1、考点一 锐角三角函数,A组 20152019年广东中考题组,1.(2016广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos 的值是 ( ) A. B. C. D.,答案 D 过点A作AB垂直x轴于B,则AB=3,OB=4. 由勾股定理得OA=5.cos = = .故选D.,2.(2018广州,12,3分)如图,旗杆高AB=8 m,某一时刻,旗杆影子长BC=16 m,则tan C= .,答案,解析 由锐角三角函数正切的定义可知,在直角三角形中,锐角C的对边与邻边的比叫做C的正切,所以 tanC= = .,思路分析 由锐角三角函数正切的定义可得.,易错警示 求锐角三角函
2、数时,容易弄错角的对边和邻边,例如此题一不小心就有可能求得tan C= =2.,3.(2015广州,14,3分)如图,ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE交AC于点E,连接BE.若BE=9,BC=12,则cos C= .,答案,解析 DE是BC的垂直平分线, EC=BE=9,CD= BC=6. cos C= = = .,考点二 解直角三角形,1.(2019广州,3,3分)如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的倾斜角是BAC,若tanBAC= ,则此斜坡的水平距离AC为 ( ) A.75 m B.50 m C.30 m D.12 m,答案 A C=90,tanBAC= ,
3、BC=30 m,tanBAC= = = .AC=75 m.故选A.,2.(2017深圳,11,3分)如图,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的 仰角为60,然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30,已知斜坡CD的长度为20 m,DE的长为10 m,则树AB的高 度是 ( ) A.20 m B.30 m C.30 m D.40 m,答案 B 在RtCDE中, DEC=90,CD=20 m,DE=10 m, DCE=30,EC=20cos 30=10 m, 设AC=x m,AB=y m, 在RtABC中, =tan 60= , 在RtBDF中, =tan 30=
4、, 由得y=30,故选B.,3.(2019广东,15,4分)如图,某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15 米,在实验楼顶部B点测得教学 楼顶部A点的仰角是30,底部C点的俯角是45,则教学楼AC的高度是 米(结果保留根号).,答案 (15+15 ),解析 过B作BEAC交AC于E,由题意可知ACCD,BDCD,所以ECD=CDB=BEC=90,又因为 EBC=45,所以BE=EC,故四边形BECD为正方形,所以BE=CE=CD=15 米,在RtAEB中,AEB=90, ABE=30,所以AE=BEtanABE=15 =15米,所以AC=AE+EC=(15+15 )米.,4.(2017广
5、州,14,3分)如图,RtABC中,C=90,BC=15,tan A= ,则AB= .,答案 17,解析 在RtABC中,tan A= = ,BC=15, AC=8,AB= = =17.,5.(2016广州,22,12分)如图,某无人机于空中A处探测到目标B,D,从无人机上看目标B,D的俯角分别为30, 60,此时无人机的飞行高度AC为60 m,随后无人机从A处继续水平飞行30 m到达A处. (1)求A,B之间的距离; (2)求在A处从无人机上看目标D的俯角的正切值.,解析 (1)如图1,AABC,B=1=30, 在RtABC中,AC= AB=60 m,AB=120 m. 图1 (2)DAC=
6、90-EAD=90-60=30, 在RtADC中,tanDAC= , tan 30= , 即 = ,DC=20 m.,如图2,连接AD,过点A作AFBC的延长线于点F. (备注:过点D作AA的垂线,解法一样) AABC,ACBC, AF=AC=60 m,CF=AA=30 m,2=3. DF=DC+CF=20 +30 =50 (m), 在RtADF中,tan3= = = , tan2=tan3= .,图2,思路分析 (1)求出B,然后解直角三角形.(2)构造RtADF,然后求DF及AF的长,得ADF的正切值.再根 据平行线的性质将其转化为AAD的正切值.,解题关键 正确构造直角三角形,合理运用直
7、角三角形的边、角关系.,6.(2015茂名,21,8分)如图,一条输电线路从A地到B地需要经过C地,图中AC=20千米,CAB=30,CBA=45, 因线路整改需要,将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路. (1)求新铺设的输电线路AB的长度;(结果保留根号) (2)问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米?(结果保留根号),解析 (1)过点C作CDAB于点D, 在RtACD中,CD=ACsinCAD=20sin 30=20 =10(千米), (1分) AD=ACcosCAD=20cos 30=20 =10 (千米), (2分) 在RtBCD中,BD= = =10(千米), (3分
