1、第八章曲线积分与曲面积分p51p518.1数量值函数的曲线积分一.填空题p5151.1.,pxoyC设设在在面面内内有有一一分分布布着着质质量量的的曲曲线线弧弧其其上上,Cxy(1)(1)曲曲线线弧弧 对对 轴轴轴轴的的转转动动惯惯量量为为,xJ C(2)(2)曲曲线线弧弧 的的重重心心坐坐标标为为.Gy (,)(,),:x yx y 点点处处的的线线密密度度则则2(,)Cyx y ds 2(,)Cxx y ds ,Gx 1(,)Cxx y dsM 1(,)Cyx y dsM ,yJ 151.2.,pLxLLx设设光光滑滑曲曲线线 关关于于 轴轴对对称称是是 在在 轴轴上上方方的的部部分分(1
2、)(,),f x yLy若若在在 上上连连续续 且且关关于于 为为奇奇函函数数(2)(,),f x yLy若若在在 上上连连续续 且且关关于于 为为偶偶函函数数(,);Lf x y ds 则则01(,)(,).LLf x y dsf x y ds 则则222251.3.,pLxyR若若 是是圆圆周周则则(1)();Lxy ds 22(2)().Lxy ds 0LLxdsyds232LRdsR 222251.4.:,xyzRpxy 设设一一周周 则则222.yz ds 22RdsR 2251.5.1(0),pLxyx若若 为为右右半半单单位位圆圆则则|.Ly ds 202sin2tdt P51.
3、二.计算题2222251.1.,xyLpedsLxya 计计算算其其中中 为为圆圆周周与与直直线线22xyceds 解解 22420002aaxaxedxe adtedx =1(1)4aaaeaee 22.4aaaee yxx 及及 轴轴在在第第一一象象限限内内所所围围成成的的扇扇形形的的整整个个边边界界.222251.2.,(0).Lpxy dsLxyax x 计计算算其其中中 为为圆圆周周2021aIaxy dx 解解法法1 1 20022aaadxaxdxa aaxaxx 0222.aa aaxa2cos,cos,sin cosraxaya解解法法2 2 222cos2.Iaada co
4、s,sin,222aaaxt yt解解法法3 3 2220(cos)22aaIatxy dt 2222200|cos|2cos2.22atdtaudua 22252.3.|,:.Lpxy dsLxya 计计算算其其中中圆圆周周333204sin cos42.2aIattdta 解解法法1 1 22222041axIx axdxax 解解法法2 2 3042.aaxdxa 222200333(1).222ttte dte dtee解解 I=I=22252.4.,cos,tdspLxetxyz 计计算算其其中中 为为曲曲线线sin,02ttyet zett上上相相应应于于到到的的一一段段弧弧.52
5、.5.,2pa 求求半半径径为为中中心心角角为为的的均均匀匀圆圆弧弧1cos22LLLx dsxdsxat adtaads 21sin2sin.2aaa sin(,0).a 重重心心坐坐标标为为(1).线线密密度度的的重重心心0,y 解解 p538.2数量值函数的曲面积分P53.一.填空题53.1.,(,)px y z 设设有有一一分分布布着着质质量量的的曲曲面面在在点点处处其其(,),x y zx 面面密密度度为为则则此此曲曲面面对对 轴轴的的转转动动惯惯量量.xJ 22()(,)yzx y z ds 53.2.,pxoyD 设设为为面面内内的的一一个个闭闭区区域域则则曲曲面面积积分分(,)
6、.f x y z dsD 化化为为 上上的的二二重重积积分分为为(,0)Df x yd 222253.3.,pxyzR设设是是球球面面则则().xyz ds 222(),xyzds 244RdsR 0 xdsydszds22.534.2()pzxyxoy设设为为抛抛物物面面在在面面22,144Ddsxy dxdy 上上方方部部分分 则则.2220013314dd 22.535.4,pzxy设设为为上上半半球球面面22222222:42()()4D xyxydsxydxdyxy 则则.32220026434dd 三.计算题 解解 .53.1.()pxyyzzx ds 二二计计算算,其其中中为为锥
