晶体的特征晶体的特征立方体立方体八面体八面体立方体和八面体的混合体立方体和八面体的混合体氯化钠的若干外形氯化钠的若干外形发育良好的单晶，外形上最显著的特征是晶面有规则的几何配置。发育良好的单晶，外形上最显著的特征是晶面有规则的几何配置。晶面守恒定律：晶面守恒定律：属于同一品种的晶体两个对应晶面（或晶棱）间的夹角恒属
2、于同一品种的晶体两个对应晶面（或晶棱）间的夹角恒 定不变。定不变。宏观性质的各向异性：宏观性质的各向异性：力学性质（硬度、弹性模量等）力学性质（硬度、弹性模量等）光学性质（折射率）光学性质（折射率）电学性质（电阻系数等）电学性质（电阻系数等）熔点熔点（长程有序）（长程有序）：非晶态固体，例如白蜡、玻璃、橡胶等没有固定熔点，又被称为过冷液体。水雪PS：由大量单晶晶粒组成的晶体称为多晶体。多晶体的宏观性质表现为各向同性。-1.1.2 晶体结构的周期性晶体结构的周期性 晶体是由粒子（原子，分子，离子）有规则地、周期性地晶体是由粒子（原子，分子，离子）有规则地、周期性地重复排列而形成的。重复排列而形成
3、的。基元与结点示意图基元与结点示意图基元基元结点或阵点结点或阵点空间阵点或空间阵点或布喇菲点阵布喇菲点阵晶体结构晶体结构=基元基元+布喇菲点阵布喇菲点阵布喇菲布喇菲（Bravais）格子格子原胞：原胞：晶体结构的最小重复单元晶体结构的最小重复单元R=m1a+m2b+m3ca1=OAa2=OBa3=OC简单格子：基元中只包含一个粒子。简单格子：基元中只包含一个粒子。复式格子：基元中包含两个或两个以上的粒子。复式格子：基元中包含两个或两个以上的粒子。子晶格：每个基元中相应同等粒子构成的结点。子晶格：每个基元中相应同等粒子构成的结点。PS:如果晶体由一种粒子组成，但晶体中粒子周围的分布情况不同，则这
4、样的晶格如果晶体由一种粒子组成，但晶体中粒子周围的分布情况不同，则这样的晶格 不是简单格子而是复式格子。不是简单格子而是复式格子。V(r)=V(r+R)r:为原胞中任一点的位矢R：为任一格矢OABCa3a2a11.1.3 原胞与晶胞原胞与晶胞原胞：结点只在顶角，体积最小，只能反映晶体周期性。晶胞：能同时反映晶体周期性与对称性的重复单元。原胞 基矢 a1,a2,a3晶胞 基矢 a,b,c立方晶系立方晶系（晶格常数，晶轴方向）（晶格常数，晶轴方向）1.简单立方简单立方晶胞也是原胞。该原胞只包含一个结点。原胞基矢：a1=ai a2=aj a3=ak一个结点周围的最近邻结点个数为6个，距离为a 次近邻
5、结点个数为12个，距离为 a 2晶胞原胞2.体心立方体心立方晶胞原胞除顶角上有结点外，还有一个结点在立方体的中心。原胞基矢：22aaijk12aaijk32aaijk 一个结点周围的最近邻结点个数为8个，距离为 a 次近邻结点个数为6个，距离为 a 32晶胞体积为 ，原胞体积为 。3a312a晶胞不是原胞。该原胞包含2个结点。3.面心立方面心立方晶胞原胞除顶角上有结点外，在立方体的6个面上有6个结点。原胞基矢：22aaki12aajk32aaij一个结点周围的最近邻结点个数为12个，距离为 a22晶胞体积为 ，原胞体积为 。3a314a晶胞不是原胞。该原胞包含4个结点。1.1.4 实际晶体举例
6、实际晶体举例1.氯化铯结构氯化铯结构氯化铯型结构是复式氯化铯型结构是复式格子，由两个简立方布格子，由两个简立方布喇菲格子沿立方体空间喇菲格子沿立方体空间对角线位移对角线位移1/2长度套构长度套构而成。而成。在晶胞立方体的顶角在晶胞立方体的顶角上是上是Cl离子，而在体心离子，而在体心上是上是Cs离子。离子。如以钠离子位置为原点如以钠离子位置为原点取原胞，则铯离子位置在取原胞，则铯离子位置在原胞中心原胞中心a(i+j+k)/2处。处。由格点构成的最小重复单元为简立方，因此称氯由格点构成的最小重复单元为简立方，因此称氯化铯结构为简立方结构。化铯结构为简立方结构。2.氯化纳结构氯化纳结构Na离子和离子
7、和Cl离子均构成面心立离子均构成面心立方格子，方格子，这两个面心立方点阵这两个面心立方点阵交错排列而构成氯化钠结构。交错排列而构成氯化钠结构。以钠离子位置为原点取原胞，以钠离子位置为原点取原胞，则氯离子位置在原胞中心则氯离子位置在原胞中心a(i+j+k)/2处。处。这个原胞中包含一个这个原胞中包含一个Na离子离子和一个和一个Cl离子。离子。按氯离子的面心立方格子选按氯离子的面心立方格子选基矢，会得同样的结果。基矢，会得同样的结果。复式格子是由若干相同结构的子晶格互相位移套构而成。说结构、取原胞都是针对布拉非点阵而言。2.金刚石结构金刚石结构金刚石晶体是由碳原子构成的两个面心立方点阵金刚石晶体是