8、) AB=AD+BD=10 +10=10( +1)(千米). (4分) 新铺设的输电线路AB的长度为10( +1)千米. (5分) (2)在RtBCD中,BC= = =10 (千米), (6分),AC+BC-AB=20+10 -(10 +10)=10(1+ - )(千米). (7分) 整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10(1+ - )千米. (8分),7.(2016茂名,21,8分)如图,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆CD的高度,先在教学楼的底端A点处, 观测到旗杆顶端C的仰角CAD=60,然后爬到教学楼上的B处,观测到旗杆底端D的俯角是30.已知教学楼 AB高4 米. (1)
9、求教学楼与旗杆的水平距离AD;( ) (2)求旗杆CD的高度.,解析 (1)在教学楼B点处观测旗杆底部D处的俯角是30, ADB=30. (1分) 在RtABD中,BAD=90,ADB=30,AB=4 米, (2分) AD= = =4 (米). (3分) 因此,教学楼与旗杆的水平距离是4 米. (4分) (也可先求ABD=60,利用tan 60去计算得到结论) (2)在RtACD中,ADC=90,CAD=60,AD=4 米,(5分) CD=ADtan 60=4 =12(米). (7分) 因此,旗杆的高度是12 米. (8分),考点一 锐角三角函数,B组 20152019年全国中考题组,1.(2
10、019天津,2,3分)2sin 60的值等于 ( ) A.1 B. C. D.2,答案 C 根据特殊角的三角函数值,可得sin 60= ,则2sin 60=2 = ,故选C.,2.(2018天津,2,3分)cos 30的值等于 ( ) A. B. C.1 D.,答案 B 根据特殊角的三角函数值可知,cos 30= ,故选B.,3.(2017哈尔滨,8,3分)在RtABC中,C=90,AB=4,AC=1,则cos B的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由勾股定理知,BC= ,则cos B= = ,故选A.,4.(2015内蒙古包头,4,3分)在RtABC中,C=90,若斜边AB是直
11、角边BC的3倍,则tan B的值是 ( ) A. B.3 C. D.2,答案 D 在RtABC中,设BC=x(x0),则AB=3x, AC= =2 x,tan B= =2 .故选D.,考点二 解直角三角形,1.(2016重庆,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A处测得直立于 地面的大树顶端C的仰角为36.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13 米至坡顶B处,然后沿水平方向行走6 米至大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=12.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:sin 360.59,cos 36 0.81,tan 360.73) ( ) A.8.1
12、米 B.17.2 米 C.19.7 米 D.25.5 米,答案 A 作BFAE于F,如图所示, 易知四边形BDEF为矩形,则FE=BD=6 米,DE=BF, 斜面AB的坡度i=12.4,AF=2.4BF, 设BF=x米,则AF=2.4x米, 在RtABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5(舍负), DE=BF=5 米,AF=12 米, AE=AF+FE=18 米, 在RtACE中,CE=AEtan 36180.73=13.14 米, CD=CE-DE=13.14-58.1 米,故选A.,2.(2019辽宁大连,15,3分)如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距10 m的D处观测
13、旗杆顶部A的仰角为 53,观测旗杆底部B的仰角为45,则旗杆AB的高度约为 m.(结果取整数.参考数据:sin 530.80, cos 530.60,tan 531.33),答案 3,解析 BDC=45,BCD=90, DBC=180-BCD-BDC=180-90-45=45, BDC=DBC, BC=DC=10 m. 在RtADC中, tanADC= , tan 53= , AC=10tan 53101.33=13.3 m. AB=AC-BC=13.3-10=3.33 m. 故答案为3.,思路分析 因为BDC=45,BCD=90,所以可得BC=DC=10 m,解直角三角形可求出AC13.3
14、m,进一步 可求出AB的长度.,3.(2017四川德阳,15,3分)如图所示,某拦水大坝的横断面为梯形ABCD,AE、DF为梯形的高,其中迎水坡AB 的坡角=45,坡长AB=6 米,背水坡CD的坡度i=1 (i为DF与FC的比值),则背水坡CD的坡长为 米.,答案 12,解析 =45,AB=6 米,AE=6 sin 45=6米,i=1 =DFFC,tan C= = , C=30,则DC=2DF=2AE=12 米.,4.(2019内蒙古呼和浩特,20,7分)如图(1),已知甲地在乙地的正东方向,因有大山阻隔,由甲地到乙地需要绕行 丙地.已知丙地位于甲地北偏西30方向,距离甲地460 km,丙地位
15、于乙地北偏东66方向,现要打通穿山隧道, 建成甲乙两地直达高速公路.如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C,可抽象成图(2)所示的三角形,求 甲乙两地之间直达高速线路的长AB(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可).,解析 过C作CDAB,垂足为D, 在RtACD中,ACD=30, AD=ACsin 30=460 =230 km, CD=ACcos 30=460 =230 km, 在RtBCD中,tanBCD= ,而BCD=66, BD=CDtan 66=230 tan 66 km, AB=AD+DB=230(1+ tan 66)km. 答:甲乙两地之间直达高速线路的长为230(1+ t
