1、电路分析第第4 4章章 正弦稳态电路基本理论正弦稳态电路基本理论配用教材主要内容4.1 研究交流电路的意义研究交流电路的意义4.2 直流电路和交流电路分析的主要差异直流电路和交流电路分析的主要差异4.3相量与复数的基本概念相量与复数的基本概念4.4 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法4.5 相量的运算性质相量的运算性质 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.8 电路的谐振电路的谐振主要内容4.9 互感电路互感电路4.10 空心变压器空心变压器4.11 理想变压器理想变压器“正弦稳态电路”指的是在正弦信号（电源）作用（激励）下，经过一段时间
2、后（通常，这个时间段很短暂），电路中各点响应（电压或电流）中暂时存在的部分（分量）为零（消失了），只剩下可以随激励（输入信号）一起长时间存在的稳定部分（分量）的交流电路。其特点是电路中各点的响应（电压或电流）依然是与输入（激励）信号（电源）同频率的正弦信号。6研究交流电路的意义主要有以下两个方面：（1）我们生活、学习和工作中所用的电能有两个来源，一是提供直流电能的各种电池，二是提供交流电能的市电（单相220V）或工业用电（三相380V）系统。电视、冰箱、洗衣机、电脑、照明、取暖等都需要用交流电，而工业生产就更不用说了，显然，交流电在人类生活和生产实践中扮演着非常重要的角色。因此，对交流电路的了
3、解和认识应该成为当代年轻人必须具备的基本常识。（2）在各种电子设备和仪器中，对各种频率正弦交流信号的处理是必不可少的，比如放大、振荡、倍频、滤波等等。有些信号表面上看起来不是正弦交流信号（比如方波），但经过特殊处理，比如用傅里叶级数进行分解，就会变成无数个不同频率的正弦交流信号分量。因此，正弦交流电路是设计和研究各种信号处理电路的基础。4.1 4.1 研究交流电路的意义研究交流电路的意义4.2 4.2 直流电路和交流电路分析的主要差异直流电路和交流电路分析的主要差异直流电路和交流电路的主要异同点如下：（1）电路构成不同。直流电路由纯电阻构成，而交流电路至少要包含一个动态元件。（2）电源不同。直
4、流电路由直流电源供电（主要是各种电池），而交流电路由交流电源供电（市电、工业用电或交流信号源）。（3）研究内容不同。交流电路除了研究与直流电路相同的电压、电流、功率、元件参数等，还要研究相位、频率、幅值、阻抗、功率因数等内容。（4）研究方法大同小异。由于两种电路都必须满足电路基本定律，所以它们在研究方法上基本相同。这也为我们学习交流电路分析提供了一个思路，只要牢固掌握直流电路分析方法，就不难理解和掌握交流电路的分析方法。主要差别在于交流电路分析增加了对动态元件以及因此而展开的研究内容。4.34.3相量与复数的基本概念相量与复数的基本概念4.3.1 相量及相量分析法相量及相量分析法正弦电压、正弦
5、电流也就是正弦交流电简称为“正弦量”。“相量表示法”就是将正弦量用相量形式表示。“相量”是一种以复数形式表征正弦量大小和相位的数学表达式。“将微分方程变成代数方程”就是相量分析法的精髓。4.34.3相量与复数的基本概念相量与复数的基本概念4.3.2复数复数+jFabj1i“复数”，顾名思义，可以理解为“复合之数”，即由一个实数和一个虚数复合而成。设一个复数为F，其实数部分为a，虚数部分为b，则该复数可表示为称为虚单位，与数学中的虚单位同义。(4.3-1)4.34.3相量与复数的基本概念相量与复数的基本概念4.3.2复数复数为了便于研究复数，人们引入了复数平面坐标系，简称“复平面”。22Faba
6、rctanbacosjsinFFF（4.3-2）4.34.3相量与复数的基本概念相量与复数的基本概念4.3.2复数复数根据欧拉公式 0000jj0jj0cos2sin2jtttteeteetjFF eFF可以进一步得到复数的指数表示形式 式（4.3-3）也可用极坐标形式表示，则（4.3-4）（4.3-3）4.34.3相量与复数的基本概念相量与复数的基本概念4.3.2复数复数一般而言，复数的加减运算用代数形式比较方便，而复数的乘除运算则更适合用极坐标形式。4.3 4.3 相量与复数的基本概念相量与复数的基本概念4.3.3复数的运算复数的运算1复数的相等111+jFab222+jFab12=aa1
7、2=b b12FF1212FF设两个复数，则当且仅当，或者，时，两个复数才相等，即4.3 4.3 相量与复数的基本概念相量与复数的基本概念4.3.3复数的运算复数的运算111+jFab222+jFab121212()j()FFaabb2复数的加减，则 （4.3-5）设两个复数复数的加减也可以在复平面内像向量那样通过几何法来求得。4.3 4.3 相量与复数的基本概念相量与复数的基本概念4.3.3复数的运算复数的运算3复数的乘除111+jFab222+jFab，则 设两个复数121122121 21 22 1(j)(j)()j(+)FFababa abba ba b（4.3-6）111121 21
