1、1数学教学技术支持下的数学课程标准的十大理念 华南师范大学数学科学学院 吴跃忠21用技术构建共同基础，用技术提供发展平台 实现这一理念的具体措施是为所有学生提供一个必修系列，再为继续升学的学生提供若干选修系列 必修系列中的内容则需要对技术提出一个具体的要求 如果我们把共同基础理解为：(1)对于高中毕业后从事技工的学与继续上大学升造的学生有一个共同基础(2)将来学体育、艺术、历史等人文学科与学理科的或数学的学生有一个共同的基本要求3 实现这个基础的技术要求：(1)学生要掌握基本常用软件的数学处理例1 word文档的数学公式编辑器例2 excel的基本统计功能和回归曲线功能例3数学教育软件的使用4
2、 卡氏几何5678 代数运算系统（CAS）9101112 作图工具13141516(2)能够用技术解决数学基本运算例4 已知函数（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数在点x=1处切线。解（1）求导函数lnyxx17（2）求点x=1的导数18求切点19求切线2021(3)能够用技术作出数学基本图形例5 函数需要考虑技术条件下作图的一些要求，例如（1）如何设计屏幕使得图形看起来更好。（2）技术上如何表示一个图形的一部分。sin cosyA(x)yA(x)函数22作3sin 2 3yx的图像23我们想使得曲线变得粗一些24如果只想作出函数的一部分曲线25(4)用技术理解数学技巧第一步：求动点满足的
3、等式,4,0254:45M x yFl xM例6 设与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹。26第二步：整理425 x-两边同乘以27两边平方28将平方式子展开29移项30化为标准型31 对于进一步发展的学生，技术将作为不可或缺的工具伴随学生终生解：第一步：作出这两个函数的图象 227log-1,-42,(0.1).f xxg xxxf xg x例 已知函数写不等式的解集 精确到32第二步：求这两个函数的交点的横坐标。33第三步：写出解答。(1,1 3)(3 9,+)34例8设常数实数满足求二元函数的最大值。解：第一步：化简,0,a babyx,1byax)0,(),(11yxyx
4、yxf35第二步：代入36第三步；求取最值点37第四步：代入函数38第五步：展开39(五)技术将超越静态的知识例9 在一个小岛上安装了一只探照灯，其发射的光速能照亮距离小岛1公里的海面。探照灯以T=1分钟转一圈的速度绕其轴均匀地旋转。现有一艘摩托艇必须驶达小岛，但又不能被探照灯光速所发觉。试问这艘摩托艇行驶的速度v的最小值应该是多少？40第一种方案：摩托艇走直线。设探照灯扫过的面积称为“搜索圆”摩托艇应该是探照灯一过A点，就进“搜索圆”小时公里走过的时间搜索圆的半径/6011v 41第二种方案：由于在OP上的每一点的线速度不同，所以设想，小艇的速度高于线速度就可以了。22TTrv 角速度为安全
5、圆的半径 42小艇只要达到安全圆（半径为a）就可以。-2,11120.862=51.7/Ta vvTavTaT有公里 小时。43第三种方案：达到安全圆以前，小艇所走的安全区域为下图的阴影部分点集D4400 0000 0,222,2cos,=cos.2cos2ANv TNOANOrANv ttgNOtTNOavaTANv ttgNOatg设由角速度相等得：由所以要解出方程：4546472技术体现多样性并强调个性 课标的第二个理念是“提供多样课程、适应个性选择”课程标准提供了五个必修模块、四个选修系列，提供的内容比较多，为数学教学技术提供了广泛的空间 如，圆锥曲线与方程、导数与应用、计数原理、几何
6、证明选讲等，技术都可以与这些内容结合起来48 新课标提供了许多的课程，虽然在课标的实施过程中有些课程对于学生而言有名无实，但是，技术介入，确实有利于张扬学生个性例1 直线与圆锥曲线交点49（1）5051第二步：求的距离（用表示），第三步：同理可得（在中将换成，得），第四步：解方程组：,求出,继而求出方程.15212211kkBABA21,kk52（2）535455565758596061 62由此设计一个程序，解决直线与圆锥曲线的交点。(1)求直线 与圆 的交点.10 x 22221xy636465（2）6667（3）求直线：68第二步：求双曲线：第二步：求双曲线：69第三步：作图：第三步：作
