1、A组 河北中考题组,1.(2018河北,16,2分)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数, 确定所有c的值.”甲的结果是 c=1,乙的结果是c=3或4,则 ( ) A.甲的结果正确 B.乙的结果正确 C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确,答案 D 抛物线L:y=-x(x-3)+c(0x3)可以看作抛物线y=-x(x-3)(0x3)沿y轴向上平移c个单位形成的, 一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点可以看作直线l:y=x+2沿y轴向下平移c个单 位形成的直线y=x
2、+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0x3)有唯一公共点.当直线y=x+2-c(即l2)经过原点时,0+2-c=0,c =2;当直线y=x+2-c(即l3)经过点A(3,0)时,3+2-c=0,c=5,根据图象可得当2c5时,直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x -3)(0x3)有唯一公共点,即一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.显然c=3,4,5. 当直线y=x+2-c为图中l1时,直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0x3)有唯一公共点.令-x(x-3)=x+2-c,得x2-2x+2 -c=0,=4-4(2-c)=0,解得c=1.因此
3、甲、乙的结果合在一起也不正确,故选D.,归纳总结 数形结合思想主要指的是数与形之间的一一对应关系,就是把抽象的数学语言、数量关系与直 观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,即通过抽象思维与形象思维的结 合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.,2.(2017河北,19,4分)对于实数p,q,我们用符号minp,q表示p,q两数中较小的数,如min1,2=1.因此, min- ,- = ;若min(x-1)2,x2=1,则x= .,答案 - ;2或-1,解析 - x2,若 min(x-1)2,x2=1,显然x2=1,解得x=-1或x=1(舍
4、);当x 时,有(x-1)2x2,若min(x-1)2,x2=1,显然(x-1)2=1,解得x=2 或x=0(舍).综上,x=2或-1.,3.(2019河北,26,12分)如图,若b是正数,直线l:y=b与y轴交于点A;直线a:y=x-b与y轴交于点B;抛物线L:y=-x2+bx 的顶点为C,且L与x轴右交点为D. (1)若AB=8,求b的值,并求此时L的对称轴与a的交点坐标; (2)当点C在l下方时,求点C与l距离的最大值; (3)设x00,点(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分别在l,a和L上,且y3是y1,y2的平均数,求点(x0,0)与点D间的距离; (4)在L和a所围成的
5、封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,分别直接写出b=2 019和 b=2 019.5时“美点”的个数.,解析 (1)当x=0时,y=x-b=-b,B(0,-b). AB=8,A(0,b),b-(-b)=8.b=4. (2分) L的方程为y=-x2+4x.L的对称轴为x=2. 当x=2时,y=x-4=-2. L的对称轴与a的交点坐标为(2,-2). (4分) (2)y=- + ,L的顶点C的坐标为 . (5分) 点C在l下方,C与l的距离为b- =- (b-2)2+11. 点C与l距离的最大值为1. (7分) (3)由题意得y3= ,即y1+y2=2y3,得b+x0-b=2(
6、- +bx0). 解得x0=0或x0=b- .但x00,取x0=b- . (9分) 对于L,当y=0时,0=-x2+bx,即0=-x(x-b).,解得x1=0,x2=b.b0,右交点D的坐标为(b,0). 点(x0,0)与点D间的距离为b- = . (10分) (4)4 040;1 010. (12分) 详解:如图,a与L的交点坐标满足:y=x-b=-x2+bx,得交点D(b,0),E(-1,-1-b). 当b为整数时,而x也是整数,对应的y=-x2+bx和y=x-b均为整数. 当x=-1和x=b时,对应的“美点”各只有一个. 从x=0到x=b-1共有b个整数,每个整数x都对应两个“美点”,