8、由碳原子构成的两个面心立方点阵沿晶胞立方结构的对角线移动沿晶胞立方结构的对角线移动1/4 1/4 对角线长度而构对角线长度而构成的，如图所示。成的，如图所示。金刚石虽由一种原子构成，但由于相邻两原子周金刚石虽由一种原子构成，但由于相邻两原子周围的情况不同，所以金刚石结构不是布喇菲格子。围的情况不同，所以金刚石结构不是布喇菲格子。在一个面心立方原胞内还在一个面心立方原胞内还有四个原子，分别位于四有四个原子，分别位于四个空间对角线的个空间对角线的1/41/4处处，即即每个原子有四个最邻近每个原子有四个最邻近的原子，这四个最邻近原的原子，这四个最邻近原子处在正四面体的顶角上。子处在正四面体的顶角上。
9、碳原子的结合是由碳原子公有外壳层的4个电子形成共价键，每个碳原子和周围4个原子共价。图中棒状线条代表共价键。价键的取向不同，两种碳原子周围的情况不同，因此金刚石结构是各复式格子。【例1-1】以金钢石结构晶胞中心为原点，写出金刚石晶 胞中B类碳原子的直角坐标。假设晶胞边长a=1，A类原子位于顶角和面心，顶角坐标可表示为 ，面心坐标可表示为111(,)2221(,0,0)21(0,0)21(0,0,)2，。A类碳原子沿体对角线1,1,1方向平移1/4到B类原子，则坐标由（x,y,z）变为沿体对角线（x+1/4,y+1/4,z+1/4）,留在晶胞内的点应该满足|x|1/2，|y|1/2，|z|1/2
10、，所以有4点，即B1（-1/4，-1/4，-1/4），B2（-1/4，1/4，1/4），B3（1/4，-1/4，1/4），B4（1/4，1/4，-1/4）。金刚石结构是个复式格子，它由两个面心立方的晶胞沿其空间对角线位移1/4长度套构而成。原胞的取法同面心立方布喇菲原胞的取法相同，原胞的取法同面心立方布喇菲原胞的取法相同，原胞中包含两个不等同的碳原子。原胞中包含两个不等同的碳原子。重要的半导体材料，如重要的半导体材料，如单晶锗、单晶硅单晶锗、单晶硅等的结构等的结构和金刚石的结构相同。立方系的硫化锌也具有与金和金刚石的结构相同。立方系的硫化锌也具有与金刚石类似的结构，其中硫和锌分别组成面心立方的
11、刚石类似的结构，其中硫和锌分别组成面心立方的布喇菲格子而沿空间对角线位移布喇菲格子而沿空间对角线位移 1/4 1/4 长度套构而长度套构而成。成。4.闪锌矿结构闪锌矿结构许多重要的化合物半导体，如许多重要的化合物半导体，如锑化铟、砷化镓、磷锑化铟、砷化镓、磷化铟等都是化铟等都是闪锌矿结构。闪锌矿结构。族元素Al、Ga、In 和族元素P、As、Sb按照1:1化学比合成的-族化合物。晶格结构与金刚石结构类似不同的是，闪锌矿结构由两种不同的原子组成。两类原子各构成面心立方子晶格，沿空间对角线位移1/4的长度套构而成。4.密堆积结构密堆积结构 先把一些全同小球平铺在平面上，并使这些球相先把一些全同小球
12、平铺在平面上，并使这些球相切。其中，切。其中，任一个球都和任一个球都和6个球相切，每三个相切个球相切，每三个相切球的中心构成一等边三角形，且每球的周围有球的中心构成一等边三角形，且每球的周围有6个个空隙，这样由原子构成的一层平面，空隙，这样由原子构成的一层平面，称为称为密排面密排面。第二层也是同样的密排面。但第二层也是同样的密排面。但是，由于在每个球周围同一平面是，由于在每个球周围同一平面上只有相间的上只有相间的3个空隙的中心，个空隙的中心，所以第二层小球要放在第一层相所以第二层小球要放在第一层相间的间的3个空隙里，这会构成又一个空隙里，这会构成又一个等边三角形。个等边三角形。第二层的每个球和
13、第一层相应位置的三个球紧密第二层的每个球和第一层相应位置的三个球紧密相切。相切。第三层也是密排面，但其堆法有两种，从而决定第三层也是密排面，但其堆法有两种，从而决定了密堆积结构有以下两种：了密堆积结构有以下两种：1.1.六角密积六角密积将第三层球放在将第三层球放在C位，则第位，则第四层球放入第三层球形成四层球放入第三层球形成的间隙的间隙A位处，并依靠位处，并依靠ABCABC规律重复堆积下规律重复堆积下去，去，如图所示。如图所示。金属金属CuCu，AlAl，AuAu等的结等的结构属于这种结构。构属于这种结构。2.2.立方密积立方密积 将第三层球放到将第三层球放到A A位，并依照位，并依照ABAB