16、an 66)km.,方法总结 解直角三角形的应用,要根据题意抽象出数学图形,构造适当的直角三角形,解直角三角形,得出 实际问题的答案.,5.(2018新疆,20,10分)如图,在数学活动课上,小丽为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼的C处测得旗 杆底端B的俯角为45,测得旗杆顶端A的仰角为30.已知旗杆与教学楼的距离BD=9 m,请你帮她求出旗杆的 高度(结果保留根号).,解析 过点C作CEAB于点E. 由题意知ABDB,CDDB, CEB=EBD=CDB=90. 又BCE=45,EB=EC,故四边形CDBE是正方形. 又BD=9 m,CE=BE=BD=9 m. 在RtACE中,AEC=9
17、0,ACE=30, AE=CEtanACE=9tan 30=3 m, AB=AE+BE=(9+3 )m. 答:旗杆的高为(9+3 )m.,6.(2018内蒙古呼和浩特,21,7分)如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度i=13(沿斜 坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的仰角为33,在斜坡D处测 得山顶A的仰角为45.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米.(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即 可),解析 过点D作DHBC,垂足为H. 斜坡BD的坡度i=13,DHBH=13. 在RtBDH中,BD=600, DH2+(3DH)2=6
18、002, DH=60 ,BH=180 . 设AE=x米,在RtADE中,ADE=45, DE=AE=x, 又HC=DE,EC=DH,HC=x,EC=60 , 在RtABC中,tan 33= = ,x= , AC=AE+EC= +60 = . 答:山顶A到地面BC的高度为 米.,考点一 锐角三角函数,C组 教师专用题组,1.(2015天津,2,3分)cos 45的值等于 ( ) A. B. C. D.,答案 B 本题考查特殊锐角的三角函数值.cos 45= .,2.(2017云南,11,4分)sin 60的值为 ( ) A. B. C. D.,答案 B sin 60= ,故选B.,3.(2019
19、浙江杭州,14,4分)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cos C= .,答案 或,解析 当AC为斜边,AB为直角边时,如图. 2AB=AC,BC= = AB, cos C= = = . 当AB,AC均为直角边时,如图. 2AB=AC,BC= = AB,cos C= = = . 综上所述,cos C= 或 .,4.(2019山东潍坊,15,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,顶点A,B分别在反比例函数y= (x0)与y= (x0)的 图象上,则tanBAO的值为 .,答案,解析 过点A作ACx轴于点C,过点B作BDx轴于点D, 则BDO=ACO=90, 顶点A,B分别在反比例函数y=
20、 (x0)与y= (x0)的图象上, SBDO= ,SAOC= , AOB=90, BOD+AOC=90, 又BOD+DBO=90, DBO=AOC, BDOOCA, = = =5, = , tanBAO= = .,思路分析 过点A作ACx轴于点C,过点B作BDx轴于点D,于是得到BDO=ACO=90,根据反比例函 数的比例系数k的几何意义得到SBDO= ,SAOC= ,证明BDOOCA,然后根据相似三角形的性质得到 = = =5,求得 = ,根据正切函数的定义即可得到答案.,5.(2016福建福州,18,4分)如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的 一个角
21、(O)为60,A,B,C都在格点上,则tanABC的值是 .,答案,解析 如图,连接EA,EC,易知E、C、B三点共线.设小菱形的边长为a,由题意得AEF=30,BEF=60,AE= a,EB=2a, AEB=90, tanABC= = = .,6.(2018贵州贵阳,18,8分)如图,在RtABC中,以下是小亮探索 与 之间关系的方法: sin A= ,sin B= , c= ,c= , = . 根据你掌握的三角函数知识,在图的锐角ABC中,探索 , , 之间的关系,并写出探索过程.,解析 如图1,过点A作BC边上的高AD, 图1 在RtABD中,sin B= ,在RtACD中,sin C=
22、 , AD=csin B,AD=bsin C, csin B=bsin C, = . 同理,如图2,过点B作AC边上的高BE,图2,在RtABE中,sin A= ,在RtBCE中,sin C= , BE=csin A,BE=asin C, csin A=asin C, = . 综上, = = .,考点二 解直角三角形,1.(2019重庆A卷,10,4分)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树活 动.如图,在一个坡度(或坡比)i=12.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC =26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测得古树顶端D的仰
