1、1插值问题曲线拟合问题2一、函数的工程化表达一、函数的工程化表达1.对于很多实际工程计算问题，函数是通过实验或观测得到的，表达形式上为函数表，无解析表达形式。2.虽然有些函数存在解析的表达式，但形式过于复杂而不易使用。3二、问题的提出二、问题的提出设 是R中若干个不同的点，每个点 对应一个数值 0niixixiyR它们可以是实测得到的，也可以是一个已知函数的值 。如何近似由这组数据 确定的函数？并由此可提出两类问题：ifx0,niiix y1.作一条曲线，其类型是事先给定的（如：代数多项式），使该曲线经过给定点 。这就是所谓的插值问题。2.作一条指定的曲线，使该曲线能在“一定意义”下逼近这一组
2、数据。这就是所谓的曲线拟合问题。,0,1,iix yin4n(1)复杂函数的计算;n(2)函数表中非表格点计算n(3)光滑曲线的绘制;n(4)提高照片分辩率算法n(5)定积分的离散化处理;n(6)微分方程的离散化处理;n(7)积分方程的离散化处理;00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.4-0.200.20.40.6插值方法的应用插值方法的应用:5三、插值的定义与存在性三、插值的定义与存在性求 P(x)的方法就是插值法。若存在一简单函数P(x)，使得l P(x)为 f(x)的插值函数l点 x0,x1,xn 为插值节点l(1)式为插值条件l f(x)为被插函数l a,b 为插
3、值区间设 f(x)C a,b,取点 a x0 x1xnb,0,1,(1)iiP xyin成立，则称6若P(x)是次数不超过n 的实系数代数多项式,即则称P(x)为n 次插值多项式.相应的插值法称为多项式插值法(代数插值法)。P(x)=a0 +a1 x+an x nx 0 y y=P(x)a=x0 x1 x2 x3 xn=b (xi,yi)y=f(x)曲线 P(x)近似 f(x)7研究问题：（1）满足插值条件的P(x)是否存在唯一？（2）若满足插值条件的P(x)存在，如何构造P(x)？（3）如何估计用P (x)近似替代 f(x)产生的误差？8证明：由(1)式010000111101nnnnnnn
4、nnaa xa xyaa xa xyaa xa xy(2)定理 若插值结点 x0,x1,xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件 P(xk)=yk (k=0,1,n)的n次插值多项式 P(x)=a0+a1x+anxn 存在且唯一。9点是互异的0011011|()01nnijn ijnnnxxxxAxxxx 为范德蒙行列式。只要插值节点互不相同，则系数矩阵非奇异。故方程组解存在且唯一。10说明：11x 0 y y=f(x)的几何意义)(1xLy 一、线性插值与抛物线插值一、线性插值与抛物线插值1.线性插值(n=1)设已知区间 xk,xk+1端点处的函数值yk=f(xk)，yk+1=f(xk+1)
5、，1111()()kkkkLxyLxyy=L1(x)xk xk+1 求线性插值多项式L 1(x)，使其满足 过两点(xk,yk)与(xk+1,yk+1)的直线121111(),()kkkkkkkkxxxxl xlxxxxx111()()kkkkkkyyyLxxxxx11111()kkkkkkkkyxxxxxxxxL xy或L1(x)是两个线性函数的线性组合称为节点上线性插值基函数111()()()kkkkyyL xl xlx 线 性 函 数 y10 xk xk+1 x1111()1,()0,()0()1kkkkkkkklxlxlxlx y10 xk xk+1 x lk(x)lk+1(x)111
6、1()()kkkkkkkkxxlxxxxxlxxx 节点上的线性插值基函数：满足13几何意义:过三点(xk-1,yk-1),(xk,yk)与(xk+1,yk+1)的抛物线 2.抛物插值法(n=2 时的二次插值)设插值节点为：xk-1,xk,xk+1,求二次插值多项式L2(x)，使得L2(x j)=y j,j=k-1,k,k+1.先求 插值基函数l k-1(x),l k(x),l k+1(x)(二次函数),111111111111()1,()()0;()1,()()0;()1,()()0,kkkkkkkkkkkkkkkkkklxlxlxlxlxlxlxlxlx满足：(4)y0 y1 y2=1 0