7、此时“美点”个数为2b+2.把b=2 019代入,求得“美点”个数为4 040. 当b不是整数时,但x是整数,x-b不是整数,即边界y=x-b(-1xb)上没有“美点”;而在边界y=-x2+bx(-1 xb)上,满足bx是整数才有“美点”.对于b=2 019.5,x应是从0到2 018的偶数,此时“美点”的个数为 2 0182+1=1 010.,思路分析 (1)由题意得OA=OB,AB=8,b=4,可得L的方程为y=-x2+4x,进而得出L的对称轴为x=2,把x=2代 入y=x-4得出交点坐标;(2)将二次函数解析式配方得出顶点坐标为 ,根据点C在l下方得出点C与l的距 离为b- =- (b-
8、2)2+11,进而得出最大值;(3)由y3是y1,y2的平均数,可得y3= ,即y1+y2=2y3,得b+x0-b= 2(- +bx0),求出x0的值,令y=-x2+bx=0,求出点D的坐标,两者横坐标相减得出结论;(4)易得点D(b,0),点E(-1,-1-b), 分两种情况,当b为整数,而x也是整数时,求得“美点”的个数;当b不是整数,但x是整数时,求得“美 点”的个数.,4.(2017河北,26,12分)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产,其中x0.每件的售价为18万元,每件 的成本y(万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(件)成反比,经市场调研
9、发 现,月需求量x与月份n(n为整数,1n12)符合关系式x=2n2-2kn+9(k+3)(k为常数),且得到了下表中的数据.,(1)求y与x满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元; (2)求k,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损; (3)在这一年12个月中,若第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大,求m.,解析 (1)由题意设y=a+ ,由表中数据, 得 解得 y=6+ . (3分) 由题意,若12=18- ,则 =0,x0, 0. 不可能. (5分) (2)将n=1,x=120代入x=2n2-2kn+9(k+3),得 120=2-2k+9k+27. 解得k=13, 将n=2,
10、x=100代入x=2n2-26n+144也符合. k=13. (6分),由题意,得18=6+ ,求得x=50. 50=2n2-26n+144,即n2-13n+47=0. =(-13)2-41470,方程无实根. 不存在. (9分) (3)第m个月的利润W=x(18-y)=18x-x =12(x-50)=24(m2-13m+47), 第(m+1)个月的利润W=24(m+1)2-13(m+1)+47=24(m2-11m+35). 若WW,W-W=48(6-m),m取最小1,W-W=240最大. 若WW,W-W=48(m-6),m+112,m11, m取最大11,W-W=240最大. m=1或11.
11、 (12分),5.(2015河北,25,11分)如图,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C. (1)l经过点B,求它的解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标; (2)设点C的纵坐标为yC,求yC的最大值,此时l上有两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1x20,比较y1与y2的大小; (3)当线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是14时,求h的值.,解析 (1)把x=2,y=1代入y=-(x-h)2+1,得h=2. l的解析式为y=-(x-2)2+1(或y=-x2+4x-3). (2分) 对称轴为直线x=2,顶点
12、为B(2,1). (4分) (2)点C的横坐标为0,则yC=-h2+1, 当h=0时,yC有最大值,为1. (5分) 此时,l为y=-x2+1,对称轴为y轴, 当x0时,y随着x的增大而减小, x1x20时,y1y2. (7分) (3)把线段OA分成14两部分的点为(-1,0)或(-4,0). 把x=-1,y=0代入y=-(x-h)2+1,得h=0或h=-2. 但h=-2时,线段OA被分为三部分,不合题意,舍去.同样,把x=-4,y=0代入y=-(x-h)2+1,得h=-5或h=-3(舍去). h的值为0或-5. (11分),思路分析 (1)把点B的坐标代入函数解析式,列出关于h的方程,可以求
13、得h的值;利用抛物线的解析式得到 该图象的对称轴和顶点坐标; (2)把点C的坐标代入函数解析式得到yC=-h2+1,则由抛物线的性质易得yC的最大值,并可以求得此时抛物线 的解析式,根据抛物线的增减性来判断y1与y2的大小; (3)根据已知条件“O(0,0),A(-5,0),线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是14”可以推知把线段OA 分为两部分的点的坐标分别是(-1,0),(-4,0).由抛物线上点的坐标特征可以求得h的值.,易错警示 解答第(3)问时,注意对h的值根据实际意义进行取舍.,6.(2014河北,24,11分)如图,22网格(每个小正方形的边长为1)中有A,B,C,D,E,