7、锥面面Ixydsyzdsxzds22002Dxxydxdy 2 cos320242cos64 2.15adad 22222.zxyxyax被被柱柱面面所所截截得得的的部部分分.54.2.pR设设半半径径为为 的的球球面面上上各各点点的的面面密密度度等等于于该该点点2222,xyzR 解解法法1 1 设设的的方方程程为为222222,xyyzzx密密度度222222()33MxyzdsRds 224284.33RRR 到到球球一一定定直直径径的的距距离离的的平平方方,求求该该球球面面的的质质量量.2221,zRxy解解法法2 2 设设的的方方程程:1222()Mxyds 342220082.3R
8、RdrRdR 22222222:2()D xyRRdxdyxyRxy 22254.3.pzaxy求求均均匀匀曲曲面面的的重重心心坐坐标标.20,2,XYdsa 解解 由由对对称称性性知知2222223222:,D xyaa axyzdsdxdyaaxy 32.22zdsaaZads (0,0,).2a重重心心坐坐标标为为221:9,03,xyz其其中中2254.4.90,3pxyzz设设曲曲面面是是柱柱面面及及123,解解 222:0,(9),zxy223:3,(9),zxy1122()9162,xydsds 22,().xyds 所所围围成成的的区区域域的的整整个个边边界界曲曲面面 计计算算
9、222222222()()()Ixydsxydsxyds8181162243.2222222()()xyDxydsxydxdy 2330081.2dr dr 32281(),2xyds 同同理理 222212:,:,xRyxRy 其其中中54.5.0pzzH设设是是介介于于平平面面及及之之间间的的圆圆柱柱面面12,解解 12222222dsdsIxyzxyz122222dsdsRzRz222220121RHRydydzRzRy 222222.dsxyRxyz ,计计算算0014arcsinarctanRHyzRRRR.54.p续续222220014RHRdydzRzRy 14arctan2HR
10、RR 2 arctan.HR 8.3向量值函数在定向曲线上的积分p55.p55.p55.一一 填填空空题题1.,Lxoyxa 若若 为为面面内内直直线线上上的的一一段段2.(,0)(,0)Lxoyxab若若 为为面面内内 轴轴上上从从点点到到点点的的一一段段113.1(,2)(2,)22Lxoyxy 若若 为为面面内内曲曲线线上上从从点点到到点点(,).Lp x y dx 则则0,(,),Lp x y dxa b 直直线线 则则曲曲线线积积分分化化成成上上的的定定积积分分.为为 (,0)bap xdx,cos()().Lxyydxxdy 的的一一段段弧弧 则则055.4.(0,0)1|1|(2
11、,0)pLoyxA 若若 为为从从沿沿折折线线至至点点255.5.(0,0)(1,1),pLyxoA 若若 为为从从至至点点的的一一段段弧弧,.Lxdyydx 的的折折线线段段 则则2(,)(,)LP x y dxQ x y dy 则则化化为为对对弧弧长长曲曲线线积积分分为为(,)(,).Ldxdyp x yQ x ydsdsds 2214LPxQdsx P55.二.计算题22()()55.,Lxy dxxy dypLxy 1 1计计算算其其中中 为为cos,sin,xat yat 解解 令令22201(cossin)(sin)(cossin)cos Iatttttt dta 202.dt 2
12、22().xya圆圆周周取取逆逆时时针针方方向向2255.2.(2)(2),Lpxxy dxyxy dy 计计算算其其中中123431(2)(2)2 Ixxxxx dx 解解 124114(4).15xx dx 2(1,1)(1,1).Lyx为为抛抛物物线线上上从从点点到到点点的的一一段段弧弧56.(1),pIxdxydyxydz 计计算算111.123xyzt解解 的的直直线线方方程程为为1,12,13,(01)xt yt ztt10(1)(12)2(13)3Itttdt 10(614)13.t dt(1,1,1)(2,3,4).其其中中 是是从从点点到到点点的的一一段段直直线线56.4.,
13、pMF 设设坐坐标标平平面面的的每每一一点点上上都都有有作作用用力力,.M其其大大小小等等于于从从点点到到原原点点的的距距离离 方方向向指指向向原原点点cos,sinmpxat ybt今今有有一一质质量量为为 的的质质点点 在在椭椭圆圆上上沿沿正正向向移移动动,试试求求:(1)(,0)pA a当当 点点从从点点经经位位于于第第一一象象限限的的弧弧段段到到(2)pF当当 点点经经过过全全椭椭圆圆时时,所所作作的的功功.(0,),;BbF时时所所作作的的功功022222256.|(,)xypFF Fxyxyxy解解 (,),xy ()()ABABWF dsx dxy dy (1)(1)(0,)22