7、 0y0+0 1 0y1+0 0 1y2L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，构造法：14求 lk-1(x):11()()(),kkklxA x xx x11111111111111()()()()()()()()()()()()()()()kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkx xxxlxxxxxx xxxlxxxxxx xxxlxxxxxL2(x j)=y j,j=k-1,k,k+1.(5)1111()()kkkkAxxxx再构造插值多项式由(4)式21111()()()()kkkkkkLxylxy lxylx 插值条件15y 1 0 xy 1 0 xy 1 0
8、xxk-1 xk xk+1 xk-1 xk xk+1 xk-1 xk xk+1 121111111111111()()()()()()()()()()()()()kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxyLxxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxL2(x)是三个二次函数的线性组合16二次插值的应用一例极值点近似计算二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，001122()()()0dlxylxylxyd x222222*210201102210201102()()()12()()()xxyxxyxxyxxxyxxyxxy12001020211012
9、01220212()(),()()2()(),()()2()()()()xxxlxxxxxxxxl xxxxxxxxlxxxxx极值点近似计算公式17二、二、Lagrange 多项式插值多项式插值(n次次)求通过n+1个节点的n 次插值多项式Ln(x)定义 若n 次多项式 lk(x)(k=0,1,n)在各节点 10nxxx1,;(),0,1,0,kjkjlxj knkj设Ln(x)满足插值条件：L n(xj)=y j (j=0,1,n ).(6)先求插值基函数然后构造插值多项式则称这n +1个n 次多项式为这n+1个节点上的n 次插值基函数。上满足条件 18（类似于前面讨论n=1,2 时的情形
10、）011011()()()()()()()()()nkkkknkkkkkxxxxxxxxlxxxxxxxxx其中，k=0,1,n.(7)011()()()()()knkkl xA xxx xx xxx0111()()()()knkkkkkAxxxxxxxx()1,kklx1.先求插值基函数19,(,(),0 1.,ijiixxxf xinij()()0,1.niiLxf xin，0()()nnkkkLxfxlx）0,()(0,1,.)njkjkjjkxxlxknxx通常次数=n,但特殊情形次数可n,如：过三点的二次插值多项式共线时(8)2.构造插值多项式0()()nnkkkLxf xlx）（L
11、n(x)是n+1个插值基函数的线性组合）其中()yf x函数有数表则满足插值条件的插值多项式为构造插值多项式的方法：(1)先求插值基函数 (2)构造插值多项式20定理（插值多项式余项）三、插值多项式的余项三、插值多项式的余项,xa b10()()nknkxxx()(1)(2)(),()(,),nnfxa bfxa b设在上连续在内存在()()()nnR xf xL x截断误差:插值多项式的余项的余项（9）(1)1()()()()(),()1!nnnnfR xf xL xxn(,)a b,(,(),0 1.,ijiixxxf xinij()yf x（1）函数有数表则对任意有插值多项式余项其中且依
12、赖于x。有n次插值多项式Ln(x);21证明：,a bx设 为上任一点，(1)(0,1,.),ixxin若()0,nRx 即右端 定理成立。,(2),(0,1,.,),ixa bxxin若且()0(0,1,.,),niRxin011()()()().()()()nnnRxk xxxxxxxk xx1()()()()(),nntf tL tk xtta b01()()()()().(),nnf tL tk x txtxtxta b()(),niifxLx则插值条件10()()nknkxxx()k xx其中为与 有关的待定函数可设做辅助函数当t=x时，Rn（x）当t=x时，Rn（x）22(),()
