1、答案 C 如图,连接OO,OB,根据题意可知AOO,BOO都是等边三角形, AOO=OOB=OOB=OBO=60. 又AOB=120,OOA+AOB=180. O、O、B三点共线, OB=OB, OBB=OBB=30, OBB=OBO+OBB=90, BB=OBtan 60=2 , S阴影=SOBB-S扇形OOB= 22 - =2 - .故选C.,解题关键 连接OO,OB,证明O、O、B三点共线,这样,阴影部分的面积就转化为OBB的面积与扇形O OB的面积之差.,2.(2019河南,14,3分)如图,在扇形AOB中,AOB=120,半径OC交弦AB于点D,且OCOA.若OA=2 ,则阴影 部分
2、的面积为 .,答案 +,解析 OCOA,AOD=90,AOB=120,OA=OB=2 ,OAD=BOC=ABO=30,OD=AO tan 30=2,BD=2,过点O作OEAD于点E,则OE= .S阴影=SAOD+S扇形BOC-SBOD= 2 2+ - 2 = +.,思路分析 根据扇形AOB中,AOB=120,AOOC,求得OAD=BOC=ABO=30,再分别求得OD、BD 的长,计算SAOD,SBOD,S扇形BOC,进而求阴影部分的面积.,3.(2016河南,14,3分)如图,在扇形AOB中,AOB=90,以点A为圆心,OA的长为半径作 交 于点C.若OA= 2,则阴影部分的面积为 .,答案
3、-,解析 连接OC,AC,则OC=OA=AC,所以OAC为等边三角形,所以COA=CAO=60,因为AOB=90,所 以BOC=30,所以S阴影=S扇形BOC+SOAC-S扇形OAC= + 22- = + - = - .,思路分析 连接OC,AC,求出扇形BOC、扇形OAC、等边AOC的面积,运用割补法求出阴影部分的面积.,评析 本题考查扇形、等边三角形面积的计算,分割法是求阴影部分面积的常见方法.,4.(2018河南,14,3分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC=2,将ABC绕AC的中点D逆时针旋转90得到ABC, 其中点B的运动路径为 ,则图中阴影部分的面积为 .,答案 -,解析
4、 如图,连接BD,BD,作DEAB于点E. 在RtBCD中,BC=2,CD= AC=1, BD= = . 由旋转得ABAB,BDB=90,BC= , 又DE= AA= AB= , S阴影=S扇形BDB-SBCD-SBCD= - - 21= - .,思路分析 首先确定 所在圆的圆心为点D,根据题意求出半径DB和圆心角BDB的度数,然后通过 S扇形BDB-SBCD-SBCD可求得阴影部分的面积.,5.(2015河南,14,3分)如图,在扇形AOB中,AOB=90,点C为OA的中点,CEOA交 于点E.以点O为圆心, OC的长为半径作 交OB于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为 .,答案 +,解析
5、 连接OE.点C是OA的中点, OC= OA=1, OE=OA=2,OC= OE, CEOA,OEC=30, COE=60. 在RtOCE中,CE=OCtan 60= , SOCE= OCCE= . AOB=90,BOE=AOB-COE=30, S扇形OBE= = ,又S扇形COD= = . 因此S阴影=S扇形OBE+SOCE-S扇形COD= + - = + .,方法归纳 求不规则图形的面积可采用割补法,利用规则图形的面积的和差求解.,思路分析 连接OE,分别求得扇形OBE,扇形COD以及OCE的面积,由S阴影=S扇形OBE+SOCE-S扇形COD求得阴影部 分的面积.,B组 20152019
6、年全国中考题组 考点一 弧长和扇形面积 1.(2019山西,10,3分)如图,在RtABC中,ABC=90,AB=2 ,BC=2,以AB的中点O为圆心,OA的长为半径作 半圆交AC于点D,则图中阴影部分的面积为 ( ) A. - B. + C.2 - D.4 -,答案 A 作DEAB于点E,连接OD, 在RtABC中,tanCAB= = = ,CAB=30, BOD=2CAB=60, 在RtODE中,OE= OD= ,DE= OE= , S阴影=SABC-SAOD-S扇形BOD = ABBC- OADE- = 2 2- - = - .故选A.,2.(2018四川成都,9,3分)如图,在ABCD