7、图：70第四步：求交点：713数学教学技术有助于形成积极主动、勇于探索的学习方式 接受、记忆模仿和练习在数学教学中的比重非常大，有实验研究表明，只有在初中时达到一定的基本运算速度，才有可能在高考中考出好的成绩 操作性训练过多，势必造成一种定势，形成考虑问题的固定模式桑代克早已证明，练习并不总能使人的成绩提高，李士奇也认为“熟不一定能生巧”，或许会熟能生厌 技术将可能代替所有的重复性训练，这就给学生提供了时间来积极主动地自主探索、学习数学建模和数学探究7273难点：1。数学阅读困难；2。由函数组成的集合比较少见；3。函数集合满足两条件；4。李普希兹条件；5。不动点理论。74第（I）问的两种解答
8、7576第（II）问解法的三种水平 水平一：最为初等解法是放缩法，此乃标准解法，故略去如果能和几何意义联系起来，则有如下两个水平。777879 这一题显然不能靠熟能生巧解决，这里的抽象数学符号表述需要通过其它的方法来培养。这里培养的应该是一种精神，一种探索的精神，如果学生能象玩游戏机那样熟练地使用技术，他们的探索精神和能力将会得到发展。80例2 幂极数的和8182838485我们来看看这些级数的和：1212231324122251121 216141 69-130122-112nknknknknkn nkn nnknnkn nnnnknnnnk864技术提高数学思维质量 技术本身不能代替思维，
9、而数学思维也是隐性的，我们只能给学生一些思维的方法，如，观察、发现、类比等，学生不断地使用这些方法的过程中，提高数学思维的能力 人们在思维时，有时需要运算来验证自己的想法、有时需要作图来实现思考的对象 如果用技术，则可以消除运算和作图带来的可能的、潜在的错误，也可以使我们用运算验证的范围更广，也可以使我们更清晰地观察我们思考的对象 87例1“函数函数 的图象与它的反函数的图象与它的反函数的图象都过点的图象都过点 ，则上述原函数与它，则上述原函数与它的反函数图象共有几个交点？的反函数图象共有几个交点？”解答结果：解答结果：函数：函数：和和交点：交点：baxy2,173 xy37312xy（0 x
10、）)2)23373(2,2337(,)1,2(,)2,1(88有学生认为 和有无数个交点，理由是它们的图象有一段重 合。73 xy37312xy（0 x）89在区间 上局部放大图象：13924.1,12342.190例例2笔直的公路旁有一幢宫殿，旅行车停在笔直的公路旁有一幢宫殿，旅行车停在哪里车内游客才能很好地看到宫殿的正哪里车内游客才能很好地看到宫殿的正面？面？（1）探求最大角：）探求最大角：拖动点时，随点位置的改变而变大或变小，经过多次调整，可寻找到取最大值时点的位置，此时就是停车地点91（2）挑出合适的圆）挑出合适的圆 把看成某圆的周角，由同弧上所立的圆周角相等，知角度的大小依赖于圆的大
11、小，解题者的任务是要找出与直线相交且周角最大的圆想象用无数个以为弦的圆覆盖整个平面，电脑算出，圆的直径越大，上所立的圆周角越小，由此推知与相切的那个圆具有最大视角（几何证明略去），因而切点就是停车点 92（3）绘出散点图绘出散点图设线段与直线的交点为，电脑量出到的距离作为横坐标，及相应的张角为纵坐标，当点移动时，电脑记录下点的所有坐标，然后绘出点的“足迹”（散点图）：从散点图易知，确实存在一个最大值93（4）散点图的方程）散点图的方程假设该函数是一个四次多项式，根据上面收集的坐标，求出这个四次多项式为：94（5）辅助计算）辅助计算以上的方法都是从问题解决的角度来寻求解答，下面按照传统方法，求出
12、张角随距离变化的函数如图建立直角坐标系：2axyxbxc955技术有利于学生发展数学应用意识 数学应用的一大障碍是计算量太大、图形较为复杂，即使熟悉应用所需的数学知识，也不能处理，这种情况下，技术的符号和图形功能有较大的作用空间 数学应用的主要表现在于构造数学模型，构造数学模型通常有两种情况，其一是用学生已知的、十分熟悉的数学模型拟合题设条件；其二是学生根据题条件寻求不太熟悉的数学型对于前一种情况，数学教学技术通常都会有常用 的函数可供拟合，对于第二种情况，有时也可用计算来求得一些复合函数96例1 交通标志“反相转弯”标志函数f 1(x)=1,1 x 56f 2(x)=1.672466x 0.