14、(,0)1()2bad xy (0,)2222(,0)11()().22baxyab 221()()()2LLWx dxy dyd xy (2)=-(2)=-(,0)22(,0)1()0.2aaxy p57 8.4格林公式57p.一一.填填空空题题(),f xC1.1.设设具具有有连连续续导导数数为为简简单单闭闭曲曲线线,则则(1)()();Cf xyydxxdy 22(2)()()Cf xyxdxydy()()0Cf xy d xy .22221()()02Cf xyd xy 57p.一一.填填空空题题(,),(,)P x y Q x y2.2.设设在在由由分分段段光光滑滑有有向向(取取逆逆
15、时时针针方方向向)CD闭闭曲曲线线 所所围围成成的的闭闭域域 上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数,则则(,)(,).CP x y dyQ x y dx ()DPQdxdyxy 57p.一一.填填空空题题22(,)14xf x yy3.3.设设在在上上具具有有连连续续二二阶阶偏偏导导数数,221(),4xCy为为椭椭圆圆顺顺时时针针方方向向 边边界界 则则3(,)(,).xyCyfx y dxfx y dy 6 57p.一一.填填空空题题22:4Cxyx4.4.设设的的上上半半圆圆(顺顺时时针针方方向向),),则则积积分分222(1)(2).yyCxedxx ex dy 124 57p.一
16、一.填填空空题题221Cxyxy5.5.设设 为为曲曲线线正正向向一一周周,则则221()221()().2xyxyCCexdxydyed xy0P57.二.计算题2257.1.(2)(),CpxyxdxxydyC 二二计计算算其其中中 是是,曲曲线线 并并验验证证格格林林公公式式的的正正确确性性.22yxyxD抛抛物物线线和和所所围围成成的的区区域域 的的正正向向边边界界解解由由格格林林公公式式13240(2)()2 Ixxxxx dx 2101(12)(12),30 xxDIx dxdyx dxdy 0342211(2)2().30yyyyydy 正正确确58.2.p二二,.与与路路径径无
17、无关关 并并计计算算其其值值解解 (2,1)24(1,0)(3)5yxxyx324,QPxyxy(2,1)24(1,0)(3)Id yxxyx(2,1)423(1,0)(23)(4)xyydxxxydy 验验证证曲曲线线积积分分22()()58.3.,:Cxy dxxy dypICxy 计计算算其其中中(1)不不包包围围原原点点的的正正向向闭闭曲曲线线;222222220,()QxyxyPxyxxyy解解 当当时时()0.DQPIdxdyxy(1)(1)由由格格林林公公式式(2)|1().xy逆逆时时针针方方向向(2)(,),(,),P x y Q x y 在在原原点点处处不不连连续续11(0
18、,0)0:OC 以以为为圆圆心心,为为半半径径作作圆圆22211,(01)xy12222()()()()0,CCxy dxxy dyxy dxxy dyxyxy 11122cos:sin()()xtCytxy dxxy dyIxy 11122cos:sin()()xtCytxy dxxy dyIxy 221201(cossin)(sin)(cossin)(cos)ttttttdt 2.334.,cos,sinxat yat利利用用曲曲线线积积分分 求求星星形形线线所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解 可可利利用用下下列列三三个个公公式式之之一一求求面面积积:22420(1)3cos(1c
19、os)Aaatt dt 由由1,(2),(3).2LLLAxdyydxAxdyAydx(1)(1)223 15312(1).4 2 268aa58.5.(,)(,)pP x y dxQ x y dyxoy 验验证证下下列列在在整整个个(,),u x y面面内内是是某某二二元元函函数数的的全全微微分分 并并求求这这样样的的(1)4sinsin3 cos3cos3 cos2;xyxdxyxdy 6cos3 sin2,QPyxxy解解(1)(1)(cos2 sin3),PdxQdydxy(,)cos2 sin3.u x yxyC 2232(2)(38)(812).yx yxydxxx yyedy(,