13、na bt在连续，()(1)(1)1(,)()()()()(1)!nnna bttftk x n在存在，且()(,)1ta bn在内至少有个互异的零点，(1)()(,)nta b在内 至 少 有 一 个 零 点，()(,)ta bn在内至少有个互异的零点，():t则有性质()0,()0(0,1,.,)ixxin，即 在a,b上有n+2个互异的零点。()t由Rolle定理，(1)(,)()0na b即存在，使设该零点为 ，(1)()1()()()()!0()1()1!nnffk x nk xn23(1)00,1,.()()(.,),(1!.)nininifRxxxnxxin由(1)、(2)知定理
14、结论成立。注:(1)余项表达式仅当f(n+1)(x)存在时才能应用，且唯一。(2)在(a,b)内的具体位置通常不能给出。(3)若有 ,则截断误差限是()1max()na x bMfx 1()().()!1nnMR xxn,xa b从而余项大小和M 和|n+1(x)|有关，因此，在n和(4)n次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。若f(x)为次数不高于n次的多项式,则 f(n+1)()=0,从而Rn(x)=0.给定的情况下，n+1个插值节点应使|n+1(x)|尽量小。24111()()()()()()(,)2!kkfR xf xL xx xx xa b余项为2211()()()()()(
15、)()(,)3!kkkfR xf xL xx xx xx xab线性插值：(5)n=1,2 时的插值余项：抛物线插值：y 0 x()f x1()Lxxk xk+1 0P1Py 0 x2()L xxk-1 xk xk+1 0P1P2P()f x用通过两点P0,P1的直线L1(x)代替f(x)余项为：用通过三点P0,P1,P2的抛物线L2(x)代替f(x)25ln,yx设且有函数表120.50,0.70,xx解：2112121120.6(0.6)(0.6)0.524911xxxxxyyfLxxxx 11(2)2(0.6)(0.6)(0.6)()10.01(0.5)(0.7)(0.50.7)0.60
16、.62!2RfLf 21100100,4925由于10.01()0.02R x故(0.6)ln0.6,f试计算的近似值 并估计误差。内插式内插式较准确做线性插值误差：(1)取插值节点：261320.50,0.70,0.80 xxx21223130.6ln0.6(0.6)()()()0.513343xLy l xy lxy l x()323133()(0.6)()()()0.6 0.5 0.6 0.7 0.6 0.83!210,3fRxx 33221.3 10()(0.6)(0.6)5.34 100.6RfL内插式内插式f(0.6)=ln 0.6 的真值为：-0.510826抛物插值更精确做抛物
17、线插值(2)取插值节点：误差：27拉格朗日插值采用插值基函数的线性组合来构造插值多项式含义直观形式对称优点：缺点：计算量大已知节点为:0.40,0.50,0.70,0.80，两节点可取为0.40与0.50或0.70与0.80，此时称为外插法,但不如以上的内插法精确。另外节点还可取为0.40与0.70或0.40与0.80等。插值多项式的阶数控制问题说明：说明：28一、分段线性插值法一、分段线性插值法1.尽可能充分使用已有的信息；2.控制插值多项式的阶数()()nL xf x，()()(),nnR xf xL x xa b，lim()0nnRx此时，问题：高次插值过程的收敛性如何？举例：Runge
18、反例:(-5x5)21()1fxx29-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52L10(t)f(t)f(x)取xk=5+k 计算:f(xk)(k=0,1,10),构造L10(x).取:tk=5+0.05k (k=0,1,200),计算:L10(tk)注:实际应用时取7n 。Runge现象：等距节点高次插值产生的小区间内逼近很差的现象30结论：设 ，由Taylor 展开式，,f xC a b2()()(,hf xIxO hxab），注：由图形可知，在节点处的光滑性较差，为了提高光滑性，讨论新的插值方法。()hIx0lim()()hhIxf xxab，因而有即 一致收敛于 。()h
19、I x()f x在整个区间a，b上为折线。0a xnxb1x2x1nx几何意义：相邻两节点间的函数为一次线性函数,图形为线段。插值节点满足:x0 x1xn 已知yj=f(xj)(j=0,1,2,n)1111()jjhjjjjjjxxxxL xyyxxxx(j=0,1,n-1)xxj，xj+1时,线性插值函数31二、保形插值（二、保形插值（Hermite插值）的思想插值）的思想出发点：分段线性插值光滑性较差插值信息中引入函数的导数1.讨论Hermite插值问题（以 一阶导数,i=0,1,n 为例）1(),yf xC a b函数表及导数表010101()()nnnxxxxf xyyyf xyyy已