7、中,B=60,C的半径为3,则图中阴影部分的面积是 ( ) A. B.2 C.3 D.6,答案 C 在ABCD中,B=60,ABCD,C=120. C的半径为3, S阴影= =3.故选C.,3.(2018辽宁沈阳,10,2分)如图,正方形ABCD内接于O,AB=2 ,则 的长是 ( ) A. B. C.2 D. ,答案 A 连接AC、BD交于点O,四边形ABCD是正方形, BAD=ABC=BCD=CDA=90, AC、BD是直径,点O与点O重合, AOB=90,AO=BO,AB=2 ,AO=2, 的长为 =.,4.(2016重庆,9,4分)如图,以AB为直径,点O为圆心的半圆经过点C,若AC=
8、BC= ,则图中阴影部分的面积是 ( ) A. B. + C. D. +,答案 A AB为直径,ACB=90. 又AC=BC= ,ACB为等腰直角三角形, OCAB,AOC和BOC都是等腰直角三角形, SAOC=SBOC,OA=1, S阴影部分=S扇形AOC= = .故选A.,评析 求阴影部分的面积往往都是求不规则图形的面积,所以把不规则图形的面积转化为规则图形的面积 是解决这类问题的主要思路.几种常用的方法:(1)将待求面积的图形分割成几个规则图形后,将规则图形的 面积相加;(2)将阴影中部分图形等积变形后移位,组成规则图形求解;(3)将待求面积的图形分割后,利用平 移、旋转将部分图形移位,
9、最后组成规则图形求解.,5.(2016湖北武汉,9,3分)如图,在等腰RtABC中,AC=BC=2 ,点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中 点.当点P沿半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长是 ( ) A. B. C.2 D.2,答案 B 如图,当点P位于弧AB的中点时,M为AB的中点.AC=BC=2 ,AB=4,CM=2,设M1,M2分别为AC, BC的中点,连接M1M2,交CP于点O,则M1M2=2,OM1=OM2=OC=OM=1,当点P沿半圆从点A运动至点B时,点M运 动的路径是以点O为圆心,1为半径的半圆.所以点M运动的路径长为,故选B.,6.(2015山东聊城,12,3分)
10、如图,点O是圆形纸片的圆心,将这个圆形纸片按下列顺序折叠,使 和 都经过 圆心O,则阴影部分的面积是O面积的 ( ) A. B. C. D.,答案 B 如图,连接OA,OB,过点O作OEAB于点E,并将OE延长交圆O于点D,由折叠知,OE= OD= OA,所以OAE=30,所以AOD=60,所以AOB=120;如图,连接OA,OB,OC,则AOB=AOC=BOC =120,由圆的对称性可知S阴影=S扇形OCB= S圆O.故选B.,7.(2019吉林,14,3分)如图,在扇形OAB中,AOB=90.D,E分别是半径OA,OB上的点,以OD,OE为邻边的 ODCE的顶点C在 上.若OD=8,OE=
11、6,则阴影部分图形的面积是 (结果保留).,答案 25-48,解析 连接OC.AOB=90,ODCE为矩形.ODC=90,CD=OE=6.OD=8,在RtODC中,OC= =10,阴影部分图形的面积为 -68=25-48.,解题关键 解决本题的关键是通过连接矩形的对角线求出扇形的半径,进而利用扇形面积公式计算.,8.(2019福建,15,4分)如图,边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的O的圆心重合,E,F分别是AD,BA的 延长线与O的交点,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留),答案 -1,解析 S阴影= (SO-S正方形ABCD)= (22-22)=-1.,方法点拨 求不规则图形面积