8、 22 12222222j()j(+)jFaba abba ba bFabab（4.3-7）4.3 4.3 相量与复数的基本概念相量与复数的基本概念4.3.3复数的运算复数的运算4.3 4.3 相量与复数的基本概念相量与复数的基本概念4.3.3复数的运算复数的运算184.3 4.3 相量与复数的基本概念相量与复数的基本概念4.3.3复数的运算复数的运算194.3 4.3 相量与复数的基本概念相量与复数的基本概念4.3.3复数的运算复数的运算4.4 4.4 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法()2 sinii tIt（）(A)()2sinVuu tUt（）（）设一个正弦交流电流和正弦交流电压的
9、时域表达式分别为（4.4-1）（4.4-2）214.4 4.4 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法观察式（4.4-1）和式（4.4-2）可以发现，由于市电角频率不变，故不同的交流电流或交流电压只在有效值和初相上存在差别。这就为我们指出了一个新的正弦量表示思路：能否隐去角频率，用一个只含有有效值和初相位的表达式来表示正弦量？回答是肯定的。j()Im 22 sin()itiIeIt（4.4-3）j()Im 22sin()utuUeUt（4.4-4）这说明对于任何一个正弦时间函数，都可以找到一个与其相唯一对应的复指数函数，且该复指数函数完全、确定地表征了正弦量的三要素。224.4 4.4 正弦量的
10、相量表示法正弦量的相量表示法正弦量有一个重要性质：正弦量乘以常数，正弦量的微分和积分，同频正弦量的代数和等运算，其结果仍为一个同频正弦量。因此，一个正弦稳态电路（系统），其输出（响应）是与输入（激励）信号同频率的正弦量。显然，在分析交流电路时可以将角频率隐去。234.4 4.4 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法jiIe()2 sin()ii tItjuUe()2sin()uu tUt用复指数函数表示正弦电流用复指数函数表示正弦电压jiiIIeI juuUUeU（4.4-5）（4.4-6）IU 虽然形式上是一个复数，但它是隐去频率变量的复数，它实际表示的是一个正弦量，因此，给它一个特殊的名字
11、相量，表示带有相位信息的有向数值。由于相量也是一个复数，所以也可在复平面上表示，称为相量图，如图4-3（b）。24可以给出“相量”一个比较明确的概念：“相量”就是一种能够在平面上以有效值（振幅值）和初始相位大小表征正弦量的数学表达式，通常可用类似于“向量”的有向线段表示。4.4 4.4 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法用相量表示交流电不仅大小和相位清晰明了，而且连交流电之间的相位差也极易识别。另外，还有一个好处就是可以按向量的一些运算规则进行相量间的计算。25“相量”与我们熟悉的“向量”有所不同。如果把“向量”定义为一种具有大小和方向（方位角）的数字量的话，那么“相量”也是一种具有大小和方
12、向（相位角）的数字量。它们的不同点在于“向量”的方向是在空间变化，而“相量”的相位角只随时间改变；向量强调的是数字量的作用方向（比如“力的方向”），而相量体现的是数字量的起始位置（相位）。因此，“向量”必须在三维空间研究，而“相量”只需在平面上分析。4.4 4.4 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法264.4 4.4 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法274.4 4.4 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法4.5 4.5 相量的运算性质相量的运算性质 1线性性质1 12 2ik ik i1 122Ik Ik I (4.5-1)2微分性质jdiyYIdt (4.5-2)3积分性质 jIyid
13、tY (4.5-3)294.5 4.5 相量的运算性质相量的运算性质 通过上述性质我们发现，相量变换可以把一个随时间变化的量（函数）变换为一个随频率变化的量（函数），也就是说，通过相量变换，可以把时域分析变为频域分析。同时，把微、积分关系，变为代数的乘除关系。这个概念很重要，希望读者认真体会。4.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.1基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式根据相量的线性性质，就得到了基尔霍夫电流定律(KCL)的相量形式：10bkkI (4.6-1)基尔霍夫电压定律(KVL)的相量形式为：10mkkU (4.6-2)4.6 4.6 电路定律的相量形式电路