20、知2121()()(0,1,)niiniiHxyHxyin其中求2n+1次多项式 H2n+1(x)使满足插值条件：问题：(12),0 1.,ijijxxxxi jnij32定理:1(),f xC a b且已知()f x函数表及导数表，如果则存在唯一次数不超过2n+1次多项式H2n+1(x)满足插值条件(12)证明：唯一性。2121nnQ xHxHx为次数21n的多项式且满足条件：()0()0(0,1,)iiQ xQ xin及21()nHx都是插值问题(12)的解，则21()nHx设有这说明(0,1,)ixx in都是()Q x的二重零点，即Q(x)共有2n+2个零点 Q(x)0，即2121()
21、()nnHxHx。33()1,()0()0,()1jkjkjkjkxxxx（用构造法，同构造L-插值多项式的方法）存在性。思路：可以设想，如果构造出两组函数2n+1次多项式,0,1,jjjn满足：显然，多项式210()()()nniiiiiHxyxyx满足插值条件(12)。34 第一，求Hermite 插值基函数为()jx的二重零点且0111,jjnx xxxx()1jjx0,()nijiijjixxlxxx2222201112222201112()()()()()()(1()()()()()()(1()jjnjjjjjjjjjnjjx xx xx xx xx xxc x xxxxxxxxxx
22、xc x xl x（）(13)其中c为待定常数,1,()0,()0,(0,1,)jkjkkjxkjxkn当时当时的2n+1次多项式(),(0,1,.,)jxjn。(a)求满足插值条件：可令由35(13)式求导，得2()()2()1()()jjjjjxclxc xxlx lx()0jjx，20()()2()()jjjjjjjjxclxlx lx 0,()122()2()njjjjiijjjjilxclxlxxx 20,1()1 2()()(0,1,)njjjiijjixxxlxjnxx01()0000()000100jnxxxxxf xfx，(b)已知()(0,1,2,)jxjn求2n+1次多项
23、式,使满足插值条件：36由于0111,jjnxxxxx为()jx的二重零点且()0,jjx又由()1jjx，则有222220111()()()()()()()jjjjnxA x xx xx xx xx xx x可令()0,(0,1,)1,()0,jkjkxknkjxkj当时当时2222201111()()()()()()jjjjjjjjjnxA xxxxxxxxxx22220111()()()()jjjjjjnAxxxxxxxx 2()()(),(0,1,)jjjxxx lxjn于是(14)37第二，求多项式21()nHx210()()()nnjjjjjHxx yx y210()()(),(0
24、,1,)nnijijjijijHxx yx yyin（满足插值条件(12)的多项式）210()()()nnijiijijijHxx yx yy事实上,有即(15)式是满足插值条件(12)的插值多项式.所以存在2n+1次多项式满足插值条件(12).2()()()jjjxxx lx；(),(),(0,1,)jjxxjn为Hermite插值基函数,即其中20,1()(1 2()()njjjii jjixx xl xxx；(15)38Quiz:给定 xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是(x)的图像？x0-10.5123456yxy0-10.5123456斜率=1 求Hermite多项式
25、的基本步骤：写出相应于条件的(x)，(x)的组合形式；对每一个(x)，(x)找出尽可能多的条件给出的根；根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；最后完整写出H2n+1(x)。3921()nbHx（）为Hermite插值多项式，21(22)()(),()(,)nnafxCa bfxa b，(,0,1,)ijijx xa bxx i jn(,)a bx且与有关。2121(22)22201(22)21()()()()()()()(22)!()(),(22)!nnnnnnRxf xHxfxxxxxxnfxn则2.Hermite插值余项定理 (Hermite插值