14、F,G,H,O九个格点.抛物线l的 解析式为y=(-1)nx2+bx+c(n为整数). (1)n为奇数,且l经过点H(0,1)和C(2,1),求b,c的值,并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点; (2)n为偶数,且l经过点A(1,0)和B(2,0),通过计算说明点F(0,2)和H(0,1)是否在该抛物线上; (3)若l经过这九个格点中的三个, 写出所有满足这样条件的抛物线条数.,解析 (1)当n为奇数时,y=-x2+bx+c. 点H(0,1)和C(2,1)在该抛物线上, 解得 (4分) 格点E是该抛物线的顶点. (5分) (2)当n为偶数时,y=x2+bx+c. 点A(1,0)和B(2,0)在该
15、抛物线上, 解得 y=x2-3x+2. (7分 ) 当x=0时,y=21. 点F(0,2)在该抛物线上,而点H(0,1)不在该抛物线上. (9分) (3)所有满足条件的抛物线共有8条. (11分),注:当n为奇数时,由(1)中的抛物线平移又得3条抛物线,如图1;当n为偶数时,由(2)中的抛物线平移又得3条抛 物线,如图2.共8条. 图1,图2,考点一 二次函数的图象与性质,B组 20152019年全国中考题组,1.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为 ( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4,答案 B 抛物线经过(-2,n)和(
16、4,n)两点, 解得 故选B.,一题多解 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,抛物线的对称轴为直线x= =1,即 =1,b=2,n=-(-2)2+ 2(-2)+4=-4.,2.(2019甘肃兰州,11,4分)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是 ( ) A.2y1y2 B.2y2y1 C.y1y22 D.y2y12,答案 A 由y=-(x+1)2+2知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,y的最大值为2,在对称轴右侧y随x的增大而 减小,又1y1y2,故选A.,3.(2018四川成都,10,3分)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说
17、法正确的是 ( ) A.图象与y轴的交点坐标为(0,1) B.图象的对称轴在y轴的右侧 C.当x0时,y的值随x值的增大而减小 D.y的最小值为-3,答案 D 因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3,所以,当x=0时,y=-1,选项A错误;该函数图象的对称轴是直线x=-1,选项 B错误;当x-1时,y随x的增大而减小,选项C错误;当x=-1时,y取得最小值,此时y=-3,选项D正确.故选D.,4.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y0,则这条抛物线的顶点一定在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案 C 当
18、x=1时,y=a+2a-1+a-30,解得a1,又根据抛物线顶点坐标公式可得- =- 0, = = 0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.,5.(2017天津,12,3分)已知抛物线y=x2-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点 M平移后的对应点M落在x轴上,点B平移后的对应点B落在y轴上.则平移后的抛物线解析式为 ( ) A.y=x2+2x+1 B.y=x2+2x-1 C.y=x2-2x+1 D.y=x2-2x-1,答案 A 令y=0,则x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3, A(1,0),B(3,0). y=x2-4x+3=(x-2)
19、2-1,点M的坐标为(2,-1), 平移该抛物线,使点M平移后的对应点M落在x轴上,点B平移后的对应点B落在y轴上, 抛物线向上平移了1个单位长度,向左平移了3个单位长度, 平移后的抛物线解析式为y=(x+1)2=x2+2x+1,故选A.,解题关键 正确得出平移的方向和距离是解题的关键.,6.(2017甘肃兰州,18,4分)如图,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,则Q点的坐标 为 .,答案 (-2,0),解析 P,Q两点关于对称轴x=1对称,则P,Q两点到对称轴x=1的距离相等,设点Q的横坐标为m,则 =1,解 得m=-2.Q点的坐标为(-2,0).