14、ABABABAB的顺序堆的顺序堆积下去。立方密堆积结构也是面心立方结构。积下去。立方密堆积结构也是面心立方结构。金属金属ZnZn、MgMg、BeBe等属于这样等属于这样的晶体结构。的晶体结构。1.2晶列与晶面 倒格子 晶体具有各向异性，因此有必要识别和标志晶格晶体具有各向异性，因此有必要识别和标志晶格中的不同方向。中的不同方向。1.2.1.2.1 1晶列晶列（Crystal Array）由于布喇菲格子的所有格由于布喇菲格子的所有格点周围情况均相同，从格点点周围情况均相同，从格点沿某有方向的排列规律看，沿某有方向的排列规律看，所有格点可以看成分列在一所有格点可以看成分列在一系列相互平行的直线系上
15、，系列相互平行的直线系上，这些直线这些直线称为称为晶列晶列，如图所如图所示。示。同一格点可以形成无同一格点可以形成无数个方向不同的晶列，数个方向不同的晶列，每个晶列定义了一个方每个晶列定义了一个方向，向，称为称为晶向晶向，如图所，如图所示。示。2.2.晶列指数晶列指数（Index of Crystal Array）同一族中的晶列（晶列族）互相平行，并且完全同一族中的晶列（晶列族）互相平行，并且完全等同。等同。它们具有三个特征：它们具有三个特征：同族晶列具有相同的取向，同族晶列具有相同的取向，即即晶向；晶向；同族晶列上格点具有相同的周期；同族晶列上格点具有相同的周期；相邻晶列间的距离相等。相邻晶
16、列间的距离相等。A 取某一格点取某一格点O为原点，以为原点，以a1,a2,a3为原胞的三个基为原胞的三个基矢，则晶格中其它任一格点矢，则晶格中其它任一格点A的位矢可以写成的位矢可以写成332211aaaRllll 若若 l1、l2、l3 是互质整是互质整数，就可用数，就可用 l1,l2,l3来表征来表征晶列晶列OA的方向。的方向。这三个这三个互质的整数，称为互质的整数，称为晶列指晶列指数数。若系数。若系数l1、l2、l3 不不是是互质的，需要简约为互质互质的，需要简约为互质后才能代表晶列方向。后才能代表晶列方向。图中的晶列指数即为图中的晶列指数即为122晶列中相邻格点距离越远，晶列指数越大。等
17、效晶列。格点之间距离近相互作用就强，所以晶体中重要的晶列是那些指数较小的晶列。对于晶胞，取任一格点对于晶胞，取任一格点O为原点，并为原点，并以以a、b、c为为基矢时，任何其它格点基矢时，任何其它格点A的位矢为的位矢为c cb bpnmaR 若若m、n、p是互质整是互质整数，就可用数，就可用 m,n,p来表来表征晶列征晶列OA的方向。的方向。这这三个互质的整数，也称三个互质的整数，也称为为晶列指数晶列指数。xyzOA 1.2.2 1.2.2 晶面晶面 1.1.晶面指数晶面指数（Index of Lattice Plane）通过任一格点还可以作全同的晶面与某一晶面平通过任一格点还可以作全同的晶面与
18、某一晶面平行，从而构成一族平行晶面，并使所有的格点都在行，从而构成一族平行晶面，并使所有的格点都在该族平行晶面上。该族平行晶面上。这样一族晶面这样一族晶面平行、等距且各平行、等距且各晶面上格点分布晶面上格点分布情况相同，如图情况相同，如图所示。所示。通过一格点，可以作无限多族的平行晶面。通过一格点，可以作无限多族的平行晶面。描述晶面方位采用的方法是：描述晶面方位采用的方法是：*选取某一格点为原点选取某一格点为原点，并以原胞的三个基矢为坐，并以原胞的三个基矢为坐标轴。标轴。这里，三个轴不一定相互正交。这里，三个轴不一定相互正交。*将晶面与三个坐标轴交点的位矢分别表示为将晶面与三个坐标轴交点的位矢
19、分别表示为 332211,hahaha 这里，这里，h1、h2、h3互为质数。互为质数。*用用(h1h2h3)表示晶面的方位，表示晶面的方位，称为称为晶体面指数晶体面指数。利用晶面族中离原点最近的晶面确定晶面指数利用晶面族中离原点最近的晶面确定晶面指数 任一晶面族的晶面指数，可以由晶面族中任一晶任一晶面族的晶面指数，可以由晶面族中任一晶面在基矢坐标轴上截距系数的倒数求出。面在基矢坐标轴上截距系数的倒数求出。晶面指数可正可负，晶面指数可正可负，当晶面在基矢坐标轴正方向当晶面在基矢坐标轴正方向相截时，截距系数为正，在负方向相截时，截距系相截时，截距系数为正，在负方向相截时，截距系数为负。数为负。天