26、余项)证明与Lagrange余项公式证明类似.设403.带导数的两点插值(重要特例:当n=1时)1(),f xC a b函数表及导数表111()()kkkkkkxxxf xyyfxmm求3次多项式H3(x)使满足插值条件:33113311(),()(),()kkkkkkkkHxyHxyHxmHxm3()H x存在且唯一，表达式为结论：问题：已知411,kkxx x2111211112112111()(12)()()(12)()()()()()()(),kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx；)()()(2xlxxxjjj
27、 ；)()1)(21()(20 xlxxxxxjniijjjji ijinjiijxxxxxl 0)(17)其中31111()()()()()kkkkkkkkH xyxyxmxmx(16)42三、分段三次三、分段三次Hermite插值插值定义：(分段3次Hermite插值)如果 Ih(x)满足：(1)1(),hIxC a b；(2)在每个小区间1,(0,1,1)kkx xkn，Ih(x)为3次多项式；(3)满足插值条件：()(),(0,1,)hiihiiI xyI xm in当 时，为3次Hermite插值多项式，1(,)kkkxx x()hI x称 Ih(x)为 f(x)的分段3次Hermi
28、te插值函数。则 有以下两种形式：()hI x4331111()()()()()()kkkkkkkkH xyxyxmxmxx2111211112112111()(12)()()(12)()()()()()()()kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1,kkxx x公式 1：2211111112211111()()(1 2)()(1 2)()()()()()kkkkhkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkx xx xx xx xI xI xyyxxxxxxxxx xx xx xmx xmxxxx ，1,kkxx x由
29、式(17)代入(16)即得：(18)4423,12,3()()()()kkkkkkkkI xycxxcxxcxx，设由插值条件确定,12,3.kkkccc，23,12,3()()()()kkkkkkkkI xycx xcx xcx x，对2,12,3()2()3()kkkkkkI xccx xcx x，由 ，得 。()hkkI xm,1kkcm 再由11111()(),hkkhkkkkkI xyI xmxxh，公式 2:(待定系数法)求导，有45解得,2111,31231()2)1(2)kkkkkkkkkkkkkkcyymmhhyycmmhh2312,3212,323kkk kkkkkkkkk
30、kkyym hc hc hmmc hc h，于是，当 时，有1,(0,1,1)kkxx xkn23,12,3()()()().kkkkkkkkI xycx xcx xcx x，(19)得46定理:(1)设4(),f xC a b，且已知()f x的函数及导数表(,),(0,1,)iiix y min；(2)为 上 的分段3次Hermite插值函数，误差估计：()hI x,a b()f x4(4)()()max(),384ha x bhf xIxfxxa b）（4)()(hOxIxfh 其中011,max.nkkkkkaxxxb hxx hh证明:,xa b，存在 k 使1,kkxx x1(4)
31、2211max()()()4!kkkkxx xfxxxxx(4)221()()()()()()()4!hkkkff xIxf xIxxxxx0lim()(),hhIxf x（对 一致收敛）,xa b且）（xg 47221()()kkg xx xx x（）1max()()kkxx xg xg x 4(4)()()max(),384ha x bhf xIxfxxa b 于是，11()2kkxxx，411()()16kkg xxx。极值的求法且有0lim()()hhI xf x。（一致收敛）优点：分段线性插值与分段3次Hermite插值函数在每个小区缺点：分段线性插值光滑性差；11()()01()2
