1、A组 河北中考题组,1.(2018河北,12,2分)用一根长为a(单位:cm)的铁丝,首尾相接围成一个正方形.要将它按下图的方式向外等 距扩1(单位:cm),得到新的正方形,则这根铁丝需增加 ( ) A.4 cm B.8 cm C.(a+4)cm D.(a+8)cm,答案 B 将正方形按如题图所示的方式向外等距扩1 cm得到新的正方形,新的正方形边长增加2 cm,周长 增加8 cm,则这根铁丝需增加8 cm,故选B.,2.(2017河北,7,3分)若ABC的每条边长增加各自的10%得ABC,则B的度数与其对应角B的度数相 比 ( ) A.增加了10% B.减少了10% C.增加了(1+10%)
2、 D.没有改变,答案 D ABC的每条边长增加各自的10%即变为原来的1.1倍,得到ABC,根据相似三角形的判定方 法可得ABCABC,所以B=B,故选D.,3.(2016河北,15,2分)如图,ABC中,A=78,AB=4,AC=6.将ABC沿图示中的虚线剪下,剪下的阴影三角形 与原三角形 的是 ( ),答案 C 选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等,可得阴影三角形与原三角形 相似;选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是23,且两边的夹角相等,所以两个三角形也 是相似的,故选C.,4.(2014河北,13,3分)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下: 对于两
3、人的观点,下列说法正确的是 ( ) A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对,答案 A 由题意知新三角形与原三角形的对应角相等,所以两个三角形相似,甲的观点正确;新矩形与原 矩形的角对应相等,但边不对应成比例,所以新矩形与原矩形不相似,乙的观点也正确,故选A.,易错警示 此题考查相似三角形以及相似多边形的判定.学生易把对应角相等的两个四边形错认为相似.,5.(2012河北,23,9分),图1,如图1,点E是线段BC的中点,分别以B,C为直角顶点的EAB和EDC均是等腰直角三角形,且在BC的同侧. (1)AE和ED的数量关系为 ,AE和ED的位置关系为 ; (2)在图1中
4、,以点E为位似中心,作EGF与EAB位似,点H是BC所在直线上的一点,连接GH,HD,分别得到 了图2和图3. 在图2中,点F在BE上,EGF与EAB的相似比是12,H是EC的中点.,求证:GH=HD,GHHD. 在图3中,点F在BE的延长线上,EGF与EAB的相似比是k1,若BC=2,请直接写出CH的长为多少时,恰 好使得GH=HD且GHHD(用含k的代数式表示).,图2,图3,解析 (1)AE=ED;AEED. (2分) (2)证明:由题意得,B=C=90,AB=BE=EC=DC. EGF与EAB位似且相似比是12, GFE=B=90,GF= AB,EF= EB. GFE=C. EH=HC
5、= EC,GF=HC,FH=FE+EH= EB+ EC= BC=EC=CD. HGFDHC. (5分) GH=HD,GHF=HDC.又HDC+DHC=90,GHF+DHC=90.GHD=90,GHHD. (7分) CH的长为k. (9分),评析 本题考查全等三角形、相似(位似)三角形的相关知识.由特殊图形猜想结论,通过推理论证得到一般 结论是解决此类问题的基本思路,题目较难.,考点一 相似的有关概念 1.(2017甘肃兰州,1,4分)已知2x=3y(y0),则下列结论成立的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,B组 20152019年全国中考题组,答案 A 在等式左右两边同时除以
6、2y(y0),可得 = ,故选A.,2.(2017浙江杭州,3,3分)如图,在ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DEBC.若BD=2AD,则 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 B 利用平行线分线段成比例可得 = = ,故选B.,3.(2018四川成都,13,4分)已知 = = ,且a+b-2c=6,则a的值为 .,答案 12,解析 设 = = =k(k0), 则a=6k,b=5k,c=4k, a+b-2c=6,6k+5k-8k=6. 解得k=2.a=6k=12.,4.(2015江苏扬州,15,3分)如图,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,同一条直