12、的方法:先分析图形,看能分解成哪些基本图形(如扇形、三角形、平行四边 形等可以直接求出面积的图形),再分析各图形之间的联系,最后将不规则图形面积转化为规则图形面积的 和或差,在不能直接转化的题目中,应添加一些辅助线帮助解决.,9.(2019黑龙江齐齐哈尔,20,8分)如图,以ABC的边BC为直径作O,点A在O上,点D在线段BC的延长线 上,AD=AB,D=30. (1)求证:直线AD是O的切线; (2)若直径BC=4,求图中阴影部分的面积.,解析 (1)证明:AD=AB,D=30,B=D=30, BC是O的直径,BAC=90,ACB=60, (1分) 连接OA,OA=OC,AOC是等边三角形,
13、 CAO=60, D=30,ACB=60,CAD=30, (3分) OAD=CAD+CAO=90, AD是O的切线. (4分) (2)BC=4,OA=2,OD=4.,AD=ODcos 30=2 , (5分) SAOD= ADOA=2 , (6分) 又S扇形AOC= = ,阴影部分面积=2 - . (8分),考点二 圆柱和圆锥 1.(2019云南,11,4分)一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆,则该圆锥的全面积是 ( ) A.48 B.45 C.36 D.32,答案 A 设半圆的半径为R,则S侧= R2= 82=32,设圆锥的底面圆半径为r,则2r= 2R, r= R= 8=4,S底=r2=4
14、2=16, S全=S侧+S底=32+16=48.故选A.,2.(2017四川绵阳,8,3分)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知 底面圆的直径AB=8 cm,圆柱体部分的高BC=6 cm,圆锥体部分的高CD=3 cm,则这个陀螺的表面积是 ( ) A.68 cm2 B.74 cm2 C.84 cm2 D.100 cm2,答案 C 由陀螺的立体结构图可知,陀螺的表面积由底面圆面积、圆柱侧面积和圆锥侧面积组成.底面圆 的半径r=4 cm,底面圆的周长为2r=8 cm,圆锥的母线长为 =5 cm,所以陀螺的表面积为42+86+ 85=84 cm2,故选C.,3.(
15、2016新疆乌鲁木齐,8,4分)将圆心角为90,面积为4 cm2的扇形围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面圆 的半径为 ( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm,答案 A 设扇形的半径为R cm,根据题意得 =4,解得R=4,设圆锥的底面圆的半径为r cm,则 2r 4=4,解得r=1.此圆锥的底面圆的半径为1 cm.故选A.,4.(2019黑龙江齐齐哈尔,13,3分)将圆心角为216,半径为5 cm的扇形围成一个圆锥的侧面,那么围成的这个 圆锥的高为 cm.,答案 4,解析 设圆锥底面圆的半径为r cm,利用圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周 长,
16、得2r= ,解得r=3,圆锥的高为 =4(cm).,5.(2019湖北黄冈,14,3分)用一个圆心角为120,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的面 积为 .,答案 4,解析 扇形的弧长为 =4,扇形的弧长即为这个圆锥底面圆的周长,设底面圆的半径为x,则2x=4, 得x=2,所以底面圆的面积为22=4.,思路分析 先根据弧长公式求出扇形的弧长,即圆锥底面圆的周长,再根据圆的周长公式和面积公式求解 即可.,6.(2018湖北黄冈,13,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有 一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 c
17、m与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的 最短距离为 cm(杯壁厚度不计).,答案 20,解析 如图,将圆柱侧面展开,延长AC至A,使AC=AC,连接AB,则线段AB的长为蚂蚁到蜂蜜的最短距离.过 B作BBAD,垂足为B.在RtABB中,BB=16,AB=14-5+3=12,所以AB= = =20,即蚂蚁 从外壁A处到内壁B处的最短距离为20 cm.,7.(2016广东,14,4分)如图,把一个圆锥沿母线OA剪开,展开后得到扇形AOC,已知圆锥的高h为12 cm,OA=13 cm,则扇形AOC中 的长是 cm(计算结果保留).,答案 10,解析 根据勾股定理可知,圆锥的底面半径为 =