14、定律的相量形式4.6.2电路元件的相量模型电路元件的相量模型1电阻元件RRURI (4.6-3)4.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.2电路元件的相量模型电路元件的相量模型2电感元件jLLULI (4.6-4)4.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.2电路元件的相量模型电路元件的相量模型（1）对电流有像电阻一样的阻碍作用，阻碍作用由感抗LX表示。o90o90j（2）端电压超前流过的电流（移相），移相功能由虚单位“”体现。4.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.2电路元件的相量模型电路元件的相量模型3电容元件jCCICU (4.6-6
15、)4.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.2电路元件的相量模型电路元件的相量模型（1）对电流有像电阻一样的阻碍作用，阻碍作用由容抗CX表示。o90o90j（2）端电压滞后流过的电流（移相），移相功能由“”体现。364.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.2电路元件的相量模型电路元件的相量模型4.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.3复数阻抗复数阻抗1.复数阻抗的概念jjLCZRXXRX（）=（4.6-11）4.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.3复数阻抗复数阻抗阻抗的物理意义在于：复数阻抗是一个复数，由两个部分组
16、成，一是由电阻元件构成的实部电阻，二是由动态元件LC构成的虚部电抗。“实部电阻”在电路中不但阻碍交、直流电流的通过，还要消耗电能；而“虚部电抗”在电路中只起到阻碍交流电流通过的作用，不消耗电能。另外，电抗的大小与交流电的频率有关。4.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.3复数阻抗复数阻抗2222221=()()LCZRXRXXRLC（4.6-14）1arctgarctgarctgLCZLXXXCRRR（4.6-15）4.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.3复数阻抗复数阻抗一个无源的二端网络，在交流状态下，其端电压和端电流的有效值之比就是该网络的阻抗模值
17、，而端电压和端电流的相位差就是阻抗的阻抗角。4.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.3复数阻抗复数阻抗2.复数阻抗的性质o090Zo900Z0Z（a）若，即电压超前电流，则二端网络呈感性或阻抗为感性阻抗；，即电压滞后电流，则二端网络呈容性或阻抗为容性阻抗；，即电压与电流同相，则二端网络呈阻性或阻抗为纯阻。（b）若（c）若424.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.3复数阻抗复数阻抗2.复数阻抗的性质电感元件具有“通低频电流阻高频电流”的作用。电容元件具有“通高频电流阻低频电流”的作用。4312nZZZZ11=jnnkkkkRX （4.6-19）4.6 4
18、.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.3复数阻抗复数阻抗2.复数阻抗的性质12j()12121212()Z ZZZZZ e（4.6-20）1211j()112222()ZZZeZZZ（4.6-21）11122212ZUUZZZUUZZ （4.6-22）4.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.4复数导纳复数导纳jjLCYIYGBBGBYU（）=（4.6-24）4.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.4复数导纳复数导纳2222221=()()LCIYGBGBBGCUL （4.6-25）1arctgarctgarctgLCYiuCBBBLGGG （
19、4.6-26）4.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.4复数导纳复数导纳12nYYYY11=jnnkkkkGB（4.6-30）1212Z ZZZZ（4.6-32）21121212ZIIZZZIIZZ（4.6-34）4.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.4复数导纳复数导纳4.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.4复数导纳复数导纳494.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.4复数导纳复数导纳504.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.4复数导纳复数导纳514.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律