7、线上 的三个点A、B、C都在横格线上.若线段AB=4 cm,则线段BC= cm.,答案 12,解析 如图,过点A作AECE于点E,交BD于点D, 练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等, = ,即 = ,BC=12 cm.,考点二 相似三角形的性质与判定 1.(2019重庆A卷,3,4分)如图,ABOCDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案 C ABOCDO, = . OB=6,OD=3,CD=2, = ,AB=4,故选C.,2.(2019陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6.若点E、F分别在AB、
8、CD上,且BE=2AE,DF=2FC,G、 H分别是AC的三等分点,则四边形EHFG的面积为 ( ) A.1 B. C.2 D.4,答案 C 在矩形ABCD中,AD=BC=6,AB=CD=3, BE=2AE,E是AB的三等分点(靠近点A), G是AC的三等分点(靠近点A), EGBC且EG= BC=2. 同理可得HFAD且HF= AD=2. 四边形EHFG为平行四边形. 又EG与HF间的距离为 AB, S四边形EHFG=2 AB=2.,思路分析 首先证明EGBC,EG= BC,同理可得FHAD,FH= AD,进而可得四边形EHFG为平行四边形, 然后求出平行四边形的底和高即可得解.,3.(20
9、18重庆,5,4分)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm和9 cm, 另一个三角形的最短边长为2.5 cm,则它的最长边为 ( ) A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm,答案 C 设所求最长边为x cm,由题意知两个三角形相似,根据相似三角形的三边对应成比例,可列等式 = ,解得x=4.5,故选C.,4.(2018新疆乌鲁木齐,7,4分)如图,在ABCD中,E是AB的中点,EC交BD于点F,则BEF与DCB的面积比 为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 四边形ABCD是平行四边形,E是AB的中点, = = , = , =
10、, = .,5.(2018内蒙古包头,12,3分)如图,在四边形ABCD中,BD平分ABC,BAD=BDC=90,E为BC的中点,AE与 BD相交于点F.若BC=4,CBD=30,则DF的长为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 如图,连接DE. BD平分ABC,CBD=30,1=2=30. 在RtBCD中,BD=BCcos 30=2 . 在RtABD中,AB=BDcos 30=3. E为BC的中点,ED=BE=2,3=2=1. DEAB,AFBEFD, = ,即 = ,DF= .故选D.,思路分析 根据题意得,在RtABD和RtBCD中,ABD=CBD=30,由BC=4,求得BD=2
11、,进而求得AB =3,由E是BC的中点,得ED=BE,进而可得DEAB,所以AFBEFD,进而求出DF的长.,解题关键 本题考查了含30角的直角三角形的性质,三角形相似的判定和性质.解答本题的关键是作出Rt BCD斜边上的中线.,6.(2016安徽,8,4分)如图,ABC中,AD是中线,BC=8,B=DAC,则线段AC的长为 ( ) A.4 B.4 C.6 D.4,答案 B 由AD是中线可得DC= BC=4. B=DAC,C=C, ADCBAC, = ,AC2=BCDC=84=32, AC=4 ,故选B.,评析 本题考查相似三角形的判定与性质,以及三角形的中线,属容易题.,7.(2019陕西,
12、20,7分)小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小组 的同学们带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示.于是,他们 先在古树周围的空地上选择了一点D,并在点D处安装了测倾器DC,测得古树的顶端A的仰角为45;再在BD 的延长线上确定一点G,使DG=5 m,并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿BG方向移动,当移 动到点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,此时,测得FG=2 m,小明眼睛与地面的距离EF =1.6 m,测倾器的高CD=0.5 m.已知点F、G、D、B在同一水平直线上,且EF、CD、A
13、B均垂直于FB,求这棵 古树的高AB.(小平面镜的大小忽略不计),解析 过点C作CHAB于点H,则CH=BD,BH=CD=0.5. (1分) 在RtACH中,ACH=45, AH=CH=BD. AB=AH+BH=BD+0.5. (2分) EFFB,ABFB,EFG=ABG=90. 由题意,易知EGF=AGB, EFGABG. (4分) = ,即 = . (5分) 解之,得BD=17.5. (6分) AB=17.5+0.5=18. 这棵古树的高AB为18 m. (7分),8.(2018甘肃兰州,26,8分)如图,过点C作CDAB,E是AC的中点,连接DE并延长,交AB于点F,交CB的延长线于 点
