1、第六章第六章时间序列计量经济学模型的理论与方法时间序列计量经济学模型的理论与方法6.0 6.0 滞后变量滞后变量6.1 6.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验6.2 6.2 随机时间序列模型的识别和估计随机时间序列模型的识别和估计6.3 6.3 协整分析与误差修正模型协整分析与误差修正模型6.0 6.0 滞后变量模型滞后变量模型 一、一、滞后变量模型滞后变量模型 二、二、分布滞后模型的参数估计分布滞后模型的参数估计 三、三、自回归模型的参数估计自回归模型的参数估计四、四、格兰杰因果关系检验格兰杰因果关系检验 在经济运行过程中，广泛存在时间滞后效应。某些经济变量不仅受到同期各种
2、因素的影响，而且也受到过去某些时期的各种因素甚至自身的过去值的影响。一、滞后变量模型一、滞后变量模型 通常把这种过去时期的，具有滞后作用的变量叫做滞后变量滞后变量（Lagged Variable），含有滞后变量的模型称为滞后变量模型滞后变量模型。滞后变量模型考虑了时间因素的作用，使静态分析的问题有可能成为动态分析。含有滞含有滞后解释变量的模型，又称动态模型后解释变量的模型，又称动态模型（Dynamical Model）。1.1.滞后效应与与产生滞后效应的原因滞后效应与与产生滞后效应的原因 因变量受到自身或另一解释变量的前几期值影响的现象称为滞后效应。滞后效应。表示前几期值的变量称为滞后变量滞后
3、变量。如：如：消费函数消费函数 通常认为，本期的消费除了受本期的收入影响之外，还受前1期，或前2期收入的影响：Ct=0+1Yt+2Yt-1+3Yt-2+tYt-1，Yt-2为滞后变量滞后变量。产生滞后效应的原因产生滞后效应的原因 1.心理因素心理因素：人们的心理定势，行为方式滞后于经济形势的变化，如中彩票的人不可能很快改变其生活方式。2.技术原因技术原因：如当年的产出在某种程度上依赖于过去若干期内投资形成的固定资产。3.制度原因制度原因：如定期存款到期才能提取，造成了它对社会购买力的影响具有滞后性。2.2.滞后变量模型滞后变量模型 以滞后变量作为解释变量，就得到滞后变滞后变量模型量模型。它的一
4、般形式为：q，s：滞后时间间隔 tststtqtqtttXXXYYYY11022110 自回归分布滞后模型自回归分布滞后模型（autoregressive distributed lag model,ADL）：既含有Y对自身滞后变量的回归，还包括着X分布在不同时期的滞后变量。有限自回归分布滞后模型：有限自回归分布滞后模型：滞后期长度有限 无限自回归分布滞后模型：无限自回归分布滞后模型：滞后期无限 （1）分布滞后模型）分布滞后模型（distributed-lag model）分布滞后模型：分布滞后模型：模型中没有滞后被解释变量，仅有解释变量X的当期值及其若干期的滞后值：titisitXY0 0：
5、短期短期(short-run)或即期乘数即期乘数(impact multiplier)，表示本期X变化一单位对Y平均值的影响程度。i(i=1,2,s)：动态乘数动态乘数或延迟系数延迟系数，表示各滞后期X的变动对Y平均值影响的大小。如果各期的X值保持不变，则X与Y间的长期或均衡关系即为:sii0称为长期长期（long-run）或均衡乘数均衡乘数（total distributed-lag multiplier），表示X变动一个单位，由于滞后效应而形成的对Y平均值总影响的大小。XYEsii)()(0 2.2.自回归模型自回归模型（autoregressive model）而，ttttYXY1210
6、称为一阶自回归模型（一阶自回归模型（first-order autoregressive model）。自回归模型自回归模型：模型中的解释变量仅包含X的当期值与被解释变量Y的一个或多个滞后值tqiitittYXY110二、分布滞后模型的参数估计二、分布滞后模型的参数估计 无限期的分布滞后模型无限期的分布滞后模型，由于样本观测值，由于样本观测值的有限性，使得无法直接对其进行估计。的有限性，使得无法直接对其进行估计。有限期的分布滞后模型有限期的分布滞后模型，OLSOLS会遇到如下会遇到如下问题：问题：1.没有先验准则确定滞后期长度；1.分布滞后模型估计的困难分布滞后模型估计的困难 2.如果滞后期较