20、的相量形式4.6.4复数导纳复数导纳524.6 4.6 电路定律的相量形式电路定律的相量形式4.6.4复数导纳复数导纳4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率交流电路的瞬时功率是一个随时间变化的函数，在某一个时刻，可能会出现大于0，小于0或等于0的情况，而且网络中只有电阻部分消耗功率，电感和电容不消耗功率，因此，只用瞬时功率难以完整准确地反映二端网络的用电状况，这就引出了下面要介绍的有功功率、无功功率、视在功率和功率因数等概念。4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.1瞬时功率和有功功率瞬时功率和有功功率()coscos(2)Zuip tUIUIt （4.7-1
21、）对于一个含有线性电阻、电容、电感、受控源等元件的无源二端网络N，其瞬时功率为 4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.1瞬时功率和有功功率瞬时功率和有功功率平均功率是指瞬时功率在一个周期内的平均值，用大写字母“P”表示，即0011()coscos(2)cosTTZuiZPp t dtUIUItdtUITT（4.7-2）cosPUI（4.7-3）cos式中的称为二端网络的功率因数，用符号“”表示。4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.1瞬时功率和有功功率瞬时功率和有功功率oo909001对于无源的二端网络，其功率因数角的大小为，因此，功率因数的大小为。
22、这说明，在同样的电压、电流下，功率因数越小，二端网络吸收的有功功率越小；功率因数越接近于1，则二端网络吸收的有功功率就越大。4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.1瞬时功率和有功功率瞬时功率和有功功率二端网络的外特性和功率特性实际上是由其等效阻抗决定的。若阻抗为感性，则二端网络为感性，二端网络端电压超前端电流，二端网络为“超前”网络；若阻抗为容性，则二端网络为容性，二端网络端电压滞后端电流，二端网络为“滞后”网络。若阻抗为纯阻性，则二端网络为纯阻性，二端网络端电压与端电流同相，二端网络为“同相”网络。58二端网络吸收的总有功功率必然等于各元件吸收的有功功率之和，即12nP
23、PPP（4.7-4）式（4.7-4）表明了有功功率是守恒的，即功率的守恒性。4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.1瞬时功率和有功功率瞬时功率和有功功率594.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.1瞬时功率和有功功率瞬时功率和有功功率604.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.1瞬时功率和有功功率瞬时功率和有功功率4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率UISSUIPS我们把式（4.7-3）中的定义为一个新的物理量视在功率，”表示，即有（4.7-5），视在功率的单位为伏安(V
24、A)，用大写字母“为了区别与有功功率它表示电源可能发出的最大功率。4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率=cosPS这样，功率因数可定义为（4.7-7）无功功率定义为 sinsinQUIS（4.7-8）4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率coscos0Q 0Q 因为为偶函数，所以为体现网络的性质，通常在功率因数后面标注“感性”或“容性”，以区分和的情况。PQ12nQQQQ同有功功率一样，无功功率也是守恒的，（4.7-9）二端网络吸收的总无功功率等于二端网络中各元件吸收的无功
25、功率之和，即4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率S、Q和P满足直角三角形关系，即有：22cossinPSQSSPQ（4.7-10）4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率1.电感器的功率和储能电感器的功率和储能瞬时功率为2cos2 sin2cossinsin2L Lpu iUtItUIttUIt （4.7-11）电感器存储的磁能量为22222111()=()(2 sin)sin(1 cos2)222LLw tLi tLItLItLIt （4.7-12）电感器储能的平均值为21
