1、空间向量复习空间向量复习 1 1、基础知识、基础知识2 2、向量法、向量法3 3、坐标法、坐标法空间向量基础知识空间向量基础知识 空间向量的坐标表示：空间向量的坐标表示：空间向量的运算法则：若空间向量的运算法则：若111(,)A x y z222(,)B xy z212121(,)ABxx yy zz),(),(222111zyxbzyxa212121111212121),(),(zzyyxxbazyxazzyyxxba向量的共线和共面向量的共线和共面 共线共线:共面共面 对应坐标成比例baba/)1(OBtOAtOPBAP)1()2(三点共线、pbabyaxppba表示可以用共面,)1(OC
2、yOBxOAyxOMABCM)1()2(四点共面 两点间的距离公式两点间的距离公式 模长公式模长公式 夹角公式夹角公式 方向向量：方向向量：法向量法向量 练习练习221221221)()()(zzyyxxdAB2121212|zyxaa222222212121212121|coszyxzyxzzyyxxbababa的方向向量是直线称若lala/0;212121zzyyxxanananan的法向量是则称若空间角及距离公式空间角及距离公式 线线线线 线面线面 面面面面 点面点面 点线点线 线线线线 线面线面 面面面面夹角夹角距离距离|cos|cosba|cos|sinna|cos|cos|21nn
3、|nnABh为法向量其中n堂上基础训练题堂上基础训练题2.已知已知 与与 平行，则平行，则a+b=a+b=_3.与向量与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为（都垂直的向量为（）A(1,7,5)B(1,-7,5)C(-1,-7,5)D(1,-7,-6),3,2(ba)2,4(ab 1.1.已知点已知点A A（3 3，-5-5，7 7），），点点B B（1 1，-4-4，2 2），），则则 的坐的坐标是标是_ _，ABAB中点坐标是中点坐标是_ =_ =_AB|AB4.4.已知已知A A（0 0，2 2，3 3），），B B（-2-2，1 1，6 6），），C C（1 1，-1
4、-1，5 5），），若若 的坐标的坐标为为 .aACaABaa则向量且,3|8.设设|m|1，|n|2，2mn与与m3n垂直，垂直，a4mn，b7m2n，则则 _ ,a b7.若若 的夹角为的夹角为 .bababa与则,7|,2|,3|6 6、已知、已知 =（2 2，-1-1，3 3），），=（-4-4，2 2，x x），），若若 与与 夹角是钝角，则夹角是钝角，则x x取值范围是取值范围是_（？）？）abab5.已知向量已知向量 ，a与与b的夹角为的夹角为_(0,2,1)a(1,1,2)b向量法向量法例题例题1如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是OC与AB的中点，求证ABCEFO）（O
5、COBOAEF218OA6AB 4AC 5BC 45OAC60OAB若 求OA与BC夹角的余弦8654例题例题21111DCBAABCD 1111120AABAAD 1AC 在平行六面体在平行六面体 中，底面中，底面ABCDABCD是边长是边长a a为为的正方形，侧棱长为的正方形，侧棱长为b b，且且 （1 1）求）求 的长；的长；（2 2）证明：）证明：AAAA1 1BDBD，AC AC1 1BDBD（3 3）求当）求当a a：b b为多少时，能使为多少时，能使ACAC1 1BDABDA1 11BDCAB1A1C1D小测小测1棱长为棱长为a的正四面体的正四面体 ABCD中，中，。2向量向量
6、两两夹角都是两两夹角都是 ，则则 。AB BC AC BD ,abc 60|1,|2,|3abc|a b c 3 3、已知、已知S SABC是棱长为是棱长为1 1的的空间四边形空间四边形，M M、N N分别是分别是ABAB，SCSC的中点，求异面直线的中点，求异面直线SMSM，BNBN与所成角的余弦值与所成角的余弦值NMSCBA坐标法坐标法（1 1）求证：）求证：；（2 2）求）求EFEF与与 所成的角的余弦；所成的角的余弦；（3 3）求的）求的FHFH长长D1HGFEABCDA1B1C1例例1 1在棱长为的正方体在棱长为的正方体 中，中，分别是分别是 中点，中点，G G在在CDCD棱上，棱上