7、长，将缺乏足够的自由度进行估计和检验；3.同名变量滞后值之间可能存在高度线性相关，即模型存在高度的多重共线性。2.分布滞后模型的修正估计方法分布滞后模型的修正估计方法 人们提出了一系列的修正估计方法，但并不很完善。各种方法的基本思想大致相同基本思想大致相同：都是通过对各滞后变量加权，组成线性合成变量而有目的地减少滞后变量的数目，以缓解多重共线性，保证自由度。(1)经验加权法经验加权法 根据实际问题的特点、实际经验给各滞后变量指定权数，滞后变量按权数线性组合，构成新的变量。权数据的类型有：递减型递减型：即认为权数是递减的权数是递减的，X的近期值对Y的影响较远期值大。如消费函数中，收入的近期值对消
8、费的影响作用显然大于远期值的影响。例如：滞后期为滞后期为 3的一组权数可取值如下：1/2，1/4，1/6，1/8 即认为权数是相等的权数是相等的，X的逐期滞后值对值Y的影响相同。如滞后期为3，指定相等权数为1/41/4，则新的线性组合变量为：矩型矩型：321241414141tttttXXXXW则新的线性组合变量为：321181614121tttttXXXXW 权数先递增后递减权数先递增后递减呈倒“V”型。例如：例如：在一个较长建设周期的投资中，历年投资X为产出Y的影响，往往在周期期中投资对本期产出贡献最大。如滞后期为4，权数可取为 1/6，1/4，1/2，1/3，1/5则新变量为 倒倒V V
9、型型432135131214161ttttttXXXXXW例例6.0.1 6.0.1 对一个分布滞后模型：ttttttXXXXY33221100给定递减权数：1/2，1/4，1/6，1/8 令 321181614121tttttXXXXW原模型变为：tttWY110该模型可用OLS法估计。假如参数估计结果为：=0.501=0.8则原模型的估计结果为：3213211.0133.02.04.05.088.068.048.028.05.0tttttttttXXXXXXXXY 经验权数法经验权数法的优点优点是：简单易行；缺点缺点是：设置权数的随意性较大通常的做法通常的做法是：多选几组权数，分别估计出几
10、个模型，然后根据常用的统计检验（方检验，检验，t检验，-检验），从中选择最佳估计式。（2）阿尔蒙（）阿尔蒙（lmon）多项式法）多项式法 主要思想：主要思想：针对有限滞后期模型，通过阿针对有限滞后期模型，通过阿尔蒙变换，定义新变量，以减少解释变量个数，尔蒙变换，定义新变量，以减少解释变量个数，然后用然后用OLSOLS法估计参数。法估计参数。主要步骤为：主要步骤为：第一步，阿尔蒙变换第一步，阿尔蒙变换 对于分布滞后模型：titisitXY0 假定其回归系数i可用一个关于滞后期i的适当阶数的多项式来表示，即:mkkkii1)1(i=0,1,s 其中，ms-1。阿尔蒙变换要求先验地确定适当阶数k，例
11、如取k=2，得：22121)1()1()1(iiikkki（*）将(*)代入分布滞后模型：titkkksitXiY210)1(tsitsiitXiXi022201)1()1(titisitXY0得：定义新变量 siittXiW01)1(siittXiW022)1(将原模型转换为：ttttWWY2211第二步，模型的第二步，模型的OLS估计估计 对变换后的模型进行OLS估计，得：再计算出:21,s,21 求出滞后分布模型参数的估计值:22121)1()1()1(iiikkki 由于m+1s，可以认为原模型存在的自由度不足和多重共线性问题已得到改善。需注意的是需注意的是，在实际估计中，阿尔蒙多项式
12、的阶数m一般取2或3，不超过4，否则达不到减少变量个数的目的。例例6.0.2 表6.0.1给出了中国电力基本建设投电力基本建设投资资X与发电量发电量Y的相关资料，拟建立一多项式分布滞后模型来考察两者的关系。表表6.0.1 中国电力工业基本建设投资与发电量中国电力工业基本建设投资与发电量 年度 基本建设投资 X（亿元）发电量（亿千瓦时）年度 基本建设投资 X（亿元）发电量（亿千瓦时）1975 30.65 1958 1986 161.6 4495 1976 39.98 2031 1987 210.88 4973 1977 34.72 2234 1988 249.73 5452 1978 50.91
13、 2566 1989 267.85 5848 1979 50.99 2820 1990 334.55 6212 1980 48.14 3006 1991 377.75 6775 1981 40.14 3093 1992 489.69 7539 1982 46.23 3277 1993 675.13 8395 1983 57.46 3514 1994 1033.42 9218 1984 76.99 3770 1995 1124.15 10070 1985 107.86 4107 由于无法预见知电力行业基本建设投资对发电量影响的时滞期，需取不同的滞后期试算。ttttWWWY210271.0101.