20、,7.(2018陕西,24,10分)已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C. (1)求A、B、C三点的坐标,并求ABC的面积; (2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L,且L与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交 于点C,要使ABC和ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.,解析 (1)令y=0,得x2+x-6=0, 解得x=-3或x=2, A(-3,0),B(2,0). (2分) AB=5, 令x=0,得y=-6, C(0,-6), (3分) OC=6, SABC= ABOC= 56=15. (4分)
21、(2)由题意,得AB=AB=5. 要使SABC=SABC,只要抛物线L与y轴的交点为C(0,-6)或C(0,6)即可. 设所求抛物线L:y=x2+mx+6,y=x2+nx-6. (7分) 又知,抛物线L与抛物线L的顶点纵坐标相同, = , = , 解得m=7,n=1(n=1舍去). 抛物线L的函数表达式为y=x2+7x+6或y=x2-7x+6或y=x2-x-6. (10分),考点二 二次函数与a、b、c的关系 1.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是 ( ) A.c0 B.b2-4ac0 C.a-b+c0 D
22、.图象的对称轴是直线x=3,答案 D 抛物线与y轴的正半轴相交,所以c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1时,y=a-b+c, 由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x= =3,选项D正确,故选D.,2.(2019贵州贵阳,10,3分)在平面直角坐标系内,已知点A(-1,0),点B(1,1)都在直线y= x+ 上,若抛物线y=ax2-x +1(a0)与线段AB有两个不同的交点,则a的取值范围是 ( ) A.a-2 B.a C.1a 或a-2 D.-2a,答案 C 令ax2-x+1= x+ ,即ax2- x+ =0,若直线与抛物线有两个不同的交
23、点,则有 -4 a0,解得a 0时, 解得a1,1a .综上所述,1a 或a-2,故选C.,解后反思 解答本题的关键是正确理解直线y= x+ 以及线段与抛物线有2个不同的交点的含义,这类问 题常常利用数形结合法进行解题.,3.(2018湖北襄阳,9,3分)已知二次函数y=x2-x+ m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是 ( ) A.m5 B.m2 C.m2,答案 A 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,所以b2-4ac0,即(-1)2-41 0,解得m5.故选A.,4.(2018山东滨州,10,3分)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与
24、x轴交于 点A、点B(-1,0),则二次函数的最大值为a+b+c;a-b+c0时,-1x3.其中正确的个数 是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 由图象可知,当x=1时,函数值取到最大值,最大值为a+b+c,故正确;因为抛物线经过点B(-1,0),所 以当x=-1时,y=a-b+c=0,故错误;因为该函数图象与x轴有两个交点A、B,所以b2-4ac0,故错误;因为点A 与点B关于直线x=1对称,所以A(3,0),根据图象可知,当y0时,-1x3,故正确.故选B.,5.(2018新疆,15,5分)如图,已知抛物线y1=-x2+4x和直线y2=2x.我们规定:当x取任意一个值时,x
25、对应的函数值分 别为y1和y2.若y1y2,取y1和y2中较小值为M;若y1=y2,记M=y1=y2.当x2时,M=y2;当x0时,M随x的增大而增 大;使得M大于4的x的值不存在;若M=2,则x=1.上述结论正确的是 (填写所有正确结论的序号).,答案 ,解析 由题图可知,当x2时,y1y2,所以M=y1,错误;当x0时,M=y1,在抛物线对称轴的左侧,y1随x的增大而增 大,则M随x的增大而增大,正确;当x=2时,M=y1=4,这是M的最大值,所以使得M大于4的x的值不存在,正 确;若M=2,则x=1或 +2,错误.故结论正确的是.,6.(2017湖北武汉,16,3分)已知关于x的二次函数
26、y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2 m3,则a的取值范围是 .,答案 -3a-2或 a,解析 把(m,0)代入y=ax2+(a2-1)x-a得,am2+(a2-1)m-a=0. 解得m= = , m1= ,m2=-a, 2m3,2 3或2-a3, 解得 a 或-3a-2.,思路分析 把交点坐标代入二次函数解析式,可得到关于m的一元二次方程,利用公式法将m用含a的式子 表示出来,再根据2m3,解不等式即可.,7.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经 过点A,将点
27、B向右平移5个单位长度,得到点C. (1)求点C的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.,解析 (1)将x=0代入y=4x+4得y=4, B(0,4). 点B向右平移5个单位长度得到点C, C(5,4). (2)将y=0代入y=4x+4得x=-1, A(-1,0). 将点A(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a, 抛物线的对称轴为直线x=- =- =1. (3)抛物线始终过点A(-1,0),且对称轴为直线x=1,由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直线x=1的对称 点(3,0). a