14、G.连接AD,CF. (1)求证:四边形AFCD是平行四边形; (2)若GB=3,BC=6,BF= ,求AB的长.,解析 (1)证明:E是AC的中点,AE=CE. CDAB,EAF=ECD,AFE=CDE. AFECDE,AF=CD.又AFCD, 四边形AFCD是平行四边形. (2)ABCD,GBFGCD, = .GB=3,BC=6,BF= , = ,CD= . 四边形AFCD是平行四边形,AF=CD= , AB=AF+BF= + =6.,9.(2016湖北武汉,23,10分)在ABC中,P为边AB上一点. (1)如图1,若ACP=B,求证:AC2=APAB; (2)若M为CP的中点,AC=2
15、. 如图2,若PBM=ACP,AB=3,求BP的长; 如图3,若ABC=45,A=BMP=60,直接写出BP的长. 图1,图2,图3,解析 (1)证明:ACP=B,A=A, ACPABC. (2分) = ,AC2=APAB. (3分) (2)解法一:延长PB至点D,使BD=PB,连接CD. M为CP中点,CDMB,D=PBM, (4分) PBM=ACP,D=PBM=ACP. 由(1)得AC2=APAD, (5分) 设BP=x,则22=(3-x)(3+x). 解得x= (舍去负根),即BP= . (7分) 解法二:取AP的中点E,连接EM. M为CP中点,MEAC,EM= AC=1. (4分)
16、PME=ACP, PBM=ACP,PME=PBM.,由(1)得EM2=EPEB, (5分) 设BP=x,则12= . 解得x= (舍去负根),即BP= . (7分) BP= -1. (10分),考点三 图形的位似 1.(2018山东潍坊,8,3分)在平面直角坐标系中,点P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把AOB放大 到原来的两倍,则点P的对应点的坐标为 ( ) A.(2m,2n) B.(2m,2n)或(-2m,-2n) C. D. 或,答案 B 当放大后的AOB与AOB在原点O同侧时,点P的对应点的坐标为(2m,2n),当放大后的AOB 与AOB在原点O两侧时,点P的对应点的坐标
17、为(-2m,-2n),故选B.,2.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形,若OAOA=23,则 四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为 ( ) A.49 B.25 C.23 D. ,答案 A 由位似图形的性质知 = = ,所以 = = .故选A.,3.(2016山东烟台,7,3分)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位 似图形,且相似比为 ,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为 ( ) A.(3,2) B.(3,1) C.(2,2) D.(4,2),答案 A 因为正方形BE
18、FG的边长为6,正方形ABCD与正方形BEFG的相似比为 ,所以正方形ABCD的边 长为2,设OA=x,易知OBCOEF,所以 = = ,所以 = ,解得x=1,所以点C的坐标为(3,2),故选A.,4.(2018山东菏泽,13,3分)如图,OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为34,OCD=90, AOB=60,若点B的坐标是(6,0),则点C的坐标是 .,答案 (2,2 ),解析 由OAB与OCD位似,相似比为34,B(6,0),得OD=6 =8.在RtCOD中,OC= OD=4.作CEOD 于点E,在RtOCE中,OE= OC=2,CE=2 ,C(2,2 ).,5.(201
19、8安徽,17,8分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1010网格中,已知点O,A,B均为网格 线的交点. (1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1, B1).画出线段A1B1; (2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90得到线段A2B1.画出线段A2B1; (3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位.,解析 (1)线段A1B1如图所示. (3分) (2)线段A2B1如图所示. (6分) (3)20. (8分) 提示:根据(1)(2)可知四边形AA1B1A2是正方形,边长为 =2