14、0061.35.3319 （13.6213.62）（）（1.861.86）（0.150.15）（-0.67-0.67）经过试算发现，在2阶阿尔蒙多项式变换下，滞后期数取到第6期，估计结果的经济意义比较合理。2阶阿尔蒙多项式估计结果如下：求得的分布滞后模型参数估计值为：0=0.323，1=1.777，2=2.690，3=3.061，4=2.891，5=2.180，6=0.927 最后得到分布滞后模型估计式为：321061.3690.2777.1323.05.3319tttttXXXXY （13.62）(0.19)(2.14)(1.88)(1.86)654927.0180.2891.2tttXXX
15、 (1.96)(1.10)(0.24)为了比较，下面给出直接对滞后6期的模型进行OLS估计的结果：32171.414.1543.11424.89.3361tttttXXXXY （12.43）(1.80)(-1.89)(1.21)(0.36)65442.2594.2670.14tttXXX (-0.93)(1.09)(-1.12)2R=0.9770 F=42.54 DW=1.03 （3）科伊克（）科伊克（Koyck）方法）方法 科伊克方法是将无限分布滞后模型转换为自科伊克方法是将无限分布滞后模型转换为自回归模型，然后进行估计回归模型，然后进行估计。对于无限分布滞后模型：tiititXY0 科伊克
16、变换假设科伊克变换假设i随滞后期i按几何级数衰减：ii0其中，0F(m,n-k)，则拒绝原假设，认为X X是是Y Y的格兰杰原因的格兰杰原因。注意：注意：格兰杰因果关系检验格兰杰因果关系检验对于滞后期长度的选择有时很敏感。不同的滞后期可能会得到完全不同的检验结果。因此，一般而言一般而言，常进行不同滞后期长度的检验，以检验模型中随机误差项不存在序列相关的滞后期长度来选取滞后期。例例6.0.4 检验19782000年间中国当年价GDP与居民消费CONS的因果关系。表表 6.0.3 中国中国 GDP与消费支出（亿元）与消费支出（亿元）年份 人均居民消费 CONSP 人均GDP GDPP 年份 人均居
17、民消费 CONSP 人均GDP GDPP 1978 1759.1 3605.6 1990 9113.2 18319.5 1979 2005.4 4074.0 1991 10315.9 21280.4 1980 2317.1 4551.3 1992 12459.8 25863.7 1981 2604.1 4901.4 1993 15682.4 34500.7 1982 2867.9 5489.2 1994 20809.8 46690.7 1983 3182.5 6076.3 1995 26944.5 58510.5 1984 3674.5 7164.4 1996 32152.3 68330.4
18、1985 4589 8792.1 1997 34854.6 74894.2 1986 5175 10132.8 1998 36921.1 79003.3 1987 5961.2 11784.7 1999 39334.4 82673.1 1988 7633.1 14704.0 2000 42911.9 89112.5 1989 8523.5 16466.0 取两阶滞后，Eviews给出的估计结果为：Pairwise Granger Causality Tests Sample:1978 2000 Lags:2 Null Hypothesis:Obs F-Statistic Probability
19、 GDP does not Granger Cause CONS 21 4.29749 0.03208 CONS does not Granger Cause GDP 1.82325 0.19350 判断：=5%，临界值F0.05(2,17)=3.59拒绝“GDP不是CONS的格兰杰原因”的假设，不拒绝“CONS不是GDP的格兰杰原因”的假设。因此，从2阶滞后的情况看，GDP的增长是居民消费增长的原因，而不是相反。但在2阶滞后时，检验的模型存在1阶自相关性。表表 6.0.4 格兰杰因果关系检验格兰杰因果关系检验 滞后长度 格兰杰因果性 F 值 P 值 LM 值 AIC 值 结论 2 GDPCO
20、NS 4.297 0.032 0.009 16.08 拒绝 CONSGDP 1.823 0.194 0.008 17.86 不拒绝 3 GDPCONS 10.219 0.001 0.010 15.14 拒绝 CONSGDP 4.096 0.691 0.191 17.14 不拒绝 4 GDPCONS 19.643 10E-04 0.110 14.70 拒绝 CONSGDP 5.247 0.015 0.027 16.42 拒绝 5 GDPCONS 10.321 0.004 0.464 14.72 拒绝 CONSGDP 5.085 0.028 0.874 16.30 拒绝 6 GDPCONS 4.7
21、05 0.078 0.022 14.99 不拒绝 CONSGDP 7.773 0.034 1.000 16.05 拒绝 随着滞后阶数的增加，拒绝“GDP是居民消费CONS的原因”的概率变大，而拒绝“居民消费CONS是GDP的原因”的概率变小。如果同时考虑检验模型的序列相关性以及赤池信息准则，发现：滞后滞后4阶或阶或5阶的检验模型不阶的检验模型不具有具有1阶自相关性，而且也拥有较小的阶自相关性，而且也拥有较小的AIC值值，这时判断结果判断结果是:GDP与与CONS有双向的格兰杰因果有双向的格兰杰因果关系，即相互影响关系，即相互影响。分析：分析：6.1 6.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平