7、，H H是是 的中点，的中点，1111ABCDABC D1,DD DB14C GC D1C G1EFBCEF1C G例题例题23已知已知ABCD是上下底边长分别为是上下底边长分别为2和和6，高为，高为的等腰梯形，将它沿对称轴的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，折成直二面角，如图如图2.（）证明：）证明：ACBO1；（）求二面角求二面角OACO1的大小的大小.例题例题3如图，在四棱锥如图，在四棱锥V-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，侧面侧面VAD是正三角形，平面是正三角形，平面VAD底面底面ABCD（）证明）证明AB平面平面VAD（）求面求面VAD与面与面VDB所成的
8、二面角的大小所成的二面角的大小例题例题4已知菱形ABCD，其边长为2，BAD=60O，今以其对角线BD为棱将菱形折成直二面角，得空间四边形ABCD（如图），求：（a）AB与平面ADC的夹角；二面角B-AD-C的大小。（坐标系？）CADB小测小测D1C1B1A1ABCD1.1.在长方体在长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABAB2 2，BCBC2 2，AAAA1 16 6，求求(1)(1)异面直线异面直线BDBD1 1和和B B1 1C C所成角的余弦值所成角的余弦值 （2 2）BDBD1 1与平面与平面AB B1 1C C的夹角的夹角2 2、如图，、
9、如图，RtABCRtABC在平面在平面内，内，ACB=90ACB=900 0,梯梯形形ACDEACDE中中,ACDE,CD,DE=1,AC=2,ECA=45ACDE,CD,DE=1,AC=2,ECA=450 0,求求AEAE与与BCBC之间的距离之间的距离圆圆 锥锥 曲曲 线线几何性质几何性质几何性质几何性质几何性质几何性质标准方程标准方程标准方程标准方程标准方程标准方程双曲线定义双曲线定义抛物线定义抛物线定义椭圆的定义椭圆的定义统一定义统一定义综合应用综合应用 椭椭 圆圆 双曲线双曲线抛物线抛物线平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的的距离和等于常数距离和等于常数（大于（大于 ）的点的
10、轨迹叫做椭圆。）的点的轨迹叫做椭圆。F1，F2叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦叫做椭圆的焦距。距。注意：注意：21FF21FF椭圆的定义椭圆的定义2、常数必须大于、常数必须大于 ，限制条件，限制条件21FF1、“平面内平面内”是大前提，不可缺是大前提，不可缺省省椭圆椭圆焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上几何条件几何条件标准方程标准方程图形图形顶点坐标顶点坐标 对称性对称性 焦点坐标焦点坐标离心率离心率 准线方程准线方程12122(2)MFMFaaF F22,0,ccabcae01e 0,0ab2axc 22221(0)yxabab2ayc220,ccab,0,0,ab22
11、221(0)yxababx轴，长轴长轴，长轴长2ay轴，短轴长轴，短轴长2by轴，长轴长轴，长轴长2ax轴，短轴长轴，短轴长2bxyoabxyoab几个重要结论：几个重要结论：设设P是椭圆是椭圆 上的点，上的点，F1，F2是椭圆是椭圆的焦点，的焦点，F1PF2=,则则1、当当P为短轴端点时，为短轴端点时，SPF1F2有最大值有最大值=bc2、当当P为短轴端点时，为短轴端点时，F1PF2为最大为最大3、椭圆上的点椭圆上的点A1距距F1最近，最近，A2距距F1最远最远4、过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短 5、焦点三角形面积、焦点三角形面积012222baby
12、axPB2B1F2A2A1F1x双曲线的定义双曲线的定义 平面内平面内与两个定点与两个定点F1F2的距离的差的绝对值的距离的差的绝对值等于常数等于常数(小于小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲的点的轨迹叫做双曲线线.这两个定点叫做双曲线的焦点这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的两焦点的距离叫双曲线的焦距距离叫双曲线的焦距.注意注意:“平面内平面内”三字不可省三字不可省,这是大前提这是大前提 距离差要取绝对值距离差要取绝对值,否则只是双曲线的一否则只是双曲线的一支支 常数必须小于常数必须小于|F1F2|双曲线双曲线焦点在焦点在x轴轴焦点在焦点在y轴轴几何条件几何条件标准方程标准方程图形图形顶点坐