32、kkkkxxxxg xxxx，舍去间上都收敛于函数 。()f x分段3次Hermite插值能保证插值多项式图形的光滑即令记则且48高次插值出现龙格现象L-插值Hermite插值分段插值但分段线性插值在节点处不一定光滑分段Hermite插值但导数值不容易提取（找到）三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段Hermite插值解决问题）1 汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；2 木样条的来源。一、发展背景一、发展背景工程实例：49注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值(除了在2个端点可能需要)；而Hermite插值依赖于f
33、在所有插值点的导数值。50定义（3次样条函数）：()b S x在每一个小区间1,0,1,1jjx xjn上是次数3多项式。()(),(0,1,)iiS xf xin若(1)中3次样条函数S(x)满足插值条件2()(),a S xCa b，即具有连续的一阶，二阶导数。如果函数 S(x)满足下述条件：01:,naxxxb(1)设有对a,b的剖分则称S(x)为f(x)关于剖分的一个3次样条函数。问题：3次样条插值函数存在性，唯一性？构造？误差估计()y f x函数表(,(),(0,1,)iixf xin(2)设给定二、样条函数定义二、样条函数定义则称S(x)为f(x)关于剖分的一个3次样条插值函数。
34、51分析：因S(x)在xj,xj+1上是3次多项式，即23()(),jjjjjS xS xab x c xd x1,(0,1,1)jjxx xjn4n个待定系数:,jjjjabcd0,1,1jnn+1个条件111()()()()()()jjjjjjjjjjjjSxSxSxSxSxSx内部条件：1,1jn()(),(0,1,)jjS xf xjn已有条件：连续性3(n-1)个条件共有4n-2个条件，尚须2个附加条件52常见边界条件有三种：()a第1种边界条件：()b第2种边界条件：若0()()0nS xS x，称为自然边界条件。00(),().nnS xfS xf已知0(),()nS xS x0
35、0(),().nnSxfSxf0(),()nS xS x已知()c第3种边界条件(周期边界条件)：()yf x为周期函数，此时称()S x为周期样条函数。()S x亦是周期函数，周期为ba即取要求 注：一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数。000()()()()()()nnnS xS xS xS xSxSx即即53三、三次样条插值函数表达式三、三次样条插值函数表达式思路：以分段三次Hermite插值为基础，由(,),(0,1,);iix yin()()1(2)()(),0,1,2vvjjjjSxSxv(3)三种边界条件中的某一种推导3次样条插值函数。方法：1、先确定插值函数()S x在节点
36、处的一阶导数，记为(),0,1,jjSxmjn即为3次样条插值函数的一阶导数表示。2、先确定插值函数()S x在节点处的二阶导数，记为即为3次样条插值函数的二阶导数表示。(1)函数表(),0,1,jjSxMjn54不固定,是待定参数，共(n+1)个,11,211,312113()1(2)0,1,11(2),jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjcmyycmmhhjnyycmmhhhxxxxx1、一阶导数表示分段3次Hermite插值()hI x，1,jjxx x23,1,2,3()()()()()hjjjjjjjjI xI xycx xcx xcx x已知的一阶导数值令23,1,2,3()
37、()()()()jjjjjjjjS xS xycx xcx xcx x(20)仿(21)55若要2(),S xCa b 则需满足：1()(),jjjjSxSx1,2,1jnn-1个条件 加某一边界条件（2个）个条件 1n对(20)式求导:,2,31()26(),jjjjjjSxccxxxxx11,21,311()26(),jjjjjjSxccxxxxx1,2,1jn,211,21,31()2()26jjjjjjjjSxcSxcch(22)(23)有,21,21,313(1,2,1)jjjjccchjn，由条件1()(),(1,2,1)jjjjSxSxjn,得(24)xj-1,xj xj-2,x