20、):u x y一一个个258.(2)316QPpxxyxy322(41212),yyPdxQdyd x yx yyee322(,)41212.yyu x yx yx yyeeCP59.8.5向量值函数在定向曲面上的积分(对坐标的曲面积分).一一 填填空空题题2222,xyzap59.1.p59.1.设设是是球球面面的的外外侧侧 则则(1);dxdy 2(3).z dxdy 0(2);zdxdy 343a 059.2.,pxoyD 设设为为面面的的闭闭区区域域 的的下下侧侧 则则曲曲面面积积分分(,)xyR x y z dxdyD 化化为为上上二二重重积积分分为为(,0)xyDR x ydxdy
21、 .59.3.p把把第第二二类类曲曲面面积积分分(1)0|1xyz若若为为坐坐标标面面被被柱柱面面所所截截部部分分(2)322 36xyz若若是是平平面面在在第第一一卦卦限限部部分分(,)(,)(,)IP x y z dydz Q x y z dzdxR x y z dxdy ,化化为为第第一一类类曲曲面面积积分分,;I 的的前前侧侧 则则(0,.)Py z ds ,;I 的的上上侧侧 则则322 3()555PQR ds 2259.(3)22pyxzy若若为为抛抛物物面面被被平平面面所所,.I 截截的的部部分分,并并取取左左侧侧 则则 2242()1614xPQzRdsxz P59p60二.
22、计算题:59.1.,pxdydzxydzdxxzdxdy 计计算算是是平平面面:632,3,2,xyzxyzz 解解 ()()(632)xyxyDIxzxyzxxy dxdy 32(632)xyDxxyxxy dxdy 32322200(92)(93)xyxDxx dxdyxxdxdy 23220279(279)12.22xxxxdx 326.xyz 在在第第一一象象限限内内的的部部分分的的上上侧侧22222.(),xydzdxzdxdyzxy 计计算算是是锥锥面面解解 222222()DyIxyxy dxdyxy 2222()Dyxyxydxdy 22(1)Dxyydxdy 12200(si
23、n1)dd 1132220000sindddd 1.46 0,0,1.xyz上上满满足足的的部部分分的的下下侧侧222260.3.,.pxz dydzzRxy 计计算算是是球球面面的的上上侧侧解解法法1 1 合合一一投投影影法法:222()xDIx Rxyz dxdy 222222()Dxx RxydxdyRxy 2222DxRxy dxdy 2322200cosRdRd 5222.()15RuRr 令令解解法法2 2 利利用用高高斯斯公公式式.1122Ixz dydzxz dydz2221:0,zxyR 取取下下侧侧122z dvxz dydz 200zRDz dzdxdy222502().
24、15RzRzdzR 224.,1zdxdyxdydzydzdxxy 计计算算是是柱柱面面解解 分分面面投投影影法法:22011yzxzDDIy dydzx dxdz3122002121yzDy dydzdzy dy36.4203.zz被被及及所所截截得得的的在在第第一一卦卦限限内内的的部部分分的的前前侧侧5.(,)2(,)f x y zx dydzf x y zy dzdx 计计算算解解 利利用用第第一一型型曲曲面面积积分分计计算算coscoscos IPQRds :1,xyz111()3.233xyDxyz dsdxdy (,),(,),f x y zz dxdyf x y z其其中中为为连
25、连续续函函数数是是1.xyz平平面面在在第第四四卦卦限限部部分分的的上上侧侧01(cos,cos,cos)(1,1,1),3 n6.,(,),SP x y z 设设是是一一定定向向光光滑滑曲曲面面 面面积积为为函函数数证证明明|coscoscos|IPQRds ,PdydzQdzdxRdxdyMSM|其其中中为为|(,)(cos,cos,cos)|P Q Rds 222|cos|PQRds .MdsMS (,),(,)Q x y z R x y z 均均在在上上连连续续,证证明明:222.PQR在在上上的的最最大大值值P61-628.6高斯公式与散度一.填空题(p61)61.1.(,),(,)