13、标顶点坐标对称轴对称轴范围范围12222byax-5510642-2-4-6yx012222bxay-10-5510158642-2-4-6-8yx0(a,0)(0,a)x轴，实轴长轴，实轴长2ay轴，虚轴长轴，虚轴长2by轴，实轴长轴，实轴长2ax轴，虚轴长轴，虚轴长2b|x|a，yRxR，|y|a12122(02)MFMFaaF F 焦点在焦点在X轴轴 焦点在焦点在Y轴轴焦点坐标焦点坐标a,b,c关系关系离心率离心率 渐近线渐近线222cba)1(eacexabyxbay（c,0）(0,c)12222byax12222bxay抛物线的定义 平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一
14、条定直线l的距离的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。相等的点的轨迹叫做抛物线。定点定点F叫做抛物线的焦点。定直线叫做抛物线的焦点。定直线l 叫做抛叫做抛物线的准线。物线的准线。注意：注意：“平面内平面内”是大前提，不可缺省是大前提，不可缺省图形图形焦点焦点 准线准线 标准方程标准方程通径端通径端点点范围范围yxoyxoyxoyxo)0,2(p)0,2(p)2,0(p)2,0(p2px 2px2py 2pypxy22pxy22pyx22pyx22),2(pp),2(pp)2,(pp)2,(ppX 0yRX 0yRxRy0 x Ry0642-2-4-6-55x=-p/2op/2A(x1,y1)B(x2
15、,y2)设直线设直线l过焦点过焦点F与抛物线与抛物线y2=2px(p0)相交于相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点两点,则则:通径长为通径长为 焦点弦长焦点弦长 抛物线焦点弦的几条性质抛物线焦点弦的几条性质21xx21yypxxAB2142p2pp227圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义平面内到一平面内到一定点定点F和一条和一条定直线定直线l l 的距的距离之比等于离之比等于常数常数e（点（点F在直线在直线 l l 外外，e 0）0e1e=1椭圆椭圆双曲线双曲线定点定点F为焦点，定直线为焦点，定直线l l为为准线准线,e为离心率。为离心率。抛物线抛物线直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆
16、锥曲线的位置关系相切相切相交相交相离相离双曲线双曲线抛物线抛物线交于一点（直线与交于一点（直线与渐近线平行）渐近线平行）交于两交于两点点0 0 交于两点交于两点交于一点交于一点(直线平行直线平行于抛物线的对称轴于抛物线的对称轴)椭圆椭圆两个交点两个交点0 无公共点无公共点0 只有一个交点且只有一个交点且0弦长公式)+(2=21xxeaAB212-1xxkAB),(),A(2211yxByxbkxy+=),(yxf当直线当直线与圆锥曲线与圆锥曲线相交于两点时时)+(+2=21xxeaAB过左过左焦点焦点过右过右焦点焦点)+(2=21xxeaAB过左过左焦点焦点过右过右焦点焦点)+(+2=21xx
17、eaABpxxAB+=21特特别别当当直直线线过过焦焦点点时，时，焦焦点点弦弦长长为：为：)1(1=ba22222222bbyyaaxx+、椭椭圆圆2、双双曲曲线线统一性统一性（1）从方程形式看从方程形式看:)0(12222babyax)0,0(12222babyax)0(22ppxy都属于都属于二次曲线（2）从点的集合（或轨迹）的观点看：从点的集合（或轨迹）的观点看：它们都是与定点和定直线距离的比是常数它们都是与定点和定直线距离的比是常数e的点的集合（或轨迹）的点的集合（或轨迹）（3）这三种曲线都是可以由平面截圆锥面得到的截线这三种曲线都是可以由平面截圆锥面得到的截线4、概念补遗：、概念补遗