18、5 cm,所以扇形AOC中 的长为25=10 cm.,C组 教师专用题组 考点一 弧长和扇形面积 1.(2019云南,13,4分)如图,ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=5,BC=13,CA=12, 则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是 ( ) A.4 B.6.25 C.7.5 D.9,答案 A AB=5,BC=13,AC=12,AB2+AC2=52+122=132=BC2, ABC为直角三角形,且A=90. AB,AC分别与O相切于点F,E, OFAB,OEAC, A=AEO=AFO=90, 又OE=OF, 四边形AEOF是正方形. 设OE=r,则AE=AF
19、=r, 又ABC的内切圆O与BC,AC,AB分别相切于点D,E,F, BD=BF=5-r,CD=CE=12-r, BD+CD=BC, 5-r+12-r=13,解得r=2, S阴影=22=4.故选A.,思路分析 利用勾股定理的逆定理可得到ABC是直角三角形且A=90,再利用切线的性质得到OF AB,OEAC,进而可知四边形 AEOF为正方形.设OE=r,利用切线长定理可得到BD=BF=5-r,CD=CE=12-r,利 用BD+CD=BC列出方程5-r+12-r=13,求得r的值,最后利用正方形的面积公式计算出阴影部分(即四边形AE- OF)的面积.,2.(2019湖北武汉,9,3分)如图,AB是
20、O的直径,M,N是 (异于A,B)上两点,C是 上一动点,ACB的平分 线交O于点D,BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,C,E两点的运动路径长的比是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 如图,由题意可知1=2,3=4.连接AD,可得2=6=1.5=1+3,EAD=4+6 =3+1,DE=DA,即点E在以点D为圆心,AD为半径的圆上运动,6=2=45,AD= AO,设O的 半径为r,劣弧MN所对的圆心角为n,则C,E两点的运动路径长的比是 = .故选A.,3.(2017内蒙古包头,9,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ABC=45,以AB为直径的O交BC于点D.若BC
21、=4 , 则图中阴影部分的面积为 ( ) A.+1 B.+2 C.2+2 D.4+1,答案 B 连接AD,OD,AB是直径,AB=AC,ADBC,BD=CD,OD是ABC的中位线,易知CAB=90, 由BC=4 可得AB=AC=4,OB=2.S阴影=SOBD+S扇形OAD= 22+ 22=2+.,思路分析 先将阴影部分分割成一个三角形和一个扇形,再分别计算这两个图形的面积并求和.,4.(2017甘肃兰州,12,4分)如图,正方形ABCD内接于半径为2的O,则图中阴影部分的面积为 ( ) A.+1 B.+2 C.-1 D.-2,答案 D 连接AC,OD, 则AC=4,所以正方形ABCD的边长为2
22、 ,所以正方形ABCD的面积为8,由题意可知,O的面积为4,根据图 形的对称性,知S阴影= -SOAD=-2,故选D.,思路分析 把阴影部分的面积转化成一个扇形的面积减去一个三角形的面积进行解答.,方法规律 求阴影部分的面积,特别是不规则几何图形的面积时,常通过平移、旋转、割补等方法,把不规 则图形面积转化为规则图形面积的和或差来求解.,5.(2017山西,10,3分)如图是某商品的标志图案.AC与BD是O的两条直径,首尾顺次连接点A,B,C,D,得到四 边形ABCD.若AC=10 cm,BAC=36,则图中阴影部分的面积为 ( ) A.5 cm2 B.10 cm2 C.15 cm2 D.20