22、稳性及其检验一、问题的引出：非平稳变量与经典回归一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型模型二、时间序列数据的平稳性二、时间序列数据的平稳性三、平稳性的图示判断三、平稳性的图示判断四、平稳性的单位根检验四、平稳性的单位根检验五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程一、问题的引出：非平稳变量与经典一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型回归模型常见的数据类型常见的数据类型到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据时间序列数据（time-series data)；截面数据截面数据(cross-sectiona
23、l data)平行平行/面板数据面板数据（panel data/time-series cross-section data)时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。经典回归模型与数据的平稳性经典回归模型与数据的平稳性 经典回归分析经典回归分析暗含暗含着一个重要着一个重要假设假设：数据是平稳的。数据是平稳的。数据非平稳数据非平稳，大样本下的统计推断基础，大样本下的统计推断基础“一致一致性性”要求要求被破怀。被破怀。经典回归分析的假设之一：解释变量经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变是非随机变量量 放宽该假设：放宽该假设：X是随机变量，则需进一步
24、要求：是随机变量，则需进一步要求：(1)X与随机扰动项与随机扰动项 不相关不相关 Cov(X,)=0nXXi/)(2QnXXPin)/)(2lim依概率收敛：依概率收敛：(2)表现在表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性有很高的相关性（有较高的R2)：例如：例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。在现实经济生活中在现实经济生活中：情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的实际的时间序列数据是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下
25、降。这样，仍然通过经典的因果关仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。数据非平稳，往往导致出现数据非平稳，往往导致出现“虚假回归虚假回归”问题问题二、时间序列数据的平稳性二、时间序列数据的平稳性 时间序列分析中首先遇到的问题首先遇到的问题是关于时间序列数据的平稳性平稳性问题。假定某个时间序列是由某一假定某个时间序列是由某一随机过程随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列）生成的，即假定时间序列Xt（t=1,2,）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如
26、果满足下列条件：满足下列条件：1）均值）均值E(XE(Xt t)=)=是是与时间与时间t 无关的常数；无关的常数；2）方差）方差Var(XVar(Xt t)=)=2 2是是与时间与时间t 无关的常数；无关的常数；3）协方差）协方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)=k k 是是只与时期间隔只与时期间隔k有关，有关，与时间与时间t 无关的常数；无关的常数；则称该随机时间序列是则称该随机时间序列是平稳的平稳的（stationary)，而该，而该随机过程是一随机过程是一平稳随机过程平稳随机过程（stationary stochastic process）。）。例例6.1.1一个最简
27、单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：Xt=t ，tN(0,2)例例6.1.2另一个简单的随机时间列序被称为随机随机游走（游走（random walk），该序列由如下随机过程生成：Xt=Xt-1+t这里，t是一个白噪声。该序列常被称为是一个白噪声白噪声（white noise）。由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由定义,一个白噪声序列是平稳的一个白噪声序列是平稳的。为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的初值为X0，则易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 X Xt t=X=X0 0+1+2+t 由于X0为常数，t是一个白噪声，因此Var(Xt)=t2
28、 即即Xt的方差与时间的方差与时间t t有关而非常数，它是一非平稳序有关而非常数，它是一非平稳序列。列。容易知道该序列有相同的均值均值：E(Xt)=E(Xt-1)然而，对X取一阶差分一阶差分（first difference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一个白噪声，则序列Xt是平稳的。后面将会看到后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的，如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。事实上，事实上，随机游走过程随机游走过程是下面我们称之为是下面我们称之为1 1阶自回阶自回归归AR(1)AR(1)过程过程的特例的特例 X Xt t