20、 ,以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的 面积为(2 )2=20(个平方单位).,考点一 相似的有关概念 1.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,点F为BC边上一点, 连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,C组 教师专用题组,答案 C 根据平行线分线段成比例定理可知 = , = , = , = ,所以选项A、B、D错 误,选项C正确.故选C.,2.(2016浙江杭州,2,3分)如图,已知直线abc,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C;直线n分别交直线a,b,
21、c于 点D,E,F.若 = ,则 = ( ) A. B. C. D.1,答案 B abc, = ,又 = , = ,故选B.,关键提示 本题考查平行线分线段成比例,关键是找准对应线段.,3.(2018云南,5,3分)如图,已知ABCD,若 = ,则 = .,答案,解析 ABCD,A=C,B=D, AOBCOD. = = .,4.(2017吉林长春,11,3分)如图,直线abc,直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F. 若ABBC=12,DE=3,则EF的长为 .,答案 6,解析 abc, = , = ,DE=3,EF=6.,5.(2016江苏南京,15,2分)如图,AB
22、、CD相交于点O,OC=2,OD=3,ACBD.EF是ODB的中位线,且EF=2,则 AC的长为 .,答案,解析 EF是ODB的中位线,OE= OD= ,EFBD,ACBD,EFBD,ACEF, = , = , AC= .,考点二 相似三角形的性质与判定 1.(2017四川绵阳,6,3分)为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随 身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的 顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm,镜面中心C距旗杆底部D 的距离为4 m,如图所示.已知小丽
23、同学的身高是1.54 m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离为4 cm,则旗杆DE的 高度等于 ( ) A.10 m B.12 m C.12.4 m D.12.32 m,答案 B 由题意可得ACB=ECD,ABC=EDC, ABCEDC, = , = ,ED=12 m,故选B.,解题思路 本题是学科综合题,关键是根据反射角等于入射角,得出ACB=ECD,从而利用ABC EDC得出ED的长.,2.(2019四川成都,25,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已 知点A的坐标为(5,0),点B在x轴的上方,OAB的面积为 ,则OAB内部(不含边界)的整点的个数
24、为 .,答案 4或5或6,解析 A(5,0),SOAB= ,点B在x轴的上方,点B的纵坐标为3.设边OB,AB分别与直线y=1交于点E,F,与直 线y=2交于点C,D,则BC=CE=EO,CDEFOA,CD= OA= ,EF= OA= ,线段CD可以覆盖1个或2个 整点,线段EF可覆盖3个或4个整点,OAB内部(不含边界)的整点的个数为4或5或6.,3.(2019内蒙古包头,20,3分)如图,在RtABC中,ABC=90,BC=3,D为斜边AC的中点,连接BD,F是BC边上的 动点(不与点B,C重合),过点B作BEBD交DF延长线于点E,连接CE.下列结论: 若BF=CF,则CE2+AD2=D
25、E2; 若BDE=BAC,AB=4,则CE= ; ABD和CBE一定相似; 若A=30,BCE=90,则DE= . 其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号),答案 ,解析 当BF=CF时,D为AC的中点,ABC=90,BD=AD=CD,DF垂直平分线段BC,CE=BE,而BE BD,BD2+BE2=AD2+CE2=DE2,故正确;当BDE=BAC时,D为AC的中点,ABC=90,BD=AD, DBA=BAC,BDE=DBA,DEAB,点F为BC的中点,由得CD2+CE2=DE2,DCE=90,在Rt ABC中,AC= =5,CD= ,易证CDEBAC,可得 = ,解得CE= ,故正确;ABD
26、一定是 等腰三角形,而CBE不一定是等腰三角形,故错;当A=30时,ABC=90,DBE=90,ABD=30, DBC=60,CBE=30,BD=BC=3,BCE=90,BE= =2 ,在RtDBE中,DE= = ,故正确.,难点突破 的突破口是抓住条件推出DF是线段BC的垂直平分线,并利用垂直平分线的性质推理;的突 破口是抓住条件推出DCE=90,从而利用相似比求出CE;的突破口是抓住A=30,ABC=90,DBE= 90,推出BD和BE的长.,4.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC. 若APD是等腰三角