20、然长度单位表示的截距之比等于晶面指数的倒天然长度单位表示的截距之比等于晶面指数的倒数之比。把晶面在坐标轴上的截距的倒数的比简约数之比。把晶面在坐标轴上的截距的倒数的比简约为互质的整数比，所得的互质整数就是晶面指数。为互质的整数比，所得的互质整数就是晶面指数。2.2.密勒指数密勒指数(Miller Indices)在结晶学中，常以晶胞的基矢为坐标轴来表示面在结晶学中，常以晶胞的基矢为坐标轴来表示面指数。在这样的坐标系中，指数。在这样的坐标系中，表征晶面取向的互质整表征晶面取向的互质整数称为晶面族的密勒指数数称为晶面族的密勒指数，通常用，通常用（hkl）表示。表示。如图所示，如图所示，ABC面面截
21、截距为距为4a、b、c，截距的，截距的倒数为倒数为1/4、1、1，其，其密勒指数为密勒指数为(1，4，4)；又又EFG面截距为面截距为-3a、-b、2c，截距的倒数为截距的倒数为-1/3、-1、1/2，其密勒指数为其密勒指数为)3,6,2(立方晶系的立方晶系的几种重要几种重要密勒指数。密勒指数。由于坐标轴选在晶轴方向，除晶轴的指数简单外，由于坐标轴选在晶轴方向，除晶轴的指数简单外，密勒指数简单的面也特别重要的面。密勒指数简单的面也特别重要的面。在密勒指数简单的晶面族中，面间距在密勒指数简单的晶面族中，面间距d较大。对较大。对于一定的晶格，单位体积内格点数一定，因此在晶于一定的晶格，单位体积内格
22、点数一定，因此在晶面间距大的晶面上，格点（即原子）的面密度必然面间距大的晶面上，格点（即原子）的面密度必然大。大。显然，面间距大的晶面，由于单位表面能量小，显然，面间距大的晶面，由于单位表面能量小，容易在晶体生长过程中显露在外表，故这种晶面容容易在晶体生长过程中显露在外表，故这种晶面容易解理。易解理。由于面上原子密度大，对由于面上原子密度大，对x x射线的散射强，因而密射线的散射强，因而密勒指数简单的晶面族，在勒指数简单的晶面族，在x x射线衍射中，常被选作射线衍射中，常被选作衍射面。衍射面。oooooo(100)(100)(010)(010)(001)(001)(001)(001)(010)
23、(010)(100)(100)这些晶面是等效的，晶面间距和晶面上原子的分布完这些晶面是等效的，晶面间距和晶面上原子的分布完全相同。等效镜面族全相同。等效镜面族100100。正格子原胞是由其基矢组成的平行六面体，体积为正格子原胞是由其基矢组成的平行六面体，体积为 根据倒格子基矢与正格子基矢关系，得根据倒格子基矢与正格子基矢关系，得)()()(313232121aaaaaaaaa)(2132aab)(2213aab)(2321aabb2b3a1a2a3 1.1.倒格子的定义倒格子的定义1.2.3 倒格子几种不同晶格的正格子和倒格子：*正格子原胞体积和倒格子原胞体积的关系正格子原胞体积和倒格子原胞体
24、积的关系 倒格子原胞的体积为倒格子原胞的体积为)()()()2()(*33121133232aaaaaabbb根据矢量运算公式，有根据矢量运算公式，有 1211312132113aaaaaaaaaaaaa 2.2.倒格矢与正格矢的关系倒格矢与正格矢的关系 于是可得倒格子原胞体积于是可得倒格子原胞体积 323333331)2()2()()2()()()()2()(*32121133232aaaaaaaaabbb除因子除因子 3)2(外，外，正格子原胞体积与倒格子原胞体积正格子原胞体积与倒格子原胞体积互为倒数。互为倒数。2.2.倒格矢与正格矢的关系倒格矢与正格矢的关系 倒格子的体积为:再看倒格子的
25、倒格子。若将倒格子的倒格子的基矢取为c1，c2，c3。33*2)(21bbb11)(2a32bbc22)(2a13bbc33)(2a21bbc 显然，显然，根据正格子可以根据正格子可以得出倒格子，反之亦然。得出倒格子，反之亦然。正格子基矢在空间平移构成正格子，正格子基矢在空间平移构成正格子，倒格子基倒格子基 矢在空间平移构成倒格子；矢在空间平移构成倒格子；由正格子组成的空间由正格子组成的空间是位置空间，称为是位置空间，称为坐标空间坐标空间。而由倒格子组成的而由倒格子组成的空间则为状态空间，称为倒格子空间，或空间则为状态空间，称为倒格子空间，或K 空间空间。正格子与倒格子互为傅里叶空间变换，正格