38、j-1 56把(21)代入(24)得到jm所满足线性方程组111111221111123,1,2,1jjjjjjjjjjjjjmmmhhhhyyyyjnhh两边同除以11jjjjhhhh，得1111111111123,1,2,1jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjhhmmmhhhhhyyhyyjnhhhhhh57令1,jjjjhhh111,jjjjjhhh 112,(1,2,1)jjjjjjmmmgjn说明：(b)(25)式有n-1个方程,要确定n+1个未知量01,nm mm缺少两个方程,由边界条件补足.方程组成的方程组.mj(j=0,1,n)在力学上叫做细梁 xj(j=0,1,n)01
39、,nm mm的n-1个(a)(25)式是关于n+1个未知量三种边界条件11113,(1,2,1)jjjjjjjjjjjjyyyyghxxjnhh处的转角，数学上叫做变化率。方程(25)反映了mj与mj-1,mj+1的关系,因此(25)叫做三转角方程。(25)有58方程组(25)为关于0njjm所满足的方程组：110122121112222jjjjnnnnmgmgmgmg (1)增加第1种边界条件：000(),(),nnnS xfm S xfm则方程组(25)为关于11njjm所满足的方程组可写为：1111022222222111122222jjjjnnnnnnnnnmgfmgmgmgmgf (
40、26)矛盾方程组n+1个未知量，n-1个方程59(2)增加第2种边界条件：00(),(),nnSxfSxf则由(22)式取j=0及(23)式取j=n得到2个方程(利用(21)式中 ),2,3,jjcc000,2011,21,31()2()26nnnnnnS xcfSxcchf由(21)式,11,211,312113()1(2),0,1,11(2),jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjcmyycmmhhjnyycmmhhhxxxxx(21)(27)60100,2010011,211111,312113()1(2)3()1(2)1(2)nnnnnnnnnnnnnnyycmmhhyycmmhh
41、yycmmhh得(j=0,j=n-1)(21)把(21)式分别代入（27），得100102000112111642()246()nnnnnnnnyymmfhhhmmyyfhhh61整理得两个方程:100010001111232232nnnnnnnnyyhmmfghyyhmmfgh(28)于是,得到0njjm所满足的线性方程组：上式简记为Amg。001111112122212jjnnnnmgmgmg 个个方方程程1 n(29)可通过引入第三种边界条件推导，练习！62则方程组(26)和(29)有唯一解 可由解方程组的方法,jm()()jS xS x求解，从而由(20)给出(0,1,1)jn表达式，
42、且S(x)具有连续的一阶,二阶导数(即S(x)为3次样条插值函数。说明：方程组（26）和（29）的系数矩阵都是严格对角占优矩阵，由此可知这些方程组的系数阵为非奇异矩阵，63(2)求解方程组(26)(或(29),求 。存在唯一性(,(),(0,1,)iix f xin且01;na xxxb定理 （三次样条插值函数存在唯一）三次样条插值函数f(x)，且满足给定的边界条件。计算步骤：(1)先计算(26)式中的,(1,2,1)jjjgjn（若是第二类或第三类边界条件，要计算 ）0,nnnnggg或jm(3)用(20)及(21)式进行插值计算(,)xa b(先确定x所在区间)(1)如果f(x)是定义在a
43、,b上的函数，且已知y=f(x)有函数表(2)给定边界条件(a)(或(b)或(c)，则f(x)在a,b存在唯一的64因为Sj(x)是三次样条插值函数，所以 是一次函数。2、二阶导数表示11()(),jjjjjjS xSx xx xhxx()jSx(),0,1,2,jjSxMjn由两点Lagrange插值得1111(),jjjjjjjjjjjxxxxSxMMxx xhxxhh参数对上式积分,得1221()()()22jjjjjjjMMS xxxxxAhh再积分再积分,得得13311()()()(),66jjjjjjjjjjjMMS xxxxxA xxBxx xhh(30)(31)(32)令令65
44、由条件11(),()jjjjS xy S xy，确定积分常数,jjA B212166jjjjjjjjjjMhByMhAhBy即得2116()6jjjjjjjjjjjM hByyyhAMMh将上式代入(32)得到3次样条插值函数的表达式11213(2)()()()()62()6jjjjjjjjjjjjjjjyyMMMS xS xyhxxxxhMMxxh(33)11,(0,1,1)jjjjjhxxxxxjn23,1,2,3()()()()()jjjjjjjjS xycxxcxxcxxSx(34)66将(33)代入(31),得1112111111()()()2()226jjjjjjjjjjjjjMM