27、形,则PE的长为 .,答案 3或,解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD= =10,ABAD,根据PBE DBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得 = = PE= ;当AP=PD时,P点为BD的中 点,PE= CD=3,故答案为3或 .,5.(2016湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5 ,则BD长为 .,答案 2,解析 如图,连接AC,过点D作DEBC,交BC的延长线于E.ABC=90,AB=3,BC=4,AC=5,CD=10,DA =5 ,AC2+CD2=AD2,ACD=90
28、,ACB+DCE=90,ACB+BAC=90,BAC=DCE,又 ABC=DEC=90,ABCCED, = = ,即 = = ,CE=6,DE=8.在RtBED中,BD= = =2 .,6.(2019湖北武汉,23,10分)在RtABC中,ABC=90, =n,M是BC边上一点,连接AM. (1)如图1,若n=1,N是AB延长线上一点,CN与AM垂直.求证:BM=BN; (2)过点B作BPAM,P为垂足,连接CP并延长交AB于点Q. 如图2,若n=1,求证: = ; 如图3,若M是BC的中点,直接写出tanBPQ的值(用含n的式子表示).,解析 (1)证明:延长AM交CN于点H, AM与CN垂
29、直,ABC=90, BAM+N=90,BCN+N=90, BAM=BCN. n=1,ABC=90, AB=BC,ABC=CBN. ABMCBN, BM=BN.,(2)证明:过点C作CDBP交AB的延长线于点D, 则AM与CD垂直. 由(1)得BM=BD. CDBP, = ,即 = . tanBPQ= . 详解:过点C作CKBP交AB的延长线于点K,延长AM,交CK于点E,设BC=a, PBCK,QPB=QCK,AECK, tanBPQ=tanQCK= = = . PMBBMA, = = = . tanBPQ= .,解题关键 解决第(2)问第2小题的关键是要借助第(1)问的解题过程构造全等三角形
30、,进而通过相似三角形 的判定与性质,发现对应边的比.,7.(2019吉林长春,22,9分)教材呈现:如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容. 例2 如图23.4.4,在ABC中,D、E分别是边BC、AB的中点,AD、CE相交于点G.求证: = = . 图23.4.4,证明:连接ED. 请根据教材提示,结合图,写出完整的证明过程. 结论应用: 在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE、BD交于点F. (1)如图,若平行四边形ABCD为正方形,且AB=6,则OF的长为 ; (2)如图,连接DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为 ,则平行四边形ABCD的
31、面积为 .,解析 证明:D、E分别是BC、AB的中点, DEAC,DE= AC, DEGACG, = = =2, = =3, = = . (1) . 详解:易证BEFDAF,相似比为12, 易得BF= BD,又BO= BD,OF= BD- BD= BD. 易求BD=6 ,OF= . (2)6.,详解:连接OE, 由(1)知BF= BD,OF= BD, =2, BEF的边BF上的高和OEF的边OF上的高相同, BEF和OEF的面积比= =2, 同理,CEG和OEG的面积比为2. CEG的面积+BEF的面积=2(OEG的面积+OEF的面积)=2 =1, BOC的面积= , SABCD=4 =6.,
32、8.(2018江西,14,6分)如图,在ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD是ABC的平分线,BD交AC于点E.求 AE的长.,解析 BD平分ABC, ABD=CBD. ABCD,ABD=D,ABECDE. CBD=D, = .BC=CD. AB=8,CA=6,CD=BC=4, = ,AE=4.,思路分析 根据角平分线性质和平行线的性质得出D=CBD,进而可得BC=CD=4,通过ABECDE, 得出含AE的比例式,求出AE的值.,方法总结 证明三角形相似的常见方法:平行于三角形的一边的直线与其他两边或其延长线相交,所构成 的三角形与原三角形相似,相似的基本图形可分别记为“A”