29、=X Xt-1t-1+t 不难验证不难验证:1)|1|1时，该随机过程生成的时间序列是时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升发散的，表现为持续上升(1)1)或持续下降或持续下降(-1)-1)，因此是非平稳的；因此是非平稳的；第二节中将证明第二节中将证明:只有当只有当-1-1 10，样本自相关系数近似地服从以，样本自相关系数近似地服从以0为均值，为均值，1/n 为方差的正态分布，其中为方差的正态分布，其中n为样本数。为样本数。也可检验对所有也可检验对所有k0k0，自相关系数都为，自相关系数都为0 0的联合的联合假设，这可通过如下假设，这可通过如下Q QLBLB统计量进行：统计量进行
30、：该统计量近似地服从自由度为m的2分布（m为滞后长度）。因此:如果计算的如果计算的Q Q值大于显著性水平值大于显著性水平为为 的临界值，则有的临界值，则有1-1-的把握拒绝所有的把握拒绝所有 k k(k0)(k0)同时为同时为0 0的假设。的假设。mkkLBknrnnQ12)2(四、平稳性的单位根检验四、平稳性的单位根检验 对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外，运用统计量进行统计检验则是更为准确与重要的。单位根检验（单位根检验（unit root test）是统计检验中普遍应用的一种检验方法。1 1、DFDF检验检验我们已知道，随机游走序列 Xt=Xt-1+t是非平稳的，其中t是白噪声。而
31、该序列可看成是随机模型 Xt=Xt-1+t中参数=1时的情形。也就是说，我们对式 Xt=Xt-1+t （*）做回归，如果确实发现=1，就说随机变量Xt有一个单位根单位根。（*）式可变形式成差分形式：Xt=(-1)Xt-1+t =Xt-1+t (*)检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（*）式判断是否有=0。一般地一般地:检验一个时间序列检验一个时间序列XtXt的平稳性，可通过检验的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型带有截距项的一阶自回归模型 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t （*）中的参数中的参数 是否小于是否小于1 1。或者：或者：检验其等价变形式检验其等价变形式 X
32、 Xt t=+X Xt-1t-1+t t （*）中的参数中的参数 是否小于是否小于0 0。在第二节中将证明，（*）式中的参数 11或或=1=1时，时，时间序列是非平稳的时间序列是非平稳的;对应于（*）式，则是 00或或 =0。因此，针对式 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t 我们关心的检验为：零假设零假设 H0：=0。备择假设备择假设 H1：0 上述检验可通过上述检验可通过OLS法下的法下的t检验完成。检验完成。然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t 检验无法使用。Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布（
33、这时的t统计量称为 统计量统计量），即DF分布分布（见表8.1.3）。由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏态分布。因此，可通过OLS法估计 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t 并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较：如果：如果：t临界值，则拒绝零假设临界值，则拒绝零假设H0：=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。认为时间序列不存在单位根，是平稳的。表表 6.1.3 DF 分布临界值表分布临界值表 样 本 容 量 显著性水平 25 50 100 500 t分布临界值（n=）0.01-3.75-3.58-3.51-3.44-3.43-2.33 0.0
34、5-3.00-2.93-2.89-2.87-2.86-1.65 0.10-2.63-2.60-2.58-2.57-2.57-1.28 进一步的问题进一步的问题：在上述使用 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t对时间序列进行平稳性检验中，实际上实际上假定了时间序列是由假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的生成的。但在实际检验中但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行法进行估计均会表现出随机误差项
35、出现自相关估计均会表现出随机误差项出现自相关（autocorrelation），导致DF检验无效。另外另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随自相关随机误差项问题机误差项问题。为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller）检验）检验。2 2、ADFADF检验检验ADF检验是通过下面三个模型完成的：检验是通过下面三个模型完成的：模型模型3 中的中的t是时间变量是时间变量，代表了时间序列随时间变化的某种趋势（如果有的话）。检验的假设都是：针