26、,(,)pP x y z Q x y z R x y z若若在在空空间间单单,GG 连连通通域域 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数为为 内内任任一一闭闭,0PdxdyQdydzRdzdx 曲曲面面 则则的的充充要要条条件件2.(若若用用空空间间闭闭域域的的边边界界曲曲面面外外侧侧)的的曲曲面面积积分分,V表表示示该该域域的的体体积积.是是 0PQRzxy.V 则则 13zdxdyxdydzydzdx 223.039zzxy设设是是界界于于和和之之间间的的圆圆柱柱体体4.1,2,1,2,13xxyyzz若若是是由由,所所围围成成,的的整整体体表表面面的的外外侧侧.xdydzydzdxzd
27、xdy 则则81,六六面面体体的的表表面面的的内内侧侧 则则()()().xyz dxdyxzy dxdzyzx dydz 6 5.cos()cos()Axyixy jxy k向向量量场场的的散散度度是是.divA sinyxxy P61p62二.计算题:61.1.p利利用用高高斯斯公公式式计计算算曲曲面面积积分分:2220zaxyz为为曲曲面面与与平平面面所所围围成成闭闭域域的的.边边界界曲曲面面的的外外侧侧22(2212)Ixyzxyzxyz dv 解解 2220000aadvdddz 42202().2aaad 2222(1)(1),x yz dydzxy z dzdxzxyz dxdy
28、 其其中中2232(2).()(2),xz dydzx yzdzdxxyy z dxdy 其其中中解解 222()Izxy dv 242000sinaddrdr 52.5a 2220.zaxy为为上上半半球球体体,的的表表面面外外侧侧62.(3),pxdydzydzdxzdxdy 其其中中是是球球面面2222.xyza在在第第一一卦卦限限部部分分的的上上侧侧解解法法1 1 利利用用轮轮换换对对称称性性22233xyDIzdxdyaxy dxdy 331 43.8 32aa 222(:,0,0)xyDxyaxy解解法法2 2 利利用用高高斯斯公公式式1230Ixdydzydzdxzdxdy 12
29、3:0,:0,:0,xyz 取取33.2adv 123,的的外外侧侧22.(23)()(2)Axz ixzy jyz k求求向向量量场场解解 2(23)()(2)Ixz dydzxzy dzdxyz dxdy 3dv 3433108.3222:(3)(1)(2)9xyz穿穿过过球球面面的的外外侧侧.的的通通量量262.3.cos()cos(),xypAe ixy jxzk设设PQRdivAxyz 解解 2sin()2sin().xyyexxyxzxz.divA求求62:,pn证证明明题题 设设为为简简单单光光滑滑闭闭曲曲面面为为的的外外法法证证明明 0111(cos,cos,cos)a 设设为
30、为常常向向量量,cos(,)0.an a ds 向向量量,为为任任意意常常向向量量 求求证证111(coscoscoscoscos cos)ds 111(cos)(cos)(cos)xyzds 00.dv 0(cos,cos,cos),n cos(,)n a ds 111coscoscosdydzdzdxdxdy *8.7斯托克斯公式环流量与旋度p63-6463.1.p利利用用斯斯托托克克斯斯公公式式,计计算算下下列列曲曲线线积积分分:2222(1),:,0 xyzaydxzdyxdzxyz 其其中中 圆圆周周z 且且从从 轴轴正正向向看看去去,取取逆逆时时针针方方向向.2222,0 xyza
31、xyz 解解 取取为为圆圆周周围围成成的的平平面面01,(1,1,1),3 n 按按右右手手法法则则11113ydxzdyxdzdsxyzyzx233.3dsa (2)()()(),:yz dxzx dyxy dz 其其中中 椭椭圆圆222,1(0,0),xzxyaabzab且且从从 轴轴正正向向看看去去222,1xyaxzab 解解 取取为为椭椭圆圆周周围围成成的的平平面面02222,0,banabab 按按右右手手法法则则.取取逆逆时时针针方方向向2222013baababIdsxyzyzzxxy 222()ab dsab 2().a ab 2222222:2()xyDxyaababdxd