26、子对正格子与倒格子互为傅里叶空间变换，正格子对应的是应的是空间坐标空间坐标，倒格子对应的是，倒格子对应的是波矢空间波矢空间。正格子基矢组成的平行六面体为正格子基矢组成的平行六面体为正格子原胞正格子原胞，由由倒格子基矢组成的平行六面体倒格子基矢组成的平行六面体则称为则称为倒格子原胞倒格子原胞。晶列和晶面在倒格子空间有同正格子空间相对应晶列和晶面在倒格子空间有同正格子空间相对应的定义。的定义。3.3.倒格矢与正格子晶面族的关系倒格矢与正格子晶面族的关系 如图，晶面族如图，晶面族 由图可知，矢量由图可知，矢量)(321hhh11/ha22/ha33/ha中，最靠近原点的晶面中，最靠近原点的晶面ABC
27、在基在基矢上的截距分别为矢上的截距分别为)/()/(3311hhOCOACAaa)/()/(3322hhOCOBCBaa都在都在ABC面上。面上。一般倒格矢可表示为：K Kh h=h=h1 1b b1 1+h+h2 2b b2 2+h+h3 3b b3 3 根据倒格矢定义根据倒格矢定义(aibi=2ij)可以证明：可以证明：0CAKh0CBKh即即晶面族晶面族)(321hhh与倒格矢与倒格矢332211b bb bb bhhhhK正交正交。*晶面间距与倒格矢长度的关系晶面间距与倒格矢长度的关系 ABC是是晶面族晶面族 由于该晶面的法线可以用由于该晶面的法线可以用)(321hhhhK 中最靠近原
28、点的晶面中最靠近原点的晶面，其面间距等于原其面间距等于原点到点到ABC面的距离。面的距离。表示，所以有表示，所以有即：即：倒格矢的长度反比于晶面族的面间距。倒格矢的长度反比于晶面族的面间距。hhhhhhhhhhhhhhdKaKKa2)(3322111332211111321bbbb bb bb b1.3晶体结构的对称性 晶系1.3.1 物体的物体的对称性与对称性操作对称性与对称性操作旋转旋转反射反射正交变换如果一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体的一个对称操作。1.1.对称元素对称元素（symmetry elements）标志晶体对称性的几何元素，标志晶体对称性的几何元素，称为
29、称为对称元素，是对称元素，是在对称操作中保持不动的轴、面在对称操作中保持不动的轴、面或或点点。对称元素对称元素包括包括对称面对称面（或或镜面镜面）、）、对称中心对称中心（或或反演中心反演中心）、）、旋转轴旋转轴和和旋转反演轴旋转反演轴。与上述对称元素相应的与上述对称元素相应的对称操作对称操作分别是分别是：*对对对称面的反映对称面的反映；*晶体各点通过中心的反演晶体各点通过中心的反演；*绕轴的一次或多次旋转；绕轴的一次或多次旋转；*一次或多次旋转之后再经过中心的反演。一次或多次旋转之后再经过中心的反演。转动转动（rotation）若晶体与直角坐标系绕若晶体与直角坐标系绕 1x轴转过轴转过角，角，
30、则晶体中则晶体中 任一点任一点),(321xxx变为另一点变为另一点)(321xxx，其变换关系为其变换关系为 sincossincos33332211xxxxxxxx或用矩阵表示为或用矩阵表示为321321cossin0sincos0001xxxxxx转动操作由下面变换矩阵转动操作由下面变换矩阵A表示表示，即即cossin0sincos0001A中心反演中心反演（inversion through a point）取中心为原点，将晶体中任一点取中心为原点，将晶体中任一点),(321xxx另一点另一点)(321xxx，,其变换关系为其变换关系为 332211xxxxxx 其矩阵表示形式为其矩阵
31、表示形式为321321100010001xxxxxx 用变换矩阵用变换矩阵A表示中心反演操作表示中心反演操作，即即100010001A 对称中心和反演操作对称中心和反演操作无论熊夫利符号，还无论熊夫利符号，还是国际符号均用是国际符号均用i表示。表示。镜面反映镜面反映（reflection across a plane）以以变成另一点变成另一点 ),(321xxx)(321xxx，这一变换称为，这一变换称为镜像变换镜像变换，其矩阵形式为其矩阵形式为321321100010001xxxxxx 作为镜面，将晶体中任一点作为镜面，将晶体中任一点 03x 用变换矩阵用变换矩阵A表示表示平面反映操作平面反