36、对检验的假设都是：针对H1:500-2.58-2.23-1.95-1.6125-3.75-3.33-3.00-2.6250-3.58-3.22-2.93-2.60100-3.51-3.17-2.89-2.58250-3.46-3.14-2.88-2.57500-3.44-3.13-2.87-2.57500-3.43-3.12-2.86-2.57253.412.972.612.20503.282.892.562.181003.222.862.542.172503.192.842.532.165003.182.832.522.1625003.182.832.522.1625-4.38-3.95-3
37、.60-3.2450-4.15-3.80-3.50-3.18100-4.04-3.73-3.45-3.15250-3.99-3.69-3.43-3.13500-3.98-3.68-3.42-3.13500-3.96-3.66-3.41-3.12254.053.593.202.77503.873.473.142.751003.783.423.112.732503.743.393.092.735003.723.383.082.725003.713.383.082.72253.743.252.852.39503.603.182.812.381003.533.142.792.382503.493.12
38、2.792.385003.483.112.782.3835003.463.112.782.38 例例6.1.6 检验19782000年间中国GDP时间序列的平稳性。21101.150.10093.027.22933.1011ttttGDPGDPGDPTGDP （-1.26）(1.91)(0.31)(8.94)(-4.95)1）经过偿试，模型3取了2阶滞后：通过拉格朗日乘数检验拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test）对随机误差项的自相关性进行检验：LM（1）=0.92，LM（2）=4.16，小于5%显著性水平下自由度分别为1与2的2分布的临界值，可见不存在自相关性，因
39、此该模型的设定是正确的。从从 的系数看，的系数看，t临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值，因此不能拒绝不能拒绝不存在趋势项的零假设不存在趋势项的零假设。需进一步检验模型需进一步检验模型2。2）经试验，模型2中滞后项取2阶：21115.165.1057.045.357ttttGDPGDPGDPGDP （-0.90）(3.38)(10.40)(-5.63)LM（1）=0.57 LM（2）=2.85 LM检验表明模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒
40、绝存在单位根的零假设不能拒绝存在单位根的零假设。常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值，不能拒不能拒绝不存常数项的零假设。绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型1。3)经试验，模型1中滞后项取2阶：LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。不能拒绝存在单位根的零假设。可断定中国可断定中国GDP时间序列是非平稳的。时间序列是非平稳的。211194.1701.1063.0ttttGDPGDPGDPGDP （4.15）(11.46)(-6.05)LM（1）=0.17 LM（2）=2.67 例例
41、6.1.7 检验2.3中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。1)对中国人均国内生产总值中国人均国内生产总值GDPPC来说，经过偿试，三个模型的适当形式分别为模型 2：211425.1040.0652.002.192ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （-1.78）(3.26)(0.08)(-2.96)43403.1412.0ttGDPPCGDPPC (-0.67)(-2.20)LM（1）=1.67 LM（2）=1.71 LM(3)=6.28 LM（4）=10.92 模型 3：1103.115.036.4508.75tttGDPPCGDPPCtGDPPC （-0
42、.75）(1.93)(-1.04)(2.31)LM（1）=2.88 LM（2）=1.86 三个模型中参数的估计值的t统计量均大于各自的临界值，因此不能拒绝存在单位根的零假设不能拒绝存在单位根的零假设。结论：人均国内生产总值（人均国内生产总值（GDPPC）是非平稳）是非平稳的。的。模型 1：211975.0875.0196.0ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （2.63）(2.61)(-2.72)LM（1）=0.20 LM（2）=3.53 2）对于人均居民消费CPC时间序列来说，三个模型的适当形式为 模型 3：114627.13646.098.3423.26tttCPCCPCtC
43、PC (-0.477)(2.175)(-1.478)(2.318)LM(1)=1.577 LM(2)=1.834 模型 2：3211027.0655.1508.0545.088.79tttttCPCCPCCPCCPCCPC (-1.37)(3.37)(1.16)(-3.44)(-0.05)4824.1tCPC (-3.03)LM(1)=3.57 LM(2)=4.10 LM(3)=4.89 LM(4)=10.99 三个模型中参数CPCt-1的t统计量的值均比ADF临界值表中各自的临界值大，不能拒绝该时间不能拒绝该时间序列存在单位根的假设序列存在单位根的假设，因此,可判断人均居民消费序列可判断人均