13、749472,1 x 28f 3(x)=1.602855x+90.792158,28 x 56f 4(x)=0.109496 x+11.445349,24.5 x 42f 5(x)=0.129741x+15.509483,14.5 x 31.5f 6(x)=1.096577 x+33.424505,14.5 x 26.5f 7(x)=x 22,26 x 30.5f 8(x)=1.012295 x+38.913934,24.5 x 30.5f 9(x)=1.043689 x+51.762136,24 x 33f 10(x)=1.055882 x+60.141176,28 x 41f 11(x)=
14、x+3,24 x 28.597“反相转弯”标志图案98例2 flash软件商标 拟合曲线)1514(,1219)4737(,24)4847(,3999)4841(,33)5352(,47810)37155241(,016472.1051659.2211842.000742.010344331.7)5315(,44669.146972256.18907976.0016651.010064142.1)(23452344xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf或99 模拟图形100例3。耐克商标 耐克函数11.52;0.1594129.65249()223;0.1594129.65249xxxf
15、xxxx101 耐克商标图案1026数学教学技术改变“双基”的内涵“双基”中的基本知识的范围因为有了技术，而增加“双基”中的基本技能因有了技术而应该重新认识“双基”第一个重要基础就是为了形成的运算能力而反复操练运算技巧，今天对于运算能力的界定需要考虑技术因素，因而对于运算技巧在“双基”中的地位应该有一个重新的认识“双基”第二个重要基础就是为了获得逻辑思维能力而操练证明技能，由于算法作为技术的一个基本知识进入学生视野，获得这项能力的来源就多样化了103例1 技巧与推理 1041051061077数学教学技术有助于强调本质，淡化形式 复杂的运算是形式化的一种表现形式，前以述及技术可以淡化数学作为一
16、种形式的化的运算工具 单纯地研究函数的性态也是一种形式化的要求，我们可以利用技术将这些数学内部的研究变得简单 形式化是数学发展到一定阶段的产物，而形式化的前身则是数学实质的发现过程，数学教学技术则可以通过一定教学手段，暴露思维过程108 例1 某工厂今年一月、二月、三月分别生产了某种产品1万件，1.2万件，1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系。解：看散点图109110111112113114115116117局部考查：118119这里的问题是：选用哪一个函数能更好地预测产量。1208数学教学技术改变学生对数学的看法 我们
17、把数学文化称为人类文明进步的源泉之一，体现人类思维荣耀和最高智力的代表、也体现人类克服困难的精神 由于应试的需要，学生更多地将数学看作为公式、技巧的堆积 数学教学技术可以在一定的程度上消除学生对于数学的不正确的看法从技术的发展过程，以及技术与数学结合的过程，让学生可以理解数学实质121例1 算盘、数学计算用表、电脑的发展例2 不同时代的数学问题有着不同的数学解法1229数学教学技术与数学课程的整合，促进学生理解 行为心理学认为数学教学技术是可以有意义地呈现知识的手段 认知心理学认为数学教学技术促进学习者形成认知结构 建构主义心理学认为数学教学技术帮助学生主动建构数学知识和数学认知结构 随着心理
18、学对于数学教学技术的认识加深，更由于数学教学技术的不断发展和完善，数学教学技术已经不仅仅是一个运算和作图的工具，而是我们学习数学、理解数学、甚至是做数学不可或缺的工具123例1 数学教学技术在概念教学中的作用例2 数学在解题教学中的作用例3 数学在数学探究、建模、实验中的作用12410数学教学技术改变数学教育的评价体系 前已述及，数学教学技术可以从九个方面影响中学数学教育，从数学教学中最基本的地方，如概念教学、命题教学，到数学中十分强调的诸如方法和技巧，几乎在每一个数学问题上都有出现 技术还可以做以前教学做不了的事情，或者是不方便做的事情，比如，解方程，利用技术就可以解到高次方程，不必限制条件
19、 技术可以帮助学生节约时间，把精力投放到数学思维、做数学、以及对数学的理解上 因此，评介就有新的方式和要求，应该立足于学生使用技术这个现实125例1一个救生员，在救生站里看到一名游泳者发生了危险，这名游泳者距岸边有60米，从海边到救生站的距离有150米，救生员在岸上的奔跑速度是每秒8米，在水里游泳的速度是每秒2米，救生员应该以什么样的路线，才能以最短的时间到达那名出危险的游泳者(假设救生站在海岸)？AOBP126 美国学者Charles Vonder Ember博士以“游泳问题”为例介绍数学教学技术在美国中学数学教学中的应用，该问题的目标函数十分容易建立，但是计算过程较为复杂/这位学者用数学技术替代纸笔做计算，以说明美国学生如何学习数学问题解决，并介绍美国教师如何用数学教学技术进行教学。对于这个问题的教学法处理可以看出中美两国的教学观念和背景存在巨大差异，如果用数学技术来解，只按几个键，对于我国学生而言，失去了利用该题学习运算技巧的机会。以下，我们将按照中国的教学模式，给出游泳问题目标函数的多种解法，有助于读者理解中美两国的数学教育“国情”。12712812913013113213313413511教育部信息技术与数学课程整合的项目研究 十五信息技术与数学课程整合的项目情况介绍 十一五信息技术与数学课程整合的项目进展136137138139谢谢大家！谢谢