32、映操作操作操作，即即100010001A 标志对称面的符号，熊夫利符号用标志对称面的符号，熊夫利符号用，国际，国际符号符号用用m，平面反映操作也用同样的符号表示。平面反映操作也用同样的符号表示。绕面中心连线转动/2，3/2。3个立方轴，共9个对称操作。绕对棱中心连线（也称面对角线），转动，6个不同的面对角，共6个对称操作。绕对角连线（也称体对角线），转动2/3，4/3。4个不同的体对角线，共8个对称操作。原位操作，不动也算一个对称操作。立方体的几何中心也是对称中心，进行中心反演操作，以上每一个转动加以个中心反演都是对称操作。立方体的对称操作立方体的对称操作-共共4848个个正六角柱的对称操作正
33、六角柱的对称操作-24-24个个绕底面中心连线转动/3，2/3，4/3，5/3。共5个对称操作。绕对棱中心连线，转动，3条这样的线，共3个对称操作。绕相对面中心连线，转动。三条这样的线，共3个对称操作。原位操作，不动也算一个对称操作。几何中心也是对称中心，进行中心反演操作，以上每一个转动加以个中心反演都是对称操作。由于晶面作有规则地配置，因此晶体在外型上具由于晶面作有规则地配置，因此晶体在外型上具有一定的对称性质。有一定的对称性质。对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。的特性。与一般几何图形的对称不同，由于晶格周期性的与一般几何图形的对称不
34、同，由于晶格周期性的限制，晶体仅具有为数不多的对称类型。限制，晶体仅具有为数不多的对称类型。在晶体中，布拉菲格子是按其对称性来进行分类。在晶体中，布拉菲格子是按其对称性来进行分类。2.2.晶体的对称性晶体的对称性1.3.2 晶体的对称点群晶体的对称点群 描述晶格的全部对称性的对称操作的集合，描述晶格的全部对称性的对称操作的集合，称为称为对称群对称群（symmetry group），或或空间群。空间群。设正交变换A和正交变换B都是晶体的对称操作，那么经过变换A后紧接着进行变换B晶体保持不变。这就是说，如果A和B是对称操作，则C=AB也是对称操作。一般来说，一个物体的全部对称操作将构成一个闭合的体
35、系，其中任意两个对称操作相乘结果仍包含在这个体系之中。*这个性质，称为群的这个性质，称为群的闭合性。闭合性。1.1.对称操作的组合对称操作的组合 2.2.点群点群 在图中，在图中，11,ABAB是晶体中某一晶面（纸面）上的是晶体中某一晶面（纸面）上的一个晶列，一个晶列，AB是是这晶列上相邻两个格点的距离。这晶列上相邻两个格点的距离。如果晶格绕通过格点如果晶格绕通过格点 A并垂直于纸面的并垂直于纸面的 u轴逆时轴逆时针方向转过针方向转过角后，能自身重合，则由于晶格的周角后，能自身重合，则由于晶格的周期性，通过格点期性，通过格点 B 也有一个旋转轴也有一个旋转轴 u。通过通过A处的处的u轴顺时针方
36、向转过轴顺时针方向转过后，使后，使 1B点转到点转到 B。若。若B B通过通过u u轴逆时针方向转过轴逆时针方向转过角后，角后，1A点转到点转到 A经过转动后，要使晶格能自身重合，则经过转动后，要使晶格能自身重合，则 BA、点必须点必须 是格点。是格点。由于由于 BA和和AB平行，平行，而且满足而且满足 )cos21(ABBA因此，因此，的值只能取的值只能取 ,32,20,2,3 对于晶体，当对于晶体，当n=1，2，3，4，6时，晶格绕过格点时，晶格绕过格点的固定轴转过角度的固定轴转过角度 n2后，能使晶格能自身重合后，能使晶格能自身重合。这里这里，n称为称为转轴的次数转轴的次数或或度数。度数
37、。显然，显然，在晶体中只能有在晶体中只能有1、2、3、4、6度等度等5个旋转个旋转对称轴。对称轴。分别对应着分别对应着n度旋转对称操作。度旋转对称操作。与上述相应的熊夫利符号分别是与上述相应的熊夫利符号分别是 64321CCCCC、表中列出了文献资料中常用的对称轴度数与对应的表中列出了文献资料中常用的对称轴度数与对应的几何符号。几何符号。表表 对称轴度数的符号表对称轴度数的符号表 一般地，几何符号标记在对称轴两端。一般地，几何符号标记在对称轴两端。若晶体绕某一固定轴旋转若晶体绕某一固定轴旋转 2/n以后，再经过中心以后，再经过中心反演，晶体能自身重合，反演，晶体能自身重合，则称则称该轴该轴n度
38、旋转反演轴，度旋转反演轴，这种复合对称操作这种复合对称操作称为称为旋转反演对称操作。旋转反演对称操作。晶体的旋转反演轴也只有晶体的旋转反演轴也只有1，2，3，4，6度。度。国际符号用国际符号用表示相应的旋转轴和表示相应的旋转轴和 64321、旋转操作。旋转操作。第一章第一章 晶体的结构和晶体的结合晶体的结构和晶体的结合1.1 1.1 晶体特征与晶体的周期性晶体特征与晶体的周期性1.2 1.2 晶列与晶面晶列与晶面 倒格子倒格子1.31.3晶体结构的对称性晶体结构的对称性 晶系晶系1.41.4确定晶体结构的方法确定晶体结构的方法1.51.5晶体的结合晶体的结合 2.2.倒格矢与正格矢的关系倒格矢