23、角AED=48(古树CD与山坡AB的剖面、 点E在同一平面上,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为 ( ) (参考数据:sin 480.74,cos 480.67,tan 481.11) A.17.0米 B.21.9米 C.23.3米 D.33.3米,答案 C 延长DC交EA于点F. i= = = , 设CF=5x米,AF=12x米,且x0. 在RtACF中,AC= =13x=26, x=2,CF=10米,AF=24米. AE=6米,EF=EA+AF=6+24=30米. 在RtEDF中,tanAED=tan 48= , DF=EFtan 48301.11=33.3米,CD=DF-CF
24、=33.3-10=23.3米,故选C.,思路分析 延长DC交EA于点F.由题意可得 = ,则设CF=5x米,AF=12x米.在RtACF中,由勾股定理得 AC= =13x=26,求得CF=10米,AF=24米,从而可得EF=30米.在RtDEF中,由tanAED= ,可求 出DF的长,从而进一步求出DC的长.,2.(2015江苏苏州,10,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=2 km,从A测得船C在北偏东45 的方向,从B测得船C在北偏东22.5的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为 ( ) A.4 km B.(2+ )km C.2 km D.(4- )km,答案
25、 B 如图,在RtABE中,AEB=45,AB=EB=2 km,AE=2 km,EBC=22.5,ECB= AEB-EBC=22.5,EBC=ECB,EB=EC=2 km,AC=AE+EC=(2 +2)km.在RtADC中, CAD=45,AD=DC=(2+ )km.即点C到l的距离为(2+ )km,故选B.,3.(2015江苏连云港,16,3分)如图,在ABC中,BAC=60,ABC=90,直线l1l2l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3 之间距离是2,且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为 .,答案,解析 过B作l1的垂线与l1和l3分别相交于D、E两点,得到RtABD
26、与RtBCE,BD=1,BE=2,DE=3.易求得 ABD=BCE, ADB=BEC=90,ABDBCE, = .在RtABC中,BAC=60, tan 60= = . = ,AD= . 在RtABD中,由勾股定理得AB= = = . AC= = = .,4.(2019江西,20,8分)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线BAO表示固定支架,AO垂直水平桌 面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测 量:AO=6.8 cm,CD=8 cm,AB=30 cm,BC=35 cm.(结果精确到0.1) (1)如图2,ABC=70
27、,BCOE. 填空:BAO= ; 求投影探头的端点D到桌面OE的距离; (2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,求ABC的大小. (参考数据:sin 700.94,cos 200.94,sin 36.80.60,cos 53.20.60),解析 (1)160. 如图1,延长OA交BC于点F, 图1 AOOE,AOE=90. BCOE,AOE=BFO=90, 在RtABF中,AB=30 cm, sinB= , AF=ABsinB=30sin 70300.94=28.20(cm). AF-CD+AO=28.20-8+6.8=27.0(cm). 答:投
28、影探头的端点D到桌面OE的距离为27.0 cm.,(2)如图2,过点B作DC的垂线,交DC的延长线于点H. 图2 在RtBCH中,HC=28.2+6.8-6-8=21(cm). sinHBC= , sinHBC= =0.6. sin 36.80.60,HBC36.8,ABC=70-36.8=33.2. 答:当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,ABC为33.2.,解后反思 解决此类解直角三角形问题的一般思路:将实际问题抽象成解直角三角形问题.弄清题目中各 量之间的关系,如果题目中有直角三角形,则根据边角的关系进行计算,若图中没有直角三角形,可通过添加 辅助线构造直角三角形来解决.,5
29、.(2019山西,20,9分)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,并 利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶 端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距 离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整).,任务一:两次测量A,B之间的距离的平均值是 m; 任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度; (参考数据:sin 25.70.43,cos 25.70.90,tan 25.70.48,s