28、0时,如图1.,图1 将x=5代入抛物线的解析式得y=12a, 12a4, a . a0,且抛物线顶点不在线段BC上时,如图2.,图2 将x=0代入抛物线得y=-3a, 抛物线与线段BC恰有一个公共点, -3a4, a- . 若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.,图3 将点(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a, a=-1. 综上所述,a 或a- 或a=-1.,解题关键 解决本题第(3)问的关键是要先确定题目中抛物线所过的定点,进而通过临界点求出a的取值范 围.同时不要忽略抛物线顶点是公共点的情况.,考点三 二次函数的实际应用 1.(2018江苏连云港,7,3分)
29、已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式 h=-t2+24t+1.则下列说法中正确的是 ( ) A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B.点火后24 s火箭落于地面 C.点火后10 s的升空高度为139 m D.火箭升空的最大高度为145 m,答案 D 当t=9时,h=136,当t=13时,h=144,所以点火后9 s和点火后13 s的升空高度不相同,选项A错误;当t= 24时,h=10,所以点火后24 s火箭离地面的高度为1 m,选项B错误;当t=10时,h=141,选项C错误;由h=-t2+24t+ 1=-(t-12)2+145知火箭升空的最
30、大高度为145 m,选项D正确.故选D.,2.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t- t2. 在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是 m.,答案 24,解析 y=60t- t2=- (t-20)2+600,即t=20时,y取得最大值,即滑行距离达到最大,此时滑行距离是600 m.当t=16 时,y=6016- 162=576,所以最后4 s滑行的距离为600-576=24 m.,3.(2019湖北武汉,22,10分)某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的 一次函数.其售价
31、、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:,注:周销售利润=周销售量(售价-进价) (1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围); 该商品进价是 元/件;当售价是 元/件时,周销售利润最大,最大利润是 元; (2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件.该商店在今 后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1 400元,求m的值.,解析 (1)设y与x的函数解析式为y=kx+b, 依题意有 解得 y与x的函数解析式是y=-2x+200. 40;70;1 800. 进价是50-(1 000100
32、)=40元/件. w=(-2x+200)(x-40)=-2(x-70)2+1 800,当售价为70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1 800元. (2)依题意有w=(-2x+200)(x-40-m) =-2x2+(2m+280)x-8 000-200m =-2 + m2-60m+1 800, m0, 70, -20,抛物线开口向下,x65,w随x的增大而增大, 当x=65时,w有最大值,为(-265+200)(65-40-m), (-265+200)(65-40-m)=1 400, m=5. 若周销售最大利润是1 400元,则m的值为5.,4.(2018安徽,22,12分)小明大学毕业回家
33、乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计,盆景的平均每盆 利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现: 盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元; 花卉的平均每盆利润始终不变. 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利 润分别为W1,W2(单位:元). (1)用含x的代数式分别表示W1,W2; (2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大?最大总利润是多少?,解析 (1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8 000, W2=100-(50+
34、x)19=(50-x)19=-19x+950. (6分) (2)W=W1+W2=-2x2+41x+8 950=-2 + . x取整数, 当x=10时,总利润W最大,最大总利润是9 160元. (12分),思路分析 (1)根据题意分别列出W1,W2关于x的函数表达式;(2)将二次函数的解析式配方,根据x取整数及二 次函数的性质求出W的最大值.,5.(2018山东青岛,22,10分)某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本),成功研发出一种产品.公 司按订单生产(产量=销售量),第一年该产品正式投产后,生产成本为6元/件.此产品年销售量y(万件)与售价x (元/件)之间满足函数关系式y