26、2LWLI（4.7-13）664.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率UILQ瞬时功率的最大值为”表示，即用符号“，通常称为电感的无功功率，2LLQUILI IW（4.7-15）674.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率2.电容器的功率和储能电容器的功率和储能瞬时功率为电容器存储的电能量为 （4.7-17）电容器储能的平均值为（4.7-18）2cos2 sin2cossinsin2C Cpu iUtItUIttUIt （4.7-16）222111()=()(2cos)(1cos
27、2)222CCwtCutCUtCUt212CWCU684.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率UICQ瞬时功率的最大值为”表示，即用符号“，通常称为电容的无功功率，（4.7-20）2CCQUICU UW 69比较式（4.7-14）和式（4.7-19），我们发现电感和电容的无功功率符号相反，这说明两者所涉及的储能性质不同，电感储存磁能，无功功率为正，电容储存电能，无功功率为负。另外，若电感和电容串联，它们通过的电流相同，则根据图4-19和图4-20可得它们的能量关系图如图4-21所示。4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4
28、.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率704.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率2cos()cosPUIZ I IRI2sin()sinQUIZ I IXI2()SUIZ I IZ I根据各功率的定义，可以得到（4.7-21）（4.7-22）（4.7-23）714.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率724.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率734.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功
29、率和无功功率视在功率和无功功率744.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率754.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率764.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率774.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.2视在功率和无功功率视在功率和无功功率4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.3复功率复功率U*ISj*jeeuiSUIUIUI（-）jecosjsinjSUIUIUIPQ定义和的
30、乘积为复功率，用表示，即（4.7-24）（4.7-25）根据欧拉公式，得复功率满足能量守恒，即12nSSSS（4.7-26）4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.4最大功率传输最大功率传输电流有效值为S220L0L()()UIRRXX负载获得的功率为22LSLL220L0L()()R UPR IRRXX（4.7-27）4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.4最大功率传输最大功率传输LZLRLX1 1负载负载的电阻部分的电阻部分和电抗部分和电抗部分皆可调皆可调0LXX 0LRR若，负载就会得到最大有功功率 22SLmaxLL4UPR IR（4.7-28
31、）这种电路工作状态称为“共轭匹配”。4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.4最大功率传输最大功率传输LZLLZ2 2负载负载的阻抗角的阻抗角固定，而阻抗模固定，而阻抗模可变可变若负载是纯电阻性设备，则 S220L0()UIRRX22LSLL220L0()R UPR IRRX（4.7-29）4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.4最大功率传输最大功率传输2220L0L0LLS22 2L0L0()2()0()RRXRRRdPUdRRRX可以解出22L000RRXZ（4.7-30）令则负载获得的最大功率为02LmaxS22000()ZPURZX（4.7-3