33、型和“X”型,如图所示.在应用时要善于从复 杂的图形中抽象出这些基本图形.,考点三 图形的位似 1.(2018山东滨州,6,3分)在平面直角坐标系中,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8),B(10,2),若以原点O为位 似中心,在第一象限内将线段AB缩短为原来的 后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为 ( ) A.(5,1) B.(4,3) C.(3,4) D.(1,5),答案 C 以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD,端点C的横坐 标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半,又A(6,8),端点C的坐标为(3,4).故选C.,2.(2016湖北十堰,5
34、,3分)如图,以点O为位似中心,将ABC缩小后得到ABC,已知OB=3OB,则ABC与 ABC的面积比为 ( ) A.13 B.14 C.15 D.19,答案 D OB=3OB, = , 以点O为位似中心, 将ABC缩小后得到ABC, ABCABC, = = . = = ,故选D.,3.(2015甘肃兰州,5,4分)如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中心,将线段CD 放大得到线段AB,若点B的坐标为(5,0),则点A的坐标为 ( ) A.(2,5) B.(2.5,5) C.(3,5) D.(3,6),答案 B 设点A的坐标为(x,y),由位似图形的性质知
35、, = = ,得x=2.5,y=5,则点A的坐标为(2.5,5).故选B.,4.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O, = ,则 = .,答案,解析 四边形ABCD与四边形EFGH位似, OEFOAB,OFGOBC, = = , = = .,5.(2016广西南宁,21,8分)如图,在平面直角坐标系中,已知ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,- 4). (1)请画出ABC向左平移6个单位长度后得到的A1B1C1; (2)以点O为位似中心,将ABC缩小为原来的 ,得到A2B2C2,请在y轴右侧画出A2B2C2,并求出A
36、2C2B2的 正弦值.,解析 (1)A1B1C1为所求作三角形. (3分,正确作出一个点给1分) (2)A2B2C2为所求作三角形. (6分,正确作出一个点给1分) 根据勾股定理得A2C2= = , sinA2C2B2= = . (8分),一、选择题(每小题3分,共15分),20分钟 38分,1.(2018沧州期末,2)若 = ,则 的值为 ( ) A.1 B. C. D.,答案 D = , 设y=3k(k0 ),则x=4k, = = ,故选D.,2.(2018唐山路南期末,13)如图,在ABC中,DEBC,EFAB,则下列比例式正确的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案
37、D DEBC,ADEABC, = ,选项A错误; EFAB, = , 选项B错误,选项D正确; EFAB,CEFCAB, = , 选项C错误,故选D.,3.(2019石家庄质检,13)若ABC的每条边长增加各自的50%得ABC,若ABC的面积为4,则ABC的面 积是 ( ) A.9 B.6 C.5 D.2,答案 A 易得三角形各边增加前后对应边的比为23,根据相似三角形的性质可得SABCSABC=49,因 为ABC的面积为4,所以ABC的面积为9,故选A.,4.(2018石家庄长安质检,15)如图,将ABC沿着DE剪成一个小三角形ADE和一个四边形DECB,若EDBC, 四边形DECB各边的长
38、度如图所示,则剪出的小三角形ADE应是 ( ),答案 C DEBC,ADEABC, = . = ,解得AD=9,显然选项C中的小三角形符合,故选C.,5.(2018石家庄裕华一模,8)李老师在编写下面这个题目的答案时,不小心打乱了解答过程的顺序,你能帮他 调整过来吗?证明步骤正确的顺序是 ( ) 已知:如图,在ABC中, 点D,E,F分别在边AB,AC,BC上, 且DEBC,DFAC. 求证:ADEDBF. A. B. C. D.,答案 B DEBC,ADE=B, DFAC,A=BDF,ADEDBF. 证明顺序应为(或),故选B.,二、填空题(共3分) 6.(2018唐山路南一模,18)如图,
39、在平面直角坐标系中,已知A(1,0),D(3,0),ABC与DEF位似,原点O是位似 中心.若AB=1.5,则DE= .,答案 4.5,解析 ABC与DEF位似,原点O为位似中心, OABODE, = , = ,DE=4.5.,三、解答题(共20分) 7.(2019石家庄十八县二模,23)如图,直线a直线b,点M,N分别为直线a和直线b上的点,连接MN,1=70,点P 是线段MN上一动点,直线DE始终经过点P,且与直线a,b分别交于D,E,设NPE=. (1)证明:MPDNPE; (2)当MPD与NPE全等时,直接写出点P的位置; (3)当NPE是等腰三角形时,求的值.,解析 (1)证明:ab