30、in 310.52,cos 310.86,tan 310.60) 任务三:该“综合与实践”小组在制订方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方 案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可),解析 任务一:5.5. 任务二:由题意可得四边形ACDB,四边形ACEH都是矩形, EH=AC=1.5,CD=AB=5.5. 设EG=x m. 在RtDEG中,DEG=90,GDE=31, tan 31= , DE= . 在RtCEG中,CEG=90,GCE=25.7, tan 25.7= ,CE= .CD=CE-DE, - =5.5. x=13.2.,GH=GE+EH=13.2
31、+1.5=14.7.答:旗杆GH的高度为14.7 m. 任务三:答案不唯一:没有太阳光,旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.,解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立教学模型.,6.(2019新疆,20,10分)如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段 时间后,到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处. (1)求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离(结果保留根号); (2)若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处,试判断海轮能否在5小时内到达B处,并说明理由. (参考数据: 1.41, 1.73, 2.45),
32、解析 (1)过点P作PCAB,垂足为点C, 由题意得,APC=45,AP=80. 在RtAPC中,PC=APcos 45=80 =40 . 海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为40 海里. (2)不能.理由如下:由题意得,CPB=60. 在 RtPCB中,BC=PC tan 60=40 =40 , 在RtAPC中,AC=APsin 45=80 =40 . AB=AC+BC=40 +40 154.4, 5.155, 海轮不能在5小时内到达B处.,思路分析 (1)过点P作PCAB于C,构造RtAPC,由PA=80,APC=45,求出PC= PA=40 ;(2)解 RtAPC,RtPCB,
33、求出AC,BC的长,得出AB=AC+BC=40 +40 ,除以海轮的速度,即可求得海轮从 A处到B处所用的时间,得出结论.,7.(2018江西,19,8分)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定 在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC= OB=60 cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变(所有结果保留小数点后一位). (1)若OBC=50,求AC的长; (2)当点C从点A向右运动60 cm时,求O在此过程中运动的路径长. 参考数据:sin 500.77,cos 500
34、.64,tan 501.19,取3.14.,解析 (1)如图,过点O作ODAB于点D, 在RtOBD中, BD=OBcosOBD=60cos 50600.64=38.4(cm). OC=OB,BC=2BD. AC=AB-BC=120-238.4=43.2(cm). (2)如图,AB=120 cm,AC=60 cm, BC=AB-AC=60 cm. OC=OB=60 cm,BC=OC=OB, OBC为等边三角形,OBC=60. 点O的运动路径为 , 点O运动的路径长为 =20=62.8(cm).,思路分析 (1)过点O作ODAB于点D,先根据OBC的余弦求出BD,然后根据等腰三角形的性质求得BC
35、, 进而求得AC的长;(2)点O运动路径是以点B为圆心,OB长为半径的圆弧,先确定当点C从点A向右运动60 cm 后OBC的大小,进而利用弧长公式求出结果.,解题关键 解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确理解点O的运 动路径.,8.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干 支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低 杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答. 如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为
36、155 cm,高杠上点D到直 线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4,高杠的支架BD与直线AB 的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH的长. (结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin 80.30.983,cos 80.3 0.168,tan 80.35.850),解析 在RtCAE中,AE= = 20.7. 在RtDBF中,BF= = =40. EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7151. 四边形CEFH为矩形,CH=EF=151.