32、yaab 63.p利利用用斯斯托托克克斯斯公公式式,计计算算下下列列曲曲线线积积分分:222222222(3),:xyzay dxz dyx dzxyax 其其中中(0,0),zax且且从从 轴轴正正向向看看去去,取取逆逆时时针针方方向向.,解解 取取为为 围围成成的的部部分分球球面面 由由斯斯托托克克斯斯公公式式0,(,),x y zna a a 按按右右手手法法则则xyzOa222xyzaaaIdsxyzyzx 2222222()adxdyxyxyaxyaaxy 223:2.4xyDxyaxaxdxdy cos22.sin,:02,2sin2axataytttza 解解直直接接代代入入33
33、32322301sinsincos(1cos)cos 222222aatatItttdt 3.4a 2.A 求求下下列列向向量量场场 沿沿闭闭曲曲线线(依依逆逆时时针针方方向向)的的环环流流量量.32(1)()()3,:Axz ixyz ixy k其其中中 为为圆圆周周222,0.zxyz 220:.4zxy 解解1 1 由由围围成成330013dsxyzxzxyzxy 2222:43312.xyDxyx dsx dxdy 2.A 求求下下列列向向量量场场 沿沿闭闭曲曲线线(依依逆逆时时针针方方向向)的的环环流流量量.32(1)()()3,:Axz ixyz ixy k其其中中 为为圆圆周周2
34、22,0.zxyz 2cos,0,:02,2sinxtztyt 解解2 2 直直接接代代入入32()()(3)Lxz dxxyz dyxydz 240(4sin cos16cos)12.ttt dt 2.221,0.xyz 220:.1zxy 解解1 1 由由围围成成001dsxyzyxc (2)(),:Ayix jck c 为为常常数数 其其中中 为为圆圆周周cossin,:02,0 xtyt tz 解解2:2:直直接接代代入入()Ly dxxdycdz 2220(sincos)2.tt dt 3.A求求下下列列向向量量场场 的的旋旋度度.(1)(23)(3)(2),Azy ixz jyx
35、k246.rotAijk解解 (2)(sin)(cos)Azy izxy j.sincos0 ijkrotAijxyzzyxyz解解 (p65-66)第八章习题课(p65)一.填空题一一.填填空空题题21.(0,1)1(1,0)CMxyE若若 为为由由点点沿沿曲曲线线经经点点3(0,1),.cNydxy dy 到到点点的的一一段段弧弧 则则231ccIx dxy dy解解 10122301111x dxx dxy dy 0.02.1(1,0)(0,1)CyxAB若若 为为从从点点经经点点到到点点.cdxdyxy 则则 (1,0),C 的的折折线线段段()2cd xy 3.C设设 为为包包围围原
36、原点点的的一一条条简简单单闭闭曲曲线线,则则向向量量22()Agrad ln xyc沿沿 的的环环量量为为22.ccxdxydyPdxQdyxy 02265.4.1pzxyz设设是是曲曲面面与与平平面面围围成成立立体体的的表表面面指指定定侧侧流流量量的的积积分分表表达达式式为为222.x dydzy dzdxz dxdy 2210:02()2D xyzxyz dvzdzdxdy 解解 1922.3zzdz 222 Ax iy jz k外外侧侧,则则用用曲曲面面积积分分表表示示向向量量穿穿过过23 22265.5.0,pzxyR设设是是圆圆域域的的下下侧侧,2222()()DIxy dxdyxy
37、dxdy 则则4423002.42RRRIdd 解解 .42R 65.6.()p 设设光光滑滑闭闭曲曲面面表表示示其其外外侧侧 所所围围成成的的333Ix dydzy dzdxz dxdy ,闭闭域域则则用用高高斯斯公公式式化化曲曲面面积积分分为为三三重重积积分分,.2223()xyzdv(p65-p66)二.计算题65.1.p二二计计算算22(1)(1),:(1)(1)cydxxdyICxy 其其中中 为为(1)1xy 正正向向一一周周;22(2)480 xyx椭椭圆圆的的正正向向一一周周;(1)(1,1),C解解 内内不不含含2222 2(1)(1),0.(1)(1)QxyPIxxyy且且
38、222(2):(1)(1),(01)lxy解解取取22(1)(1)0,(1)(1)c lydxxdyxy 1cos,()1sinxtlyt 表表示示逆逆时时针针方方向向22(1)(1)(1)(1)lydxxdyIxy 222220(sincos)2.ttdt (2,1)2(1,0)2.(2)(2),yyxey dxx exy dy 验验证证积积分分:1,AByx解解法法2.2.21102(422)4.yIxdxey dye解解法法1.1.(2,1)22(1,0)()yId x exyy 解解法法3.3.与与路路径径无无关关,并并计计算算积积分分值值.21211(21)4.xxIxex edxe