39、与正格矢的关系 倒格子的体积为:再看倒格子的倒格子。若将倒格子的倒格子的基矢取为c1，c2，c3。33*2)(21bbb11)(2a32bbc22)(2a13bbc33)(2a21bbc 显然，显然，根据正格子可以根据正格子可以得出倒格子，反之亦然。得出倒格子，反之亦然。正格子基矢在空间平移构成正格子，正格子基矢在空间平移构成正格子，倒格子基倒格子基 矢在空间平移构成倒格子；矢在空间平移构成倒格子；由正格子组成的空间由正格子组成的空间是位置空间，称为坐标空间。是位置空间，称为坐标空间。而由倒格子组成的而由倒格子组成的空间则为状态空间，称为倒格子空间，或空间则为状态空间，称为倒格子空间，或K 空
40、间。空间。正格子与倒格子互为傅里叶空间变换，正格子对正格子与倒格子互为傅里叶空间变换，正格子对应的是空间坐标，倒格子对应的是波矢空间。应的是空间坐标，倒格子对应的是波矢空间。正格子基矢组成的平行六面体为正格子基矢组成的平行六面体为正格子原胞正格子原胞，由由倒格子基矢组成的平行六面体倒格子基矢组成的平行六面体则称为则称为倒格子原胞倒格子原胞。晶列和晶面在倒格子空间有同正格子空间相对应晶列和晶面在倒格子空间有同正格子空间相对应的定义。的定义。3.3.倒格矢与正格子晶面族的关系倒格矢与正格子晶面族的关系 如图，晶面族如图，晶面族 由图可知，矢量由图可知，矢量)(321hhh11/ha22/ha33/
41、ha中，最靠近原点的晶面中，最靠近原点的晶面ABC在基在基矢上的截距分别为矢上的截距分别为)/()/(3311hhOCOACAaa)/()/(3322hhOCOBCBaa都在都在ABC面上。面上。一般倒格矢可表示为：K Kh h=h=h1 1b b1 1+h+h2 2b b2 2+h+h3 3b b3 3 根据倒格矢定义根据倒格矢定义(aibi=2ij)可以证明：可以证明：0CAKh0CBKh即即晶面族晶面族)(321hhh与倒格矢与倒格矢332211b bb bb bhhhhK正交正交。*晶面间距与倒格矢长度的关系晶面间距与倒格矢长度的关系 ABC是是晶面族晶面族 由于该晶面的法线可以用由于
42、该晶面的法线可以用)(321hhhhK 中最靠近原点的晶面中最靠近原点的晶面，其面间距等于原其面间距等于原点到点到ABC面的距离。面的距离。表示，所以有表示，所以有即：即：倒格矢的长度反比于晶面族的面间距。倒格矢的长度反比于晶面族的面间距。hhhhhhhhhhhhhhdKaKKa2)(3322111332211111321bbbb bb bb b1.3晶体结构的对称性 晶系1.3.1 物体的物体的对称性与对称性操作对称性与对称性操作旋转旋转反射反射正交变换如果一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体的一个对称操作。1.1.对称元素对称元素（symmetry elements）标志晶
43、体对称性的几何元素，标志晶体对称性的几何元素，称为称为对称元素，是对称元素，是在对称操作中保持不动的轴、面或点在对称操作中保持不动的轴、面或点。对称元素对称元素包括包括对称面对称面（或或镜面镜面）、）、对称中心对称中心（或或反演中心反演中心）、）、旋转轴旋转轴和和旋转反演轴旋转反演轴。与上述对称元素相应的与上述对称元素相应的对称操作对称操作分别是分别是：*对对对称面的反映对称面的反映；*晶体各点通过中心的反演晶体各点通过中心的反演；*绕轴的一次或多次旋转；绕轴的一次或多次旋转；*一次或多次旋转之后再经过中心的反演。一次或多次旋转之后再经过中心的反演。转动转动（rotation）若晶体与直角坐标
44、系绕若晶体与直角坐标系绕 1x轴转过轴转过角，角，则晶体中则晶体中 任一点任一点),(321xxx变为另一点变为另一点)(321xxx，其变换关系为其变换关系为 sincossincos23332211xxxxxxxx或用矩阵表示为或用矩阵表示为321321cossin0sincos0001xxxxxx转动操作由下面变换矩阵转动操作由下面变换矩阵A表示表示，即即cossin0sincos0001A中心反演中心反演（inversion through a point）取中心为原点，将晶体中任一点取中心为原点，将晶体中任一点),(321xxx另一点另一点)(321xxx，,其变换关系为其变换关系为