35、=-x+26. (1)求这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式; (2)该产品第一年的利润为20万元,那么该产品第一年的售价是多少? (3)第二年,该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发,使产品的生产成本降为 5元/件.为保持市场占有率,公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价,另外受产能限制,销售量无法超 过12万件.请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元.,解析 (1)根据题意,得W1=xy-6y-80=(-x+26)x-6(-x+26)-80=-x2+26x+6x-156-80=-x2+32x-236. 所以这种产品第一年的利
36、润W1(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式为W1=-x2+32x-236. (2)该产品第一年的利润为20万元,W1=20, 即-x2+32x-236=20, x2-32x+256=0, (x-16)2=0,x1=x2=16. 答:该产品第一年的利润为20万元,那么该产品第一年的售价是16元/件. (3)依题意得,W2=yx-5y-20=(-x+26)x-5(-x+26)-20, W2=-x2+31x-150. 公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价,x16, 受产能限制,销售量无法超过12万件,-x+2612, 解得x14, W2=-x2+31x-150(14x16),-10,其图象
37、的对称轴为直线x= , x=14时,W2有最小值,为88. 答:该公司第二年的利润W2至少为88万元.,6.(2016湖北武汉,22,10分)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.已知产销两 种产品的有关信息如下表:,其中a为常数,且3a5. (1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元,直接写出y1,y2与x的函数关系式; (2)分别求出产销两种产品的最大年利润; (3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由.,解析 (1)y1=(6-a)x-20, y2=-0.05x2+10x-40. (2分) (2)3a5,6-a0, y1随x的增
38、大而增大. x200, 当x=200时,y1取得最大值1 180-200a. (4分) y2=-0.05x2+10x-40=-0.05(x-100)2+460, (5分) 而-0.050,当x100时,y2随x的增大而增大. x80,当x=80时,y2取得最大值440. 综上,产销甲种产品,最大年利润为(1 180-200a)万元,产销乙种产品,最大年利润为440万元. (7分) (3)解法一:设w=1 180-200a-440=-200a+740. -2000,w随a的增大而减小. 由-200a+740=0,解得a=3.7. (9分),3a5, 当3a3.7. (9分) 3a5, 当3a3.
39、7时,选择产销甲种产品; 当a=3.7时,生产甲、乙两种产品的利润相同; 当3.7a5时,选择产销乙种产品. (10分),评析 函数的应用题大多数以生活情境为背景命题,解答此类问题,应在弄懂题意的前提下,建立函数模型, 然后结合函数的图象与性质以及方程(组)、不等式的知识解答.,考点四 二次函数与几何知识相结合的综合应用 1.(2016陕西,10,3分)已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连接AC、BC, 则tanCAB的值为 ( ) A. B. C. D.2,答案 D 不妨设点A在点B左侧, 如图,作CDAB交AB于点D,当y=0时,-x2-2x+3
40、=0, 解得x1=-3,x2=1, 所以A(-3,0),B(1,0), 所以AB=4,因为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 所以顶点C(-1,4),所以AD=2,CD=4, 所以tanCAB= =2,故选D.,评析 本题考查了二次函数的图象和性质,求某个角的三角函数值.属于容易题.,2.(2019吉林,26,10分)如图,抛物线y=(x-1)2+k与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C(0,-3), P为抛物线上一点,横坐标为m,且m0. (1)求此抛物线的解析式; (2)当点P位于x轴下方时,求ABP面积的最大值; (3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C
41、和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h. 求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围; 当h=9时,直接写出BCP的面积.,解析 (1)把(0,-3)代入y=(x-1)2+k,得 -3=(0-1)2+k, 解得k=-4. 所以此抛物线的解析式为y=(x-1)2-4, 即y=x2-2x-3. (2分) (2)令y=0,得(x-1)2-4=0, 解得x1=-1,x2=3. 所以A(-1,0),B(3,0), 所以AB=4. 解法一:由(1)知,抛物线顶点坐标为(1,-4). 由题意知,当点P位于抛物线顶点时,ABP的面积取得最大值, 最大值为 44=8. (5分),解法二:由题意,得P(m,