18、：共轭双曲线共轭双曲线、等轴双曲线、焦半径公式、椭圆的、等轴双曲线、焦半径公式、椭圆的参数方程、焦点弦、有共同渐近线的双曲线系方程参数方程、焦点弦、有共同渐近线的双曲线系方程基础题例题基础题例题1.已知点已知点A(-2,0)、B(3,0)，动点，动点P(x,y)满足满足PAPB=x2,则点则点P的轨迹是的轨迹是 （）A.圆圆 B.椭圆椭圆 C.双曲线双曲线 D.抛物线抛物线D)(,5|143|)3()1(),(.222的轨迹是的轨迹是则点则点满足满足动点动点MyxyxyxM A.圆圆 B.椭圆椭圆 C.双曲线双曲线 D.抛物线抛物线D),3(),2(),(yxPByxPAyxP设设2),3()
19、,2(xyxyx22)3()2(xyxx62xyldMAyxlAyxM|,0143:),3,1(),(设设3.ABC的顶点为的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长，三边长a、b、c成等成等差数列，公差差数列，公差d0；则动点；则动点B的轨迹方程为的轨迹方程为_.001161222xyyx，基础题例题基础题例题OA(0,-2).C(0,2)xy.B(x,y)a=|BC|,b=|AC|,c=|AB|a+c=2b,且且 abc|BC|+|BA|=8B点的轨迹是以点的轨迹是以A、C为焦点的椭圆为焦点的椭圆依题意，满足条件的轨迹方程为依题意，满足条件的轨迹方程为1、已知椭圆已知椭圆 上一点上一点P
20、到椭圆一个到椭圆一个焦点的距离为焦点的距离为3，则，则P点到另一个焦点的距离点到另一个焦点的距离为为()A、2 B、3 C、5 D、7 1162522yxD典型例题典型例题2、如果椭圆的两条准线间的距离是这个椭如果椭圆的两条准线间的距离是这个椭圆的焦距的两倍，那么这个椭圆的离心率圆的焦距的两倍，那么这个椭圆的离心率为为()A、B、C、D、14122224C3、如果方程如果方程 表示焦点在表示焦点在y轴上的轴上的椭圆，那么实数椭圆，那么实数k的取值范围是的取值范围是()A、B、C、D、(0,)(0,2)(1,)(0,1)222 kyxD4、椭圆椭圆 的焦点为的焦点为F1和和F2，点点P在椭圆上，
21、如果线段在椭圆上，如果线段PF1的中点在的中点在y轴上，那么轴上，那么|PF1|是是|PF2|的的()A、7倍倍 B、5倍倍 C、4倍倍 D、3倍倍 221123xyA121242 3235.BFFFBF椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 与两焦点，组成的三角形周长是，且，求椭圆方程。oxyBF1F21414.1,3,2233sin32422,222222yxyyxbcaacaccax轴上时，所求方程为同理，焦点在圆方程为所求椭所以解得如图所示，依题意，有焦距为，轴上，长轴长为解：设焦点在6、已知斜率为已知斜率为1的直线的直线L过椭圆过椭圆 的右的右焦点，交椭圆于焦点，交椭圆
22、于A、B两点，求弦两点，求弦AB的长。的长。1422 yx法一：法一：弦长公式弦长公式法二：法二：焦点弦：焦点弦：122)1(xxkAB)(221xxeaAB7、已知椭圆已知椭圆 求以点求以点P（2，1）为中）为中点的弦所在直线的方程。点的弦所在直线的方程。191622yx思路一：思路一：设两端点设两端点M、N的坐标分别的坐标分别为为 ，代入椭圆方程，作差因，代入椭圆方程，作差因式分解求出直线式分解求出直线MN斜率，即求得斜率，即求得MN的方程。的方程。2211,yxNyxM思路二：设出思路二：设出MN的点斜式方程的点斜式方程 ，与椭圆联立，由韦达定理、中点，与椭圆联立，由韦达定理、中点公式求
23、得直线公式求得直线MN的斜率，也可求得的斜率，也可求得MN的方程。的方程。)2(1xky8如果方程如果方程 表示双曲线，则实数表示双曲线，则实数m的取值的取值范围是范围是()(A)m2 (B)m1或或m2(C)-1m2 (D)-1m1或或m21-21-22mymxDD9若椭圆若椭圆 的离心率为的离心率为 ，则双曲线，则双曲线 的离心率是的离心率是()(A)(B)(C)(D)012222babyax12222byax4525233143210.已知圆已知圆C过双曲线过双曲线 的一个顶点和一个焦点，的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲
