1、第二章第二章 能量原理和变分法能量原理和变分法 偏微分方程求解的困难能量原理的应用变分法变分法数学基础格林公式 2.1 应变能应变能（密度）外力功变形体的能量关系应变能xzxzyzyzxyxyzzyyxxUUUUUU000000ijijUdd0 xzxzyzyzxyxyzzyyxxddddd注意 线弹性问题的变形能)(210 xzxzyzyzxyxyzzyyxxUijijU210VUUVd0功能关系 位移边界面力边界VSuFVuFVkijsijVSkiikiidddsb弹性体体积V，表面积为S。位移给定表面Su面力给定表面S 静力可能的应力与几何可能的位移S=Su+S 0b,ijijFjiji
2、nFs)(21,ijjiijuuiiuu Su Ssijkiukij2.2 虚位移原理虚位移原理弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。虚功原理VSuFVuFVijijVSiiiidddsb作用于弹性体的第一种状态外力，包括体力和面力，在第二种状态对应的位移上所做的功等于第二种状态的外力在第一种状态对应的位移上所做的功。例题SuFVuFSuFVuFiiSiiViiSiiVdddd12s12b21s21b功的互等定理2.3 最小势能原理最小势能原理总势能应变分量的泛函又是位移分量的泛函位移变分S
3、uFVuFVUEiiSiiVVtdddsb00)(tEWU真实的位移使得总势能取最小值最小势能原理是变分表达的平衡条件数学形式 等价于平衡微分方程和面力边界条件 总势能概念最小势能原理基本思想构造一个位移试函数几何可能最小势能原理的应用RayleighRitz(瑞利里兹)法(伽辽金)法 通过能量变分，偏微分方程边值问题转化为通过能量变分，偏微分方程边值问题转化为线性代数方程组。线性代数方程组。位移边界条件位移与面力边界条件解：首先用瑞利里茨法位移试函数 例例1：两端简支的等截面梁，受均匀分布载荷q作用如图所示。试求解梁的挠度w（x）。满足梁的位移边界条件在x=0，l处，w=0 总势能 mmlx
4、mCwsinxqwxxwEJElltdd)dd(202220,5,3,1243424mmmmtmCqlCmlEJE根据则 所以0mtCE为偶数）为奇数）mCmlEJmmqlCmlEJmm(02(022434434为偶数）为奇数）mCmmEJqlCmm(0(04554回代,5,3,1554sin14mlxmmEJqlw挠曲线表达式是无穷级数精确解这个级数收敛很快，只要取少数几项就可以得到足够的精度。如果取一项 这一结果与精确值十分接近 EIqlw6.764max解：应用法位移试函数 同时满足面力边 界条件根据法分析可得 mmlxmCwsinlxlxmqxwEI0440dsin)dd(,5,3,1
5、554sin14mlxmmEJqlw解：位移试函数 例例2：矩形薄板，四边固定，受有平行于板面的体力作用。设坐标轴如图所示，试用RayleighRitz法求解。m和n为正整数在边界x=0，a，和y=0，b上，u=v=0，所以试函数满足位移边界条件。mnmnmnmnbynaxmBvbynaxmAusinsinsinsin平面应力问题 因此 yxyuxvvyvxuvyvxuvEUa bdd)(212)()()1(2202202yxyuxvByuxvvxuByvvyvBxuvyvByvxuBxuvEBUyxyuxvAyuxvvxuAyvvyvAxuvyvAyvxuAxuvEAUmnmnamnmnmn
6、bmnmnmnamnmnmnbmndd)()(1()(2)(2)(2)(2)1(2dd)()(1()(2)(2)(2)(2)1(20 020 02将位移试函数代入求导数后再积分 因此 yxbynaxmFBUyxbynaxmFAUaybmnaxbmnddsinsinddsinsin0b00b0yxbynaxmFBvamvbnabEyxbynaxmFAvbnvamabEya bmnaxbmnddsinsin)1(2)1(4ddsinsin)1(2)1(4b0 02222220b0222222如果体力已知，积分可求待定系数Amn和Bmn2.4 虚力原理虚力原理根据弹性体的稳定平衡状态与经过虚位移而到
7、达的邻近状态的比较，得到了真实位移使得总势能取最小值的结论最小势能原理。假如问题分析的基本未知量不是位移，而是应力分量。能量泛函中的应力变分 虚应力方程ij在位移边界引起的面力称为虚面力虚面力Fsi 应变余能概念虚应力 ijijijijUd)(00ijijU00)(b,ijijijFijijijs上在SnFjijiji)(sSnjijjij00,VSnuijijVjijiSuddij总余能变分形式最小余能原理真实应力使得总余能取驻值可以证明，对于稳定的平衡状态，真实应力使总余能取最小值。2.5 最小余能原理最小余能原理0dd0SFuVUsiiSVuSnuVUSFuVUEjijiSVsiiSVt
8、uudddd00最小余能原理可以叙述为：在所有静力可能的应力中，真实应力使得总余能取最小值。应力变分方程或者最小余能原理等价于以应力分量表示的变形协调方程和位移边界条件。应力变分的实质就是应力解法用于能量原理对于多连域问题，还有位移单值连续条件需要考虑，这将导致问题十分复杂。最小余能原理的应用应力变分比位移变分方程更困难一、应力试函数必须同时满足平衡微分方程和面力位移边界条件；二、多连域的位移单值连续条件。应力函数平面问题与柱体扭转。广义变分原理胡海昌鹫久津一郎方程 2.6 有限元概念有限元概念基本方程偏微分方程的边值问题变分原理偏微分方程的边值问题转换为代数方程有限元原理数值分析方法工程应用
9、广泛，理论基础变分原理。为什么变分原理在工程上的应用有限，而有限元原理却应用广泛。有限元原理与经典变分原理的差别位移试函数位移边界Su位移试函数构造困难mmmmmmmmmzyxwCzyxwzyxwzyxvBzyxvzyxvzyxuAzyxuzyxu),(),(),(),(),(),(),(),(),(000,0,0,0,000mmmwvuwwvvuu有限元不是整体选取试函数而是在弹性体内分区（单元）完成的试函数形式简单统一近年来，随着现代科学技术的发展，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得以有限元方法为代表的计算力学的迅速发展，改变了弹性力学理论在工程应用领域的处境。有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。大型通用有限元程序的广泛应用，使得有限元成为结构分析工具。以此为基础，CAD,CAE等技术的应用使得计算机不仅成为数值分析的工具，而且成为设计分析的工具。