23、 cm2,答案 B AC=10 cm,OC=5 cm, BAC=36,AOD=BOC=72, 由“等底同高的两个三角形面积相等”可知,SBOC=SBOA,SDOA=SDOC, S阴影=2S扇形BOC=2 =10 cm2.,6.(2016吉林,6,2分)如图,阴影部分是两个半径为1的扇形.若=120,=60,则大扇形与小扇形的面积之差为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 大扇形的面积是 = ,小扇形的面积是 = ,面积之差为 - = , 故选B.,7.(2016山东青岛,7,3分)如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB和AC的夹角为120,AB长为25 cm,贴纸 部分的宽BD为15
24、 cm,若纸扇两面贴纸,则贴纸的面积为 ( ) A.175 cm2 B.350 cm2 C. cm2 D.150 cm2,答案 B AB=25 cm,BD=15 cm,AD=25-15=10 cm,S扇形BAC= = (cm2),S扇形DAE= = (cm2),贴纸的面积为2 =350(cm2),故选B.,8.(2015江苏苏州,9,3分)如图,AB为O的切线,切点为B,连接AO,AO与O交于点C,BD为O的直径,连接 CD.若A=30,O的半径为2,则图中阴影部分的面积为 ( ) A. - B. -2 C.- D. -,答案 A AB与O相切于B,BDAB.在RtABO中,A=30,AOB=
25、60,ODC= AOB=30, OD=OC,OCD=ODC=30,DOC=180-30-30=120.连接BC,易得BC=2,DC=2 ,SOCD= SBCD = BCDC= ,又S扇形COD= = ,故S阴影=S扇形COD-SOCD= - ,故选A.,9.(2015内蒙古包头,9,3分)如图,在ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,将ABC绕点A逆时针旋转30后得到ADE, 点B经过的路径为 ,则图中阴影部分的面积为 ( ) A. B. C. D. ,答案 A S阴影=SAED+S扇形ADB-SABC,由旋转的性质可知SADE=SABC,所以S阴影=S扇形ADB= = .故选A.,10.(
26、2015甘肃兰州,15,4分)如图,O的半径为2,AB、CD是互相垂直的两条直径,点P是O上任意一点(P与 A、B、C、D不重合),过点P作PMAB于点M,PNCD于点N,点Q是MN的中点,当点P沿着圆周转过45时, 点Q走过的路径长为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 连接OP.PMO=PNO=MON=90,四边形MPNO为矩形,Q为MN的中点,Q在OP上, 且OQ= OP=1.点P沿圆周转过45,点Q也沿相应的圆周转过45,点Q走过的路径长为 = .,11.(2019贵州贵阳,14,4分)如图,用等分圆的方法,在半径为OA的圆中,画出了如图所示的四叶幸运草,若OA= 2,则四叶幸运
27、草的周长是 .,答案 4 ,解析 由题意得,四个半圆所在的圆的直径为 OA=2 ,四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周 长,四叶幸运草的周长=22 =4 .,12.(2019重庆A卷,16,4分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,ABC=60,AB=2.分别以点A、点C 为圆心,以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留),答案 2 - ,解析 四边形ABCD为菱形, ACBD,BD平分ABC,OA=OC,OB=OD,ADBC. ABO= ABC= 60=30. 在RtAOB中,OA= AB= 2=1,OB= = = , OC=OA=1
28、,AC=2OA=2,BD=2OB=2 . S菱形ABCD= ACBD= 22 =2 . ADBC,BAD=180-ABC=120, S阴影=S菱形ABCD-2 12=2 - .,13.(2018重庆,14,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交AB于点E,图中阴 影部分的面积是 (结果保留).,答案 6-,解析 S阴影=S矩形ABCD-S扇形ADE=23- =6-.,方法总结 求不规则图形的面积时,最基本的思想就是转化思想,即把所求的不规则图形的面积转化为规 则图形的面积.,14.(2018云南昆明,6,3分)如图,正六边形ABCDEF的边长为1,