44、居民消费序列CPC是非平稳是非平稳的。的。模型 1：4321171.108.048.188.037.0ttttttCPCCPCCPCCPCCPCCPC (3.60)(2.37)(-2.97)(0.12)(-2.68)LM(1)=1.83 LM(2)=1.84 LM(3)=2.00 LM(4)=2.33 五、单整、趋势平稳与差分平稳随机五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程过程 随机游走序列 Xt=Xt-1+t经差分后等价地变形为 Xt=t 由于t是一个白噪声，因此差分后的序列差分后的序列 Xt是平稳的。是平稳的。单整单整 一般地，如果一个时间序列经过一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变成平稳
45、序列，次差分后变成平稳序列，则称原序列是则称原序列是d 阶单整阶单整（integrated of d）序列序列，记为，记为I(d)。显然，I(0)代表一平稳时间序列。代表一平稳时间序列。现实经济生活中现实经济生活中:1)只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等如利率等;2)大多数指标的时间序列是非平稳的，大多数指标的时间序列是非平稳的，如一些价格指数常常如一些价格指数常常是是2阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1阶单整。阶单整。大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式大多数
46、非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式变为平稳的。变为平稳的。但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平稳的。这种序列被称为稳的。这种序列被称为非单整的（非单整的（non-integrated）。如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是序列是一阶单整一阶单整（integrated of 1）序列序列，记为，记为I(1)。例例6.1.8 中国GDP的单整性。经过试算，发现中国中国GDP是是1阶单整的阶单整的，适当的检验模型为 1212966.0495.025.26108
47、.1174tttGDPGDPtGDP (-1.99)(4.23)（-5.18）(6.42)2R=0.7501 LM(1)=0.40 LM(2)=1.29 例例6.1.9 中国人均居民消费与人均国内生产总值的单整性。经过试算，发现中国人均国内生产总值中国人均国内生产总值GDPPC是是2阶单阶单整的整的，适当的检验模型为 12360.0ttGDPPCGDPPC （-2.17）2R=0.2778，LM(1)=0.31 LM(2)=0.54 同样地，CPC也是也是2阶单整的阶单整的，适当的检验模型为 12367.0ttCPCCPC （-2.08）2R=0.2515 LM(1)=1.99 LM(2)=2
48、.36 趋势平稳与差分平稳随机过程趋势平稳与差分平稳随机过程 前文已指出，一些非平稳的经济时间序列往往表现出共同的变化趋势，而这些序列间本身不一定有直接的关联关系，这时对这些数据进行回归，尽管有较高的R2，但其结果是没有任何实际意义的。这种现象我们称之为虚假回归虚假回归或或伪回归伪回归（spurious regression）。如：用中国的劳动力时间序列数据与美国GDP时间序列作回归，会得到较高的R2，但不能认为两者有直接的关联关系，而只不过它们有共同的趋势罢了，这种回归结果我们认为是虚假的。为了避免这种虚假回归的产生，通常的做法是引入作为趋势变量的时间，这样包含有时间趋势变量的回归，可以消除
49、这种趋势性的影响。然而这种做法，只有当趋势性变量是确定性的确定性的（deterministic）而非随机性的（随机性的（stochastic），才会是有效的。换言之，如果一个包含有某种确定性趋势的非如果一个包含有某种确定性趋势的非平稳时间序列，可以通过引入表示这一确定性趋平稳时间序列，可以通过引入表示这一确定性趋势的趋势变量，而将确定性趋势分离出来。势的趋势变量，而将确定性趋势分离出来。1)如果=1，=0，则（*）式成为一带位移的随机一带位移的随机游走过程游走过程：Xt=+Xt-1+t （*）根据的正负，Xt表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为随机性趋势（随机性趋势（stochastic
50、trend）。2)如果=0，0，则（*）式成为一带时间趋势的随机变化过程：Xt=+t+t （*）根据的正负，Xt表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为确定性趋势（确定性趋势（deterministic trend）。考虑如下的含有一阶自回归的随机过程：Xt=+t+Xt-1+t （*）其中:t是一白噪声，t为一时间趋势。3)如果=1，0，则Xt包含有确定性与随机性确定性与随机性两种趋势。两种趋势。判断一个非平稳的时间序列，它的趋势是随机性的还是确定性的，可通过ADF检验中所用的第3个模型进行。该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量t，即分离出了确定性趋势的影响。因此，(1)如果检验结果表明所