37、即高、低杠间的水平距离CH的长约是151 cm.,思路分析 根据RtCAE和RtDBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,得EF=AE+AB+ BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.,9.(2018云南昆明,19,7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国南亚博览会”的竖直标语 牌CD,她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42,测得隧道底端B处的俯角为30(B,C,D在同一条直线上),AB =10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求标语牌CD的长(结果保留小数点后一位). (参考数据:sin 420.67,cos 420.74,tan 420
38、.90, 1.73),解析 如图,过点A作AEBD于点E, 由题意得DAE=42,EAB=30, 在RtABE中,AEB=90,AB=10,EAB=30, BE= AB= 10=5. cosEAB= ,AE=ABcos 30=10 =5 . 在RtDEA中,DEA=90,DAE=42, tanDAE= , DE=AEtan 425 0.90= ,思路分析 作AEBD于点E,构造直角DEA和直角ABE,解直角DEA和直角ABE,求得BE,DE的长, 进而可求出CD的长度.,CD=BE+ED-BC=5+ -6.56.3(m).答:标语牌CD的长约为6.3 m.,10.(2018安徽,19,10分)
39、为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面 上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测 到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8 米,问旗 杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数) (参考数据:tan 39.30.82,tan 84.310.02),解析 解法一:由题意知,AEB=FED=45, AEF=90. 在RtAEF中, =tanAFE=tan 84.3, 在ABE和FDE中,ABE=FDE=90,AEB=FED, ABEFDE
40、, = =tan 84.3, AB=FDtan 84.31.810.02=18.03618(米). 答:旗杆AB的高度约为18 米. 解法二:作FGAB于点G,由题意知,ABE和FDE均为等腰直角三角形, AB=BE,DE=FD=1.8, FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8. 在RtAFG中, =tanAFG=tan 39.3, 即 =tan 39.3, 解得AB=18.218(米). 答:旗杆AB的高度约为18 米.,思路分析 思路一:由题意可确定AEF=90,从而可推出ABEFDE,最后由相似三角形中对应边的 比相等求解;思路二:作FGAB于点
41、G,由题意可推出ABE和FDE均为等腰直角三角形,在直角三角形 AFG中由锐角三角函数求出AB.,11.(2017陕西,20,7分)某市一湖的湖心岛有一棵百年古树,当地人称它为“乡思柳”,不乘船不易到达,每年 初春时节,人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳.小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距 离.于是,有一天,他们俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离.测量方案如下:如图,首先,小军站在“聚贤亭” 的A处,用测倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23,此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7 米;然 后,小军在A处蹲下,用测倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24,这时测得小军的眼睛距地面的
42、高度AC 为1 米.请你利用以上所测得的数据,计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1 米). (参考数据:sin 230.390 7,cos 230.920 5,tan 230.424 5,sin 240.406 7,cos 240.913 5,tan 24 0.445 2),解析 作BDMN, 垂足为D, 作CEMN, 垂足为E. 设AN=x米,则BD=CE=x米. 在RtMBD中,MD=xtan 23米. 在RtMCE中,ME=xtan 24米.,ME-MD=DE=BC, xtan 24-xtan 23=1.7-1. x= . x34. “聚贤亭”到“乡思柳”之间的距离
43、约为34 米.,解后反思 解决此类问题的步骤如下:(1)根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形的数学 问题,画出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系;(2)若三角形是直角三角形,根据边角关系进行计 算,若三角形不是直角三角形,可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问题关 键是要根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,找准三角形.,12.(2017江西,17,6分)如图1,研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角”约为20,而当手指 接触键盘时,肘部形成的“手肘角”约为100.图2是其侧面简化示意图,其中视线AB水平,且与屏幕BC垂 直. (1
44、)若屏幕上下宽BC=20 cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕的最短距离AB的长; (2)若肩膀到水平地面的距离DG=100 cm,上臂DE=30 cm,下臂EF水平放置在键盘上,其到地面的距离FH= 72 cm.请判断此时是否符合科学要求的100. 参考数据:sin 69 ,cos 21 ,tan 20 ,tan 43 ,所有结果精确到个位,解析 (1)如图,ABBC,B=90. 在RtABC中,=20, AB= 20 =55(cm). (2)如图,延长FE交DG于点I, DGGH,FHGH,EFGH, IEDG, 四边形GHFI是矩形, IG=FH,DI=DG-FH=100-72=28(cm
45、). 在RtDEI中,sinDEI= = = , DEI69. =180-69=111100. 此时不符合科学要求的100.,13.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前 往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南偏东45方向,B船测得 渔船C在其南偏东53方向.已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长 时间才能得到救援? 参考数据:sin 53 ,cos 53 ,tan 53 , 1.41,解析 过点C作CDAB交AB延长线于点D,则CDA=90
46、. 已知CAD=45,设CD=x海里,则AD=CD=x海里. BD=AD-AB=(x-5)海里. 在RtBDC中,CD=BDtan 53,即x=(x-5)tan 53, x= =20. BC= = 20 =25海里. B船到达C船处约需时间:2525=1(小时). 在RtADC中,AC= x1.4120=28.2海里, A船到达C船处约需时间:28.230=0.94(小时). 而0.941,所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援.,解题技巧 本题是解三角形两种典型问题中的一种. 以下介绍两种典型问题: (1)如图,当BC=a时,设AD=x,则CD= ,BD= . CD+BD=a, + =a,x= . (2)如图,当BC=a时,设AD=x,则BD= ,CD= , CD-BD=a, - =a,x= .,14.(2016河南,19,9分)如图,小东在教学楼距地面9 米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37,旗 杆底部B点的俯角为45.升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25 米处.若国旗随国歌声冉冉升起,并在国