29、以点A为圆心,AB的长为半径,作扇形ABF,则图 中阴影部分的面积为 (结果保留根号和).,答案 -,解析 S阴影=S正六边形ABCDEF-S扇形ABF=6 12- = - .,思路分析 分别求出正六边形ABCDEF的面积和扇形ABF的面积,求这两个面积的差即可得出结果.,解后反思 在正六边形ABCDEF中可作出6个等边三角形,每个等边三角形的面积为 = ,进而得到 正六边形ABCDEF的面积为 .,15.(2017吉林,13,3分)如图,分别以正五边形ABCDE的顶点A,D为圆心,以AB长为半径画 , .若AB=1,则 阴影部分图形的周长和为 (结果保留).,答案 +1,解析 正五边形的每个
30、内角都为108,故可得阴影部分图形的周长和为2 +1= +1.,16.(2017安徽,13,5分)如图,已知等边ABC的边长为6,以AB为直径的O与边AC,BC分别交于D,E两点,则 劣弧 的长为 .,答案 ,解析 连接OD,OE,因为在等边三角形ABC中,A=B=60,又OA=OB=OE=OD=3,所以OBE,ODA都是 等边三角形,所以AOD=BOE=60,所以DOE=60,所以劣弧 的长为 =.,思路分析 连接OD,OE,由三角形ABC是等边三角形可推出OBE,ODA都是等边三角形,从而可求 DOE的度数,再由弧长公式求解即可.,解题关键 作出辅助线OD,OE是解决本题的关键.,17.(
31、2016安徽,13,5分)如图,已知O的半径为2,A为O外一点.过点A作O的一条切线AB,切点是B.AO的延 长线交O于点C.若BAC=30,则劣弧 的长为 .,答案,解析 如图,连接OB, AB切O于B, ABO=90, BAC=30, BOC=30+90=120, 又O的半径为2, 劣弧 的长为 = .,评析 本题考查了圆的切线的性质,三角形的外角的性质及弧长的计算,属中等难度题.,18.(2015吉林长春,11,3分)如图,PA为O的切线,A为切点,B是OP与O的交点.若P=20,OA=3,则 的长 为 (结果保留).,答案,解析 PA是O的切线,OAAP.P=20, AOP=70. 的
32、长为 = .,19.(2019湖北武汉,21,8分)已知AB是O的直径,AM和BN是O的两条切线,DC与O相切于点E,分别交 AM,BN于D,C两点. (1)如图1,求证:AB2=4ADBC; (2)如图2,连接OE并延长交AM于点F,连接CF.若ADE=2OFC,AD=1,求图中阴影部分的面积. 图1 图2,解析 解法一:(1)证明:如图,连接OD,OC,OE. AD,BC,CD是O的切线, OAAD,OBBC,OECD,AD=ED,BC=EC,ODE= ADC,OCE= BCD. 又ADBC,ODE+OCE= (ADC+BCD)=90, 又ODE+DOE=90,DOE=OCE, 又OED=
33、CEO=90, ODECOE, = ,即OE2=EDEC,4OE2=4ADBC,AB2=4ADBC. (2)如图,连接OD,OC,ADE=2OFC,ODE=OFC, ODECFE, = ,即OEEF=DEEC, 由(1)有OE2=DEEC, OE=EF,CD垂直平分OF. AOD=DOE=OFD=30,BOE=120. 易得O的半径r=OA= = ,BC=OBtan 60=3. S阴影=2SOBC-S扇形OBE=3 -.,解法二:(1)证明:如图,过点D作DHBC,H为垂足, AD,BC,CD是O的切线, OAAD,OBBC,AD=ED,BC=EC,四边形ABHD是矩形. 在RtCDH中,DH
34、2=CD2-CH2, AB2=(AD+BC)2-(BC-AD)2, AB2=4ADBC. (2)如图,连接OD,OC,易得ADE=BOE, ADE=2OFC,BOE=2COF, COF=OFC,COF是等腰三角形.,又OECD,CD垂直平分OF. 下同解法一.,20.(2018云南,22,9分)如图,已知AB是O的直径,C是O上的点,点D在AB的延长线上,BCD=BAC. (1)求证:CD是O的切线; (2)若D=30,BD=2,求图中阴影部分的面积.,解析 (1)证明:连接OC. AB是O的直径,C是O上的点, ACB=90,即ACO+OCB=90. OA=OC,ACO=BAC. BCD=B