45、yyhSxxxxxMMhhh112211()()()()226jjjjjjjjjjjjjMMyyhS xxxxxMMhhh1,jjxx x1,jjxxx11111111()36()36jjjjjjjjjjjjjjjjjjyyhhSxMMhyyhhSxMMh由条件10()(),(1,2,1)njjjjjjSxSxjnM满足的线性方程组1111111636jjjjjjjjjjjjjhhhhyyyyMMMhh两边同除以1,6jjhh(35)(36)67 11111111162()jjjjjjjjjjjjjjjjjhhyyyyMMMhhhhhhhh112,(1,2,1)jjjjjjMMMdjn两个条件
46、。上式有n-1个方程,要确定n+1个未知量01,nM MM 需增加 三弯矩方程(37)则令j=0，由(35),得 令j=n，由(36),得(1)若已知，000(),(),nnnS xfm S xfm1001010100()3636jjjjjjjjjyyhhhhyySxMMMMfhh11111111111()3663jjjjnnnnjjjjnnnjnyyhhhhyySxMMMMfhhn-1个方程68001,1,nnjjM令得000111111112222nnnnnnnMdMdMdMd 10010000111162()62()nnnnnnnnyyMMfdhhyyMMfdhh(38)(2)若000(
47、),()nnnS xMfS xMf 已知，代入方程(37)，只需解n-1个方程110112222222211112222nnnnnnnnndfMMdMdMdf (39)满足方程69 计算步骤:同三次样条插值函数的一阶导数表示的计算步骤。说明：此方程组(38)和(39)有唯一解Mj。（2）三弯矩方程(37)与(25)比较，与 交换了位置。jj（1）方程组(38)和(39)的系数矩阵都是严格对角占优矩 阵，因（3）Mj 在力学上为细梁在 xj 处截面处的弯矩,且弯矩与相邻的两个弯矩有关,故方程组(38)和(39)称为三弯矩方程。Mj在数学上称为曲率。而方程(25)叫做三转角方程。Mj 在力学上叫做
48、细梁上 xj 处的转角，在数学上叫做变化率。701函数逼近设f(x)为a,b上的连续函数，寻求一个近似函数 P(x)，在a,b上均匀逼近 f(x)。2数据逼近（实验数据）B 简单易计算的函数已知(,(),(0,1,)iixf xim,求n次多项式 Pn(x),n n),则是 y=f(x)在S中最小二乘逼近函数82定理（最小二乘逼近）：12()maxxxb0()njjx0()()nnjjjPxax(1)设有y=f(x)实验数据(xi,f(xi)(i=1,m),(a)y=f(x)在Hn中的最小二乘逼近函数存在且唯一。线性无关，则(2)设S=Hn中连续函数组关于点集1,mXxxmn（）0()njjb
49、a0001000101111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)G(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnafafadaf 或可由法方程（正规方程组）831(,)()()mkjikijiixx 求得，其中；21max()()inii mf xP x。122121()()mniiniifPf xPx(c)最小平方误差最大偏差：注：12(,)()()()()iimbxaxif gf x g x dxf x g x dx1(,)()()()()mbiiiaif gf x g x dxf x g x事实上，(42)(1)权系数i 的选取可取i=1(i=1,m),也可以适当选取使得离散
50、内积近似于连续内积：即84211111121()()()()2()()2()()2bamiiiiimmmmxxf x g x dxf x g xxxf x g xxxf xg x111211,(2,1),222iimmimxxxxxxim，1()()()()mbiiiaif x g x dxf x g x。1111()()()()()()2iixiiiiiixxxf x g x dxf x g xf xg x将(43)带入(42),合并得(43)又取则85(2)矩阵G为对称正定阵101112021201(1)nnmmmnmnaaaaaaAaaa(),(0,1,;1,)ijjiaxjn im，0