42、m2-2m-3), 所以SABP= 4(-m2+2m+3) =-2m2+4m+6 =-2(m-1)2+8. 所以当m=1时,SABP有最大值8. (5分) (3)当02时,h=m2-2m-3-(-4)=m2-2m+1. (9分) BCP的面积为6. (10分) 提示:当h=9时,即m2-2m+1=9, 解得m1=4,m2=-2(舍). 所以点P的坐标为(4,5),可求得BCP的面积为6.,评分说明:(1)抛物线的解析式写为y=(x-1)2-4不扣分;(2)三段取值范围共1分,m=1,m=2写在哪一段皆可,每个 解析式1分.,3.(2018河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x
43、轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x-5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点A的直线交直线BC于点M. 当AMBC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标; 连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.,解析 (1)直线y=x-5交x轴于点B,交y轴于点C, B(5,0),C(0,-5), 抛物线y=ax2+6x+c过点B,C, 抛物线的解析式为y=-x2+6x-5. (3分) (2)OB=OC=5,BOC=90,ABC=45. 抛物线y
44、=-x2+6x-5交x轴于A,B两点, A(1,0).AB=4.AMBC,AM=2 . PQAM,PQBC. 若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,则PQ=AM=2 . 过点P作PDx轴交直线BC于点D,则PDQ=45. PD= PQ=4. (5分),设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5). 分两种情况讨论如下: (i)当点P在直线BC上方时, PD=-m2+6m-5-(m-5)=-m2+5m=4. m1=1(舍去),m2=4. (7分) (ii)当点P在直线BC下方时, PD=m-5-(-m2+6m-5)=m2-5m=4. m3= ,m4= . 综上,点P的横坐标为4或
45、或 . (9分) M 或 . (11分) 【提示】作AC的垂直平分线,交BC于点M1,连接AM1,过点A作ANBC于点N,将ANM1沿AN翻折,得到,ANM2,点M1,M2的坐标即为所求.,思路分析 (1)求出直线y=x-5与坐标轴的两个交点B,C的坐标,用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)因为 BOC是等腰直角三角形,得ABC=45,求得AM=2 ,因为以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,得 PQ=AM=2 ,过点P作PDx轴交BC于D,易得PD=4,设出点P的坐标,则|yP-yD|=4,分类讨论,解方程求出点P 的坐标;(3)作线段AC的垂直平分线,交BC于点M1,易得AM1B
46、=2ACB,作ANBC于点N,作点M1关于直线 AN的对称点M2,则AM2C=2ACB,分别计算求出两个点M的坐标.,疑难突破 本题为二次函数的综合题,考查知识点较多,难度大.第(1)问是常见的用待定系数法求抛物线的 解析式;第(2)问由PQ的长得出PD的长,设出点P的坐标,根据PD=4,分类讨论列出方程,解方程求出点P的坐 标;第(3)问找使直线AM与BC夹角为2ACB的交点M,依据是“等腰三角形顶角的外角等于2倍的底角”, 作AC的垂直平分线确定点M1,得AM1B=2ACB,由等腰三角形两底角AM2C=AM1B,用对称性确定点 M2,分别计算可以求出两个点M的坐标.,4.(2018甘肃兰州
47、,28,12分)如图,抛物线y=ax2+bx-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点,与y轴交于点C,连接AB,AC,BC. (1)求抛物线的表达式; (2)求证:AB平分CAO; (3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得ABM是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若 不存在,请说明理由.,解析 (1)把A(-3,0),B(5,-4)代入y=ax2+bx-4得 解得 抛物线的表达式为y= x2- x-4. (2)证明:由(1)知,点C的坐标为(0,-4),点A(-3,0), AC= =5. 点B(5,-4),点C(0,-4),BCx轴,BC=5, AC=BC,CAB=ABC.
48、 BCx轴,ABC=BAO, CAB=BAO,即AB平分CAO. (3)存在, , .,提示:解法一:设直线AB的解析式为y=kx+b(k0), 把A(-3,0),B(5,-4)代入y=kx+b得 解得 直线AB的解析式为y=- x- . 当BAM=90时,如图所示.,抛物线的对称轴为x=- =- = . xH=xG=xM= ,yG=- - =- ,GH= . GHA=GAM=90,MAH=90-GAH=AGM. AHG=MHA=90,MAH=AGM,AHGMHA, = . = ,解得MH=11, 点M的坐标为 . 当ABM=90时,如图所示.,B(5,-4),xD=xG=xM= , BD=5- = . xG= ,yG=- - =- ,GH