35、AC, ACO=BCD. (2分) BCD+OCB=90. OCD=90,OCCD. OC是O的半径,CD是O的切线. (4分),(2)D=30,OCD=90, BOC=60,OD=2OC, AOC=120,BAC=30. (6分) 设O的半径为x, 则OB=OC=x, x+2=2x,解得x=2. 过点O作OEAC,垂足为点E, 在RtOEA中,OE= OA=1,AE= = = , AC=2 . S阴影=S扇形AOC-SAOC= - 2 1= - . (9分),21.(2016辽宁沈阳,21,8分)如图,在ABC中,以AB为直径的O分别与BC,AC相交于点D,E,BD=CD,过点D作 O的切线
36、交边AC于点F. (1)求证:DFAC; (2)若O的半径为5,CDF=30,求 的长.(结果保留),解析 (1)证明:连接OD. DF是O的切线,D为切点, ODDF, ODF=90. BD=CD,OA=OB, OD是ABC的中位线. ODAC, CFD=ODF=90, DFAC. (2)CDF=30,由(1)知ODF=90,ODB=180-CDF-ODF=60. OB=OD, OBD是等边三角形, BOD=60, 的长= = = .,22.(2015辽宁沈阳,21,10分)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,ABC=2D,连接OA、OB、OC、AC, OB与AC相交于点E. (1)求OC
37、A的度数; (2)若COB=3AOB,OC=2 ,求图中阴影部分面积.(结果保留和根号),解析 (1)四边形ABCD是O的内接四边形, ABC+D=180. ABC=2D, 2D+D=180, D=60, AOC=2D=120. OA=OC, OCA=OAC=30. (2)COB=3AOB, AOC=AOB+3AOB=120, AOB=30, COB=AOC-AOB=90. 在RtOCE中,OC=2 ,OE=OCtanOCE=2 tan 30=2 =2, SOEC= OEOC= 22 =2 , S扇形OBC= =3, S阴影=S扇形OBC-SOEC=3-2 .,考点二 圆柱和圆锥 1.(201
38、8贵州遵义,8,3分)若要用一个底面直径为10,高为12的实心圆柱体,制作一个底面和高分别与圆柱底 面半径和高相同的圆锥,则该圆锥的侧面积为 ( ) A.60 B.65 C.78 D.120,答案 B 由题意可得,圆锥的底面半径为5,母线长为 =13,则该圆锥的侧面积为513=65,故 选B.,2.(2018湖北天门,7,3分)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是 ( ) A.120 B.180 C.240 D.300,答案 B 设母线长为R,底面半径为r,底面圆周长为2r,底面积为r2,侧面积为rR,侧面积是底面积的 2倍,2r2=rR,R=2r,设所求圆心角为
39、n,则 =2r=R,解得n=180.故选B.,3.(2017云南,13,4分)正如我们小学学过的圆锥体积公式V= r2h(表示圆周率,r表示圆锥的底面半径,h表示 圆锥的高)一样,许多几何量的计算都要用到.祖冲之是世界上第一个把计算到小数点后第7位的中国古代 科学家,创造了当时世界上的最高水平,差不多过了1 000年,才有人把计算得更精确.在辉煌成就的背后,我 们来看看祖冲之付出了多少.现在的研究表明,仅仅就计算来讲,他至少要对9位数字反复进行130次以上的 各种运算,包括开方在内.即使今天我们用纸笔来算,也绝不是一件轻松的事情,何况那时候没有现在的纸笔, 数学计算不是用现在的阿拉伯数字,而是
40、用算筹(小竹棍或小竹片)进行的,这需要怎样的细心和毅力啊!他 这种严谨治学的态度,不怕复杂计算的毅力,值得我们学习. 下面我们就来通过计算解决问题:已知圆锥的侧面展开图是个半圆,若该圆锥的体积等于9 ,则这个圆锥 的高等于 ( ) A.5 B.5 C.3 D.3,答案 D 设圆锥的母线长为R,底面半径为r,高为h,圆锥的侧面展开图是个半圆, =2r,R=2r, 由勾股定理可得h= r,圆锥的体积等于9 , r2h=9 ,解得r=3,h=3 ,故选D.,4.(2015山东威海,8,3分)若用一张直径为20 cm的半圆形铁片做一个圆锥的侧面,接缝忽略不计,则所得圆锥 的高为 ( ) A.5 cm