24、线中心的距离是_116922yx31611.如图，已知如图，已知OA是双曲线的实半轴，是双曲线的实半轴，OB是虚半轴，是虚半轴，F为为焦点，且焦点，且SABF=,BAO=30，则双曲线的方，则双曲线的方程为程为_33-62113922yx12.已知双曲线中心在原点且一个焦点为已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)直线直线y=x-1与其相交于与其相交于M、N两点，两点，MN中点的横坐标为中点的横坐标为 ，则此，则此双曲线的方程是双曲线的方程是()(A)(B)(C)(D)714322yx13422yx12522yx12522yx32D12125,0,5,0,1.83FFPFF已知双曲线两个焦点
25、的坐标为双曲线上的一点 到，的距离的差的绝对值等于，求双曲线的标准方程。1916.9455,4,102,82,0,0122222222222yxacbcacababyaxx为所以双曲线的标准方程所以标准方程为轴上，所以设它的在解：因为双曲线的焦点22.15184xy求以椭圆的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。153538,22,3.242,3220,01500220315822222222222yxacbcacababyaxxyx所以所求双曲线方程为所以则所以双曲线的方程为轴上，焦点在由题意可知该双曲线的，和，为。椭圆的顶点，的焦点为解：依据题意有12934 25415.PP已知
26、，、，是双曲线上两点，求双曲线的标准方程。19169161212516811329,112222222222222222xybabxayybababyaxx所以其标准方程为点坐标值代入后解得为轴上时，设双曲线方程焦点在无解把两点代入可得准方程是轴上时，设双曲线的标焦点在解：221317.1ykxxyABkAB直线与双曲线相交于，两点，当 为何值时，以，为直径的圆经过坐标原点？以为直径的圆过原点，所因为以则设解得两点，所以，因为直线与双曲线交于得解：由方程组ABkxxkkxxyxByxAkkkBAkxxkyxkxy32,32,66038402231312212212211222222满足条件。解
27、得即,1,01323210111110,2222212122121221212121kkkkkxxkxxkxxkxxkkxkxyyyyxxOBOA18、过抛物线过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点，如果两点，如果x1+x2=6，那么，那么|AB|长是长是()A、10 B、8 C、6 D、4B1919、过抛物线过抛物线 的焦点且垂直的焦点且垂直于于x x轴的弦为轴的弦为ABAB，O O为抛物线顶点，则为抛物线顶点，则 大小大小()()A A、小于、小于9090 B B、等于、等于9090C C、大于、大于9090 D D、不确定、不确
28、定22(0)ypx pAOBC20、经过点经过点P(2，4)的抛物线的标准方程是的抛物线的标准方程是_.228xyyx 或21、抛物线抛物线y2=2x上到直线上到直线xy+3=0的距离的距离最短的点的坐标为最短的点的坐标为_.1(,1)2220910ypx pMM若抛物线上有一点 的横坐标为，它到焦点的距离为，求抛物线方程2、和3点坐标。本题解法体现了抛物线定义的应用，在解答抛物线的有关问本题解法体现了抛物线定义的应用，在解答抛物线的有关问题时，常将抛物线上的点到焦点的距离转化为它到准线的距题时，常将抛物线上的点到焦点的距离转化为它到准线的距离。离。22 4224,AFxyPPAPF已知定点，
29、及焦点为 的抛物线在这抛物线上求一点，使、最小。要善于用定义解题，即把动点要善于用定义解题，即把动点P到焦点到焦点F的距离转化为动点的距离转化为动点P到准线的距离到准线的距离26,41yxM25：已知抛物线求以点，为中点的弦所在直线的方程。即为所求。所以，所以因为所以得所以直线与抛物线交于解：设直线方程0113,31266212616,1421212121212221212211yxkyykyykyyxxyyxyxyyxByxAxky243 5xyxAB顶点在原点，焦点在 轴上的抛物线截直线所得的弦长求此抛物26、线方程。xyxyaaaaaaxxkABABaaaxxxxxxxxaxxxxyxByxAxaxaxyxyaaxy364364,014432534325,15343216161644,4161,101616442,022222122221221212121212211222或为所以所求的抛物线方程或所以即所以，因为的解，所以有是方程，则设整理得中，代入将程为解：设所求的抛物线方