39、(2,1)22(1,0)()4.yx exyye223.(2 coscos)(2 sinsin)xyyx dxyxxy dy验验证证2 cos2 sin,QPyxxyxy解解(,),xoyu x y是是面面内内某某二二元元函函数数的的全全微微分分 并并求求这这样样200(,)2(2 sinsin)xyu x yxdxyxxy dy(,).u x y的的一一个个2220(sincos)yxyxxy22sincosyxxyc2224.()()().yx dydzzy dzdxxz dxdy 计计算算1221:1zxy 解解补补曲曲面面上上侧侧,222(12).zxyz其其中中是是曲曲面面的的下下侧
40、侧1222()()()yx dydzzy dzdxxz dxdy 22120013(3)3,2dvdddz 1222()()()yx dydzzy dzdxxz dxdy 3,44 213200cosdd 639.444I122(1)(1)Dxdxdyxdxdy 5.,a 求求半半径径为为密密度度为为 的的球球壳壳对对其其直直径径轴轴的的转转动动惯惯量量.22(),yIxzds 2222:,xyzxyzaIII解解 422222228()4.333aIxyzdsaa 22(),xIyzds 22(),zIxyds (p66-p66)三.计算题3.0()kxFxiy jr 三三设设在在半半平平面
41、面中中有有力力构构成成力力力力所所作作的的功功与与所所取取路路径径无无关关.22,krxy场场,其其中中 为为常常数数证证明明在在此此力力场场中中场场333(),kkxkyFxiy jPQrrr 解解 445113(3)(3),Prykxykxkxyryrrr 445113(3)(3),Qrxkxykykyxrxrrr ,.QPxy命命题题得得证证(p67-68)第八章习题课(课外作业)(p67)一.填空题一一.填填空空题题67.1.|1,.|1CdxdypCM xyxy 设设 为为则则 1234:1,:1,:1,:1,CxyCxyCxyCxy 解解 24011CCdxdydxdyxyxy 0
42、Oxy111 1 1C2C3C4C1324()()|1|1CCCCd xyd xyIxyxy100100.(1)1(1)1dxdxdydyxxy y 2.(,),(,)P x y Q x yG设设在在单单连连通通域域 内内且且有有一一阶阶BAPdxQdy 连连续续偏偏导导数数,则则与与路路径径无无关关QPxyduPdxQdy0(.cPdxQdyCG 为为 内内任任一一闭闭曲曲线线)3.xoyDAD面面上上的的闭闭区区域域 的的面面积积 用用沿沿 的的正正向向.cA 边边界界曲曲线线 的的积积分分表表示示为为 12cxdyydx 2267.4.:(2)(4)9pCxy设设的的正正向向一一周周,则
43、则22222()()xxxcccexeexdydxxdydyyy20(23cos)3cos0.ttdt 9 67.5.p 设设是是一一分分布布着着质质量量的的光光滑滑曲曲面面,oy 曲曲面面对对轴轴的的转转动动惯惯量量(,),x y z 其其面面密密度度为为则则用用曲曲面面积积分分表表示示.yJ 22()(,)xyx y z ds 22267.6.,(,0pza xyb a b设设为为圆圆的的下下侧侧,.dxdy 则则 2b (2)67.7.(,)pu x y zC 设设,();rot gradu 则则().div gradu 0222222uuuxyz(p67-p68)二.计算题67.1.p
44、二二计计算算22()(),cxy dxxy dyICxy 其其中中 是是2222(,0),1(0)xyAayab从从点点经经上上半半椭椭圆圆QPxy 解解 cos:,:0,sinxatCtyat 的的参参数数方方程程(,0)B a到到点点的的弧弧段段.,积积分分与与路路径径无无关关 只只与与起起止止点点有有关关022 sin cossin cossincosItttttt dt 0.dt 68.2.pP质质点点 在在力力2:2(0,0)CxyO 作作用用下下,沿沿抛抛物物线线从从点点运运动动32220(2cos)(12 sin3)AWxyyx dxyxx ydy 解解(,1),.2AF 到到点