32、1）把这种电路工作状态称为“模匹配”。4.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.4最大功率传输最大功率传输844.7 4.7 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7.4最大功率传输最大功率传输4.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.1RLC串联电路的谐振串联电路的谐振将RLC三个元件串联起来就构成了一个RLC串联电路。串联电路的等效阻抗为 1j()j()LCZRXXRLC（4.8-1）4.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.1RLC串联电路的谐振串联电路的谐振00把RLC串联电路在时的工作状态称为“串联谐振”，被称为谐振频率，可以认为是RLC串联电路的“固有振荡频
33、率”。00112LCfLC（4.8-2）4.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.1RLC串联电路的谐振串联电路的谐振1频率特性频率特性当电压源的频率发生变化时，阻抗模、阻抗角、电流等都会随着频率的变化而变化，它们与频率之间的关系称为频率特性。4.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.1RLC串联电路的谐振串联电路的谐振22221()ZRXRLC1arctgarctgZLXCRRSS221()UUIZRLC （4.8-3）（4.8-4）（4.8-5）4.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.1RLC串联电路的谐振串联电路的谐振0ZZ0minZR0当发生谐振时，则上面3式的变化如下：的频率
34、特性又称为阻抗的幅度-频率特性，简称幅频特性。在时达到最小值，为纯阻性；偏离，|Z|都会增加，其变化曲线见图4-25（b）。由式（4.8-3）可知，若频率阻抗模（1）阻抗模的频率特性 904.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.1RLC串联电路的谐振串联电路的谐振（2）阻抗角的频率特性Z00Zo090ZZo090Z ZZ阻抗角的频率特性又称为阻抗的相频特性。由式（4.8-4）可知，在处，阻抗角，表明此时电路为纯阻性，端电压与端电流同相；当时，电路呈感性，端电压超前端电流；当频率时，电路呈容性，端电压滞后端电流。阻抗角随频率的变化特性见图4-25（b）。914.8 4.8 电路的谐振电路的谐
35、振4.8.1RLC串联电路的谐振串联电路的谐振I0I0I0ISUS0UIR0ISU（3）电流有效值由式（4.8-5）可知，当时，电流的有效值达到最大值，表示，称为谐振电流，且与同相，即有（4.8-6）与同相”可作为电路是否谐振的判断条件。的频率特性此时的有效值相量可用924.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.1RLC串联电路的谐振串联电路的谐振2电压谐振电压谐振jj()0LCXXX（4.8-7）000jj()0LCLCLCXII XI XUUUU（4.8-8）S00(j()LCRLCRUZIRXXIUUUU （4.8-9）可见，当RLC串联电路发生谐振时，电容电压和电感电压大小相等、方向
36、相反，电容电压和电感电压之和始终等于零。这时，电压源的电压全部降在电阻上，且与电流保持同相位。谐振时各元件端电压和流过的电流之间的相位关系如图4-25（c）所示。934.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.1RLC串联电路的谐振串联电路的谐振为了衡量谐振时阻抗吸收有功功率和无功功率的具体性能，定义：谐振时感抗或容抗吸收的无功功率与电阻吸收的有功功率之比为谐振电路的品质因数，通常用Q表示。Q=无功功率/有功功率=20200002200011ILICLRIRIRCR （4.8-10）1Q=LRCR （4.8-11）94S000Sj=jjQLUULILURS0S0011j=jjQCUUIUCC
37、R （4.8-12）（4.8-13）LUSUo90CUSUo90可见，谐振时电感电压和电容电压大小相等，且等于电源电压的Q倍。另外，电感电压比电源电压超前，电容电压比电源电压滞后。4.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.1RLC串联电路的谐振串联电路的谐振954.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.1RLC串联电路的谐振串联电路的谐振电压谐振的“选频特性”（也称为调谐特性）可以选择某一频率及其附近频率的交流电压信号进行“放大”，而将其它频率信号“滤除”，其典型应用是收音机、电视机、电台等仪器设备的选台电路。调谐特性的实质就是“滤波”，意指可以“滤除”不需要的频率信号或“滤取”需要的频率