40、,1=PNE. 又MPD=,MPDNPE. (4分) (2)当MPD与NPE全等时,点P是MN的中点. (6分) (3)当PN=PE时,PN=PE,PNE=PEN=1=70, =180-PNE-PEN=180-70-70=40; 当EP=EN时,EP=EN, =PNE=1=70; 当NP=NE时,NP=NE, =PEN= = = =55. 综上,=40或70或55. (9分),8.(2018保定莲池一模,23)如图,在等边ABC中,AB=2,ADBC,以AD,CD为邻边作矩形ADCE,将ADC绕 点D顺时针旋转一定的角度得到ADC,使点A落在CE上,连接AA,CC. (1)求AD的长; (2)
41、求证:ADACDC; (3)求CC2的值.,解析 (1)ABC为等边三角形,ADBC, BD=DC= BC=1. AD= = = . (2)证明:由旋转可知AD=AD,DC=DC,ADA=CDC, = , ADACDC. (3)在RtCDA中,AC= = = . 四边形ADCE是矩形,CE=AD= , AE= - , AA2=AE2+AE2=12+( - )2=6-2 . ADACDC, = , = , = , 解得CC2=2- .,一、选择题(每小题3分,共15分) 1.(2019邯郸一模,15)如图,在一直角三角形草坪上开辟出一块正方形花圃,正方形中有三个顶点在直角边 上,一个顶点落在斜边
42、上,且把斜边分成5米和10米两部分,则剩余草坪面积的总和为 ( ) A.15平方米 B. 平方米 C.25平方米 D.50平方米,25分钟 40分,答案 C 如图,四边形CDEF是正方形,DEBC,ADE=90,EFB=90, AED=B,ADEEFB, = ,AE=5,BE=10,FB=2DE=2EF,根据勾股定理可得EF2+FB2=BE2,解得EF=2 ,FB=4 ,SEFB= 2 4 =20,同理可得SADE=5,剩余 草坪面积的总和为SADE+SEFB=5+20=25平方米,故选C.,2.(2019唐山路北一模,12)有这样一道题:如图,在正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中
43、E,F,G分别在 AB,BC,FD上,连接DH,如果BC=12,BF=3,求tanHDG的值.以下是排乱的解题步骤: 求出EF、DF的长;求出tanHDG的值; 证明BFE=CDF;求出HG、DG的长; 证明BEFCFD.解题步骤正确的顺序是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 正确的解题步骤应该是证明BFE=CDF;证明BEFCFD;求出EF、DF的长;求 出HG、DG的长;求出tanHDG的值.故选C.,思路分析 根据正方形的性质可得B=C=90,EFG=90,BC=CD,GH=EF=FG,然后求出EFB= FDC,再根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出BEFCFD,进而求出EF
44、和DF,然后根据正方形 的性质求出HG和DG,即可得出结果.,解题关键 熟记相似三角形的判定方法是解题的关键.,3.(2019保定一模,13)如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ACB的平分线交AB、BD于M、N两 点,若AM=2,则线段ON的长为 ( ) A. B. C.1 D.,答案 C 过点M作MHAC,垂足为H, AHM=90.四边形ABCD为正方形, CAB=45,ACBD, AHM是等腰直角三角形. AM=2,AH=HM= . CM平分ACB,MHAC,MBBC,MB=MH= . AB=AM+MB=2+ ,AC=2 +2. CH=AC-AH= +2.MHON,CONC
45、HM. = ,即 = ,解得ON=1.,解后反思 本题考查了相似三角形的判定与性质,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公 共角、公共边等隐含条件,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.,4.(2018保定莲池期末,14)如图,在矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将ABE向上折叠,使B点落在 AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD= ( ) A. B. C. D.2,答案 B 由题意可知四边形ABEF为正方形, AF=EF=AB=1, 若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则 = , = ,DF= (舍负), AD=1+ = ,故选B.,5.(2018邯郸一模,15)如图,在RtABC中,ACB=90,BAC=30,BAC的平分线交BC于点D,过点D作DE AB,垂足为E,连接CE交AD于点F,则以下结论: AB=2CE;AC=4CD;CEAD;DBE与ABC的面积比是1(7+