45、点求求力力 所所作作的的功功262 cos,QPxyyxxy3222(2cos)(12 sin3)Fxyyx iyxx yj00BW 222103(12).44yydy:0,:0,:,:01.22OByxBA xy其其中中3222(2cos)(12 sin3)BAxyyx dxyxx ydy 68.3.()()()pAxyz iyzx jzxy k求求 A ds 解解2222221.xyzabc从从椭椭球球面面的的内内部部穿穿过过外外部部的的通通量量()()()xyz dydzyzx dzdxzxy dxdy 4334.3abcdvabc 2214.()(01),2zxyz求求抛抛物物面面的的
46、质质量量22220012Mzdsdd 解解.z 此此壳壳的的面面密密度度为为2222021(16 3).215d 68.p三三 证证明明题题.DcDuvvdxdyuvdyudxdyxx,:且且有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数 求求证证:证证明明 利利用用格格林林公公式式1.(,),(,)u x y v x yDC设设在在闭闭域域 及及其其边边界界曲曲线线 上上()()cDDuvuvuvdydxdyvudxdyxxx.DcDuvvdxdyuvdyudxdyxx68.2.p设设简简单单光光滑滑闭闭曲曲面面围围成成的的闭闭域域的的:,().udsaV nn 求求证证为为的的外外法法线线向向量量,(,
47、)V u x y z 体体积积为为在在上上且且有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数,222222().uuudvadvaVxyz222222().uuuuaxyz且且满满足足常常数数(coscoscos)uuuudsdsnxyz证证 (p69p70)自测题4422233333.(),.LIxydsLxya 1 1计计算算其其中中 内内摆摆线线33cos,sin,xat yat解解 令令74423043(cossin)sin cosIattttdt 7552230012cos(cos)sin(sin)atdttdt734.a.,zp69.2p69.2 一一力力场场的的力力与与作作用用点点到到 轴轴的
48、的距距离离成成反反比比m方方向向垂垂直直且且朝朝着着该该轴轴,试试求求当当一一质质量量为为 的的动动点点cos,1,sin(1,1,0)xt yztM沿沿圆圆周周内内点点依依正正向向(0,1,1)N移移动动到到点点时时场场力力所所作作的的功功.2222(,)xyFkxyxy 解解 22220coscos1coscxdxydytWkkdtxyt 2201(ln(1cos)ln2.22kkt.(12)(cos),yyLIxye dxyxedy p69.3p69.3计计算算1sin1.e22123210(2)(cos)2xxIxedxxxexdxdx 212cosyyLLIe dxxdexydxyd
49、y解解法法2(1,1)(0,0)LAyxOx其其中中 是是从从点点沿沿到到点点再再沿沿 轴轴(2,0)B到到点点的的一一光光滑滑弧弧段段.解解法法1 1122III解解法法(2,0)1(1,1)2,yyyLIe dxxdexee 212cos12cosOBAOIxydxydyxydxydy0031112cos0 x dxydy 3sin1,(2)(3sin1)1sin1.Iee 22159xy p70.4.p70.4.利利用用曲曲线线积积分分计计算算柱柱面面0,0.yzyz位位于于的的部部分分被被平平面面所所截截一一块块的的面面积积5cos:,:0,23sinxtLtyt 1 1解解 1222
50、0223sin5sin9cosLAydstttdt 面面积积 220654coscos,cos,tdtut 令令120156549ln5.4Au du(1)5(,),Q x yxoyCp70.p70.设设是是面面上上的的类类函函数数 已已知知2(,),LxydxQ x y dy 曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关 并并且且t对对任任意意的的 都都有有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)ttxydxQ x y dyxydxQ x y dy(,).Q x y试试求求22,(,)().QPxQ x yxc yxy解解 (,)(1,),tQ t y dyQy dy 1t1t0000由