41、B.5 cm C. cm D.10 cm,答案 A 设圆锥底面圆的半径为r cm,依题意,得 20=2r,解得r=5,则所得圆锥的高为 =5 cm.故选A.,5.(2018广西梧州,17,3分)如图,圆锥侧面展开得到扇形,此扇形半径CA=6,圆心角ACB=120,则此圆锥高 OC的长度是 .,答案 4,解析 设圆锥底面圆的半径为r. AC=6,ACB=120, 的长为 =4, 由4=2r得r=2,在RtAOC中,由勾股定理得OC= =4 .,6.(2018江苏苏州,16,3分)如图,88的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD,点O,A,B,C,D均在格点上.若用 扇形OAB围成一个圆锥的侧面
42、,记这个圆锥的底面半径为r1;若用扇形OCD围成另一个圆锥的侧面,记这个 圆锥的底面半径为r2,则 的值为 .,答案,解析 设网格中小正方形的边长是1, 则由题意得OA=2 ,OC=3 , 设AOB=n, 则 的长= =2r1, 的长= =2r2, = .,7.(2017湖北黄冈,13,3分)已知:如图,圆锥的底面直径是10 cm,高为12 cm,则它的侧面展开图的面积是 cm2.,答案 65,解析 圆锥的底面直径是10 cm,高为12 cm, 圆锥的母线长为13 cm, 圆锥的侧面积= 1310=65(cm2).,8.(2017辽宁盘锦,17,3分)如图,O的半径OA=3,OA的垂直平分线交
43、O于B、C两点,连接OB、OC,用扇形 OBC围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为 .,答案 2 或,解析 BC为OA的垂直平分线, OA垂直平分BC, 在RtODC中,cosDOC= , DOC=60,BOC=2DOC=120. 扇形的圆心角小于180度时, 设圆锥的底面半径为r,则2r= , 解得r=1,圆锥的高为 =2 . 扇形的圆心角大于180度时, 设圆锥的底面半径为r,则2r= , 解得r=2,圆锥的高为 = .故这个圆锥的高为2 或 .,思路分析 由条件得OA与BC互相垂直平分,求出BOC=120,围成圆锥的侧面的扇形有两种情况:扇形的圆心角小于180度;扇形的圆心角大于180度
44、.根据弧长公式求出圆锥的半径,根据勾股定理求出圆锥的高.,9.(2016宁夏,12,3分)用一个圆心角为180,半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径 为 .,答案 2,解析 设圆锥的底面圆的半径为r,则2r= ,解得r=2.,10.(2015湖南郴州,10,3分)已知圆锥的底面半径是1 cm,母线长为3 cm,则该圆锥的侧面积为 cm2.,答案 3,解析 该圆锥的侧面积为 213=3 cm2.,11.(2015福建龙岩,14,3分)圆锥的底面半径是1,母线长是4,则它的侧面展开图的圆心角是 .,答案 90,解析 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n,依题意可得 =21,解得n=
45、90,所以圆锥的侧面展开图的圆 心角是90.,答案 A 如图,连接OE,OD,设OD与BE交于点H. 点D,E是半圆的三等分点, = = ,AE=BD, AOEBOD,ODBE, A=ABC=60,ABC为等边三角形,AB为直径, AEB=90,AC=AB=2EC=4,BE= AE=2 , OH= OE=1,易证S弓形AE=S弓形BD,S阴影=S扇形BOE-SBOE= - 2 1= - .,2.(2019许昌一模,14)如图,等边三角形ABC的边长为4,以BC为直径的半圆O交AB于点D,交AC于点E,则阴影 部分的面积是 .,答案 2 -,解析 连接DO,EO,由ABC为等边三角形,易得等边BOD、等边EOC,所以DOE=180-BOD- COE=60,又BO=CO= BC=4,所以S阴影=SABC-SBOD-SCOE-S扇形DOE= AB2- BO2