38、信号。96HLB（4.8-15）4.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.1RLC串联电路的谐振串联电路的谐振“通频带”的物理意义是指，在B（最多被曲线衰减到最大值的70%），而在通频带外边的频率信号将被谐振曲线抑制而不能“通过”谐振曲线。谐振曲线类似于一个“门框”，处在该门框内的人可以通过，而门框两侧外面的人则不能通过。“通频带”的字面意思可以理解为“允许频率信号通过的通带（道）”。范围内的频率信号可以“通过”谐振曲线974.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.1RLC串联电路的谐振串联电路的谐振0Q=B （4.8-16）0HL=（4.8-17）98综上所述，串联谐振电路具有如下主要特
39、性：（1）电路阻抗为纯阻性。（2）电路端电压和端电流同相。（3）电感电压和电容电压相等但反相，其大小均为电源电压的Q倍。（4）具有选频特性，或者说，具有带通滤波特性。4.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.1RLC串联电路的谐振串联电路的谐振994.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.1RLC串联电路的谐振串联电路的谐振电路谐振时不从电源吸收无功功率，电路的功率因数等于1（阻抗为纯阻），而电感和电容之间周期性地进行能量交换，一会儿电感释放磁场能量给电容充电，一会儿电容又释放电场能量给电感充磁，磁场能量和电场能量作周期性地交换，这种现象称为电磁振荡。显然，磁场能量和电场能量都在不断变化，
40、但此消彼长，总和保持不变，即2201122CWLiCu （4.8-18）4.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.2RLC并联电路的谐振并联电路的谐振1jj()YGBGCL=0B1=CL01=LC 0YYG（1）电路复导纳为（4.8-19），即，导纳模值为最小值（2）谐振条件为电纳（3）谐振频率为（4）此时，导纳角（4.8-20）4.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.2RLC并联电路的谐振并联电路的谐振S0=IUUGSRLCRIIIII00Q=RCCRRLL（5）端电压为最大值总电流为（4.8-23）（4.8-21）（4.8-22）（6）品质因数为4.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4
41、.8.2RLC并联电路的谐振并联电路的谐振（7）谐振时有SS00jjQjLURIIILL 00SSjjjQCICUCRII（4.8-24）（4.8-25）SQLCIII（4.8-26）有效值满足（8）谐振频率特性及相量图见图4-27（b）、（c）。4.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.2RLC并联电路的谐振并联电路的谐振4.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.2RLC并联电路的谐振并联电路的谐振综上所述，与RLC串联谐振电路类比，并联谐振电路谐振时具有如下结论：01=LC 00Y00Y（1）在电流源工作频率达到谐振频率时会发生电流谐振。即（2）电路复导纳等效为纯导纳，且为最小值，电纳
42、部分为零。当时，电路呈容性，导纳角；当时，电路呈感性，导纳角。（3）端电压与总电流同相，端电压达到最大值。1054.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.2RLC并联电路的谐振并联电路的谐振（4）电感和电容电流大小相等，相位相反，且都等于电源电流的Q倍。因此，也可称为“电流谐振”。（5）谐振曲线也具有“选频”或“带通滤波”特性。（6）电感和电容之间不断地进行能量交换，不从电源吸取无功功率，整个电路的功率因数为1，电流源仅提供能量供电阻消耗，以维持电磁振荡。1064.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.2RLC并联电路的谐振并联电路的谐振1074.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.2
43、RLC并联电路的谐振并联电路的谐振1084.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.2RLC并联电路的谐振并联电路的谐振1094.8 4.8 电路的谐振电路的谐振4.8.2RLC并联电路的谐振并联电路的谐振4.9 4.9 互感电路互感电路4.9.1互感的基本概念互感的基本概念“耦合”通常是指两个或两个以上的电路（系统）通过它们之间的某种元器件或联系方式，从一个电路向另一个电路传输电能的现象；把通电线圈之间通过磁场相互影响或作用的物理现象称为互感现象。4.9 4.9 互感电路互感电路4.9.1互感的基本概念互感的基本概念定义互感系数为：21211Mi（4.9-1）12122Mi（4.9-2）12