45、 332211xxxxxx 其矩阵表示形式为其矩阵表示形式为321321100010001xxxxxx 用变换矩阵用变换矩阵A表示中心反演操作表示中心反演操作，即即100010001A 对称中心和反演操作对称中心和反演操作无论熊夫利符号，还无论熊夫利符号，还是国际符号均用是国际符号均用i表示。表示。镜面反映镜面反映（reflection across a plane）以以变成另一点变成另一点 ),(321xxx)(321xxx，,这一变换称为这一变换称为镜像镜像变换变换，其矩阵形式为其矩阵形式为321321100010001xxxxxx 作为镜面，将晶体中任一点作为镜面，将晶体中任一点 03x
46、 用变换矩阵用变换矩阵A表示表示平面反映操作平面反映操作操作操作，即即100010001A 标志对称面的符号，熊夫利符号用标志对称面的符号，熊夫利符号用，国际，国际符号符号用用m，平面反映操作也用同样的符号表示。平面反映操作也用同样的符号表示。绕面中心连线转动/2，3/2。3个立方轴，共9个对称操作。绕对棱中心连线（也称面对角线），转动，6个不同的面对角，共6个对称操作。绕对角连线（也称体对角线），转动2/3，4/3。4个不同的体对角线，共8个对称操作。原位操作，不动也算一个对称操作。立方体的几何中心也是对称中心，进行中心反演操作，以上每一个转动加以个中心反演都是对称操作。立方体的对称操作立方
47、体的对称操作-共共4848个个正六角柱的对称操作正六角柱的对称操作-24-24个个绕底面中心连线转动/3，2/3，4/3，5/3。共5个对称操作。绕对棱中心连线，转动，3条这样的线，共3个对称操作。绕相对面中心连线，转动。三条这样的线，共3个对称操作。原位操作，不动也算一个对称操作。几何中心也是对称中心，进行中心反演操作，以上每一个转动加以个中心反演都是对称操作。由于晶面作有规则地配置，因此晶体在外型上具由于晶面作有规则地配置，因此晶体在外型上具有一定的对称性质。有一定的对称性质。对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。的特性。与一般几何图形
48、的对称不同，由于晶格周期性的与一般几何图形的对称不同，由于晶格周期性的限制，晶体仅具有为数不多的对称类型。限制，晶体仅具有为数不多的对称类型。在晶体中，布拉菲格子是按其对称性来进行分类。在晶体中，布拉菲格子是按其对称性来进行分类。2.2.晶体的对称性晶体的对称性1.3.2 晶体的对称点群晶体的对称点群 描述晶格的全部对称性的对称操作的集合，描述晶格的全部对称性的对称操作的集合，称为称为对称群对称群（symmetry group），或或空间群。空间群。设正交变换A和正交变换B都是晶体的对称操作，那么经过变换A后紧接着进行变换B晶体保持不变。这就是说，如果A和B是对称操作，则C=AB也是对称操作。
49、一般来说，一个物体的全部对称操作将构成一个闭合的体系，其中任意两个对称操作相乘结果仍包含在这个体系之中。*这个性质，称为群的这个性质，称为群的闭合性。闭合性。1.1.对称操作的组合对称操作的组合 2.2.点群点群 在图中，在图中，11,ABAB是晶体中某一晶面（纸面）上的是晶体中某一晶面（纸面）上的一个晶列，一个晶列，AB是是这晶列上相邻两个格点的距离。这晶列上相邻两个格点的距离。如果晶格绕通过格点如果晶格绕通过格点 A并垂直于纸面的并垂直于纸面的 u轴逆时轴逆时针方向转过针方向转过角后，能自身重合，则由于晶格的周角后，能自身重合，则由于晶格的周期性，通过格点期性，通过格点 B 也有一个旋转轴
50、也有一个旋转轴 u。通过通过A处的处的u轴顺时针方向转过轴顺时针方向转过后，使后，使 1B点转到点转到 B。若。若B B通过通过u u轴逆时针方向转过轴逆时针方向转过角后，角后，1A点转到点转到 A经过转动后，要使晶格能自身重合，则经过转动后，要使晶格能自身重合，则 BA、点必须点必须 是格点。是格点。由于由于 BA和和AB平行，平行，而且满足而且满足 )cos21(ABBA因此，因此，的值只能取的值只能取 ,32,2,3,0 对于晶体，当对于晶体，当n=1，2，3，4，6时，晶格绕过格点时，晶格绕过格点的固定轴转过角度的固定轴转过角度 n2后，能使晶格能自身重合后，能使晶格能自身重合。这里这