44、21MM4.9 4.9 互感电路互感电路4.9.1互感的基本概念互感的基本概念1i2i若两个线圈同时施加交变电流和则两个线圈的端电压满足叠加关系（因为自感和互感均为线性），故有：12111121didiuuuLMdtdt21222212didiuuuLMdtdt （4.9-7）（4.9-8）式（4.9-7）和式（4.9-8）被称为互感元件的伏安关系。它们表明，耦合电感元件是一个动态元件，每个线圈上的电压只与电流(包括本线圈电流和另一个线圈的电流)的变化率有关，与电流本身的大小无关。4.9 4.9 互感电路互感电路4.9.1互感的基本概念互感的基本概念互感系数M表明了两个线圈耦合松紧的程度。两个
45、线圈耦合越紧，M越大；耦合越松，M越小。可以证明，12ML L（4.9-9）为了能进一步定量地说明两个线圈的耦合程度，人们定义了一个耦合系数k进行描述。12MkL L （4.9-10）4.9 4.9 互感电路互感电路4.9.2互感元件的相量模型互感元件的相量模型根据相量概念，可以将图4-34（a）所示的互感元件电路模型转化为互感元件相量模型如图4-34（b）所示。11 122221jjjjUL IMIUL IMI（4.9-11）互感元件相量伏安关系：4.9 4.9 互感电路互感电路4.9.3互感的去耦等效互感的去耦等效由于两个互感线圈之间存在磁耦合，每个线圈上的电压不仅与本线圈的电流变化率有关
46、，而且还与另一个线圈的电流变化率有关，其伏安关系表达式中的正、负号取决于同名端的位置及电压、电流的参考方向等，所以，对含有互感元件电路的分析就相对比较复杂。显然，如果能够将互感效应去掉，并将其影响等效到电路当中，肯定会使电路的分析得以简化。4.9 4.9 互感电路互感电路4.9.3互感的去耦等效互感的去耦等效 1互感串联的去耦等效互感串联的去耦等效 互感串联有两种情况：两线圈的异名端相联，称为顺接串联，两线圈的同名端相联，称为反接串联，如图4-35所示。4.9 4.9 互感电路互感电路4.9.3互感的去耦等效互感的去耦等效12+2LLLM （4.9-12）122LLLM （4.9-13）两个互
47、感线圈在顺接串联时 两个互感线圈在反接串联时 上述等效体现了同名端的概念：同向电流起加强作用（顺串），反向电流起抵消作用（反串）。4.9 4.9 互感电路互感电路4.9.3互感的去耦等效互感的去耦等效2互感并联的去耦等效互感并联的去耦等效4.9 4.9 互感电路互感电路4.9.3互感的去耦等效互感的去耦等效互感线圈在顺接并联时 212122L LMLLLM （4.9-14）互感线圈在反接并联时 21212+2L LMLLLM （4.9-15）1203互感的互感的Y形去耦等效形去耦等效4.9 4.9 互感电路互感电路4.9.3互感的去耦等效互感的去耦等效把四端互感元件的两个端钮连接起来就变成了三
48、端元件。根据连接方式的不同，也分为同名端相联和异名端相联两种。ac1 1211=jjj()jUL IMILM IMIbc22122=jjj()jUL IMILM IMI （4.9-16）（4.9-17）1214.9 4.9 互感电路互感电路4.9.3互感的去耦等效互感的去耦等效4.10 4.10 空心变压器空心变压器互感元件的主要用途之一是将交流电信号利用磁场进行传递，也就是“磁耦合”，如在电视机、发射机等高频、超高频电子线路中，常常用到图4-39（a）所示的互感耦合电路将初级电信号耦合到次级的负载上。由于这种电路的互感线圈是绕制在非磁性物质上的，所以也被称为空芯变压器。11 12SMZ IZ
49、 IU1222+=0MZ IZI（4.10-1）（4.10-2）212222=MMZUIIZZ（4.10-3）22SSSS12222112211f111112222=(j)MZ UUUUIMMZ ZZZZZZZZ （4.10-4）4.10 4.10 空心变压器空心变压器124 反射阻抗（也叫反映阻抗、引入阻抗）：2222f1222L2=(+)+jMMZZRRX22222L2f1f122222L22L2()=j+j()+()RRMMXRXRRXRRX （4.10-5）电源供给的功率：211f11=+PRRI（4.10-6）初级电路的输入阻抗为：22Sin11f111122=UMZZZZIZ （4
50、.10-8）4.10 4.10 空心变压器空心变压器1254.10 4.10 空心变压器空心变压器1264.10 4.10 空心变压器空心变压器1274.10 4.10 空心变压器空心变压器1284.10 4.10 空心变压器空心变压器1294.11 4.11 理想变压器理想变压器1k 1L2LM12LL理想变压器是一种理想化的模型，它必须满足以下三个条件：（1）变压器本身无电损耗。即线圈导线的电阻为零。（2）变压器本身无磁损耗，两个线圈全耦合，、和互感均为无穷大，但 为常数。（3）自感1304.11 4.11 理想变压器理想变压器理想变压器的原、副边电压、电流满足如下关系：1212()()1
